精品解析：四川省眉山市洪雅县2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷

2021—2022学年八年级（上）期末教学质量监测 数学试卷 注意事项： 1．全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．请将自己的姓名、准考证号准确填写在《答题卡》上规定的相应位置． 3．答选择题时请使用2B铅笔将《答题卡》上对应题目的答案标号涂黑，特别要注意所涂答案与题号一致． 4．答非选择题时必须用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，将答案书写在《答题卡》规定的位置，在答题规定位置以外的地方答题无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 的平方根是（ ）． A. 4 B. C. 2 D. 2. 下列运算中正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）． A. B. C. D. 4. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是 A. 假设三内角都大于60° B. 假设三内角都不大于60° C. 假设三内角至多有一个大于60° D. 假设三内角至多有两个大于60° 5. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 2，3，4 D. 1，， 3 6. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，若，则等于（ ）． A. B. C. D. 7. 若，，则的值是（ ）． A. 0.5 B. 2 C. 4 D. 5 8. 已知是的整数部分，是的整数部分，的值是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 下面给出的五个命题：①全等三角形的面积相等；②有一个角是的等腰三角形是等边三角形；③对顶角相等；④若，则；⑤角平分线上的点到角两边的距离相等．其逆命题是真命题的是（ ）． A. ①② B. ②③④ C. ②⑤ D. ④⑤ 10. 展开后不含的一次项，则为（ ） A. 3 B. 0 C. 12 D. 24 11. 如图，等腰三角形的底边长为2，面积为5，腰的垂直平分线分别交，于点，．若点、分别为线段、线段上的动点，则的最小值为（ ）． A. 2 B. 3 C. 5 D. 10 12. 如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点落在对角线上的点处．若，，则的长为（ ）． A. B. 3 C. 1 D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 因式分解x3－9x=__________． 14. ________ 15. 已知，则_______． 16. 若可以用完全平方式来分解因式，则的值为________． 17. 如图，是中的平分线，于点E，，，，则_________． 18. 如图，在中，是的平分线，的垂直平分线交于点E，交于点G，交的延长线于点F，连结，，有下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确的结论有_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中x，y满足． 21. 如图，在中，． （1）用尺规在边上求作一点P，使（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，若平分，求的度数． 22. 如图，在和中，，点C在上．求证： （1）； （2）． 23. 如图，在笔直的铁路上、两点相距，，为两村庄，于点，于点，，，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．求应建在距多远处？ 24. 某校为了解学生对中国民族乐器的喜爱情况，随机抽取了本校的部分学生进行调查（每名学生选择并且只能选择一种喜爱乐器），现将收集到的数据绘制如下的两幅不完整的统计图. （1）这次共抽取 学生进行调查，扇形统计图中的 . （2）请补全统计图； （3）在扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是 度； （4）若该校有3000名学生，请你估计该校喜爱“二胡”的学生约有 名. 25. 小刚同学动手剪了如图1所示的正方形与长方形纸片若干张． （1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图2）． 根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式： （2）如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片 张，3号卡片 张； （3）当他拼成如图3所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大长方形的面积，可以把多项式分解因式，其结果为 ； （4）动手操作：请你依照小刚的方法，画出拼图，利用拼图分解因式：． 26. 如图，点O是等边内一点，，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连结OD． （1）判断的形状，并证明； （2）当为多少度时，是等腰三角形； （3）添加或更改条件使是等边三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021—2022学年八年级（上）期末教学质量监测 数学试卷 注意事项： 1．全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．请将自己的姓名、准考证号准确填写在《答题卡》上规定的相应位置． 3．答选择题时请使用2B铅笔将《答题卡》上对应题目的答案标号涂黑，特别要注意所涂答案与题号一致． 4．答非选择题时必须用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，将答案书写在《答题卡》规定的位置，在答题规定位置以外的地方答题无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 的平方根是（ ）． A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根以及平方根．熟练掌握平方根的意义是解题关键．注意，求的平方根实际上就是求4的平方根，据此求得答案． 【详解】解：，4的平方根是， 那么的平方根是； 故选：D． 2. 下列运算中正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂除法法则、同底数幂乘法法则以及积的乘方法则依次计算即可得解． 本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：A. 和不是同类项，不能合并，本选项错误； B. ，本选项错误； C. ，本选项正确； D. ，本选项错误． 故选：C． 3. 下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义．根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式乘积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：A、，是整式的乘法，不是因式分解，故本项不合题意； B、，符合因式分解的定义，故本项符合题意． C、，该等式右边不是整式乘积的形式，故本项不合题意； D、，该等式右边不是整式乘积的形式，故本项不合题意； 故选：B． 4. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是 A. 假设三内角都大于60° B. 假设三内角都不大于60° C. 假设三内角至多有一个大于60° D. 假设三内角至多有两个大于60° 【答案】A 【解析】 【分析】根据命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”的否定是：三角形的三个内角都大于60°，由此得到答案 【详解】解：根据反证法的步骤可知，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的三个内角都大于60°． 故选A． 【点睛】本题考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论的反面成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 5. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 2，3，4 D. 1，， 3 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】A、42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故本选项错误； B、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故本选项正确； C、22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故本选项错误； D、，不可以构成直角三角形，故本选项错误． 故选：B 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 6. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，若，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据旋转，可知，，然后结合，求得，从而得出答案． 【详解】解：绕点C顺时针旋转得到， ，， ， ， ． 故选：A． 7. 若，，则的值是（ ）． A. 0.5 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的运算．熟练掌握幂乘方运算法则，同底数幂除法法则，是解题的关键． 由，，代入计算即得． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 8. 已知是的整数部分，是的整数部分，的值是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，包括利用算术平方根的大小比较确定无理数的整数部分，解决本题的关键是对无理数估算方法的运用． 要确定的整数部分和的整数部分，需通过比较被开方数与相邻完全平方数的大小，得出无理数的范围，进而确定其整数部分，核心是对无理数估算方法的运用． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为1，即， 又∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为3，即， ∴． 故选：D ． 9. 下面给出的五个命题：①全等三角形的面积相等；②有一个角是的等腰三角形是等边三角形；③对顶角相等；④若，则；⑤角平分线上的点到角两边的距离相等．其逆命题是真命题的是（ ）． A. ①② B. ②③④ C. ②⑤ D. ④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了真假命题，逆命题，全等三角形的判定，等边三角形的判定，对顶角的性质，求一个数的平方根，角平分线的判定等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 先将原命题改写出其逆命题，再一一判断即可． 【详解】解：①逆命题为：面积相等的两个三角形是全等三角形，错误，是假命题； ②逆命题为：等边三角形是有一个角是的等腰三角形，正确，是真命题； ③逆命题为：相等的角是对顶角，错误，是假命题； ④逆命题为：若，则，错误，应为，故逆命题错误，为假命题； ⑤逆命题为：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，正确，是真命题， ∴逆命题是真命题的是②⑤， 故选：C． 10. 展开后不含的一次项，则为（ ） A. 3 B. 0 C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，合并同类项，根据已知得出方程2m-24=0，求出即可． 【详解】解： ， 展开后不含的一次项， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的应用，能熟练地运用法则进行计算是解此题的关键． 11. 如图，等腰三角形的底边长为2，面积为5，腰的垂直平分线分别交，于点，．若点、分别为线段、线段上的动点，则的最小值为（ ）． A. 2 B. 3 C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作于点，连接，根据垂直平分，可知，那么，由，推出的最小值为，然后利用三角形的面积求出答案即可． 【详解】解：作于点，连接，如图所示： 垂直平分， ， ， 点、分别为线段、线段上的动点，， 则的最小值为， 等腰三角形的底边长为2，面积为5， ， ， 的最小值为5． 故选：C． 12. 如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点落在对角线上的点处．若，，则的长为（ ）． A. B. 3 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．根据长方形的性质可得，在 中，运用勾股定理求得．设，由折叠可得，从而，，在 中，运用勾股定理构造方程即可求解． 【详解】解：因为四边形是长方形， 所以，，， 所以， 由折叠的性质得：，， 所以， 设，则， 在 中， ，即， 解得：， 即． 故选：A． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 因式分解x3－9x=__________． 【答案】x（x+3）（x－3） 【解析】 【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解． 【详解】解：x3－9x， =x（x2－9）， =x（x+3）（x－3）． 【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底． 14. ________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方的逆运用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先根据幂的乘方法则得到，再逆用积的乘方公式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 已知，则_______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的意义，利用二次根式的非负性是解题的关键．二次根式的非负性可求得，，再将x，y的值代入计算即可． 【详解】解：由题意得且， ， 即， ， ． 故答案为：16． 16. 若可以用完全平方式来分解因式，则的值为________． 【答案】或 【解析】 【详解】由题意得， . ， ， ， 或 . 故答案为：-2或8 17. 如图，是中的平分线，于点E，，，，则_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，熟练掌握该知识点是解题的关键．作于点，根据角平分线性质定理得到，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：作于点，如图所示： 是中的平分线，于点E， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：4． 18. 如图，在中，是的平分线，的垂直平分线交于点E，交于点G，交的延长线于点F，连结，，有下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确的结论有_________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线，平行的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由垂直平分线的性质可求得，，则可证得，可判断①；由①可得，则可判断②；由角平分线和①的结论，可证，可判断③；利用题目条件无法判断④正确；从而得出答案． 【详解】解：垂直平分， ，， 又， ，故①正确； ， ，故②正确； 平分， ， ， ， ， ，故③正确； ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形， 由题目条件无法得出为等边三角形，故④不正确； 综上可知正确的结论有①②③； 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先计算算术平方根和立方根，再计算乘方，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 20. 先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据完全平方公式、平方差公式以及多项式除以单项法则对原式进行化简，再根据完全平方式和二次根式的非负性求出x、y的值，最后代入化简以后的式子中求值即可． 本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，以及掌握完全平方式和二次根式的非负性． 【详解】解：原式 ， 由题意得， 解得 ， 代入得，原式． 21. 如图，在中，． （1）用尺规在边上求作一点P，使（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，若平分，求的度数． 【答案】（1） 如图：直线是的垂直平分线， 则点P即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的基本作图，等腰三角形的性质求角度，直角三角形的特征量，熟练掌握基本作图是解题的关键． (1)根据线段的垂直平分线作图画图即可； (2)根据等腰三角形的性质求角度，直角三角形的特征量，计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵直线是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 如图，在和中，，点C在上．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等式的性质，可得，根据SAS，可得两个三角形全等； （2）根据全等三角形的性质，可得对应角相等，根据等腰三角形的性质，可得，根据等量代换，可得证明结论． 【小问1详解】 证明：， ， 即． 在和中， ， ； 【小问2详解】 证明：， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明三角形全等，利用全等三角形的性质，证明对应角相等，再利用等量代换得出证明结论． 23. 如图，在笔直的铁路上、两点相距，，为两村庄，于点，于点，，，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．求应建在距多远处？ 【答案】点应建在距处 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握该知识点是解题的关键．设，那么，由勾股定理，可知，，结合，列出方程，解出答案即可． 【详解】解：设， 在笔直的铁路上、两点相距， ， 在中，， ， 在中， ， ， 由题意得：， ， 解得：． 答：点应建在距处． 24. 某校为了解学生对中国民族乐器的喜爱情况，随机抽取了本校的部分学生进行调查（每名学生选择并且只能选择一种喜爱乐器），现将收集到的数据绘制如下的两幅不完整的统计图. （1）这次共抽取 学生进行调查，扇形统计图中的 . （2）请补全统计图； （3）在扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是 度； （4）若该校有3000名学生，请你估计该校喜爱“二胡”的学生约有 名. 【答案】（1）200，15%； （2）补全图形如下： （3）36；（4）900. 【解析】 【分析】（1）用喜爱古筝的人数除以所占百分比即可得到抽查的总人数，用喜爱竹笛的人数除以总人数即可得出x的值； （2）求得喜爱二胡的人数，即可将条形统计图补充完整； （3）求出扬琴部分的百分比，即可得到扬琴部分所占圆心角的度数； （4）依据喜爱二胡的学生所占的百分比，即可得到该校喜爱二胡的学生数量． 【详解】（1）80÷40%=200（人）， x=30÷200=15%. （2）喜爱二胡的人数为：200-80-30-20-10=60（人） （3）“扬琴”所对扇形的圆心角的度数为：. （4）3000×=900（人）， 故，若该校有3000名学生，请你估计该校喜爱“二胡”的学生约有900名. 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合思想解答． 25. 小刚同学动手剪了如图1所示的正方形与长方形纸片若干张． （1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图2）． 根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式： （2）如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片 张，3号卡片 张； （3）当他拼成如图3所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大长方形的面积，可以把多项式分解因式，其结果为 ； （4）动手操作：请你依照小刚的方法，画出拼图，利用拼图分解因式：． 【答案】（1） （2）2，5 （3） （4） 解：， 如图所示： 故答案为：． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，用面积法验证代数等式，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用面积相等即可求解． （2）根据题意，，进而可求解． （3）根据小纸片面积之和与大纸片面积相等即可求解． （4）根据小刚的方法先画图，再根据小纸片的面积之和与大纸片的面积相等即可求解． 【小问1详解】 这个乘法公式是， 故答案为：； 【小问2详解】 ， 需要2号卡片2张，3号卡片5张； 故答案为：2，5； 【小问3详解】 由图③可知矩形面积为， 所以， 故答案为：； 【小问4详解】 略 26. 如图，点O是等边内一点，，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连结OD． （1）判断的形状，并证明； （2）当为多少度时，是等腰三角形； （3）添加或更改条件使是等边三角形． 【答案】（1） 解：是等边三角形，证明如下： 是等边三角形， ． 由旋转得：，， 是等边三角形． （2）当为或或，是等腰三角形 （3）当且时，是等边三角形 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先求得，由旋转得：，，从而得出结论； （2）先分别表示出，，和，然后分类讨论即可； （3）结合等边三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当为或或，是等腰三角形； 理由如下： 由（1）得是等边三角形． ， ，， ， 由（1）得， ， ， ， 当，； 当，； 当，； 综上，当为或或，是等腰三角形； 【小问3详解】 解：当且时，是等边三角形； 理由如下：当且时， ， ， 在中，， 是等边三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $