2.1圆(2)学案2025-2026学年苏科版九年级数学上册

2.1圆(2) 【学习目标】 1. 认识圆的弦、半径、直径、弧、优弧与劣弧、圆心角、同心圆、等圆、等弧的概念. 2. 理解“同圆或等圆的半径相等”,并能应用它解决有关的问题. 【学习过程】 问题1圆的基本元素有哪些?与圆相关的几何元素又有哪些?画画看. 追问：长度相等的弧是等弧吗? 练一练 ( B )如 图 ，AB是⊙O的直径， C 点在⊙O 上，那么哪一段弧是优弧， 哪一段弧是劣弧? 例1如图，点A 、B 和点C 、D 分别在以点O 为圆心的两个同心圆上，且∠AOB=∠COD. 求证：∠C=∠D. 例2如图，画出⊙O 的两条直径，依次连接这两条直径的端点，得到一个四边形. (1)判断这个四边形的形状，并说明理由； (2)指出这个图形中的圆心角、弦、弧及它们的对应关系. 课时小结 一、与圆有关的基本概念 1．弦与直径 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦（如线段AB）。 直径：经过圆心的弦叫做直径（如线段CD），直径是圆中最长的弦，直径长度等于半径的2倍。 2.弧的分类与表示 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示（如弧AB记作）。 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆（半圆既不是优弧也不是劣弧）。 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示（如ACB⌢\overset{\frown}{ACB}ACB⌢）。 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个字母表示（如AB⌢\overset{\frown}{AB}AB⌢）。 3.圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角（如∠AOB）。 二、圆的相关性质与概念 1.同心圆与等圆 同心圆：圆心相同、半径不相等的两个圆叫做同心圆。 等圆：能够互相重合的两个圆叫做等圆，同圆或等圆的半径相等。 2.等弧 能够互相重合的弧叫做等弧（注意：长度相等的弧不一定是等弧，必须形状和长度都相同）。 3.同圆或等圆的半径性质 核心结论：同圆或等圆的半径相等，这是后续证明圆中线段相等的重要依据。 三、概念辨析 弦与直径的关系：直径是特殊的弦（经过圆心），但弦不一定是直径。 弧的表示规范：优弧必须用三个字母表示（端点+中间点），劣弧可用两个端点字母表示。 等圆与等弧的区别：等圆强调半径相等，等弧强调能完全重合（需在同圆或等圆中）。 课时练习 1. 如图，点A 、B 、C 、D都在⊙O上.在图中画出以这4点为端点的各条弦.这样的弦共有 条. 2. 如图，图中直径有 ,非直径的弦有 ;图中以 A 为端点的弧中，劣弧有 ,优弧有 ( B ) (第1题) (第2题) 3. 如图，AB是⊙0的直径，点C 在⊙O上，CD⊥AB, 垂足为D. 已 知CD=4,OD=3, 求 AB 的长. 4. 如图，AB 是⊙O的弦，点C 、D 在AB 上，且AC=BD. 判断△OCD 的形状，并说明理 由 . *5. 已知AB 是⊙O的直径， CD 是任意一条非直径的弦.求证：AB>CD. 6.选择题： (1)下列说法中，正确的是( ) A. 弦是直径 B. 半圆是弧 C. 过圆心的线段是直径 D. 圆心相同、半径相同的两个圆是同心圆 (2)依次连接圆内两条相交直径的4个端点，围成的四边形一定是( ) A. 梯 形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 (3)下列说法中，正确的是( ) A. 两个半圆是等弧 B. 同圆中优弧与半圆的差必是劣弧 C. 长度相等的弧是等弧 D. 直径未必是弦 7.填空题： (1)下列说法中正确的有 (填序号)。 ①直径是圆中最大的弦； ②半径相等的两个圆是等圆； ③面积相等的两个圆是等圆； ④同一条弦所对的两条弧一定是等弧 (2)已知圆内 一 点P到圆周上的点的最长距离为7 cm, 最短距离是3cm, 此 圆 的 半 径 是 cm; ( 3 ) 如 图 ，AB 是⊙O的直径，D 是弦BC的中点 . 已知OD=2cm,则弦AC= cm. 8.如图，两个同心圆的圆心为0,大圆的半径OA 、OB 分别交小圆于点C 、D, 连接AD 、BC. 求证：AD=BC. 9.如图，⊙O 的半径OA、OB 分别交弦CD 于 点E、F, 且CE=DF. 求证：△OEF 是等腰三角形. 10.如 图 ，CD 为 ⊙O的直径，∠EOD=69°,AE 交⊙O于点B, 且AB=OC. 求 ∠A的度数 . 11. 已 知 ⊙O 的直径AB=10, 点C 在 ⊙O 上，且CD⊥AB, 垂足为D,CD=4. 请画出相应的图形，并求AD 和DB 的 长 . 课时练习答案及解析 1. 答案：6条 解析：以A、B、C、D为端点的弦包括：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6条。 2. 答案 直径：AB 非直径的弦：CD、EF 以A为端点的劣弧： 以A为端点的优弧： 解析：直径是经过圆心的弦；劣弧是小于半圆的弧，优弧是大于半圆的弧（需用三个字母表示）。 3. 答案：AB=10 解析： 连接OC，∵AB是直径，∴OC是半径。 ∵CD⊥AB，CD=4，OD=3， 在Rt△OCD中，OC2=OD2+CD2=32+42=25， ∴OC=5，∴AB=2OC=10。 4. 答案：△OCD是等腰三角形 解析： 连接OA、OB，∵OA=OB（同圆半径相等）， ∴∠OAB=∠OBA。 又∵AC=BD，∴△OAC≌△OBD（SAS）， ∴OC=OD，∴△OCD是等腰三角形。 5. 证明：AB>CD 解析： 连接OC、OD，则CD≤OC+OD（三角形两边之和大于第三边）， ∵OC=OD=半径r，AB=2r， ∴CD≤2r=AB，当且仅当CD为直径时取等号， ∵CD是非直径的弦，∴AB>CD。 6. 选择题 B（半圆是弧的一种，弦不一定是直径，过圆心的线段需两端在圆上才是直径，同心圆半径不同）。 C（直径所对圆周角为直角，四个角都是直角的四边形是矩形）。 B（等弧需同圆或等圆中长度和弯曲程度都相等；直径是特殊的弦）。 7. 填空题 ①②③（④同一条弦所对的优弧和劣弧不等）。 5 cm（设半径为r，最长距离=r+OP，最短距离=r-OP，∴(r+OP)+(r-OP)=7+3=10，解得r=5）。 4 cm（D是BC中点，O是AB中点，∴OD是△ABC的中位线，AC=2OD=4）。 8. 证明：AD=BC 解析： ∵OA=OB，OC=OD（同心圆半径），∠AOB=∠AOB（公共角）， ∴△AOD≌△BOC（SAS），∴AD=BC。 9. 证明：△OEF是等腰三角形 解析： 连接OC、OD，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC。 又∵CE=DF，∴△OCE≌△ODF（SAS）， ∴OE=OF，∴△OEF是等腰三角形。 10. 答案：∠A=23° 解析： 连接OB，∵AB=OC=OB=OE（半径）， ∴△ABO和△OBE是等腰三角形。 设∠A=x，则∠AOB=x，∠OBE=∠OEB=2x， ∠EOD=∠A+∠OEB=3x=69°，解得x=23°。 11. 答案：AD=2或8，DB=8或2 解析： 分两种情况： 当点C在AB上方时，OD=OA-AD=5-AD， 在Rt△OCD中，OD2+CD2=OC2，即(5−AD)2+42=52，解得AD=2，DB=8。 当点C在AB下方时，同理可得AD=8，DB=2。 学科网（北京）股份有限公司 $