2.2 圆的对称性 导学案 2025—2026学年苏科版数学九年级上册

2.2 圆的对称性 学习目标： 1、理解圆的对称性及有关性质； 2、能运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题； 3、理解圆的轴对称性及垂径定理的推导； 4、能利用垂径定理进行相关的证明和计算。 情景导入： 轮子绕固定轴心旋转，不论转到什么位置，都与初始位置重合。 一个圆绕圆心旋转任何角度后，都能与原来的图形重合。 知识总结：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 操作思考： 在两张透明纸片上，分别画半径相等的和，并在和中，分别画相等的圆心角和连接（如图）。 问：在所画图中还有哪些相等的线段、相等的弧？（解析见课本） 知识总结：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦 。 符号语言：和'是等圆，且。 ， 。 思考探究： 在同圆或等圆中，如果圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？为什么？ 如果圆心角所对的弦相等呢？ 总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 练习：如图，是的弦，连接，若，则弦，之间的数量关系为（　　） A. B. C. D. 新知学习： 我们知道，将顶点在圆心的周角等分成份， 每一份圆心角是的角。因为同圆中相等的圆心角 所对的弧相等，所以整个圆也被等分成份。我 们把的圆心角所对的弧叫做的弧（如图）。 知识总结： 一般地，的圆心角对着的弧，的弧对着的圆心角。 即：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 例：如图，是的弦，。相等吗?为什么?（课本） 练习： 1、（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2、（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3、如图，在中，，求的度数。 新知学习： 在纸上画，把剪下并折叠，使折痕两旁的部分完全重合，你发现了什么？ （：折痕过圆心） 知识总结：圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴（圆有无数条对称轴）。 思考：现有一张未标明圆心位置的圆形纸片，如何找到它的圆心？ 操作探究： 画和的直径、弦，使,垂足为（如图），在所画图中有哪些相等的线段、相等的弧？（课本操作与思考） 试着加以证明（见课本）： 知识总结：垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 符号语言： （1） （2） （3） 注意：垂径定理中的垂径可以是_____、_____或过圆心的直线或______，其本质是“过圆心”。 例：如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点。相等吗?为什么?（课本例） 垂径定理推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 扩展延伸： 如图，是的两条弦，。与相等吗？为什么？ 垂径定理推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 练习：判断：垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两条（ ）。 垂径定理常见辅助线做法：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分。 课堂练习： 1、（2025·江苏无锡·二模）如图，将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心，，则的半径为 。 、在中，弦于，为直径，若，，则的半径为 。 3、（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知的半径为，弦平行于弦，和之间的距离是 。 4、如图，是的半径，且，分别是的中点。与相等吗？为什么？（课本） 5、如图，点在上，顺次连接，且，。 （1）求的度数； （2）若的半径为2，求的面积。 学科网（北京）股份有限公司 $$