第一章 勾股定理单元同步提升训练 2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册

第1章 勾股定理单元同步提升训练 一．选择题 1．下列各组3个数是勾股数的是（　　） A．4，5，6 B．0.3，0.4，0.5 C．82，152，172 D．5，12，13 2．下列四组线段中，不能构成直角三角形的是（　　） A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．7，24，25 3．直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，若a＝5，c＝13，则b的值为（　　） A．4 B．8 C．12 D．144 4．公园中有两条近似垂直的绿道，一条长45米，一条长60米，现打算再修一条连接两条绿道端点A和B的笔直小径，则小径AB的长可能为（　　） A．15米 B．110米 C．72米 D．120米 5．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（　　） A．4＜h＜5 B．5＜h＜6 C．5≤h≤6 D．4≤h≤5 7．图中的四边形均为正方形，三角形为直角三角形，最大的正方形的边长为7cm，则图中A、B两个正方形的面积之和为（　　） A．28cm2 B．42cm2 C．49cm2 D．63cm2 8．三个正方形如图所示放置，已知两边的两个正方形的面积为2和3，则中间的一个大正方形的面积为（　　） A．5 B．6 C．9 D．13 9．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（　　） A．2m B．3m C．3.5m D．4m 10．某校开展数学文化节，向同学们征集文化节LOGO，小明利用古希腊医学家希波克拉底所画图形进行设计．如图，分别以Rt△ABC的边AB，BC，AC为直径向外画半圆．若要求△ABC的面积，只要知道（　　） A．月形图形AECD的面积 B．月形图形BGCF的面积 C．月形图案BGCF的面积与月形团AECD的面积之差 D．月形图案BGCF的面积与月形团AECD的面积之和 二．填空题 11．一个三角形的三边长的比为3：4：5，且其周长为24cm，则其面积为　 　 ． 12．如图，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是　 　 ． 13．一个三角形花坛的三边长分别为7m，24m，25m，则这个花坛的面积是　 　 m2． 14．如图，太原某公园安装的摄像头支架由水平、竖直方向的AB，BC两段构成．若BC＝5cm，AC＝13cm，则AB段的长为 　 　 cm． 15．如图，四边形A、B、C、D、E都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为5，14，6，则正方形D的边长为 　 　 ． 16．如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端刚好落在地面上，此处离树底部 　 　 m处． 17．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为2，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，CD是边AB上的中线，则CD的长为 　 　 ． 18．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于点D，M为AD上任意一点，则MC2﹣MB2＝　 　 ． 三．解答题 19．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2﹣EA2＝AC2． （1）求证：∠A＝90°； （2）若AC＝6，BD＝5，求△AEC的周长． 20．如图是一块地，已知AB＝8m，BC＝6m，∠B＝90°，AD＝26m，CD＝24m， 求这块地的面积． 21．如图，一次台风过后，一根垂直于地面的旗杆被台风从离地面3米的点A处吹断，倒下的旗杆的顶端C落在距离旗杆底部点B4米处，求这根旗杆被吹断前的高度． 22．如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在格点上． （1）求三角形的周长； （2）判断△ABC的形状，并说明理由； （3）求AB边上的高h． 23．如图，学校操场边有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC，AB＝8m，BC＝17m，CD＝9m，AD＝12m．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理． （1）求出空地ABCD的面积． （2）若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需投入多少元？ 24．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图①，若∠C＝90°则有a2+b2＝c2.若△ABC为锐角三角形时，小明猜想：a2+b2＞c2，理由如下：如图②，过点A作AD⊥CB于点D，设CD＝x，在Rt△ADC中，AD2＝b2﹣x2，在Rt△ADB中，AD2＝c2﹣（a﹣x）2， ∴b2﹣x2＝c2﹣（a﹣x）2，整理得a2+b2＝c2+2ax，a＞0，x＞0，2ax＞0，∴a2+b2＞c2． ∴当△ABC为锐角三角形时，a2+b2＞c2，小明的猜想是正确的． （1）请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系． （2）证明你猜想的结论是否正确． 25．周末，启智数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源． 测量数据 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段BC）．勘测组测量了相关数据，并画出如图所示的示意图，测得人放风筝的手与风筝的水平距离BD的长为15m，风筝线BC的长为25m，牵线放风筝的手到地面的距离BA的长为1.7m． 数据处理组得到数据以后做了认真分析，请你帮助他们完成以下任务： （1）根据测量所得数据，则风筝离地面的垂直高度CE＝ 　 　 m； （2）若风筝沿CE方向下降了12m到达点M，BD的长度不变，求要回收多少米的风筝线？ 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C C C C A D D 二．填空题 11．解：设三边长为3xcm，4xcm，5xcm， ∵（3x）2+（4x）2＝（5x）2， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠C＝90°， ∵周长为24cm， ∴3x+4x+5x＝24， 解得：x＝2， ∴3x＝6，4x＝8， ∴它的面积为：6×8＝24（cm2）， 故答案为：24cm2． 12．解：设大正方形的边长为c，直角三角形的小直角边为a， ∵大正方形的面积是169， ∴c＝13， ∵直角三角形的长直角边是12， ∴a5， ∴小正方形的边长＝12﹣5＝7， ∴小正方形的面积＝49， 故答案为：49． 13．解：由242+72＝252， 故该三角形是直角三角形， 故直角三角形的面积为（m2）， 即这个花坛的面积为84m2， 故答案为：84． 14．解：在Rt△ABC中，BC＝5cm，AC＝13cm， 由勾股定理得：AB12（cm）， 故答案为：12． 15．解：四边形A、B、C、D、E都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，由题意知：SA+SB＝SE，SC+SE＝SD， ∵正方形A、B、C的面积依次为5，14，6， ∴SD＝SA+SB+SC＝5+14+6＝25， ∴正方形D的边长为， 故答案为：5． 16．解：设树顶端落在离树底部x米处，由题意得： 62+x2＝（16﹣6）2， 解得：x1＝8，x2＝﹣8（不合题意舍去）． 故答案为：8． 17．解：由勾股定理得：AC2＝12+22＝5，BC2＝42+22＝20，AB2＝32+242＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∵CD是边AB上的中线， ∴CDAB＝2.5， 故答案为：2.5． 18．解：由AB＝6，AC＝9，AD⊥BC， 得MC2﹣MB2＝MD2+CD2﹣（MD2+DB2）＝CD2﹣DB2＝CD2+AD2﹣（DB2+AD2）＝CA2﹣AB2＝92﹣62＝45． 故答案为：45． 三．解答题 19．证明：（1）∵D是BC的中点，DE⊥BC， ∴EB＝EC， ∵BE2﹣EA2＝AC2， ∴EC2﹣EA2＝AC2， ∴EC2＝EA2+AC2， ∴∠A＝90°； （2）∵D是BC的中点，BD＝5， ∴BC＝2BD＝10， ∵∠A＝90°，AC＝6， ∴AB， ∵EB＝EC， ∴△AEC的周长＝AE+EC+AC＝AE+EB+AC＝AB+AC＝6+8＝14． 20．解：连接AC， 因为∠B＝90°，所以直角△ABC中，由勾股定理得： AC2＝AB2+BC2， AC2＝82+62， AC2＝100， AC＝10m，又CD＝24m，AD＝26m， 所以△ACD中，AC2+CD2＝AD2， 所以△ACD是直角三角形， 所以S四边形ABCDAC•CDAB•BC， S四边形ABCD10×246×8 ＝120﹣24 ＝96（m2）． 答：该草坪的面积为96m2． 21．解：根据题意，得AB＝3米，BC＝4米，∠ABC＝90°， ∴AC5（米）， ∴AC+AB＝3+5＝8（米）， 答：根旗杆被吹断裂前高为8米 22．解：（1）由题意得：AB2＝32+42＝25， AC2＝12+22＝5， CB2＝22+42＝20， ∴AB＝5，AC，BC2， ∴三角形的周长＝AB+AC+BC＝525+3； （2）△ABC是直角三角形， 理由：∵AC2+BC2＝5+20＝25，AB2＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形； （3）∵△ABC是直角三角形， ∴△ABC的面积AB•hAC•BC， ∴AB•h＝AC•BC， ∴5h2， 解得：h＝2． 23．解：（1）∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∴AC15（m）， ∵CD＝9m，AD＝12m， ∴AD2+CD2＝122+92＝225＝AC2， ∴△ACD是直角三角形，∠D＝90°， ∴需要绿化的空地ABCD的面积＝S△ABC+S△ACDAB•ACAD•CD8×1512×9＝114（m2）． 答：空地ABCD的面积为114m2； （2）114×100＝11400（元）． 答：总共需投入11400元． 24．解：（1）当△ABC为钝角三角形且∠C为钝角时，a2+b2＜c2； （2）证明如下：如图③，过点A作AE⊥CB，交BC的延长线于E， 设CE＝x，则BE＝a+x， 在Rt△AEC中，AE2＝b2﹣x2， 在Rt△AEB中，AE2＝c2﹣（a+x）2， ∴b2﹣x2＝c2﹣（a+x）2， 整理得a2+b2＝c2﹣2ax， ∵a＞0，x＞0，2ax＞0， ∴a2+b2＜c2， ∴当△ABC为钝角三角形且∠C为钝角时，a2+b2＜c2． 25．解：（1）由题意，得：DE＝AB＝1.7米， 在Rt△CDB中， 由勾股定理得，CD＝20， 所以，CE＝CD+DE＝20+1.7＝21.7（米）， 答：风筝的高度CE为21.7米， 故答案为：21.7； （2）设此时风筝下降到点M，由题意得， DM＝20﹣12＝8（米）， ∵BD＝15米， ∴BM17（米）， ∴25﹣17＝8（米）， ∴此时要回收8米的风筝线． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/7 10:38:35；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $