第四章 一次函数 单元培优测试题 2025—2026学年北师大版八年级数学上册

第四章 一次函数 单元培优测试题 2025—2026学年北师大版八年级数学上册 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1.下列函数为一次函数的是 ( ) 3.已知变量y与x的关系满足下表，则y与x之间的函数表达式是 ( ) A. y=-2x B. y=x+4 C. y=-x+2 D. y=2x-2 2．关于正比例函数y=2x的图象，下列叙述错误的是（　　） A．点（﹣1，﹣2）在这个图象上 B．函数值y随自变量x的增大而减小 C．图象关于原点对称 D．图象经过一、三象限 3．一次函数的图象经过的象限是 （    ） A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、二、四 D．一、三、四 4．在平面直角坐标系中，正比例函数y ＝kx（k＜0）的图象的大致位置只可能是（    ） A．B．C． D． 5．若、在函数的图象上，则、的关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 6．一次函数y＝﹣2x+3上有两点（﹣2，y1）和（0，y2），则y1与y2的大小（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法比较 7．在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，两车同时出发，甲车先到达目的地，图中的折线段表示甲，乙两车之间的距离y（km）与行驶时间x（h）的函数关系，下列说法不正确的是（    ） A．甲乙两车出发2h后相遇 B．甲车速度是40km/h C．相遇时乙车距离A地120km D．乙车到A地比甲车到B地迟 8.已知关于x的方程 mx+3=4的解为x=1,则直线y=(2m-1)x-3一定不经过 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 9．直线：向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度平移后的直线解析式是什么？（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知直线AB：分别交x轴、y轴于点B、A两点，C（3，0），D、E分别为线段AO和线段AC上一动点，BE交y轴于点H，且AD=CE．当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（　　） A.（0，） B．（0，5） C．（0，4） D．（0，） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．使函数有意义的x的取值范围是 ______． 12．两直线和的图象如图所示，则关于x的一元一次方程的解是 ． 13．已知一次函数（k是常数且）的图象始终经过点，则a的值为 ． 14.如图，直线l的函数表达式为y=x，点A 的坐标为( 于点 B，则 的面积为 . 15．一次函数的图象过点，，与轴交于点，在平面内找到点，使得以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16．已知一次函数的图象过点和点，求这个一次函数的解析式． 17．已知y是的正比例函数，并且当时，． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)求时x的值． 18．如图，直线y=kx-6经过点A（4，0），直线y=-3x+3与x轴交于点B，且两直线交于点C． （1）求k的值； （2）求△ABC的面积. 19．某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，若甲种玩具的进价为每件30元，乙种玩具的进价为每件27元； （1）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受七折优惠；若购进x（x＞0）件甲种玩具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系； （2）在（1）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱． 20．已知两条直线和． (1)在同一坐标系内作出它们的图象； (2)求出它们的交点A坐标； (3)求出这两条直线与x轴围成的三角形的面积． 21．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、B，直线与直线y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）关于x轴对称，直线y=ax+b与y轴交于点C． （1）求a,b的值； （2）点P是直线AC上的动点，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标． 22．如图，在平面直角坐标系中，，点为x轴上一动点，点P与点Q关于直线对称． (1)如图1，直接写出点Q的坐标；（用含n的式子表示） (2)如图2，当时，连接，过点Q作于点D，交于点E． ①若，求的度数（用含α的式子表示）； ②求点E的坐标（用含n的式子表示）． 23．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求点C和点D的坐标； （2）y轴上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24.如图，长方形OABC是一张放在平面直角坐标系中的纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，( .在AB上取一点M，使得 沿CM 翻折后，点B落在x轴上，记作点 (1)求点. 的坐标. (2)求折痕CM所在直线的函数表达式. (3)在坐标轴上是否存在一点 P，使 的面积为12? 若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 25．【模型建立】 （1）如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：≌． 【模型应用】 （2）如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点顺时针旋转至直线，求直线的函数表达式； 【思维拓展】 （3）直线与轴交于点，点是轴上的动点，平面内有一点．试探究能否成为等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不能，请说明理由． 参考答案 第四章 一次函数 单元培优测试题 2025—2026学年北师大版八年级数学上册 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1.下列函数为一次函数的是 ( B ) 3.已知变量y与x的关系满足下表，则y与x之间的函数表达式是 ( C ) A. y=-2x B. y=x+4 C. y=-x+2 D. y=2x-2 2．关于正比例函数y=2x的图象，下列叙述错误的是（　B　） A．点（﹣1，﹣2）在这个图象上 B．函数值y随自变量x的增大而减小 C．图象关于原点对称 D．图象经过一、三象限 3．一次函数的图象经过的象限是 （  C  ） A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、二、四 D．一、三、四 4．在平面直角坐标系中，正比例函数y ＝kx（k＜0）的图象的大致位置只可能是（  A  ） A．B．C． D． 5．若、在函数的图象上，则、的关系是（  C  ） A． B． C． D．不能确定 6．一次函数y＝﹣2x+3上有两点（﹣2，y1）和（0，y2），则y1与y2的大小（　A　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法比较 7．在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，两车同时出发，甲车先到达目的地，图中的折线段表示甲，乙两车之间的距离y（km）与行驶时间x（h）的函数关系，下列说法不正确的是（ B   ） A．甲乙两车出发2h后相遇 B．甲车速度是40km/h C．相遇时乙车距离A地120km D．乙车到A地比甲车到B地迟 8.已知关于x的方程 mx+3=4的解为x=1,则直线y=(2m-1)x-3一定不经过 ( B ) A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 9．直线：向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度平移后的直线解析式是什么？（ B   ） A． B． C． D． 10．如图，已知直线AB：分别交x轴、y轴于点B、A两点，C（3，0），D、E分别为线段AO和线段AC上一动点，BE交y轴于点H，且AD=CE．当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（　C　） A.（0，） B．（0，5） C．（0，4） D．（0，） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．使函数有意义的x的取值范围是 __x≥-3____． 12．两直线和的图象如图所示，则关于x的一元一次方程的解是 x=2 ． 13．已知一次函数（k是常数且）的图象始终经过点，则a的值为 2 ． 14.如图，直线l的函数表达式为y=x，点A 的坐标为( 于点 B，则 的面积为 1 . 15．一次函数的图象过点，，与轴交于点，在平面内找到点，使得以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，则点的坐标为_( 3,)( -1,)(-, )( ,-) ． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16．已知一次函数的图象过点和点，求这个一次函数的解析式． 解：设这个一次函数的解析式为 将点和点，代入得， ， 解得：， ∴这个一次函数的解析式为． 17．已知y是的正比例函数，并且当时，． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)求时x的值． 18．如图，直线y=kx-6经过点A（4，0），直线y=-3x+3与x轴交于点B，且两直线交于点C． （1）求k的值； （2）求△ABC的面积. 19．某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，若甲种玩具的进价为每件30元，乙种玩具的进价为每件27元； （1）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受七折优惠；若购进x（x＞0）件甲种玩具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系； （2）在（1）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱． 20．已知两条直线和． (1)在同一坐标系内作出它们的图象； (2)求出它们的交点A坐标； (3)求出这两条直线与x轴围成的三角形的面积． 解：（1）中，令，则，解得：，令，则， 所以与x轴交于点，与y轴交于点， 中，令，则，解得：，令，则， 所以与x轴交于点，与y轴交于点， 图象如图所示： （2） 解得 （3） 答：这两条直线与轴围成的三角形的面积为3个平方单位 21．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、B，直线与直线y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）关于x轴对称，直线y=ax+b与y轴交于点C． （1）求a,b的值； （2）点P是直线AC上的动点，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标． 解：（1）令x=0，则y=-2， ∴B（0，-2）， 令，解得x=4， ∴A（4，0）， ∵直线与直线y=ax+b关于x轴对称， ∴由题可得点C（0，2）， 把点A（4，0），C（0，2）代入y=ax+b得， 解得； （2）直线y=ax+b的解析式为， 设点P的横坐标为m,则， 由题可得BC=4，OA=4， ∴，， ①当点P在x轴上方时， S△ABP=S△ABC-S△BCP=8-2m=6， ∴m=1， ∴此时点； ②当点P在x轴下方时， S△ABP=S△BCP-S△ABC=2m-8=6， ∴m=7， ∴此时点； 综上，点P的坐标为或． 22．如图，在平面直角坐标系中，，点为x轴上一动点，点P与点Q关于直线对称． (1)如图1，直接写出点Q的坐标；（用含n的式子表示） (2)如图2，当时，连接，过点Q作于点D，交于点E． ①若，求的度数（用含α的式子表示）； ②求点E的坐标（用含n的式子表示）． 23．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求点C和点D的坐标； （2）y轴上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）令x=0得：y=4， ∴B（0，4）． ∴OB=4， 令y=0得：， 解得：x=3， ∴A（3，0）． ∴OA=3． 在Rt△OAB中，， ∵AC=AB=5， ∴OC=OA+AC=3+5=8， ∴C（8，0）． 设OD=x,则CD=DB=x+4． 在Rt△OCD中，DC2=OD2+OC2，即（x+4）2=x2+82， 解得：x=6， ∴D（0，-6）． 故C（8，0），D（0，-6）； （2）存在，理由如下： ∵， ∴． ∵点P在y轴上，S△PAB=12， ∴BP•OA=12，即×3BP=12， 解得：BP=8， ∴P点的坐标为（0，12）或（0，-4）． 24.如图，长方形OABC是一张放在平面直角坐标系中的纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，( .在AB上取一点M，使得 沿CM 翻折后，点B落在x轴上，记作点 (1)点的坐标是_________. (2)求折痕CM所在直线的函数表达式. (3)在坐标轴上是否存在一点 P，使 的面积为12? 若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 25．【模型建立】 （1）如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：≌． 【模型应用】 （2）如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点顺时针旋转至直线，求直线的函数表达式； 【思维拓展】 （3）直线与轴交于点，点是轴上的动点，平面内有一点．试探究能否成为等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不能，请说明理由． 解：（1）证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图，过点作交于点，过点作平行于轴的直线，过点、点分别作直线的垂线，垂足分别为、， 将直线绕点顺时针旋转至直线， ， ， 是等腰直角三角形， ， 同（1）可得，， ，， 直线：与轴交于点，与轴交于点， ，， ，， 点的坐标为，， 设的函数表达式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的函数表达式为； （）解：能成为等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， ， 设，又， 当为直角顶点时，过作轴于，如图： ，，， ， ，， ， 解得， ； 当为直角顶点时，过作轴交轴于，过作于，如图： 同理可得， ，， ， 解得， ； 当为直角顶点，在轴负半轴时，过作轴于，如图： ，，， ， ，， ， 解得， ； 当为直角顶点，在轴正半轴时，过作轴于，如图： 同理可得， ，， ， 解得， ； 综上所述，当点的坐标为或或或时，为等腰直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $