1.3勾股定理应用 同步训练 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

2025-2026学年度北师版八年级上册勾股定理应用题 目录 （一） 最短路径问题 2 （二） 旗杆高度问题 7 （三） 梯子滑动问题 9 （四） 荡秋千问题 10 （五） 勾股定理线段转化 12 （六） 勾股定理面积问题 15 （1） 最短路径问题 1. 如图，在△ABC中，有一点P在BC边上移动，若AB＝AC＝5，BC＝6，则AP的最小值为（　　） A．4.8 B．5 C．4 D．3 2. 如图，若圆柱的底面周长是14cm，高是48cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是 　 　cm． 3. 如图是学校艺术馆中的柱子，高4.5m．为迎接艺术节的到来，工作人员用一条花带从柱底向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是2m，则这条花带至少需要　 　m． 4. 如图，一个圆柱体高20cm，底面半径为5cm，在圆柱体下底面的A点处有一只蜘蛛，它想吃底面与A点相对的B点处的已经被黏住的苍蝇，这只蜘蛛从A点出发，沿着圆柱体的侧面爬到B点，最短路程是 ___cm（π取3） 5. 如图有一圆柱，它的高是2cm，底面直径是4cm（π＝3）在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程　 　． 6. 如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝cm，高BC＝12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为（　　） A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm 7. 2021年9月23日是第四个中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱状粮仓模型，如图所示，是底面直径，是圆柱的高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，且装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为 _________ ． 8. 如图，一只小蚂蚁要从A点沿长方体木块表面爬到B点处吃蜜糖．已知长方体木块的长、宽、高分别为10cm、8cm、6cm，则小蚂蚁爬行的最短距离　 　cm． 9. 有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为，高为，在杯子内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为16cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（　　） A．20cm B．4cm C．10cm D．2cm 11. 现有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为10cm，高为12cm，在杯子内壁离容器底部3.5cm的点B处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿3.5cm的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（　　） A．13cm B．10cm C． D．17cm 12. 我国是历史上较早发现并运用“勾股定理”的国家之一，“勾股定理”描述了直角三角形三条边长之间的关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，请运用“勾股定理”解决以下问题：如图，一个底面半径为，高为的圆柱形饮料罐，将一根笔直的吸管从顶面正中的小圆孔插入饮料罐，若罐壁厚度和顶部圆孔直径均忽略不计，则吸管在饮料罐内部的最大长度是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，在长方体透明容器（无盖）内的点B处有一滴糖浆，容器外A点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为5cm，宽为3cm，高为4cm，点A距底部1cm，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（　　） A． B．10cm C． D． 14. 如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm的点M处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm的点N处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（ ） A 5cm B. 4cm C. D. 15cm 15. 阅读小明的探究学习过程，并解答后续的问题． 如图1，一个长方体盒子，长AB＝12cm，宽BC＝8cm，高CG＝8cm． 探究1：在盒子外表面从点A到点G粘贴装饰条，求装饰条的最小长度为多少？ 探究2：这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为多少？ 小明的解法：探究1：将长方体盒子的两个侧面展开成如图2所示的平面图形，在Rt△ACG中，AG＝＝（cm）． （1）对于探究1，小明的做法你认为是否正确？如果不正确，写出你的做法； （2）帮助小明完成探究2． 16. 如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1km，BD＝3km，CD＝3km．现在河边CD上建一水厂分别向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米． （1）请你在河CD边上作出水厂位置O，使铺设水管的费用最省； （2）求出铺设水管的总费用． （2） 旗杆高度问题 17. 如图，从帐篷支撑竿的顶部向地面拉一根绳子固定帐篷．若绳子的长度为，地面固定点到帐篷支撑竿底部的距离是，则帐篷支撑竿的高是多少？ 18. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆AB的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为9米． （1）求旗杆AB的高度； （2）小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即CD的长）？（≈2.24，结果保留1位小数） （3） 梯子滑动问题 19. 《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题： “今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺） 设木杆长x尺，依题意，列方程是　 　． 20. 如图，滑杆在机械槽内运动，为直角，已知滑杆长，顶端A在上运动，量得滑杆底端B距点C的距离为，当底端B向右移动达点D，顶端A到达点E时，求滑杆顶端A下滑________米． 21. 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定，现有一长度为的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端到地面的距离约为______．（精确到） 22. 消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到米（即米），消防车高米，救人时云梯伸长至最长，在完成从米（即米）高的处救人后，还要从米（即米）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ （4） 荡秋千问题 23. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　） A. B. C. D. 24. 如图，小明（视为小黑点）站在一个高为10米的高台A上，利用旗杆OM顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B.那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度MN是（ ） A. 2米 B. 2.2米 C. 2.5米 D. 2.7米 25. 如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态． （1）根据题意，BF＝　 　m，BC＝　 　m，CD＝　 　m； （2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度． （3）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送 　 　m． 26. 有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m（水平距离BC＝6m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝3m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度？ （5） 勾股定理线段转化 27. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上的点，若BD＝6，DC＝9，则AB2﹣AD2的值为 　 　． 28. 如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20海里/小时的速度向南偏东45度方向航行，乙轮船向南偏西45度方向航行．已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距60海里，则乙轮船的速度是（　　） A．20海里/小时 B．20海里/小时 C．10海里/小时 D．40海里/小时 29. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为 _____米． 30. “某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方24米的C处，过了1.5秒后到达B处（BC⊥AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为40米，判断这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？若没有超速，说明理由． 31. 如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC＝8km，B村庄到公路的距离BD＝14km，测得C、D两点的距离为20km，现要在CD之间建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长． 32. 铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距50km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）．已知DA＝20km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离． （6） 勾股定理面积问题 33. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以BC和AC为边向两边分别作正方形，面积分别为S1和S2，已知S1﹣S2＝36，且AB+AC＝8，则BC的长为 　 　． 34. 如图，在中，，以和为边向两边分别作正方形，面积分别为和．已知，且，则的值为（ ） A. 14 B. 10 C. 44 D. 100 35. 如图，两个大正方形的面积分别为132和108，则小正方形的面积为（ ） A. 140 B. C. D. 24 36. 如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是（　　） A．121 B．144 C．169 D．196 37. 如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若AB＝，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．5 38. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝　 　． 39. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以它的三边为边分别向外作正方形，面积分别为S1，S2，S3，已知S1＝5，S2＝12，则S3的值为（　　） A．13 B．17 C．7 D．169 40. 如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝3，BE＝4，则阴影部分的面积是（　　） A．19 B．15 C．12 D．6 41. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的．人们称它为“赵爽弦图”，如果图中直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图中阴影部分的面积为S，那么S的值为（ ） A. 5 B. C. 25 D. 42. 如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为，若，则的值是（ ） A. 12 B. 15 C. 20 D. 30 43. 如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是（　　） A. B. 6 C. 5 D. 44. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是___． 45. 学校计划种植一块草坪，形状为如图所示的四边形ABCD，其中∠B＝90°，AB＝8m，BC＝6m，CD＝24m，AD＝26m．若每种植1平方米草坪成本为450元，求学校种植该草坪的成本为多少． 46. 城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某城市清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．如图，已知，，，，，试求阴影部分的面积． 47. 如图所示，四边形ABCD，∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，求四边形ABCD的面积． 48. 有一块形状为四边形的钢板，量得它的各边长度为AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝17cm，DA＝8cm，∠B＝90°．求这块钢板的面积． 49. 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且AB⊥BC于B． 求（1）∠BAD的度数； （2）四边形ABCD的面积． 50. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度北师版八年级上册勾股定理应用题 目录 （一） 最短路径问题 2 （二） 旗杆高度问题 14 （三） 梯子滑动问题 16 （四） 荡秋千问题 18 （五） 勾股定理线段转化 22 （六） 勾股定理面积问题 26 （1） 最短路径问题 1. 如图，在△ABC中，有一点P在BC边上移动，若AB＝AC＝5，BC＝6，则AP的最小值为（　　） A．4.8 B．5 C．4 D．3 解：如图，P在BC上运动时，由垂线段最短知， 当AP⊥BC时，AP最短， 作AM⊥BC， ∵AB＝BC， ∴BM＝MC＝BC＝3， 在Rt△ABM中，BM2+AM2＝AB2， 即32+AM2＝52， ∴AM＝4， 即AP最最小值为4． 故选：C． 2. 如图，若圆柱的底面周长是14cm，高是48cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是 　 　cm． 【解答】解：如图，圆柱侧面展开图是矩形， 矩形的长为48cm，宽为圆柱的底面周长14cm， 根据勾股定理得： AB＝＝50（cm）， 根据两点之间线段最短，可得丝线的最小长度为50cm， 故答案为：50． 3. 如图是学校艺术馆中的柱子，高4.5m．为迎接艺术节的到来，工作人员用一条花带从柱底向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是2m，则这条花带至少需要　 　m． 【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形， 则有螺旋线长为三个长方形并排后的长方形的对角线长 ∵圆柱高4.5米，底面周长2米， ∴x2＝（2×3）2+4.52＝56.25 所以，x＝7.5， ∴花带长至少是7.5m． 故答案为：7.5． 4. 如图，一个圆柱体高20cm，底面半径为5cm，在圆柱体下底面的A点处有一只蜘蛛，它想吃底面与A点相对的B点处的已经被黏住的苍蝇，这只蜘蛛从A点出发，沿着圆柱体的侧面爬到B点，最短路程是 ___cm（π取3） 【答案】25 【解析】解：如图所示，把圆柱得侧面展开，得到如图所示的图形， 其中：，， 在中，， 所以需爬行的最短路径约是， 故答案为：25． 5. 如图有一圆柱，它的高是2cm，底面直径是4cm（π＝3）在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程　 　． 【解答】解：展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形：矩形的长是圆柱底面周长的一半即4π＝12，矩形的宽是圆柱的高即2． 根据勾股定理得：蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线长即2cm． 如图，沿AC﹣CB爬行，路程＝2+4＝6cm， 故答案为：6cm 6. 如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝cm，高BC＝12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为（　　） A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm 【解答】解：已知如图： ∵圆柱底面直径AB＝cm、母线BC＝12cm，P为BC的中点， ∴圆柱底面圆的半径是cm，BP＝6cm， ∴AB＝×2××π＝8cm， 在Rt△ABP中，AP＝＝＝10（cm）， ∴蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为10cm， 故选：B． 7. 2021年9月23日是第四个中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱状粮仓模型，如图所示，是底面直径，是圆柱的高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，且装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为 _________ ． 【答案】30 【解析】解：如图，圆柱侧面展开图为长方形，，且点为的中点， ，， 装饰带的长度， 故答案为：30． 8. 如图，一只小蚂蚁要从A点沿长方体木块表面爬到B点处吃蜜糖．已知长方体木块的长、宽、高分别为10cm、8cm、6cm，则小蚂蚁爬行的最短距离　 　cm． 【解答】 解： 展开后有三种不同的情况如图， 如图1，AB＝， 如图2，AB＝， 如图3，AB＝， ∵＜＜， ∴小蚂蚁爬行的最短路线为＝2cm． 故答案为：2cm． 9. 有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为，高为，在杯子内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：如图：是侧面展开图一半， 高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与一滴蜂蜜相对的点A处， ，， 将容器侧面展开，作A关于的对称点， 连接，则即为最短距离， ． 故选：A． 10. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为16cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（　　） A．20cm B．4cm C．10cm D．2cm 【解答】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A′， 过A′作A′D⊥AA′交BC的延长线于D， 则四边形A′ECD是矩形， ∴A′D＝EC，A′E＝AE＝CD， 连接A′B，则A′B即为最短距离， ∵高为12cm，底面周长为16cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处， ∴A′D＝8（cm），BD＝12﹣3+AE＝12（cm）， 在Rt△A′BD中，A′B＝＝＝4（cm）． 故选：B． 11. 现有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为10cm，高为12cm，在杯子内壁离容器底部3.5cm的点B处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿3.5cm的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（　　） A．13cm B．10cm C． D．17cm 【解答】解：如图：是侧面展开图的一半， ∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3.5cm的点B处有一滴蜂蜜， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿4.5cm与一滴蜂蜜相对的点A处， ∴A′D＝5（cm），BD＝12﹣3.5+AE＝12（cm）， ∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离， A′B＝＝＝13（cm）． 故选：A． 12. 我国是历史上较早发现并运用“勾股定理”的国家之一，“勾股定理”描述了直角三角形三条边长之间的关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，请运用“勾股定理”解决以下问题：如图，一个底面半径为，高为的圆柱形饮料罐，将一根笔直的吸管从顶面正中的小圆孔插入饮料罐，若罐壁厚度和顶部圆孔直径均忽略不计，则吸管在饮料罐内部的最大长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：根据题意得：吸管在饮料罐内部的最大长度是． 故选：B． 13. 如图，在长方体透明容器（无盖）内的点B处有一滴糖浆，容器外A点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为5cm，宽为3cm，高为4cm，点A距底部1cm，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（　　） A． B．10cm C． D． 【解答】解：将容器的侧面展开，如图所示： 作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离， 由题意得：EC＝4cm，AC＝1cm，BC＝5+3＝8（cm）， ∴AE＝A′E＝EC﹣AC＝4﹣1＝3（cm）， ∴A′C＝A′E+EC＝3+4＝7（cm）， 由勾股定理得：A′B＝＝＝（cm）． 故选：D． 14. 如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm的点M处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm的点N处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（ ） A 5cm B. 4cm C. D. 15cm 【答案】D 【解析】解：①如图1，为圆柱体侧面展开图， 过点作于点，作出点关于底面直径所在直线的对称点，连接， 根据题意可知：，， 在中，根据勾股定理得：， ②如图2，为圆柱体侧面展开图， 过点作于点，作出点关于底面直径所在直线的对称点，连接， 根据题意可知：，， 在中，根据勾股定理得：， ， 小蜘蛛需要爬行的最短距离是的长为， 故选：D． 15. 阅读小明的探究学习过程，并解答后续的问题． 如图1，一个长方体盒子，长AB＝12cm，宽BC＝8cm，高CG＝8cm． 探究1：在盒子外表面从点A到点G粘贴装饰条，求装饰条的最小长度为多少？ 探究2：这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为多少？ 小明的解法：探究1：将长方体盒子的两个侧面展开成如图2所示的平面图形，在Rt△ACG中，AG＝＝（cm）． （1）对于探究1，小明的做法你认为是否正确？如果不正确，写出你的做法； （2）帮助小明完成探究2． 【解答】解：（1）小明的做法不正确，正确的做法如下： 将长方体盒子的两个面展开成平面图形，如图： ∵FG＝BC＝8cm，BF＝CG＝8cm， ∴BG＝BF+FG＝16（cm）， 在Rt△ABG中， AG＝＝＝20（cm）， ∵小明的结果为4，且20＜4， ∴装饰条的最小长度为20cm； （2）如图： ∵AB＝12cm，BC＝AD＝8cm， ∴BD2＝AB2+AD2＝122+82＝208， 又DH＝CG＝8cm， 在Rt△BDH中， BH＝＝＝4（cm）， ∴这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为4cm． 16. 如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1km，BD＝3km，CD＝3km．现在河边CD上建一水厂分别向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米． （1）请你在河CD边上作出水厂位置O，使铺设水管的费用最省； （2）求出铺设水管的总费用． 【解答】解：（1）①水厂位置O如图所示； （2）如图，作出以A′B为斜边的直角三角形， ∵AC＝1km，BD＝3km，CD＝3km， ∴A′E＝CD＝3km，BE＝3+1＝4km， 由勾股定理得，A′B＝＝5km， 20 000×5＝100 000元． 答：铺设水管的总费用100000元． （2） 旗杆高度问题 17. 如图，从帐篷支撑竿的顶部向地面拉一根绳子固定帐篷．若绳子的长度为，地面固定点到帐篷支撑竿底部的距离是，则帐篷支撑竿的高是多少？ 【答案】 【解析】解：由题意可得，，， ∴由勾股定理得：， ∴帐篷支撑竿的高是4.8m． 18. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆AB的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为9米． （1）求旗杆AB的高度； （2）小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即CD的长）？（≈2.24，结果保留1位小数） 【解答】解：（1）设旗杆AB的高度为x米，则AC为（x+3）米， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+92＝（x+3）2， 解得：x＝12， 答：旗杆AB的高度为12米； （2）如图，过E作EG⊥AB于点G， 则四边形BDEG是矩形， ∴BG＝DE＝2米，EG＝BD， ∴AG＝AB﹣BG＝12﹣2＝10（米）， 由（1）可知，AE＝AC＝12+3＝15（米）， 在Rt△AGE中，由勾股定理得：EG＝＝＝5（米）， ∴BD＝5米， ∴CD＝BD﹣BC＝（5﹣9）米≈2.2米， 答：小明需要后退约2.2米． （3） 梯子滑动问题 19. 《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题： “今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺） 设木杆长x尺，依题意，列方程是　 　． 【解答】解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x﹣1）尺， 在Rt△ABC中， ∵AC2+BC2＝AB2， ∴102+（x﹣1）2＝x2， 故答案为：102+（x﹣1）2＝x2． 20. 如图，滑杆在机械槽内运动，为直角，已知滑杆长，顶端A在上运动，量得滑杆底端B距点C的距离为，当底端B向右移动达点D，顶端A到达点E时，求滑杆顶端A下滑________米． 【答案】5 【详解】解：由题意，在中，，， ∴， ∴； 在中，，， ∴， ∴， ∴， 故滑杆顶端A下滑5米， 故答案为：5． 21. 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定，现有一长度为的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端到地面的距离约为______．（精确到） 【答案】 【解析】解：如图所示，在中，， ∴由勾股定理可得， ∴当梯子稳定摆放时，它的顶端到地面的距离约为， 故答案为：． 22. 消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到米（即米），消防车高米，救人时云梯伸长至最长，在完成从米（即米）高的处救人后，还要从米（即米）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 【解析】解：由题意可得米， ∵米，米， ∴（米），（米）， 在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， 答：这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． （4） 荡秋千问题 23. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解，找到直角三角形，利用勾股定理是解决问题的关键． 【详解】由题意可知，， ∴． 设的长为，则， 所以． 在直角中，，即， 解得：． 故选：B． 24. 如图，小明（视为小黑点）站在一个高为10米的高台A上，利用旗杆OM顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B.那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度MN是（ ） A. 2米 B. 2.2米 C. 2.5米 D. 2.7米 【答案】A 【解析】 作AE⊥OM，BF⊥OM， ∵∠AOE+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90° ∴∠AOE=∠OBF 在△AOE和△DBF中， ∠OEA=∠BFO ∠AOE=∠OBF OA=OB ∴△AOE≌△DBF（AAS）， ∴OE=BF，AE=OF 即OE+OF=AE+BF=CD=17（m） ∵EF=10-3=7 ∴OE=5，OF=12 ∴OM=OF+FM=15m 由勾股定理得ON=OA=13 ∴MN=15-13=2（m） 故答案选择A. 25. 如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态． （1）根据题意，BF＝　 　m，BC＝　 　m，CD＝　 　m； （2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度． （3）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送 　 　m． 【解答】解：（1）由题意得：BF＝1.6m，BC＝3m，DE＝0.6m， ∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE， ∴四边形BCEF是矩形， ∴CE＝BF＝1.6m， ∴CD＝CE﹣DE＝1.6﹣0.6＝1（m）， 故答案为：1.6，3，1； （2）∵BC⊥AC， ∴∠ACB＝90°， 设秋千的长度为xm， 则AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， 即（x﹣1）2+32＝x2， 解得：x＝5（m）， 即秋千的长度是5m； （3）当BF＝2.6m时，CE＝2.6m， ∵DE＝0.6m， ∴CD＝CE﹣DE＝2.6﹣0.6＝2（m）， 由（2）可知，AD＝AB＝5m， ∴AC＝AD﹣CD＝5﹣2＝3（m）， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝4（m）， 即需要将秋千AD往前推送4m， 故答案为：4． 26. 有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m（水平距离BC＝6m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝3m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度？ 【解答】解：设秋千的绳索长为xm，根据题意可列方程为： x2＝62+（x﹣2）2， 解得：x＝10， 答：绳索AD的长度是10m． （5） 勾股定理线段转化 27. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上的点，若BD＝6，DC＝9，则AB2﹣AD2的值为 　 　． 【解答】解：∵BD＝6，DC＝9， ∴BC＝BD+DC＝15， 在Rt△ABC与Rt△ACD中，由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，AD2＝AC2+CD2， ∴AB2﹣AD2＝BC2﹣CD2＝152﹣92＝144， 故答案为：144． 28. 如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20海里/小时的速度向南偏东45度方向航行，乙轮船向南偏西45度方向航行．已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距60海里，则乙轮船的速度是（　　） A．20海里/小时 B．20海里/小时 C．10海里/小时 D．40海里/小时 【解答】解：由条件得：OB＝20×2＝40（海里），AB＝60（海里）， ∴OA＝＝＝20（海里）， ∴乙轮船的速度是20÷2＝10（海里/小时）． 故选：C． 29. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为 _____米． 【答案】1.6 【解析】解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示： 则CD=BE，DE=BC=1.2米=米， 在Rt△ADE中，AD=1.5米=米， 由勾股定理得：AE= =0.9（米）， ∴BE=AB-AE=2.5-0.9=1.6（米）， ∴CD=BE=1.6米， 故答案为：1.6． 30. “某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方24米的C处，过了1.5秒后到达B处（BC⊥AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为40米，判断这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？若没有超速，说明理由． 【解答】解：小汽车已超速，理由如下： 根据题意得：AC＝24米，AB＝40米，∠ACB＝90°， 在Rt△ACB中，根据勾股定理得：BC＝＝＝32（米）， ∵小汽车1.5秒行驶32米， ∴小汽车行驶速度为76.8千米/时， ∵76.8＞60， ∴小汽车已超速，超速76.8﹣60＝16.8（千米/时）． 31. 如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC＝8km，B村庄到公路的距离BD＝14km，测得C、D两点的距离为20km，现要在CD之间建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长． 【答案】CE＝13.3km． 【解析】设CE＝xkm，则DE＝(20﹣x)km，由AE＝BE根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即得结果． 【详解】解：设CE＝x km，则DE＝(20﹣x)km． 在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE2＝AC2+CE2＝82+x2， 在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2＝BD2+DE2＝142+（20﹣x）2， 由题意可知：AE＝BE， 所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3， 所以CE＝13.3km． 32. 铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距50km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）．已知DA＝20km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离． 【解答】解：如图，连接CD，并作线段CD的垂直平分线，与AB相交于点E，点E即为所建土特产收购站的地点． 连接DE，CE，设AE＝x km，则BE＝（50﹣x） km， 在Rt△ADE中，DE2＝DA2+AE2， ∴DE2＝202+x2， 在Rt△BCE中，CE2＝CB2+BE2， ∴CE2＝102+（50﹣x）2， 又∵DE＝CE， ∴202+x2＝102+（50﹣x）2， 解得x＝22． ∴收购站E到A站的距离为22km． （6） 勾股定理面积问题 33. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以BC和AC为边向两边分别作正方形，面积分别为S1和S2，已知S1﹣S2＝36，且AB+AC＝8，则BC的长为 　 　． 【解答】解：∵∠BAC＝90°， ∴BC2﹣AC2＝AB2， ∵S1﹣S2＝36， ∴BC2﹣AC2＝36， ∴AB2＝36， ∴AB＝＝6， ∵AB+AC＝8， ∴AC＝2， ∴BC＝＝＝2， 故答案为：2． 34. 如图，在中，，以和为边向两边分别作正方形，面积分别为和．已知，且，则的值为（ ） A. 14 B. 10 C. 44 D. 100 【答案】D 【解析】解：， ， ， ， ， 故选D． 35. 如图，两个大正方形的面积分别为132和108，则小正方形的面积为（ ） A. 140 B. C. D. 24 【答案】D 【解析】解：由题知，三个正方形围成的直角三角形三边长的平方就是三个正方形的面积, 根据勾股定理得小正方形的面积为． 故选：D． 36. 如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是（　　） A．121 B．144 C．169 D．196 【分析】观察图形可得直角三角形的较短的直角边加上小正方形的边长刚好等于直角三角形的较长直角边的长，根据勾股定理即可求得直角三角形斜边的长，从而得到了大正方形的边长，从而求得大正方形的面积． 解：∵直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7， ∴直角三角形的较长直角边＝5+7＝12， ∴直角三角形斜边长＝13， ∴大正方形的边长是13， ∴大正方形的面积是13×13＝169． 故选：C． 37. 如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若AB＝，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．5 【解答】解：S阴影＝AC2+BC2+AB2＝（AB2+AC2+BC2）， ∵AB2＝AC2+BC2＝5， ∴AB2+AC2+BC2＝10， ∴S阴影＝×10＝5． 故选：D． 38. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝　 　． 【解答】解：如图，连接BD， 由正方形的性质可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2， 在Rt△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2， 即S1+S4＝S3+S2， ∴S2＝135﹣49＝86， 故答案为：86． 39. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以它的三边为边分别向外作正方形，面积分别为S1，S2，S3，已知S1＝5，S2＝12，则S3的值为（　　） A．13 B．17 C．7 D．169 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°， 则AC2+BC2＝AB2， ∴S1+S2＝S3， ∵S1＝5，S2＝12， ∴S3＝5+12＝17． 故选：B． 40. 如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝3，BE＝4，则阴影部分的面积是（　　） A．19 B．15 C．12 D．6 【解答】解：∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AE＝3，BE＝4，由勾股定理得：AB＝5， ∴正方形的面积是5×5＝25， ∵△AEB的面积是AE×BE＝×3×4＝6， ∴阴影部分的面积是25﹣6＝19， 故选：A． 41. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的．人们称它为“赵爽弦图”，如果图中直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图中阴影部分的面积为S，那么S的值为（ ） A. 5 B. C. 25 D. 【答案】D 【解析】解：∵直角三角形的长直角边为9，短直角边为4， ∴小正方形的边长为， ∴阴影部分的面积， 故选：D． 42. 如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为，若，则的值是（ ） A. 12 B. 15 C. 20 D. 30 【答案】C 【解析】设直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，根据题意， ， 因为， 所以， 解得， 即的值是20， 故选C． 43. 如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是（　　） A. B. 6 C. 5 D. 【答案】B 【解答】解：设每个直角三角形的长直角边为a，短直角边为b， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 44. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是___． 【答案】10 【解析】解：如图，根据勾股定理的几何意义，可得： A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3， ∵正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2， ∵最大的正方形E的面积S3=S1+S2=2+5+1+2=10． 故答案为：10． 45. 学校计划种植一块草坪，形状为如图所示的四边形ABCD，其中∠B＝90°，AB＝8m，BC＝6m，CD＝24m，AD＝26m．若每种植1平方米草坪成本为450元，求学校种植该草坪的成本为多少． 【解答】解：连接AC， 因为∠B＝90°，所以直角△ABC中，由勾股定理得 AC2＝AB2+BC2 AC2＝82+62 AC2＝100 AC＝10 又CD＝24 AD＝26 所以△ACD中，AC2+CD2＝AD2 所以△ACD是直角三角形 所以S四边形ABCD＝， ∴S四边形ABCD＝ ＝120﹣24 ＝96（m2） ∴450×96＝43200（元）， 答：学校种植该草坪的成本为43200元． 46. 城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某城市清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．如图，已知，，，，，试求阴影部分的面积． 【答案】阴影部分的面积为 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴阴影部分的面积为． 47. 如图所示，四边形ABCD，∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，求四边形ABCD的面积． 【解答】解：如图，连接BD． 在Rt△ABD中，∵∠A＝90°，AD＝4，AB＝3， ∴BD＝＝＝5， ∵BD2+BC2＝52+122＝169，DC2＝132＝169， ∴BD2+BC2＝CD2， ∴△BDC是直角三角形， ∴S△DBC＝•BD•BC＝×5×12＝30，S△ABD＝•AD•AB＝×3×4＝6， ∴四边形ABCD的面积＝S△BDC+S△ADB＝36． 48. 有一块形状为四边形的钢板，量得它的各边长度为AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝17cm，DA＝8cm，∠B＝90°．求这块钢板的面积． 【解答】解：连接AC，在RT△ABC中，AC＝＝15， 在△ADC中，AD＝8cm，CD＝17cm， 则AC2+AD2＝DC2， 故可得△ADC为直角三角形， 这块钢板的面积＝S△ABC+S△ADC＝AB×BC+AD×AC＝54+60＝114． 49. 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且AB⊥BC于B． 求（1）∠BAD的度数； （2）四边形ABCD的面积． 【分析】（1）由于∠B＝90°，AB＝BC＝2，利用勾股定理可求AC，并可求∠BAC＝45°，而CD＝3，DA＝1，易得AC2+DA2＝CD2，可证△ACD是直角三角形，∠CAD＝90°，从而易求∠BAD的度数； （2）由三角形的面积公式即可得出结果． 解：（1）连接AC， ∵∠B＝90°，AB＝BC＝2， ∴AC＝＝2，∠BAC＝45°， 又∵CD＝3，DA＝1， ∴AC2+DA2＝8+1＝9，CD2＝9， ∴AC2+DA2＝CD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴∠CAD＝90°， ∴∠BAD＝45°+90°＝135°． （2）∴四边形ABCD的面积 ＝△ABC的面积+△ACD的面积 ＝×2×2+×1×2＝2+． 50. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， 答：居民从点A到点C将少走路程． 【小问2详解】 ∵，．， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ， ∴， 答：这片绿地的面积是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $