第22章 二次函数 单元培优练习2025-2026学年人教版九年级数学上册

第22章 二次函数 单元培优练习 一．选择题 1．抛物线y＝x2+2x与x轴的左侧交点坐标是（　　） A．（0，﹣2） B．（2，0） C．（0，0） D．（﹣2，0） 2．把抛物线y＝2x2﹣1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线为（　　） A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x+4）2+2 C．y＝2（x﹣4）2+1 D．y＝2（x+4）2+1 3．抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是直线（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2 4．关于二次函数y＝﹣（x+2）2+3，下列说法正确的是（　　） A．当x＝2时，函数有最小值3 B．当x＝2时，函数有最大值3 C．当x＝﹣2时，函数有最小值3 D．当x＝﹣2时，函数有最大值3 5．在直角坐标系中，设函数，．（　　） A．若a＞b，则函数y1和y2的图象有两个交点 B．若函数y1和y2的值互为相反数，则x＝﹣1 C．当x＝1时，函数y1和y2的值相等 D．函数y1和y2的图象必经过同一个定点 6．如图，抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，AC⊥BC，则ac的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 7．二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … ﹣1 0 1 3 … y … 1 3 4 3 … 下列关于该二次函数的说法，错误的是（　　） A．当x＝4时，y＝1 B．当x＜1时，y随x的增大而增大 C．当x＝1时，y有最大值4 D．当0＜x＜3时，y＞3 8．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）的图象经过点（3，﹣2），与x轴的左交点为A（x1，0）．若﹣1＜x1＜0，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 9．鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹，如图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线．若把对应的抛物线的函数表达式设为y＝ax2+bx+c（a≠0），画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下： x … 1 2 3 4 … y … 0 1 0 ﹣3 … 关于此函数下列说法不正确的是（　　） A．函数图象开口向下 B．当x＝2时，该函数有最大值 C．当x＝0时，y＝﹣3 D．若在函数图象上有两点A（x1，﹣4），，则x1＞x2 10．在平面直角坐标系中，两点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）上，则下列结论中正确的是（　　） A．当x1＜0且y1•y2＜0时，则0＜x2＜2 B．当x1＜0且y1•y2＞0时，则0＜x2＜2 C．当x1＜x2＜1时，则y1＜y2 D．当x1＞x2＞1时，则y1＜y2 11．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+1与二次函数y＝ax2﹣a的图象可能是（　　） A．B． C． D． 12．已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＜0；②b+2a＝0；③a﹣b＜am2+bm（m≠﹣1）；④ax2+bx+c＝0两根分别为x1＝﹣1，x2＝1；⑤4a+2b+c＞0．其中正确的项有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二．填空题 13．已知ax2+bx+c＞0的解集为﹣1＜x＜5，写出a、b、c满足的条件 　 　 ． 14．求y＝（x﹣1）2+2图象沿着直线y＝4翻折后的图象对应的解析式是 　 　 ． 15．把二次函数y＝x2﹣4x+7化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是　 　 ． 16．如图，用一段长为60米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形ABCD菜园，墙长为18米，设矩形菜园的面积为S，AB的长为x，则S关于x的函数关系式是 　 　 ． 17．如图，已知函数y＝2x2与函数y＝﹣ax2+bx的交点为y＝﹣ax2+bx的顶点，阴影部分的面积为2，则a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ． 三．解答题 18．二次函数y＝x2﹣4x+c经过点（0，1）． （1）求二次函数解析式； （2）若m是该二次函数与x轴交点的横坐标，记，求M的值． 19．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，ab≠0）的图象经过（1，0）． （1）若二次函数图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），求该二次函数解析式； （2）若二次函数图象的顶点落在x轴上，求证：a＝c； （3）若二次函数图象的对称轴为直线，当b≥c时，求a2+b2+c2的最小值． 20．某学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图①），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状为抛物线．如图②，已知车棚建在AO，BC两面墙之间，CO为水平地面，AO⊥CO，BC⊥CO．消防喷淋头M安装在距离地面3米高的棚顶AB上，其到墙面AO的水平距离AM为2米，此时最外层的水柱喷射到墙面AO上的点E处，OE＝1米．以O为原点，地面CO所在的水平线为x轴，墙面AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． λ （1）求最外层水柱所在抛物线的表达式； （2）已知车棚的宽度CO为7.5米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖离地面1米高的全部范围．工作人员计划在棚顶AB上安装一个与消防喷淋头M相同型号的消防喷淋头N，请通过计算，确定在满足所需条件时，点N与点M之间的距离MN的取值范围． 21．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），顶点为D． （Ⅰ）当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）当a＞0时，点E（0，1+a），若DEDC，求该抛物线的解析式； （Ⅲ）当a＜﹣1时，点F（0，1﹣a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴上的点，N（m+2，﹣1）是直线l上的动点．当a为何值时，FM+DN的最小值为5？ 22．在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：对于平面内点A（a1，b1）和点Q（0，q）．将点A绕点Q旋转180°后得到点A'（a2，b2），称A′是A关于点Q的“优美点”． 对于函数y1，其图象上所有点关于点Q（0，q）的“优美点”所构成的新函数y2，函数y2称为原函数y1关于点Q的“优美函数”． 例如：A（3，2）和A′（﹣3，6）是关于点Q（0，4）的“优美点”，函数y＝x﹣1和y＝x+9是关于点Q（0，4）的优美函数． （1）下面的函数关于原点的“优美函数”是它本身的有　 　 ． ①y＝2x ②y ③y＝x2+4x+5 （2）若二次函数y＝﹣x2+（1﹣c）x+c﹣2025的图象上始终存在两个不重合的关于原点的“优美点”，求c的范围． （3）①二次函数的图象顶点为A，y1关于原点的“优美函数”y2的图象顶点为B，已知点M（﹣2，1）关于点（0，1）的“优美点”为点N，当y1和y2共同组成的图象与线段MN有且只有一个公共点时，求m的取值范围． ②在①的条件下，y关于m的二次函数y＝m2+4总在正比例函数y＝tm的上方，请直接写出t的范围． 23．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A、C，联结CD． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线上存在一点P，使△ACP的面积是△ACD面积的2倍，求点P的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且A1好落在抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D D B D A A C C D A B 题号 12 答案 B 二．填空题 13．a＜0且b＝﹣4a且c＝﹣5a． 14．y＝﹣（x﹣1）2+6． 15．y＝（x﹣2）2+3． 16．S＝﹣2x2+60x（21≤x＜30）． 17．2；4． 三．解答题 18．解：（1）把（0，1）代入y＝x2﹣4x+c， 解得：c＝1， ∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x+1； （2）根据题意，得：m2﹣4m+1＝0， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（1）解：∵图象过（1，0）， ∴a+b+c＝0． 又∵图象过A（﹣1，4），B（0，﹣1）， ∴ ∴ ∴y＝3x2﹣2x﹣1． （2）证明：∵顶点落在x轴上， ∴b2﹣4ac＝0， ∵a+b+c＝0，且b≠0， ∴（﹣a﹣c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0． ∴a＝c． （3）解：∵抛物线的对称轴为直线，且a+b+c＝0， ∴． ∵b≠0， ∴a＝1， ∴b＝﹣1﹣c． 又b≥c， ∴c≤﹣0.5． ∴将a＝1，b＝﹣1﹣c 代入得a2+b2+c2＝2c2． ∴当c＝﹣0.5时，a2+b2+c2有最小值1.5． 20．解：（1）由题意可知：顶点M的坐标为（2，3），点E的坐标为（0，1）， 则y＝a（x﹣2）2+3（a≠0）， 将点E（0，1）代入，得1＝4a+3， 解得， ∴． （2）解：∵， ∴当y＝1时，，解得x＝0或x＝4． 设抛物线上横坐标为4的点为P，则P（4，1）． 由题意可设消防喷淋头N的最外层水柱所在抛物线的表达式为， 当此抛物线经过点P（4，1）时，有，解得h＝2（舍去）或h＝6， 此时AN＝6米， ∴MN＝AN﹣AM＝4米； 当抛物线经过点（7.5，1）时，有， 解得h＝9.5（舍去）或h＝5.5，此时AN＝5.5米， ∴MN＝AN﹣AM＝3.5米． ∴点N与点M之间的距离MN的取值范围为3.5m≤MN≤4m． 21．解：（I）当a＝1时，因为抛物线y＝ax2﹣2ax+c （a，c 为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1）， ∴c＝﹣1，抛物线y＝x2﹣2x﹣1，该抛物线的顶点坐标（1，﹣2）； （II）当a＞0时， ∵点E（0，1+a），DEDC，D（1，﹣a﹣1）， ∴12+（1+a+a+1）2＝5[12+（﹣1+a+1）2]（a＞0）， 解得a＝0（舍去）或a＝8． ∴该抛物线的解析式y＝8（x﹣1）2﹣9． （Ⅲ）将点D向左平移2个单位，向上平移1个单位得到点D′（﹣1，﹣a）， 作点F关于x轴的对称点F′，则点F′的坐标为（0，a﹣1）， 当满足条件的点M落在F′D′上时，由图象的平移知DN＝D′M，故此时FM+ND最小，理由： ∵FM+ND＝F′M+D′M＝F′D′为最小，即F′D′＝5， 所以F′D′2＝F′H2+D′H2＝（1﹣2a）2+1＝（5）2， 所以a2﹣a﹣12＝0 解得a＝﹣3，a＝4（舍去）． 22．解：（1）y＝2x中，设点（x，2x），则绕原点旋转180°后得（﹣x，﹣2x）， ∵﹣2x＝2×（﹣x）， ∴点（﹣x，﹣2x）在y＝2x上， ∴y＝2x是本身的优美函数； 中，设点，则绕原点旋转180°后得， ∵， ∴点在， ∴是本身的优美函数； y＝x2+4x+5中，取点（0，5），绕原点旋转180°后得（0，﹣5）， 将（0，﹣5）代入函数，﹣5≠02+4×0+5， ∴该点不在原函数上，y＝x2+4x+5不是本身的优美函数． 故答案为：①②； （2）设二次函数y＝﹣x2+（1﹣c）x+c﹣2025上一点（x，y），其关于原点的优美点为（﹣x，﹣y），且（﹣x，﹣y）也在该函数上． 则y＝﹣x2+（1﹣c）x+c﹣2025，﹣y＝﹣（﹣x）2﹣（1﹣c）x+c﹣2025， ∴将两式相加消去y得： 0＝﹣2x2+2（c﹣2025），即x2＝c﹣2025， ∵有两个不重合的优美点， ∴c﹣2025＞0， 解得c＞2025； （3）①点M（﹣2，1）关于点（0，1）的“优美函点”为点N（2，1）， ∴MN∥x轴， ∴MN与y轴的交点为（0，1）， ， y2是y1关于点（0，0）的“优美函数”，， 当y1经过点（0，1）时，1＝02﹣4×0+m，解得m＝1； 当y1经过点N（2，1）时，1＝22﹣4×2+m，解得m＝5； 当y2经过点M（﹣2，1）时，1＝﹣（﹣2+2）2+4﹣m，解得m＝3； 当y2经过点（0，1）时，1＝﹣（0+2）2+4﹣m，解得m＝﹣1； 综上，当y1和y2共同组成的图象与线段MN有且只有一个公共点时，m的取值范围是﹣1≤m＜1或3＜m≤5； ②∵二次函数y＝m2+4正比例函数y＝tm， ∴m2+4＝tm，整理得m2﹣tm+4＝0， ∴当Δ＝t2﹣16＝0时，二次函数y＝m2+4与正比例函数y＝tm相切， 解得t＝﹣4或t＝4， 当t＝4时，m2﹣tm+4＝0化为m2﹣4m+4＝0， 解得m1＝m2＝2； 当t＝﹣4时，m2﹣tm+4＝0化为m2+4m+4＝0， 解得m1＝m2＝﹣2； 当m＝﹣1时，y＝m2+4＝1+4＝5，则y＝m2+4过（﹣1，5）， 当正比例函数y＝tm过（﹣1，5）时，5＝﹣t，解得t＝﹣5， 当m＝1时，y＝m2+4＝1+4＝5，则y＝m2+4过（1，5）， 当正比例函数y＝tm过（1，5）时，t＝5， 当m＝3时，y＝m2+4＝9+4＝13，则y＝m2+4过（3，13）， 当正比例函数y＝tm过（3，13）时，13＝3t，解得， 当m＝5时，y＝m2+4＝25+4＝29，则y＝m2+4过（5，29）， 当正比例函数y＝tm过（5，29）时，29＝5t，解得， ∴当时，y关于m的二次函数y＝m2+4总在正比例函数y＝tm的上方． 23．解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（﹣1，0），把点A、点B的坐标代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）如图1，连接BC， ∵点D是抛物线的对称轴与x轴的交点， ∴AD＝BD， ∴S△ABC＝2S△ACD， ∵S△ACP＝2S△ACD， ∴S△ACP＝S△ABC， 此时，点P与点B重合，即P（﹣1，0）； ∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C， 当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， 直线y＝kx+b1经过点A、C，把点A和点C的坐标代入得： ， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3， 过B（﹣1，0）点作PB∥AC交抛物线于点P， 则直线BP的解析式为y＝﹣x﹣1①， ∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3②， 联立①②解得或， ∴P（4，﹣5）， ∴即点P的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）； （3）在抛物线的对称轴上存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且A1好落在抛物线上；理由如下： 由（1）可知，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， 把x＝1代入直线AC解析式y＝﹣x+3，得y＝﹣1+3＝2， ∴AC与抛物线对称轴的交点M（1，2），如图2： ∴， 又∵AB＝3﹣（﹣1）＝4， ∴BM2+AM2＝AB2， 则△MAB是等腰直角三角形，符合题意， ∴M点即为所求Q点的一种情况； 当Q点在x轴下方时， 设Q为（1，m），m＜0， 线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，过A1作直线DQ的垂线于E点， ∴∠AQA1＝90°，∠ADQ＝∠QEA1＝90°， ∴∠AQD+∠A1QE＝90°，∠QA1E+∠A1QE＝90°， ∴∠QA1E＝∠AQD， 在△ADQ和△QEA1中， ， ∴△ADQ≌△QEA1（ASA）， ∴AD＝QE＝2，DQ＝EA1＝﹣m， ∴A1（1﹣m，m﹣2）， ∵点A1恰好落在抛物线y＝﹣x2+2x+3上， ∴m﹣2＝﹣（1﹣m）2+2（1﹣m）+3， 解得m＝﹣3或m＝2（舍去）， ∴Q（1，﹣3）， 综上，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且A1好落在抛物线上；Q点坐标为（1，2）或（1，﹣3）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/7 10:25:56；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $