第21章《一元二次方程》单元培优练习2025-2026学人教版九年级数学上册

第21章《一元二次方程》单元培优练习 一．选择题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．y＝x2 B．x+2＝x2 C． D．2x+1＝5 2．用配方法解方程x2﹣4x﹣8＝0下列配方正确的是（　　） A．（x+2）2＝8 B．（x﹣2）2＝12 C．（x+2）2＝12 D．（x﹣2）2＝8 3．若k＜0，关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 4．随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年的价格恰为两年前的一半．假设该电子产品每年降价的百分率均为x，则以下所列方程正确的是（　　） A． B．（1+x）2＝2 C． D．（1﹣x）2＝2 5．已知关于x的一元二次方程x2+kx+4＝0有两个不相等的实数根，则k的值可能是（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．4 D．5 6．用配方法解方程x2+6x+7＝0，下面配方正确的是（　　） A．（x+3）2＝﹣2 B．（x+3）2＝2 C．（x﹣3）2＝2 D．（x﹣3）2＝﹣2 7．《九章算术》中有题曰：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多少步？若设甲、乙二人从出发到相遇的时间为x，根据题意，可列方程为（　　） A．（7x﹣10）2＝102+（3x）2 B．（7x﹣10）2+（3x）2＝102 C．（7x﹣10）2+102＝（3x）2 D．（7x+10）2＝102+（3x）2 8．已知m，n是方程x2﹣5x﹣2025＝0的两个实数根，则m2﹣4m+n﹣2的值是（　　） A．2025 B．2028 C．2030 D．4048 9．已知α，β是关于x的方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（　　） A．3 B．3或﹣1 C．1 D．﹣3或1 10．第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）在中国上海举行，会徽（如图）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．小婷设计了一个m进制数165，换算成十进制数是96，则m的值为（　　） A．12 B．7 C．6 D．5 二．填空题 11．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的一个根是x＝1，则m＝ 　 　 ． 12．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+c＝0有两个实数根，则c的取值范围为 　 　 ． 13．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b的形式为　 　 ． 14．若关于x的一元一次方程x2+5x+m＝0有两个实数根x1，x2，若x1x2＝﹣2，则m＝ 　 　 ． 15．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（a+4）x+a2﹣5a+4＝0的一个解为x＝0，则a的值是　 　 ． 16．某种文化衫平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件降价1元，则每天可以多售出10件．如果每天要盈利1080元，请问每件降价多少元？设每件降价x元，则可列方程为 　 　 ． 17．已知a是一元二次方程x2+2x﹣2＝0的一个实数根，求3a2+6a+2025的值为 　 　 ． 三．解答题 18．用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣2x＝5； （2）x（x﹣1）＝2﹣2x； （3）x2﹣5x﹣6＝0． 19．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0． （1）证明：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为x1、x2且满足，求m的值． 20．某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为a＝36米的墙，另三边用总长为59米的篱笆围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD，并在BC边上留有一扇1米宽的门． （1）若围成的花圃面积为400平方米，求AB的长； （2）能否使得围成的花圃面积为500平方米？请说明你的理由． 21．某服装店在销售A，B两款服装时，销售员记录了从4月到6月的销售情况，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题． 素材1 A款服装每销售一件可盈利100元，已知4月份销售量为64件，且销售量逐 月递增，6月份销售量达到100件． B款服装每销售一件可盈利150元，每月的销售量均为80件． 素材2 7月开始换季，服装店仅对A款服装进行降价销售，根据往年数据测算：以6 月份的月销售量为基准，A款服装每降5元，其月销售量增加25件，同时会 使B款服装月销售量减少10件． 素材3 问题1：求6月份销售A，B两款服装的利润之和． 问题2：求A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率． 问题3：为了使7月份销售A，B两款服装的利润之和达到22500元，那么A款服装应降价多少元？ 22．在美丽乡村建设中，梁子湖区某村湾准备开发一块长为35m，宽为22m的长方形空地．现要在空地上修建一个长是宽的1.8倍，面积为486m2的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在25m到32m之间，宽在13m到20m之间．这个篮球场能用作比赛场地吗？并说明理由． 23．在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）． （1）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？ （2）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于104cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B C D B A B A B 二．填空题 11．解：由题意得：12+2×1﹣m＝0， 解得：m＝3， 故答案是：3． 12．解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4c≥0， 解得c； 故答案为：c． 13．解：x2﹣8x﹣5＝0， ∴x2﹣8x＝5， ∴x2﹣8x+16＝5+16， ∴（x﹣4）2＝21， 故答案为：（x﹣4）2＝21． 14．解：由题知， 因为关于x的一元一次方程x2+5x+m＝0有两个实数根x1，x2， 所以x1x2＝m． 又因为x1x2＝﹣2， 所以m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 15．解：∵一元二次方程（a﹣1）x2+（a+4）x+a2﹣5a+4＝0的一个解为x＝0， ∴a﹣1≠0，a2﹣5a+4＝0， 解得a＝1（舍去），a＝4． 故答案为：4 16．解：设每件降价x元，那么降价后每件盈利（20﹣x）元，每天销售的数量为（40+10x）件； 可列方程为：（20﹣x）（40+10x）＝1080． 故答案为：（20﹣x）（40+10x）＝1080． 17．解：由题意得：a2+2a＝2， ∴3a2+6a+2025＝3×2+2025＝2031； 故答案为：2031． 三．解答题 18．解：（1）∵x2﹣2x＝5， ∴x2﹣2x+1＝6， ∴（x﹣1）2＝6， ∴， ∴x11，x21； （2）x（x﹣1）＝2﹣2x， ∴（x+2）（x﹣1）＝0， ∴x+2＝0或x﹣1＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝1； （3）x2﹣5x﹣6＝0， ∴（x﹣6）（x+1）＝0， ∴x﹣6＝0或x+1＝0， 解得：x1＝6，x2＝﹣1． 19．（1）证明：关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0， ∵（m﹣1）2≥0， ∴Δ＝（m﹣2）2﹣4×（﹣m） ＝m2﹣4m+4+4m ＝m2+4＞0， 则方程有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系可得：x1+x2＝m﹣2，x1x2＝﹣m， ∵， ∴，即． 解得m． 20．解：（1）设AB边的长为x米，则BC＝59﹣2x+1＝（60﹣2x）米， 根据题意列一元二次方程得：（60﹣2x）x＝400， 整理得，2x2﹣60x+400＝0， 解得x1＝10或x2＝20． 当x1＝10时，BC＝60﹣2×10＝40＞36，不符合题意； 当x2＝20时，BC＝60﹣2×20＝20＜36，符合题意． 答：AB的长为20米； （2）不能，理由如下： 由题意列一元二次方程可得：（60﹣2x）x＝500， 整理得：x2﹣30x+250＝0， ∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×250＝﹣100＜0， ∴方程x2﹣30x+250＝0不存在实数根． ∴不能使得围成的花圃面积为500平方米． 21．解：（问题1）根据题意得：100×100+150×80 ＝10000+12000 ＝22000（元）． 答：6月份销售A，B两款服装的利润之和为22000元； （问题2）设A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为x， 根据题意得：64（1+x）2＝100， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）． 答：A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为25%； （问题3）设A款服装应降价y元，则每件A款服装的销售利润为（100﹣y）元，A款服装的月销售量为10025＝（100+5y）件，B款服装的月销售量为8010＝（80﹣2y）件， 根据题意得：（100﹣y）（100+5y）+150（80﹣2y）＝22500， 整理得：y2﹣20y+100＝0， 解得：y1＝y2＝10． 答：A款服装应降价10元． 22．解：这个篮球场能用作比赛场地，理由如下： 设篮球场的宽x m，则长为1.8x m， 依题意得：1.8x2＝486， 整理得：x2＝270， 解得：x13，x23（负值不符合题意，舍去）， ∴1.8x， ∵162＜270＜172， ∴13＜1620，2532， ∴这个篮球场能用做比赛． 23．解：（1）由题意得：AP＝2t cm，BQ＝4t cm，则PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm， 在Rt△PBQ中，由勾股定理得：PB2+BQ2＝PQ2， 即（10﹣2t）2+（4t）2＝102， 整理得：t2﹣2t＝0， 解得：t1＝2，t2＝0（不合题意，舍去）， ∴当t＝2时，PQ的长度等于10cm； （2）存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于104cm2，理由如下： 由题意得：S长方形ABCD＝10×12＝120（cm2）， S△PBQPB•BP（10﹣2t）×4t＝﹣4t2+20t， ∴S五边形APQCD＝S长方形ABCD﹣S△PBQ＝120﹣（﹣4t2+20t）＝104， 整理得：t2﹣5t+4＝0， 解得：t1＝4，t2＝1， 当t＝4时，BQ＝16cm＞12cm，不合题意，舍去； 当t＝1时，BQ＝4cm＜12cm，符合题意； ∴存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于104cm2，此时t的值为1． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/7 10:21:31；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $