第2章 一元二次方程 单元培优练习2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学上册

第2章 一元二次方程 单元培优练习 一．选择题 1．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．x+5＝0 B．x3﹣x＝0 C．x2﹣x﹣1＝0 D．xy＝1 2．下列一元二次方程中，有实数根的是（　　） A．x2+1＝0 B．x2﹣x+1＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2﹣x﹣1＝0 3．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k+1＝0（k＞1），则该方程根的情况是（　　） A．方程无实根 B．两根之和为﹣2k C．有两个负实数根 D．若两根之积为3，则k＝2 4．李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物20件，经计算得出有（　　）人参加聚会． A．4 B．5 C．6 D．7 5．下列方程是一元二次方程的一般形式的是（　　） A．（x﹣1）2＝16 B．3（x﹣2）2＝27 C．5x2﹣3x＝0 D．x2+2x＝8+x 6．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+3m﹣2＝0的两个解，若11，则m的值为（　　） A．﹣1 B．7 C．﹣1或7 D．﹣3或7 7．若关于x的方程x2﹣4x+k+2＝0有两个不相等的实数根，则直线y＝（k﹣2）x+1不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．如表是代数式x2+12x﹣15的部分值的情况． x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x﹣15 ﹣0.59 0.84 2.29 3.76 根据表格中的数据，则关于方程x2+12x﹣15＝0的一个正根x1的判断正确的是（　　） A．x1＜1.1 B．1.1＜x1＜1.2 C．1.2＜x1＜1.3 D．1.3＜x1＜1.4 9．某中学九年级学生在七年级时植树400棵，计划到今年毕业时使植树总数达到1324棵，若设植树年平均增长率为x，则所列方程为（　　） A．400（1+x）2＝1324 B．400+400（1+x）2＝1324 C．400（1+x）+400（1+x）2＝1324 D．400+400（1+x）+400（1+x）2＝1324 10．我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程正根的几何解法，以方程x2+2x﹣8＝0即x（x+2）＝8为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是（x+x+2）2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×8+22，因此（x+x+2）2＝4×8+22，所以x＝2．则在下面四个构图中，能正确说明一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0正根的几何解法的构图是（　　） A． B． C． D． 二．填空题 11．一元二次方程x（x﹣1）＝0的两根是 　 　 ． 12．若关于x的方程2xm﹣2＝5是一元二次方程，则m的值为　 　 ． 13．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为 　 　 ． 14．定义新运算：，例如：4Θ3＝4﹣2×3＝﹣2，﹣1Θ2＝（﹣1）2+2＝3．若xΘ1＝17，则x的值为　 　 ． 15．已知x1，x2分别是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2的值为　 　 ． 16．若x＝2是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2＝0的解，则代数式2024+4a﹣2b的值是　 　 ． 17．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销量，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价 　 　 元． 18．若A＝2a2﹣5a+5，B＝2a2﹣7a+1，当a≤﹣2时，A与B的大小关系是　 　 ． 三．解答题 19．解下列方程： （1）2x2﹣4x﹣1＝0； （2）（2﹣3x）+（3x﹣2）2＝0． 20．已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣1）x+k﹣4＝0（k为常数）． （1）求证：不论k为何值，该方程有两个不相等的实数根； （2）若x＝﹣3是方程的一个根，求k的值和方程的另一个根． 21．新能源汽车通过激活产业链、技术革新、消费扩张和绿色转型，是国内大循环的核心驱动力之一，电车成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为120米，宽为80米的矩形停车场进行改造．如图，将矩形ABCD停车场的长和宽分别减少相等的宽度，减少的这部分区域用于修建充电桩，已知剩余停车场的面积为4500平方米． （1）求减少的宽度是多少米？ （2）为确保安全，停车场充电桩区域须划分独立防火区，停车场物业公司准备在充电桩区域与非充电桩区域之间修建防火隔离墙．若防火隔离墙的高度为1.5米，则需要修建的防火隔离墙的面积是多少平方米？ 22．2025年“哪吒系列组合吉祥物”深受大家的喜欢，某特许零售店的“哪吒系列组合吉祥物”销售量日益火爆．据统计，该店2025年3月的“哪吒系列组合吉祥物”销量为1万套，2025年5月的“哪吒系列组合吉祥物”销量为1.21万套． （1）求该店“哪吒系列组合吉祥物”销量的月平均增长率； （2）该零售店6月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价80元的“哪吒系列组合吉祥物”按每套100元出售，每天可销售500套，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10套，该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每套商品的售价应该定为多少元？ 23．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2，x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”． （1）通过计算，判断x2﹣3x+2＝0是否是“倍根方程”； （2）若关于x的方程（x﹣2）（x﹣m）＝0是“倍根方程”，求代数式m2+2m+2的值； （3）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+32＝0（m是常数）是“倍根方程”，请直接写出m的值． 24．根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况 公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出30件，每件盈利30元． 市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天各多售出2件 惰况设置 设甲店每件衬衫降价a元，乙店每件衬衫降价b元（a，b均为整数）． 任务解决 任务1 甲店销售的衬衫，每件利润为　 　 元（用含a的代数式表示）． 乙店销售的衬衫，每天的销售量为　 　 （用含b的代数式表示）． 任务2 当a＝5，b＝4时，分别求出甲、乙店每天的盈利． 任务3 当a+b＝20时，请分别求出甲、乙两店每件衬衫下降各多少元，甲、乙两店一天的盈利之和为2200元． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D B C A C B D A 二．填空题 11．解：x（x﹣1）＝0， x＝0或x﹣1＝0， 解得：x1＝0，x2＝1． 故答案为：x1＝0，x2＝1． 12．解：由题意得：m﹣2＝2． 解得：m＝4， 故答案为：4． 13．解：∵x2﹣2x﹣5＝0， ∴x2﹣2x＝5， ∴x2﹣2x+1＝5+1， ∴（x﹣1）2＝6， ∴a＝﹣1，b＝6， ∴a+b＝5， 故答案为：5． 14．解：∵，xΘ1＝17， ∴当x≥1时， xΘ1＝x﹣2×1＝17， ∴x＝19， 当x＜1时， xΘ1＝x2+1＝17， 解得x＝4（舍去）或﹣4． 综上所述，x的值为﹣4或19． 故答案为：﹣4或19． 15．解：由条件可知，x1x2＝﹣5， 则x1+x2﹣x1x2＝3+5＝8， 故答案为：8． 16．解：由条件可知4a﹣2b﹣2＝0， ∴4a﹣2b＝2， ∴2024+4a﹣2b＝2024+2＝2026， 故答案为：2026． 17．解：设每箱降价x元，则每箱的销售利润为（12﹣x）元，平均每天可售出（100+20x）箱， 根据题意得：（12﹣x）（100+20x）＝1440， 整理得：x2﹣7x+12＝0， 解得：x1＝3，x2＝4， ∴每箱应降价3或4元． 故答案为：3或4． 18．解：A﹣B＝2a2﹣5a+5﹣（2a2﹣7a+1）＝2a+4， ∴当a≤﹣2时，2a≤﹣4， ∴2a+4≤0， ∴A≤B． 故答案为：A≤B． 三．解答题 19．解：（1）2x2﹣4x﹣1＝0， x2﹣2x0， x2﹣2x， x2﹣2x+11， （x﹣1）2， x﹣1＝±， x1＝1，x2＝1； （2）（2﹣3x）+（3x﹣2）2＝0， （2﹣3x）+（2﹣3x）2＝0， （2﹣3x）（1+2﹣3x）＝0， （2﹣3x）（3﹣3x）＝0， 2﹣3x＝0或3﹣3x＝0， x1，x2＝1． 20．解：（1）∵Δ＝（k﹣1）2﹣4（k﹣4）×1 ＝k2﹣2k+1﹣4k+16 ＝k2﹣6k+17 ＝（k﹣3）2+8， ∵（k﹣2）2≥0， ∴Δ＞0， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）∵方程的一个根为﹣3， ∴9﹣3（k﹣1）+k﹣4＝0， ∴k＝4， ∴方程为x2+3x＝0， ∴x1＝0，x1＝﹣3， ∴另一个根为0，k＝2． 21．解：（1）设减少的长度是x米， 根据题意得：（120﹣x）（80﹣x）＝4500， 解得：x1＝170（不合题意，舍去），x2＝30， 答：减少的长度是30米； （2）剩余停车场的长为120﹣30＝90（米），宽为80﹣50＝30（米）， ∴剩余停车场的周长为：2×（90+50）＝280（米）， ∴防火隔离墙的面积＝280×1.5＝420（平方米）， 答：需要修建的防火隔离墙的面积是420平方米． 22．解：（1）设该店“哪吒系列组合吉祥物”销量的月平均增长率为x， 根据题意，得1×（1+X）2＝1.21， 解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（舍去）． 所以该店“哪吒系列组合吉祥物”销售量的月平均增长率是10%； （2）设每件商品的售价应该定在m元，则每件商品得销售利润是（m﹣80）元，每天的销售量是500﹣10（m﹣100）＝（1500﹣10m）件， 根据题意，得（m﹣80）（1500﹣10m）＝12000， 解得m1＝110，m2＝120． 因为要使销售量尽可能大， 所以m＝110． 所以每件商品的售价应该定为110元． 23．解：（1）x2﹣3x+2＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝2，x2＝1， 则方程x2﹣3x+2＝0是“倍根方程”； （2）（x﹣2）（x﹣m）＝0，x﹣2＝0或x﹣m＝0， 解得x1＝2，x2＝m， ∵（x﹣2）（x﹣m）＝0是“倍根方程”， ∴m＝4或m＝1， 当m＝4时，m2+2m+2＝16+8+2＝26； 当m＝1时，m2+2m+2＝1+2+2＝5， 综上所述，代数式m2+2m+2的值为26或5； （3）根据题意，设方程的根的两根分别为α、2α， 根据根与系数的关系得α+2α＝m﹣1，α⋅2α＝32， 解得α＝4，m＝13或α＝﹣4，m＝﹣11， ∴m的值为13或﹣11． 24．解：任务1，甲店每件利润为（40﹣a）元，乙店每天的销售量为（30+2b）件， 故答案为：（40﹣a），（30+2b）件； 任务2，当a＝5时，（40﹣5）×（20+2×5）＝35×30＝1050（元） 即甲店每天的盈利为1050元； 当b＝4时，（30﹣4）×（30+2×4）＝26×38＝988（元）， 即乙店每天的盈利为988元； 任务3，∵a+b＝20， ∴b＝20﹣a， ∵两家分店一天的盈利和为2200元， 由题意得：（20+2a）（40﹣a）+（30+2b）（30﹣b）＝2200， ∴（20+2a）（40﹣a）+[30+2（20﹣a）][30﹣（20﹣a）]＝2200， 解得a1＝10或a2＝17.5（不合题意，舍去）， ∴b＝20﹣a＝10， 即甲、乙两店每件衬衫下降各10元，甲、乙两店一天的盈利之和为2200元． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/7 10:15:42；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $