第一章 特殊的平行四边形 单元培优练习 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第1章 特殊的平行四边形 单元培优练习 一．选择题 1．下列说法正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．对角线垂直的矩形是正方形 2．若在▱ABCD中，增加一个条件就成了矩形，则增加的条件是（　　） A．AD＝CD B．∠A+∠C＝180° C．AC＝2AB D．对角线互相垂直 3．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC和BD相交于点O，已知AC＝4，则OB的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 4．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝12cm，DB＝8cm，E为CD的中点，EF⊥AC于F，则△CEF的周长等于（　　） A．8 B． C．9 D． 5．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE，BE，CE，∠AEB＝135°，BE⊥EC，若EC＝8，则AB的长等于（　　） A． B．9 C．10 D． 6．如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（6，8），则顶点A的坐标为（　　） A．（﹣4，8） B． C．（﹣2，4） D． 7．如图，直线MN经过正方形ABCD的顶点B，过点A作AE⊥MN于点E，∠ABE＝30°，F为直线MN上一点，且BF＝BC，连接CF，若AE＝2，则△CBF的面积为（　　） A． B． C．8 D． 8．如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC边上的一点，以AE为边作矩形AEFG，使GF经过点D，则矩形AEFG的面积为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 9．如图，在菱形ABCD中，∠C＝120°，点P从点B出发，沿折线B﹣C﹣D方向移动，移动到点D停止，连结AP，DP．在△DAP形状的变化过程中，出现的特殊三角形有：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形，以下排序正确的是（　　） A．①③②③ B．③②①③ C．①③②① D．③②③① 10．2024年6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极一艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，AB上的点，DE，CF相交于点M．N是DF的中点，若AF＝1，CE＝BF＝2，则MN的长为（　　） A． B． C．2 D． 二．填空题 11．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点．若EF＝2，则AC的长为 　 　 ． 12．如图，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠BPC＝　 　 °． 13．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC与E、O，连接CE，则CE的长为　 　 ． 14．如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥AB，交对角线BD于点E，若，则点E到BC的距离是 　 　 ． 15．如图，四边形ABCD是菱形，DH⊥AB于点H，若AC＝8，DB＝6，则DH等于 　 　 ． 16．如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为边BC，CD上一点，连接OE，OF，EF，OE⊥OF．若∠AOE＝150°，EF＝4，则DF的长为 　 　 ． 17．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝4．E为CD边上一点，CE＝6，连接AE．点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒，当t为 　 　 时，△PAE为直角三角形． 三．解答题 18．如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AB至点E，使AB＝BE，连接DB、DE和CE，且AD＝DE． （1）求证：四边形BDCE是矩形； （2）若AB＝2，DE＝4，求点A和点C之间的距离 19．已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA、EC， （1）求证：△EAB≌△ECB； （2）若DC＝6，若∠AEC＝45°，求DE． 20．如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F． （1）求证：OE＝OF； （2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长； （3）连接AE，AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由． 21．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝10，∠ABC的平分线与CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且点F为边AD的中点，∠BAD的平分线交BC于点M，交BE于点N，连接AE，FM． （1）求证：四边形ABMF为菱形； （2）若AM＝6，求AE的长． 22．如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，DE．若CE＝CD，过点D作DF⊥CE于点F．求证：CF＝EB． 23．如图，△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝30，点D从C出发以每秒4个单位长度的速度向终点A匀速运动，同时，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度向终点B匀速运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间为t秒（t＞0），作DF⊥BC于点F，连接DE、EF，已知AE＝DF． （1）当t为多少时，四边形AEFD为菱形？说明理由． （2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请直接写出结果． 24．如图1，菱形ABCD对角线AC，BD交于点O，点E是AD的中点，连接OE并延长，过点A作AF∥OD，交OE的延长线于点F，连接FD． （1）判断四边形AODF的形状，并说明理由； （2）如图2，连接BE，若∠BAD＝120°，AB＝4，求BE的长． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C B A A B A A B 二．填空题 11．8． 12．67.5． 13．2.5． 14．2． 15．． 16．2． 17．或6． 三．解答题 18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵AB＝BE， ∴BE＝CD， ∵BE∥CD， ∴四边形BDCE是平行四边形， ∵AD＝DE， ∴BC＝DE， ∴四边形BDCE是矩形； （2）解：如图，连接AC． ∵AD＝DE，DE＝4， ∴AD＝4， ∵∠DBA＝90°， 在Rt△ABD中，由勾股定理可得，． ∵四边形BDCE是矩形， ∴， ∵AB＝BE，AB＝2， ∴BE＝2， ∴AE＝4， ∵∠BEC＝90°， 在Rt△AEC中，由勾股定理可得，， ∴点A和点C之间的距离为． 19．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC.， 在△EAB和△ECB中， ， ∴△EAB≌△ECB（SAS）； （2）解：由（1）知△EAB≌△ECB， ∴， ∵∠BDC＝45°， ∴∠DCE＝∠BDC﹣∠DEC＝22.5°， ∴∠DEC＝∠DCE＝2.5°， ∴DE＝DC＝6． 20．（1）证明：∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠ECB， ∵MN∥BC， ∴∠ECB＝∠OEC， ∴∠ACE＝∠OEC， ∴OE＝OC， 同理可得OC＝OF， ∴OE＝OF； （2）解：∵CE、CF分别平分∠ACB和∠ACD， ∴∠ACE∠ACB，∠ACF∠ACD， ∴∠ACE+∠ACF∠BCD180°＝90°， ∴EF13， ∴OCEF＝6.5， 即OC的长为6.5； （3）解：当O在AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由如下： 当O为AC中点时，则OA＝OC， 由（1）可知，OC＝OE＝OF， ∴OA＝OC＝OE＝OF， ∴四边形AECF为平行四边形，AC＝EF， ∵AC＝EF， ∴平行四边形AECF为矩形． 21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC， ∴∠DAM＝∠AMB， ∵∠BAD的平分线交BC于点E， ∴∠DAM＝∠BMA， ∴∠BAM＝∠BMA， ∴AB＝BM，同理可得AB＝AF， ∴AF＝BM， ∴四边形ABMF是平行四边形， ∵AB＝AF． ∴四边形ABMF是菱形． （2）解：由（1）得四边形ABMF是菱形， ∴ANAM＝3，NFBF， ∵F为边AD的中点， ∴AF＝5， 在Rt△ANF中，NF4， ∴BF＝8， 在△FAB和△FDE中， ， ∴△FAB≌△FDE（AAS）， ∴EF＝BF＝8， 在Rt△ANE中，AE3． 22．证明：在矩形ABCD中，DF⊥CE于点F， ∴AB∥CD，∠B＝∠DCB＝90°，∠DFC＝90°， ∴∠DFC＝∠B，∠DCF＝∠CEB＝90°﹣∠ECB， 在△CFD与△EBC中， ， ∴△CFD≌△EBC（AAS）， ∴CF＝EB． 23．解：（1）∵DF⊥BC，∠B＝90°， ∴∠DFC＝∠B＝90°， ∴DF∥AE， ∵DF＝AE， ∴四边形ADFE是平行四边形， 当AD＝DF时，四边形ADFE是菱形， ∴2t＝30﹣4t， ∴t＝5． 答：当t＝5时，四边形AEFD是菱形； （2）当∠EDF＝90°时，EF＝AD＝2DF＝2AE，即30﹣4t＝4t， 解得：t； 当∠DEF＝90°时，DF＝AE＝2EF＝2AD，即2t＝2（30﹣4t）， 解得：t＝6． 综上所述：当t为或6时，△DEF为直角三角形． 24．解：（1）四边形AODF是矩形， 理由：∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵AF∥OD， ∴∠AFE＝∠DOE， 在△AEF和△DEO中， ， ∴△AEF≌△DEO（AAS）， ∴FE＝OE， ∴四边形AODF是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD＝90°， ∴四边形AODF是矩形． （2）如图2，作EH⊥BD于点H，则∠BHE＝90°， ∵AB＝AD＝4，∠BAD＝120°， ∴∠ABD＝∠ADB（180°﹣120°）＝30°， ∵∠AOB＝90°， ∴OAAB＝2， ∴OB2， ∵AE＝DE，BO＝DO， ∴EO∥AB，EOAB＝2， ∴∠EOH＝∠ABD＝30°， ∴EHEO＝1， ∴OH， ∴BH＝OB+OH＝23， ∴BE2， ∴BE的长是2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/7 10:08:12；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $