九年级数学上学期期中模拟卷·培优卷（北师大版，举一反三）

九年级数学上学期期中模拟卷·培优卷 【北师大版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第一章 特殊的平行四边形~第三章 概率的进一步认识 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣4＝0的常数项是0，则（　　） A．m＝4 B．m＝2 C．m＝2或m＝﹣2 D．m＝﹣2 2．（2025·河南郑州·三模）在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的乒乓球，这m个球中只有12个黄色乒乓球，其余均为白色．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到黄球的频率稳定在左右，则m的值大约为（   ） A．20 B．40 C．60 D．100 3．（24-25八年级下·河南周口·期末）如图，的对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是（ ） A． B． C． D． 4．（2025·北京·模拟预测）关于的方程有实数根，那么的可能值是（    ） A．4 B．2 C．0或2 D．0或1 5．（2025·山西长治·二模）班级趣味运动会上，老师准备以抽签的方式将男生随机分为若干组进行拔河比赛．抽签方式：老师将数字1，2，3分别写在3张相同的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后每位男生从中一次抽出两张纸条，抽到两张纸条上的数字和相同的分为一组，下列描述正确的是（   ） A．抽到数字和为2的概率为 B．抽到数字和为5的概率为 C．抽到数字和为3的概率为 D．这种方式抽到数字和为4的可能性较大 6．（2025·安徽·模拟预测）已知关于x的方程的一个根比1大且另一个根比1小，则a的取值范围正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为（    ） A． B．3 C． D． 8．（2024·山西·模拟预测）如图，在平行四边形纸片中，，，将纸片沿对角线折叠，点落在点处，与交于点，连接．若，则的长为（   ） A．4 B． C． D． 9．（2025·安徽蚌埠·二模）已知 则 的最小值是（　　） A． B．0 C．3 D．6 10．（2025·四川广元·模拟预测）如图，在菱形中,相交于点O，点 E 在 的延长线上，且，连接交 于点 F，交 于点G，连接．有以下结论：①；② ；③图中有6个三角形与全等；④以点A，C，E，D为顶点的四边形是菱形．其中结论正确的是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2025·山东青岛·模拟预测）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年植树400棵，三年共植树1575棵．设该校植树棵数的年平均增长率为，根据题意可列方程 ． 12．若则 ． 13．（2025·江苏苏州·二模）如图，阴影部分是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ． 14．设与为一元二次方程的两根，则的值为 ． 15．如图，将一块菱形硬纸片固定后进行投针训练已知纸片上于点，于点，若随意投出一针命中了菱形硬纸片，则命中矩形区域涂色部分的概率是 ． 16．如图，E、F是正方形内的点，，，，，则正方形的面积为 ． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（2025·江苏淮安·二模）解方程： (1)． (2)． 18．（6分）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，，，垂足分别为M、N，延长至G，使，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并说明理由． 19．（6分）（2024·贵州遵义·一模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求k的取值范围． (2)是否存在实数k的值，使得方程的两个实数根分别为，，且满足？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 20．（8分）（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从、同时出发，点以的速度向点移动，点以相同的速度向点移动，当点到达点时，点、均停止运动，设运动时间为秒． (1)当________秒时，四边形为矩形． (2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． (3)运动过程中，点和点的距离可能是吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． 21．（8分）甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m． (1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？ (2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？ 22．（9分）（2025·四川广元·模拟预测）某学校为了培养学生的兴趣和爱好，在课后延时服务活动中开设了A：象棋；B：书法；C：机器人；D：舞蹈；E：手工制作五个兴趣小组（每名学生必选且只能选一个），将参加各兴趣小组的人数绘制成如下两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息，解答下列问题． (1)参加兴趣小组的学生有 人； (2)把条形统计图补充完整，扇形统计图中的C组所对应圆心角的度数是 °； (3)在A组最优秀的3名学生（2名男生1名女生）和B组最优秀的4名学生（2名男生2名女生）中，各选1名学生参加区域性的课后延时服务成果展示，利用画树状图法或列表法，求所选两名学生中恰好是1名男生和1名女生的概率． 23．（9分）（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，正方形中，，点E是对角线上的一点．连接，过点E作，交于点F，以、为邻边作矩形． (1)若E点为对角线的中点，则 ； (2)求证：矩形是正方形； (3)求的值． 24．（10分）（24-25八年级下·陕西安康·期末）【操作发现】如图1，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形．转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形，其判断的依据是______；若要使四边形是矩形，边和满足的位置关系是______； 【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和平行四边形纸条，其中，将它们按如图2所示放置，落在边上，，与边分别交于点M，N，且．求证：四边形是菱形； 【结论应用】保持图2中的平行四边形纸条不动，将平行四边形纸条沿或平移，且始终在边上，当时，恰有H，B的连线垂直于，此时，延长，交于点P，得到图3．若四边形的周长为40，求四边形的面积． 25．（10分）（2025·云南丽江·一模）如图，在正方形中，对角线，相交于点O，P是上的一个动点，连接，作，交的延长线于点E，以和为邻边作，对角线，相交于点G (1)连接，若，则___（用含m的代数式表示）； (2)证明：； (3)若点为的中点，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期期中模拟卷·培优卷 【北师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣4＝0的常数项是0，则（　　） A．m＝4 B．m＝2 C．m＝2或m＝﹣2 D．m＝﹣2 【答案】D 【分析】根据常数项为0，可得m2-4=0，同时还要保证m-2≠0，即可． 【详解】由题意得：m2-4=0，且m-2≠0， 解得：m=-2， 故选D． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 2．（2025·河南郑州·三模）在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的乒乓球，这m个球中只有12个黄色乒乓球，其余均为白色．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到黄球的频率稳定在左右，则m的值大约为（   ） A．20 B．40 C．60 D．100 【答案】C 【分析】本题考查了利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，在同样条件下，大量重复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到黄球的频率稳定在左右得到比例关系，列出方程求解即可，解题的关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， 故选：C． 3．（24-25八年级下·河南周口·期末）如图，的对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质以及勾股定理的逆定理，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、， ， 是菱形，故选项A不符合题意； B、四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是菱形，故选项B不符合题意； C、四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是菱形，故选项C不符合题意， D、， ， ， 不能证得是菱形，故选项D符合题意； 故选：D． 4．（2025·北京·模拟预测）关于的方程有实数根，那么的可能值是（    ） A．4 B．2 C．0或2 D．0或1 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解，一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．理解和掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．分当，时分别讨论，即可求解． 【详解】解：当时，关于的方程是有实数根， 当时，∵关于的方程是一元二次方程，有两个实数根， ∴，且， 解得：且， 综上所述：整数的值可能是或． 故选：D． 5．（2025·山西长治·二模）班级趣味运动会上，老师准备以抽签的方式将男生随机分为若干组进行拔河比赛．抽签方式：老师将数字1，2，3分别写在3张相同的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后每位男生从中一次抽出两张纸条，抽到两张纸条上的数字和相同的分为一组，下列描述正确的是（   ） A．抽到数字和为2的概率为 B．抽到数字和为5的概率为 C．抽到数字和为3的概率为 D．这种方式抽到数字和为4的可能性较大 【答案】B 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图得出所有等可能的结果数，再依次求出各选项中的事件的概率，进行对比则可获解． 【详解】解：根据题意，可画树状图如下： ∴抽到数字和为2的概率为0，故A选项错误； 抽到数字和为5的概率为，故B选项正确； 抽到数字和为3的概率为，故C选项错误； 抽到数字和为4的概率为，与抽到和为3、5的概率相同，故D选项错误； 故选：B． 6．（2025·安徽·模拟预测）已知关于x的方程的一个根比1大且另一个根比1小，则a的取值范围正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程，可以利用二次函数的图象与性质分析判断即可． 【详解】解：设， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵关于x的方程的一个根比1大且另一个根比1小， ∴当时，函数值， ∴， 对于一元二次方程，解得，， ∴， 故选：A． 7．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点O，利用菱形性质和，可得、是等边三角形，从而得到、是含有的直角三角形，进而求出、，最后在中利用勾股定理求解. 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴. 故选：A. 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题. 8．（2024·山西·模拟预测）如图，在平行四边形纸片中，，，将纸片沿对角线折叠，点落在点处，与交于点，连接．若，则的长为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，正方形的性质与判定，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；过点作于点，根据折叠的性质以及已知条件得出四边形是正方形，进而得出，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵，将纸片沿对角线折叠，点落在点处，与交于点， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴ 又∵， ∴， 在中， ∴ ∵折叠， ∴ ∴， 在中， ∴在中，， 故选：D． 9．（2025·安徽蚌埠·二模）已知 则 的最小值是（　　） A． B．0 C．3 D．6 【答案】D 【分析】构造一元二次方程，利用根与系数关系定理，构造二次函数，利用函数增减性，求最值解答即可． 【详解】解：∵，，且， ∴a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，，， ∴ ∵， ∴抛物线开口向上， ∴有最小值，且对称轴的右侧y随x的增大而增大， ∵， ∴时，有最小值，且为， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的构造，根与系数关系定理，二次函数的增减性，二次函数的最值，熟练掌握构造方程，构造二次函数是解题的关键． 10．（2025·四川广元·模拟预测）如图，在菱形中,相交于点O，点 E 在 的延长线上，且，连接交 于点 F，交 于点G，连接．有以下结论：①；② ；③图中有6个三角形与全等；④以点A，C，E，D为顶点的四边形是菱形．其中结论正确的是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、三角形全等的判定（、）、三角形中位线定理及三角形面积计算（面积等分与和差），解题的关键是利用菱形性质及中点条件推导面积关系，避免复杂计算，准确判断全等三角形数量． 由菱形中，得，，，，为等边三角形；因，故且，证得为中点，结合为中点，知是中位线，得，①正确；由O、G是中点，与均为面积的一半，减去公共部分的面积，得，②错误；全等三角形有，共个，③正确；由，得平行四边形，结合，证其为菱形，④正确． 【详解】解：四边形是菱形，， ，，，，，， 又， ，且． 判断①是否正确： ， ，， 又， ， （为中点） 为中点， 是中位线， ， 又， ，①正确，符合题意； 判断②是否正确： 为 中点， ， 为 中点， ， ， 又 ， ，②错误，不符合题意； 判断③图中有个三角形与是否全等： 为直角三角形（），设直角边、，斜边． 菱形对角线分菱形为个全等直角三角形：（，，，直角相等）． 由，且、、（勾股定理逆定理得直角）， 故（）．共个全等三角形，③正确，符合题意； 判断④以A，C，E，D为顶点的四边形是否为菱形： 且， 四边形是平行四边形． 又为等边三角形， ，且（），故， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形是菱形，④正确，符合题意； 综上，①③④正确，②错误． 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2025·山东青岛·模拟预测）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年植树400棵，三年共植树1575棵．设该校植树棵数的年平均增长率为，根据题意可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据题意列一元二次方程． 设该校植树棵数的年平均增长率为，则第二年植树棵，第三年植树棵，三年相加即可． 【详解】设该校植树棵数的年平均增长率为，则第二年植树棵，第三年植树棵， ∵三年共植树1575棵， ∴ 故答案为： 12．若则 ． 【答案】 【分析】根据配方法将等式的左边配方，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握配方法是解题的关键． 13．（2025·江苏苏州·二模）如图，阴影部分是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 先设阴影部分的面积是x，得出整个图形的面积是，再根据几何概率求解即可． 【详解】解：设阴影部分的面积是x，则整个图形的面积是， 则这个点取在阴影部分的概率是． 故答案为：． 14．设与为一元二次方程的两根，则的值为 ． 【答案】20 【分析】利用公式法求得一元二次方程的根，再代入求值即可； 【详解】解：∵ △=9-4=5＞0， ∴，， ∴=， 故答案为：20； 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握公式法解一元二次方程是解题关键． 15．如图，将一块菱形硬纸片固定后进行投针训练已知纸片上于点，于点，若随意投出一针命中了菱形硬纸片，则命中矩形区域涂色部分的概率是 ． 【答案】 【分析】设，，根据勾股定理和菱形的性质求出的长，再求出矩形和菱形的面积，即可得答案． 【详解】解：设，， 四边形是菱形，于E，于F，， ， ， 命中矩形区域的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率的求法，勾股定理，菱形和矩形面积的求法，解题的关键是求出矩形和菱形的面积． 16．如图，E、F是正方形内的点，，，，，则正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，过点作交的延长线于点，证明出四边形是矩形，得到，，，在中，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】如图，连接，过点作交的延长线于点 ，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴ ∴正方形的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，构造直角三角形求得的长是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（2025·江苏淮安·二模）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）方程的左边可以因式分解为，利用因式分解法解方程即可得； （2）方程可以配方为，再两边同时开平方解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， 或， 或， 所以方程的解为． （2）解：， ， ， ， ， ， 所以方程的解为． 18．（6分）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，，，垂足分别为M、N，延长至G，使，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)四边形为矩形，理由见解析 【分析】本题主要考查矩形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，进而问题可求证； （2）由（1）可得，然后可得，进而可得四边形是平行四边形，最后问题可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ； （2）解：四边形为矩形，理由如下： 由（1）得：， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． 19．（6分）（2024·贵州遵义·一模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求k的取值范围． (2)是否存在实数k的值，使得方程的两个实数根分别为，，且满足？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在实数k的值，理由见解析 【分析】本题考查了已知根的情况求参数，一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据一元二次方程有两个实数根，得，代入数值计算，即可作答． （2）假设满足题意的k的值存在．结合根与系数的关系得，，再代入，计算得出，由（1）得，则不在的范围内，即可说明不存在实数k的值，使得方程的两个实数根，满足． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根 ∴， ∴， ∴． （2）解：不存在实数k的值，使得方程的两个实数根，满足． 理由如下：假设满足题意的k的值存在． ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴． 由（1）得， ∵不在的范围内 ∴不存在实数k的值，使得方程的两个实数根，满足． 20．（8分）（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从、同时出发，点以的速度向点移动，点以相同的速度向点移动，当点到达点时，点、均停止运动，设运动时间为秒． (1)当________秒时，四边形为矩形． (2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． (3)运动过程中，点和点的距离可能是吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)能， (3)能，或 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了动点在几何图形的运动，勾股定理矩形和菱形的性质，灵活掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据当时，四边形为矩形，列出方程，求出解即可； （2）根据当时，四边形为菱形，在中，根据勾股定理列出方程，求出解即可； （3）先作出辅助线，表示，再根据勾股定理列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：∵点P、Q分别从点A、C同时出发，速度相同． ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴则， 根据题意得， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴当时，四边形为矩形， ， 解得， ∴秒时，四边形为矩形， 故答案为：4； （2）解：运动过程中，四边形可以为菱形， 连接、， ∵点、分别从点、同时出发，速度相同， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形 在中，，， ∴ 即 解得， ∴运动时间为时，四边形为菱形． （3）点和点的距离可以是， 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，有， 即， 解得，． ∴当运动时间为或时，点和点的距离是． 21．（8分）甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m． (1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？ (2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？ 【答案】(1)7分钟 (2)15分钟 【分析】（1）根据题意先设n分钟后第1次相遇，利用数列求和知识得到关于n的方程，解此方程即可得甲、乙开始运动后几分钟相遇； （2）先设n分钟后第2次相遇，依路程关系得到一个关于n的方程，解方程即得第2次相遇是在开始后多少分钟． 【详解】（1）解：设n分钟后第1次相遇，依题意，有+5n＝70， 整理得n2+13n﹣140＝0， 解得n＝7，n＝﹣20（不符合题意，舍去） 第1次相遇是在开始后7分钟． 答：甲、乙开始运动后7分钟第一次同时到达同一位置； （2）解：设n分钟后第2次相遇，依题意，有 5n＝3×70， 整理得n2+13n﹣420＝0， 解得n＝15，n＝﹣28（不符合题意，舍去） 故第2次相遇是在开始后15分钟． 答：开始运动后15分钟第二次同时到达同一位置． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，设恰当未知数，列出方程是解题的关键． 22．（9分）（2025·四川广元·模拟预测）某学校为了培养学生的兴趣和爱好，在课后延时服务活动中开设了A：象棋；B：书法；C：机器人；D：舞蹈；E：手工制作五个兴趣小组（每名学生必选且只能选一个），将参加各兴趣小组的人数绘制成如下两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息，解答下列问题． (1)参加兴趣小组的学生有 人； (2)把条形统计图补充完整，扇形统计图中的C组所对应圆心角的度数是 °； (3)在A组最优秀的3名学生（2名男生1名女生）和B组最优秀的4名学生（2名男生2名女生）中，各选1名学生参加区域性的课后延时服务成果展示，利用画树状图法或列表法，求所选两名学生中恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)； (2)见解析，； (3)． 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）用参加组的学生人数除以其所占的百分比可得本次参加兴趣小组的学生人数． （2）用总的学生人数分别减去参加，，，组的学生人数，可求出参加组的学生人数，补全条形统计图即可；用乘以参加组的学生所占的百分比，即可求得组所对应圆心角的度数． （3）画树状图得出所有等可能的结果数和所选两名学生中恰好是名男生名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：（人） 故答案为：． （2）解：组人数：（人） 补充的完整的条形统计图如下： 故答案为：． （3）由题意画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能的结果，其中恰好是1名男生和1名女生的结果有6种， ∴P（1男1女） 23．（9分）（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，正方形中，，点E是对角线上的一点．连接，过点E作，交于点F，以、为邻边作矩形． (1)若E点为对角线的中点，则 ； (2)求证：矩形是正方形； (3)求的值． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3) 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）若E点为对角线的中点，根据正方形的性质得出，进而解答即可； （2）如图，作于M，于，只要证明即可解决问题； （3）证明，可得，即可解决问题． 【详解】（1）解：若E点为对角线的中点， 四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2； （2）证明：如图，作于M，于， 四边形是正方形， ， 于M，于N， ， ∵， 四边形是矩形， ， ∴， ， ∵， ， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形； （3）解：四边形是正方形，四边形是正方形， ，，， ， ， ， ∴． 24．（10分）（24-25八年级下·陕西安康·期末）【操作发现】如图1，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形．转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形，其判断的依据是______；若要使四边形是矩形，边和满足的位置关系是______； 【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和平行四边形纸条，其中，将它们按如图2所示放置，落在边上，，与边分别交于点M，N，且．求证：四边形是菱形； 【结论应用】保持图2中的平行四边形纸条不动，将平行四边形纸条沿或平移，且始终在边上，当时，恰有H，B的连线垂直于，此时，延长，交于点P，得到图3．若四边形的周长为40，求四边形的面积． 【答案】操作发现：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，；探究提升：见解析；结论应用：80 【分析】操作发现：由得出四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，进而得出结果； 探究发现：可证得四边形是平行四边形，从而，进而得出，进一步得出结论； 结论应用：可证得四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，从而，进而证得四边形是菱形，从而，进而得出，从而得出结果． 【详解】操作发现： 解：， 四边形是平行四边形， 有一个角是直角的平行四边形是矩形， 故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，； 探究提升： 证明：四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 由操作发现可知，四边形是平行四边形， 是菱形； 结论应用： 解：， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 25．（10分）（2025·云南丽江·一模）如图，在正方形中，对角线，相交于点O，P是上的一个动点，连接，作，交的延长线于点E，以和为邻边作，对角线，相交于点G (1)连接，若，则___（用含m的代数式表示）； (2)证明：； (3)若点为的中点，求的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）先利用正方形的性质，矩形的性质，说明O为中点，G为中点，从而可得是中位线，根据中位线的性质可得，从而可得， 故答案为： （2）先证明四边形是正方形，再利用证明，根据全等三角形的性质可得，进面可得； （3）先根据正方形的性质得出，，再设，从而可用表示出，借助勾股定理可用表示出，再用表示出，即可求得． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，即O为中点， ∵四边形是矩形， ∴，即G为中点， ∴是中位线， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，过点P作于点M，于点， ， ∵四边形是正方形， ∴，平分，垂直平分， ，， ∴四边形是矩形， ∵平分，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴； （3）如图，过点P作于点M，于点N， 由（2）得，四边形是正方形， ∴，， 设，则， ∵点P为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，勾股定理，中位线定理，全等三角形的判定与性质综合（），解题关键是掌握上述知识点求解． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $