第二十二章 二次函数综合练习 2025～2026学年 人教版九年级数学上册

第二十二章 二次函数综合练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．二次函数的图象的对称轴是（   ） A． B． C． D． 2．把抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 3．二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．二次函数的图象如图，则下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．已知二次函数，若点和在此函数图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为(1，0)，则下列说法中不正确的是（   ） A．a＜0，c＜0 B．4a＋b＝0 C．方程ax2＋bx＋c＝0的实数根为x1＝1，x2＝3 D．不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为1＜x＜3 7．如图，二次函数的图象经过，，三点，下面四个结论中正确的是（    ） A．抛物线开口向上 B．当时，取最大值57.9 C．该抛物线的对称轴的取值范围是 D．当时，一元二次方程总有两个不相等的实数根 8．如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于的不等式的解集为（ ）    A． B． C．或 D．或 二、填空题 9．写出一个开口向上，且与y轴的负半轴相交的抛物线的解析式： ． 10．已知点，都在函数的图象上，则 （填“”，“”或“” ）． 11．已知抛物线y＝x2﹣4x+m的顶点在x轴上，则m＝ ． 12．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是 （写出一个符合要求的值即可）． 13．如图假设篱笆（虚线部分）的长度是16m，墙足够长（图中实线部分），则所围成矩形ABCD的最大面积是 m2． 14．小轩从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面四条信息：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题 15．如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A(0，﹣5)，B(5，0)． （1）求b，c的值； （2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．求点M的坐标； 16．已知二次函数． (1)求该二次函数的顶点坐标； (2)该二次函数的图象的开口向　，并判断点 　　该函数的图象上（填“在”或“不在” ）． 17．已知抛物线的对称轴为直线，且经过点（0，1），求该抛物线的表达式． 18．已知二次函数． (1)将其化为的形式为_______________； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)抛物线与x轴交点坐标为_______________； (4)时，y的取值范围是_______________． 19．在平面直角坐标系中，直线与抛物线的相交于点和点（点的横坐标小于点的横坐标） (1)求交点和点的坐标； (2)求当时，的最大值； (3)直接写出的解集． 20．在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且）． (1)若，，求抛物线的顶点坐标； (2)已知，和是抛物线上的两点．对于，都有，求的取值范围． 21．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点，．        (1)求抛物线的表达式． (2)已知点是抛物线上的点，将点M向左平移3个单位长度得到点，若点恰好也在该抛物线上，求点M的坐标． (3)在（2）的条件下，记点B与点之间的抛物线为图象G（含点B和点），当直线与图象G只有一个交点时，直接写出b的取值范围． 22．如图，已知抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值． (2)若直线与线段交于点P，与抛物线交于点Q，求P，Q两点间距离的最大值． 23．某社区文化广场修建了一个人工喷泉，人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷水口为A，喷水口A距地面，喷出水流的轨迹是抛物线．水流最高点P到喷水枪所在直线的距离为，水流落地点C距离喷水枪底部B的距离为．以B为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求出水柱最高点P到地面的距离． (2)在线段上到喷水枪所在直线的距离为处放置一物体，为避免物体被水流淋到，物体的高度应小于多少米？请说明理由． 24．对于平面直角坐标系中的点P，Q和图形G，给出如下定义：点P，Q都在图形G上，且将点P的横坐标与纵坐标互换后得到点Q，则称点P，Q是图形G的一对“关联点”．例如，点和点是函数的一对关联点． (1)请写出一次函数的图象上的一对关联点的坐标： ； (2)抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点．点A，B是抛物线的一对关联点，直线与x轴交于点．求A，B两点坐标． 《第二十二章 二次函数综合练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C C C D C A 1．C 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，根据二次函数的顶点式解答即可求解，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图象的对称轴为直线， 故选：． 2．B 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：把抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式为． 故选：B 3．C 【分析】因为是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴二次函数图象的顶点坐标是（-1，-2）． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标（对称轴），最大（最小）值，增减性等． 4．C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据抛物线的开口方向，对称轴以及图象与轴的交点判断、、的符号即可求解． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 对称轴在轴的右侧， ，则， 图象与轴的交于负半轴， ， ，，， 故选：C． 5．C 【分析】根据二次函数的解析式求得对称轴为直线，开口向上，根据与坐标轴的距离的远近即可判断与的大小关系 【详解】解：∵二次函数，开口向上，对称轴为直线 又点和在此函数图象上，， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，求得对称轴是解题的关键． 6．D 【分析】观察图象，得：抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，可得a＜0，c＜0；根据抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，可得 ；设抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的另一个交点为 ，再由抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为(1，0)，可得抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的另一个交点为，可得到方程ax2＋bx＋c＝0的实数根为x1＝1，x2＝3，根据图象可得当 或 时，抛物线的图象位于x轴的下方，从而得到不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为 或，即可判断． 【详解】解：A、观察图象，得：抛物线开口向下，与y轴交于负半轴， ∴a＜0，c＜0，故A正确，不符合题意； B、∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2， ∴ ，即 ，故B正确，不符合题意； C、设抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的另一个交点为 ， ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为(1，0)， ∴ ，解得： ， ∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的另一个交点为， ∴方程ax2＋bx＋c＝0的实数根为x1＝1，x2＝3，故C正确，不符合题意； 观察图象得：当 或 时，抛物线的图象位于x轴的下方， ∴不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为 或，故D不正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与x轴、y轴的交点，对称轴，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 7．C 【分析】本题考查的是二次函数的图象，二次函数的对称性，以及二次函数与一元二次方程，依据题意，结合函数图象，利用二次函数的对称性，恰当使用排除法，以及根据函数图象与不等式的关系可以得出正确答案． 【详解】解：A．由图可知抛物线开口向下，故A错误，不符合题意； B．当时，取最大值，则点A和点C到的距离相等，这两点的纵坐标应该相等，但是图中点A和点C纵坐标显然不相等，故B错误，不符合题意； C．图象经过，，三点，则点到称轴的距离最小，其次是点，点到称轴的距离最远，则，解得，故C正确，符合题意； D．抛物线开口向下，所以二次函数有最大值，当且大于它的最大值时，二次函数的图象与直线就没有交点，即一元二次方程没有实数根，故D错误，不符合题意； 故选：C． 8．A 【分析】根据图象关于的不等式的解集就是两个函数的交点的横坐标，以及一次函数的图象在二次函数的图象的上边部分对应的自变量的取值范围．本题考查了二次函数与不等式的关系，理解不等式的解集就是对应的自变量的取值范围是关键． 【详解】解：一次函数与二次函数的图象相交于，两点， 根据图象可得关于的不等式的解集是：． 故选：A． 9．（答案不唯一） 【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式满足，即可． 【详解】解：开口向下，并且与y轴交点在y轴负半轴的抛物线的表达式可以是． 故答案为：(答案不唯一)． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质．本题属于开放性试题，答案不唯一． 10． 【分析】根据二次函数的性质可直接进行求解． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为轴， ， 点到轴距离小于点到轴距离， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 11．4 【分析】因为抛物线顶点在x轴上，故函数图象与x轴只有一个交点，由此可得＝0，由此即可求出m的值． 【详解】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+m的顶点在x轴上， ∴＝（﹣4）2﹣4×1×m＝0， 解得：m＝4， 故答案为：4． 【点睛】此题考查了二次函数图象与x轴交点个数与根的判别式的关系，要明确：＞0时，图象与x轴有两个交点；＝0，图象与x轴有一个交点；＜0，图象与x轴无交点． 12．（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，由当时，随着的增大而减小，可得的取值范围． 【详解】解：二次函数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 当时，随的增大而减小， ∵当时，随的增大而减小， ∴ ∴的值可以是 故答案为：（答案不唯一）． 13．64 【分析】设BC=xm，则可得AB=(16-x)m，围成矩形ABCD的面积为ym2，由面积公式可得y关于x的二次函数，求出最大值即可． 【详解】设BC=xm，则AB=(16-x)m 由题意，得： ∵二次项系数－1<0 ∴当x=8时，函数有最大值64 即所围成矩形ABCD的最大面积为64m2． 故答案为：64． 【点睛】本题是二次函数的实际应用，考查了二次函数的图象与性质，关键是根据题意设恰当的未知量，得到函数关系式． 14．②④/④② 【分析】由图象可知，对称轴为直线，则有，即可判断①④，图象与x轴有两个交点，则可判断③，当时，代入解析式可判断②． 【详解】解：由图象得：，对称轴为直线， ∴，，故④正确； ∴，故①错误； 由图象知当时，，故②正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故③错误； 综上所述：正确的有②④两个； 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 15．（1），；（2）交点M的坐标为（2，-3）． 【分析】（1）将点A、点B坐标代入函数解析式，求解方程组即可； （2）设直线AB的解析式为：，将点A、点B坐标代入函数解析式求解确定解析式，然后根据（1）中确定二次函数解析式，求出其对称轴，求两条之间交点即可确定点M的坐标． 【详解】解：（1）将点A、点B坐标代入函数解析式可得： ， 解得：， ∴，； （2）设直线AB的解析式为：， 将点A、点B坐标代入函数解析式可得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为：， 由（1）得二次函数解析式为：， 对称轴为：， 直线与的交点为M， ∴当时，， ∴交点M的坐标为（2，-3）． 【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定二次函数与一次函数解析式，两条直线的交点问题，二次函数的基本性质，理解题意，熟练运用待定系数法确定解析式是解题关键． 16．(1) (2)上；不在． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由二次函数为，进而可以判断得解； （2）依据题意，由二次函数为，则，故该二次函数的图象的开口向上，又当时，，故点不在该函数的图象上，进而可以得解． 【详解】（1）解：由题意，二次函数为， 该二次函数的顶点坐标为． （2）由题意，二次函数为， ． 该二次函数的图象的开口向上． 又当时，， 点不在该函数的图象上． 故答案为：上；不在． 17． 【分析】根据抛物线的对称轴，即可确定b的值，将点（0，1）代入函数解析式确定c的值，由此即可确定函数解析式． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∴． ∵抛物线经过点（0，1），代入函数解析式可得： ∴．                             ∴该抛物线的解析式为． 【点睛】题目主要考查利用对称轴及点的坐标确定函数解析式，熟练掌握根据待定系数法确定函数解析式是解题关键． 18．(1) (2)图象见详解 (3) (4) 【分析】对于（1），根据完全平方公式配成顶点式即可； 对于（2），根据二次函数图象的画法：列表，描点，连线即可； 对于（3），令，求出x的值，即可得到答案； 对于（4），根据二次函数图象先求出当时，有最小值，再根据距离对称轴越远，y值越大，求出即可． 【详解】（1）解：. 故答案为：； （2）如图所示； （3）令时，， 解得：， ∴抛物线与x轴交点坐标为， 故答案为：； （4）由（1）可知， ∴当时，y有最小值为. ∵，距离对称轴越远越大， 当是，y有最大值为5． 所以y的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式，二次函数的画法，求二次函数最值，解决此题的关键是熟练掌握二次函数的性质和图象的性质． 19．(1)， (2)9 (3) 【分析】本题主要靠除了你一次函数与二次函数综合： （1）联立两函数解析式，求出对应的x、y的值即可得到答案； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）找到一次函数图象在二次函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：联立，解得或， ∵点的横坐标小于点的横坐标， ∴，； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为y轴，且开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴当时，且时，有最大值，最大值为； （3）解：由函数图象可知，当时，． 20．(1) (2)或 【分析】（1）将，，代入化成顶点式即可直接得解； （2）由进而得到抛物线的对称轴为，分类讨论，和，再根据增减性和对称性求解即可； 本题主要考查了二次函数的顶点坐标、二次函数的增减性、二次函数的对称性以及二次函数与直线的交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：将，，代入，得， 顶点的横坐标为，代入纵坐标为 ∴顶点坐标为； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为， ①当时，，则在对称轴右侧，其关于对称轴对称点为 ， ∵开口向上，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴当有， 可得， 解得； ②当时，，则在对称轴左侧，其关于对称轴对称点为 ， ∵开口向下，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴当有， 可得或， ， 解得； 综上，或； 21．(1) (2) (3)当直线与图象G只有一个交点时，或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用平移的性质得到点的坐标为，点M，的坐标分别代入，计算即可求解； （3）分两种情况讨论，联立，利用求得b的值；当直线在点和点B之间时，直线与图象G只有一个交点，据此即可求解. 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：将点向左平移3个单位长度得到点，点恰好也在该抛物线上， ∴点的坐标为． 将点M，的坐标分别代入， 得， 令， 整理，得， 解得． 将点代入，得． ∴点M的坐标为； （3）解：由（2）得点的坐标为， 联立，，消去y得，， 由题意得， 解得； 当直线经过点时，，， 当直线经过点时，，， ∴当时，直线与图象G只有一个交点， 综上，当直线与图象G只有一个交点时，或． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，图形的平移，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 22．(1)， (2) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式、线段最值问题，解题的关键是掌握以上知识点． （1）用待定系数法即可求解； （2）求出点P的坐标为和点Q的坐标为，再得到关于a的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 将点A的坐标代入直线表达式得：， 解得； （2）解：由（1）得，直线和抛物线的表达式为：，， 由题意得：点P的坐标为和点Q的坐标为， ∴ ∵， ∴当时，的最大值为． 23．(1)m (2)物体的高度应小于2 m 【分析】（1）根据题意结合平面直角坐标系求出点A、C的坐标和抛物线的对称轴，再求出抛物线的解析式即可求得答案； （2）由（1）中函数的表达式，当时求出函数的值，从而即可求得答案． 【详解】（1）解：根据题意，由坐标系可得， 点A的坐标为， 点C的坐标， 又由点P到喷水枪所在直线的距离为1m， ∴水流轨迹抛物线的对称轴， 设抛物线的表达式为：， 得， 解得， ∴， ∴点P的坐标为， ∴水柱最高点P到地面的距离m； （2）解：如下图所示，设点D为障碍物放置点，作，与抛物线相交与点， 得点D的坐标为， 当时，， ∴m， ∴物体的高度应小于2 m． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用问题，求出函数解析式是解题的关键． 24．(1)， (2)，． 【分析】本题考查函数图象上点的坐标特征，能读懂并理解“关联点”的定义是解题的关键． （1）写出一次函数图象上一个点的坐标，根据“关联点”的定义即可解决问题； （2）先求出二次函数的表达式，再由直线与x轴交于点结合“关联点”的定义即可得出直线AB的函数表达式，进而解决问题． 【详解】（1）将，代入得，， 则在一次函数图像上， 将，代入得，， 和是函数的一对关联点． （2）抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点， ， ，， 抛物线的解析式为：， 点A，B是抛物线的一对关联点， 设，， 设直线得函数表达式为， 则， 解得：， ． 又直线与x轴交于点， ， 一次函数的表达式为 将一次函数表达式和二次函数表达式联立成方程组得， ， 解得∶或， A，B两点坐标为，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $