第四章 图形的相似（优质类型）-2025-2026学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

第四章 图形的相似思维导图 【类型覆盖】 类型一、重心的性质 【解惑】在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（　　） A．2 B．3 C．6 D．12 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，点为此三角形的重心，连接并延长交于点，过点作于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，F是的中点，E是边上的动点，与关于对称，点A的对称点为G，当点G落在的垂直平分线上时，的长是 ；连接，，当点G恰好是的重心时，的长是 ． 3．在中，点是的重心，若的面积等于6， ． 类型二、相似中的最值问题 【解惑】如图，在正方形中，，为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，矩形中，，点M在上，点N在上，则的最小值为（    ） A．9 B．12 C． D． 2．如图，在正方形中，，点，分别在边，上不与顶点重合，且满足，连结，交于点，分别是边，的中点，连结，，则的最小值为 ． 3．如图，，，，点在线段上运动，为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是 ． 类型三、相似中的折叠问题 【解惑】如图，在菱形纸片中，点在边上，将纸片沿折叠，点落在处，，垂足为．若，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，D是等边三角形边上的点，，，现将折叠，使点C与点D重合，折痕为，且点E、点F分别在边和上，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在▱ABCD中，，，点E为边上一点，，点F是边上的动点，将沿直线折叠得到，若点G恰好落在线段上，则的值为 ． 3．小明想用如图1所示的三角形纸片（）折出一个菱形，使为菱形的一个内角． (1)小明进行如下折叠过程： 步骤1：如图2，将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得点C的对应点落在边上，折痕为（点D在边上），展平纸片； 步骤2：如图3，再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为，再次展平后，连接，得到菱形． ①折痕为的______；（填“中线”“角平分线”或“高”） ②若，，求菱形的边长； (2)若将（1）中的步骤2改为：如图4，再次折叠该三角形纸片，使得点A落在线段上（且A与D不重合），折痕为，展平纸片，与交于点O，连接，．证明：四边形是菱形． 类型四、相似中的旋转问题 【解惑】如图，等边的边长为6，点在上，，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接交于点，则点到的距离为（ ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，边长为10的等边，点D在边上，且，将含角的直角三角板（）绕直角顶点D旋转，分别交边于P、Q，连接，当时，的长为（   ） A．2 B．1 C． D．3 2．如图，在中，，，，将绕点旋转，使点落在边上的点处，点落在点处，连接，，延长交于点，则的长为 ． 3．如图，在矩形中，，，为对角线，将以为旋转中心，按照逆时针的方向旋转，得到（点的对应点为点，点的对应点为点）． 【初步探究】 （1）在图1中，连接，，在三角形旋转过程中，试探究的值； 【深入探究】 （2）如图2，当点落在的延长线上，延长交于点，请判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，当点落在的中线的延长线上时，延长交于点，请直接写出的长度． 类型五、相似中的菱形 【解惑】如图，在菱形中，过点A作，垂足E在的延长线上，过点E作，垂足为．若，，则菱形的边长为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，是菱形的对角线，于点，并交于点，若，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知菱形的边长是8，点E在上，若，连接与对角线相交于点M，则的值为 ． 3．如图1，在菱形中，于点，为的中点，延长交的延长线于点，已知，．点，分别在线段，上（不与端点重合），且满足，设，． (1)求证：． (2)求关于的函数表达式． (3)如图2，连结．当与的一边垂直时，求的值． 类型六、相似中的矩形 【解惑】如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（  ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，M是边的中点，，垂足为N，连接．给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．延长，与的平分线交于点，交于点，当时，值为 ． 3．矩形中，，点在边上，连接，在线段上取一点，连接． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当且时，求的值； (3)如图3，当时，求证：． 类型七、相似中的正方形 【解惑】如图，正方形中，E是中点，连接，作交于F，交于P，交于H，延长交延长线于G，则的值为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，点、分别为正方形的边、上一点，、交于点，且，，分别交对角线于点，，则有以下结论：；；；．以上结论中，正确的个数有（    ）个． A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，是上的一点，将绕点逆时针旋转后得到，将沿折叠得到，连接，若，，则的长 ． 3．如图，已知正方形，点为边上一点，，交于点． (1)的值为 ； (2)将绕点顺时针旋转到如图所示的位置，连接，，猜想与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图，当时，其他条件不变，将绕点顺时针旋转，连接，设旋转角为，当 时，． 类型八、相似中的动点求t 【解惑】如图，在中，，，，点P在线段上以每秒1个单位的速度从点B向点A运动，同时点Q在线段上以同样的速度从点A向点C运动，运动的时间用（单位：秒）表示． (1)求线段的长； (2)求当t为何值时，与相似？ (3)在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，已知直线l的表达式为，且直线l与坐标轴分别相交于A，B两点，动点P从点A开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点O运动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒5个单位长度的速度向点A运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒． (1)求点A，B的坐标； (2)线段 ， ．（用含t的代数式表示） (3)当t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与相似？ 2．如图，在 中，，，，点 以每秒 个单位长度的速度从点 向点 方向运动，同时点 以每秒 个单位长度的速度从点 向点 方向运动，点 到达点 后，点 也停止运动，设点 ， 运动的时间为 ． (1)求点 停止运动时， 的长． (2)在 ， 两点运动过程中， 是点 关于直线 的对称点，是否存在某一时刻，使四边形 为菱形？若存在，求出此时 的值；若不存在，请说明理由． (3)在 ， 两点运动过程中，求使 与 相似的 的值． 3．如图，在矩形中，，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线方向运动，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段方向运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒（）． (1)用含t的代数式表示线段的长． (2)当与矩形的对角线平行时，求t的值． (3)若点P在上，M为的中点，当t为何值时，以M，P，C为顶点的三角形与相似？ 类型九、相似中的新定义 【解惑】定义：如果一个平行四边形的两条对角线的夹角等于它的一个内角，我们称这个平行四边形为“对等平行四边形”，这组相等的角称为一组“对等角”．如图1，平行四边形中，，则平行四边形为“对等平行四边形”，和称为一组“对等角”． 【初识定义】 下列四边形中，是“对等平行四边形”的有___________ A、矩形  B、菱形  C、正方形 【理解提升】 （2）①小明发现，“对等平行四边形”的边与对角线之间有奇妙的关系，试探究图1中“对等平行四边形”的对角线与之间的数量关系，并加以证明． ②图1中，若，求的长． 【拓展应用】 （3）如图2，线段的长为3，射线于点，且，点为射线上一动点，点为平面内一点，若以为顶点的平行四边形是以为边的“对等平行四边形”． ①请作出所有符合条件的图形（不限作图工具）并用小弧线（“”）标记出“对等角”； ②在你画的“对等平行四边形”中，连接，将沿着翻折得到，若直线与所画的“对等平行四边形”的另一边交于点，直接写出的长． 【融会贯通】 1．综合与实践 【问题情境】定义：四边形一边的中点与它所在边的对边的两个端点的连线所形成的折线，叫作四边形的折中线． 如图1，在四边形中，是边的中点，连接，，则由线段，组成的折线叫作四边形的折中线，折线的长叫作折中线的长． 【特例感知】 （1）如图2，若四边形是矩形，当时，折中线的长与边的长的数量关系是______．（用含的代数式表示） 【深入探究】 （2）如图3，折线是的折中线． ①若，折中线的长为，则与的数量关系是_______．（填“>”“=”或“<”） ②当时，写出图3中的一条角平分线及其平分的角，并说明理由． （3）如图4，在中，，，当折中线的其中一条线段与的一条对角线相等时，直接写出折中线的长． 2．综合与探究 【定义】若四边形的一条对角线将这个四边形分成等腰三角形和直角三角形，且此对角线为直角三角形的斜边，则这个四边形叫做“等腰直角四边形”，这条对角线为“分割对角线”． 【示例】如图1，是四边形的对角线，是等腰三角形，，则四边形是等腰直角四边形，是分割对角线． 【简单应用】 （1）如图2，在“等腰直角四边形”中，，．若，，，则___________； （2）如图3，在中，点在对角线上．若四边形是“等腰直角四边形”，，求的值； 【拓展提升】 （3）如图4，在“等腰直角四边形”中，对角线与相关于点，，，求的值； （4）如图5，在中，，，．点是平面内一点且满足四边形是以为分割对角线的“等腰直角四边形”，与交于点，直接写出的值． 3．定义新知 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 初步探究 （1）如图1为的正方形网格，线段、的端点均在格点上，请在图中标出格点D的位置，使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形是邻等对补四边形；（标出一个满足条件的点D，同时画出这个四边形） （2）如图2，在邻等对补四边形中，，，连接，求证：平分； 拓展应用 （3）在2025年春晚的舞台上，一群机器人的秧歌表演成为了全球焦点，据了解，这些机器人使用的主要材料为，该材料拥有较高刚性和韧性，且兼具㡂热性、耐腐蚀性、耐磨性等优势，易于加工成各种形态的零件．如图3，现有一块形如三角形的某种新型材料，，，，某科研人员想用这块材料裁出一个邻等对补四边形部件，要求点P在边上，点Q在边上，且该四边形仅有一组邻边相等，请你根据科研人员的规划要求，确定点Q的位置（即的长度）． 类型十、相似中的无刻度尺作图 【解惑】（1）追根溯源 如图1，太阳直射在上，为上的高，，，是位于同一条直线上的影子．则通过，，得到______，进而得到，被称作射影定理． （2）拓展提升 如图2，在中，点为上一点，． ①求证：； ②若，，点为直线上一点，当为直角三角形时，请直接写出的长度． 【融会贯通】 1．阅读与思考，完成后面的问题． 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在中，，是斜边上的高，则有如下结论： ①；②；③．下面是该定理的证明过程（部分）： ∵是斜边上的高，∴．∵，， ∴．∴（依据）．∴．即． (1)材料中的“依据”是指　　　　； (2)选择②或③其中一个结论加以证明； (3)应用：中，，，，点A在y轴上，求顶点A的坐标． 2．图①、图②、图③均是的正方形网格．每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作的高； (2)在图②中，在线段上确定一点，连结，使； (3)在图③中，在线段上确定一点，使． 3．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，画图过程用虚线表示，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，作的角平分线交于点； (2)已知是上一点，在（1）的基础上，作点关于的对称点； (3)在图2中，画线段交于点，使平分的面积； (4)在（3）的基础上，将点以点为旋转中心逆时针旋转，取旋转角等于，画出旋转后的点． 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 图形的相似思维导图 【类型覆盖】 类型一、重心的性质 【解惑】在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（　　） A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】此题考查了重心的性质．根据重心的性质三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，直接求得结果． 【详解】解：三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍， ． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，点为此三角形的重心，连接并延长交于点，过点作于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的重心，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍．过点作于点，连接并延长交于点，由三角形重心的性质得到，由勾股定理得，由三角形面积得，证明，由相似三角形的性质得到，即可求出． 【详解】解：过点作于点，连接并延长交于点， ∵点是的重心， ∴为的中线， ∴， ∴，即， ∵在中，，，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的重心，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 2．如图，在矩形中，，F是的中点，E是边上的动点，与关于对称，点A的对称点为G，当点G落在的垂直平分线上时，的长是 ；连接，，当点G恰好是的重心时，的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的重心，线段的垂直平分线等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 过点F作，交于点H，交于点M，易得当点G在的垂直平分线上时或点G为重心时，都有H，M，G，F四点共线，由勾股定理可得，证，求得，利用勾股定理求出即可；当点G是的重心时，，易证，利用中位线定理求出，进而得解． 【详解】解：如图：过点F作，交于点H，交于点M， ，，且， ∴四边形为矩形， F是的中点， ∴H是的中点， ， ∴， M也是的中点， 当点G在的垂直平分线上时或点G为重心时，都有H，M，G，F四点共线． 与关于对称， ， ， 当点G落在的垂直平分线上时， ， 由题意得，， ， ， 解得， ， 当点G是的重心时，， ，， ， 又为中点，， ， ， H，M分别是，的中点， ， 故答案为：，． 3．在中，点是的重心，若的面积等于6， ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的重心，熟知三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解答此题的关键． 先根据点是的重心得出，再由的面积等于，得出的面积等于，即可求出． 【详解】解：∵中，点是的重心， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 类型二、相似中的最值问题 【解惑】如图，在正方形中，，为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作点关于的对称点，过点作于，交于点，连接，，根据折叠的性质可得点在上，推得的最小值为的长，根据折叠的性质可得为线段的垂直平分线，根据勾股定理可得和的值，根据同位角相等，两直线平行可得，根据两直线平行，内错角相等可得，根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是菱形可得四边形为菱形，根据菱形的对角线互相平分可得，，求得的值，根据两组对角相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可求得的值，即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，过点作于，交于点，连接，，如图： 由折叠的性质知是的平分线， ∴点在上， ∵， ∴的最小值为的长， 由折叠的性质知为线段的垂直平分线， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称的应用——最短路径问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，矩形中，，点M在上，点N在上，则的最小值为（    ） A．9 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，线段的垂直平分线的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过B点作的垂线，垂足为点，延长至点，使得，连接，过点作交于点， 证明，结合勾股定理以及矩形的性质求出，由作图可得垂直平分，则，那么，故当点共线，且点重合时，取得最小值即为． 【详解】解：过B点作的垂线，垂足为点，延长至点，使得，连接，过点作交于点， ∵矩形中，, ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由作图可得垂直平分， ∴， ∴， 当点共线，且点重合时，取得最小值即为， ∴的最小值为 故选：D． 2．如图，在正方形中，，点，分别在边，上不与顶点重合，且满足，连结，交于点，分别是边，的中点，连结，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定及性质，通过构造三角形相似将转化为是解题的关键．取的中点，连接，过点作交于点，取的中点，连接，连接，先证明，推导出，求得，再证明，得到，则，求出的长即为所求． 【详解】解：取的中点，连接，过点作交于点，取的中点，连接，连接， ，，， ， ， ， ， 是的中点， ， 是的中点， ， 是的中点， ， ，，， ， ， ， ， 在中，， 的最小值为， 故答案为：． 3．如图，，，，点在线段上运动，为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，垂线段最短，直角三角形斜边上的中线等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 根据相似三角形的判定与性质，证明，推出，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：，， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的值最小时，的值最小，此时的值最小， ，，， ， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小，根据三角形面积得，此时， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：6． 类型三、相似中的折叠问题 【解惑】如图，在菱形纸片中，点在边上，将纸片沿折叠，点落在处，，垂足为．若，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据菱形的性质，翻折的性质，和三角形的相似判定和性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由翻折，菱形的性质，得： ， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点E作， 设， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，D是等边三角形边上的点，，，现将折叠，使点C与点D重合，折痕为，且点E、点F分别在边和上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质、相似三角形的性质得到，根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、翻转变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可知， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 2．如图，在▱ABCD中，，，点E为边上一点，，点F是边上的动点，将沿直线折叠得到，若点G恰好落在线段上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折背景下勾股定理和相似三角形性质和判定的运用，及平行四边形的性质，解直角三角形，根据题意画出图形是突破该题的关键． 作于M，作交延长线于N，用勾股定理求出的长，进而可求，证明，得，进而可用勾股定理求，分别延长，交于点，由翻折可知，，，进而可得，根据，得，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：作于M，作交延长线于N， 、都是直角三角形， 中， ， ， ， ，， 即， ，， ， ， 又， ， 中，，，， ， ， ，， ， 分别延长，交于点， 由翻折可知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．小明想用如图1所示的三角形纸片（）折出一个菱形，使为菱形的一个内角． (1)小明进行如下折叠过程： 步骤1：如图2，将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得点C的对应点落在边上，折痕为（点D在边上），展平纸片； 步骤2：如图3，再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为，再次展平后，连接，得到菱形． ①折痕为的______；（填“中线”“角平分线”或“高”） ②若，，求菱形的边长； (2)若将（1）中的步骤2改为：如图4，再次折叠该三角形纸片，使得点A落在线段上（且A与D不重合），折痕为，展平纸片，与交于点O，连接，．证明：四边形是菱形． 【答案】(1)①角平分线；②菱形的边长为； (2)见解析 【分析】（1）①由折叠知，折痕为的角平分线； ②由菱形的性质可证明，；设菱形的边长为x，则可得关于x的方程，解方程即可． （2）由第一次折叠知；由第二次折叠知，，，则可证明，有，从而根据四边相等的四边形是菱形即可证明． 【详解】（1）解：①由折叠知，折痕为的角平分线； 故答案为：角平分线； ②∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 设菱形的边长为x，则， ∴， 解得：， 即菱形的边长为； （2）证明：由第一次折叠知：； 由第二次折叠知，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，掌握菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 类型四、相似中的旋转问题 【解惑】如图，等边的边长为6，点在上，，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接交于点，则点到的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，过作于，得到，根据等边三角形的性质得到，求得，，根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， 将绕点按顺时针方向旋转得到， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 过作于， ， 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，边长为10的等边，点D在边上，且，将含角的直角三角板（）绕直角顶点D旋转，分别交边于P、Q，连接，当时，的长为（   ） A．2 B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明是解题的关键． 根据以及直角三角形的性质可得，，然后结合等边三角形的性质可得，可证，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 故选：A 2．如图，在中，，，，将绕点旋转，使点落在边上的点处，点落在点处，连接，，延长交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】由旋转的性质和勾股定理，可得，过点作于点，由三角形相似的判定和性质，可得，由等角的余角相等，可得，根据等腰三角形的判定和性质，可得，用勾股定理解直角三角形，可得，从而可求得的长． 【详解】解：如图，过点作于点， 由旋转的性质得，，，， ∵，，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定和性质． 3．如图，在矩形中，，，为对角线，将以为旋转中心，按照逆时针的方向旋转，得到（点的对应点为点，点的对应点为点）． 【初步探究】 （1）在图1中，连接，，在三角形旋转过程中，试探究的值； 【深入探究】 （2）如图2，当点落在的延长线上，延长交于点，请判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，当点落在的中线的延长线上时，延长交于点，请直接写出的长度． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】利用勾股定理求得，再证得∽，利用相似三角形性质即可求得答案； （2）过点作于点，由旋转得：，，，，可证得≌，利用全等三角形性质即可求得答案； （3）延长交于点，连接，，设交于点，由旋转得，，，可证得，，，，即可求得答案． 【详解】（1）解：四边形是矩形，，， ，， ， 由旋转得：，，， ， ， （2），理由如下： 过点作于点，如图， 则， 四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ， 由旋转得：，，，， ，， 又， ， ，， ， ， 即； （3）如图，延长交于点，连接，，设交于点， 由旋转得，，， ， 是的中线，， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了旋转变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 类型五、相似中的菱形 【解惑】如图，在菱形中，过点A作，垂足E在的延长线上，过点E作，垂足为．若，，则菱形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的面积公式得到，由勾股定理求出，判定，推出，求出，即可得到菱形的边长． 本题考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由菱形的面积公式推出，判定． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， ， 菱形的面积， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， 菱形的边长为． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，是菱形的对角线，于点，并交于点，若，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．根据菱形的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理可求出x的值，从而得到，，再由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴可设，则， 在中，，， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：B 2．如图，已知菱形的边长是8，点E在上，若，连接与对角线相交于点M，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 利用菱形的性质判定出，然后利用对应边成比例进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为：． 3．如图1，在菱形中，于点，为的中点，延长交的延长线于点，已知，．点，分别在线段，上（不与端点重合），且满足，设，． (1)求证：． (2)求关于的函数表达式． (3)如图2，连结．当与的一边垂直时，求的值． 【答案】(1)见详解 (2)， (3)或 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，一次函数以及全等三角形的判定与性质等知识，灵活运用相似三角形的判定与性质，是解答本题的关键． （1）根据含角的直角三角形的性质可得，即可得，再证明，即可得到结论； （2）先证明，即有，进而可得，，则有，即有，结合，，可得，整理即可得到答案； （3）分类讨论，当时，先表示，即有，结合（2）的结论有，解方程即可； 当时，证明，则有，即有，即可得，解方程即可； 当时，可得，此与相交矛盾． 【详解】（1）证明：在菱形中，，，，，， 在中，， ， 为的中点， ， ， ， ，， ， ； （2）解：由（1）得，， ， ， 在中，，， ， 又， ， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得， ， ， ， ， ，， ， ， 点分别在线段上（不与端点重合）， ， ， 即：， ，； （3）解：由（1）、（2）得，，， 即，，当时，如图， ，， ， ， ， ， 解得：； 当时，如图， ，， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， 当时， ， ， 又、相交， 的情况不存在； 综上所述：的值为或者． 类型六、相似中的矩形 【解惑】如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答此题的关键． 根据勾股定理求出AC=BD=10，由矩形的性质得出AO=5，证明得到OE的长，再证明可得到EF的长，从而可得到结论． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， 同理可证，， ， ， ， ， 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，M是边的中点，，垂足为N，连接．给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题是考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质．通过证明，可得，得到，可证①④正确；由平行线性质可得，可证，可判断②；通过证明，可得，可求，即可得，则可判断③，即可得出结论． 【详解】解：在矩形中， ， ， ， ∵是边的中点， ， ， ∴，故①正确； ∴，故④正确； ∵四边形是矩形， ， ， ，故②正确； ， ，且， ，且， ， ， ， ， ∴， ∴，故③错误． 综上所述，正确的结论有3个． 故选：C． 2．如图，在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．延长，与的平分线交于点，交于点，当时，值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定以及勾股定理，过作于点，先证明全等得到，结合相似三角形得到比例，通过勾股定理和设未知数建立方程，求解比例关系即可． 【详解】解：过作于点，如图， 平分，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设，， 则，，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 即， ， ， 故答案为：． 3．矩形中，，点在边上，连接，在线段上取一点，连接． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当且时，求的值； (3)如图3，当时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）结合矩形的性质可得，即可求证； （2）过点C作于点F，由（1）得：，从而得到，再由勾股定理可得，从而得到，然后根据为等腰直角三角形，即可求解； （3）过点P作于点G，则，结合，可得到，从而得到，，再证明，可得，然后在中，利用勾股定理可得，即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过点C作于点F， 由（1）得：， ∴， 矩形中，∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； （3）解：如图，过点P作于点G，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似；相似三角形对应边成比例． 类型七、相似中的正方形 【解惑】如图，正方形中，E是中点，连接，作交于F，交于P，交于H，延长交延长线于G，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，得，根据证明，，，列比例式可求得：和的长，从而得结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，中点定义，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是弄清比例之间的数量关系． 【融会贯通】 1．如图，点、分别为正方形的边、上一点，、交于点，且，，分别交对角线于点，，则有以下结论：；；；．以上结论中，正确的个数有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由四边形是正方形，则，所以，可判断；把绕点顺时针旋转得到由旋转的性质得，，，，证明，然后根据性质可判断；证明，则，从而判断，由四边形是正方形，，，，，证明，通过相似三角形性质可判断． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； 如图， 把绕点顺时针旋转得到由旋转的性质得，，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，即，故正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故错误； 综上可知：正确，共个， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 2．如图，在正方形中，是上的一点，将绕点逆时针旋转后得到，将沿折叠得到，连接，若，，则的长 ． 【答案】 【分析】根据正方形和折叠的性质，推出、、三点共线，延长交于点，连接，过点作于点，证明，设，在中，利用勾股定理求出，，，再证明，利用对应边成比例求出，，进得到，即可求出的长． 【详解】解：四边形是正方形，， ，， 由旋转的性质可知，， ，，， ， 、、三点共线， 由折叠的性质可知，，，，， 如图，延长交于点，连接，过点作于点， ， 在和中， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， ， 解得：， ，，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 3．如图，已知正方形，点为边上一点，，交于点． (1)的值为 ； (2)将绕点顺时针旋转到如图所示的位置，连接，，猜想与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图，当时，其他条件不变，将绕点顺时针旋转，连接，设旋转角为，当 时，． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)或° 【分析】（1）根据正方形的性质推出°，°，，继而推出，，可得结论； （2）先判断出，进而得出，即可得出结论； （3）先证明得，再推出是等边三角形，求出，再分两种情况计算即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在正方形中，是正方形的对角线， ∴°，°，， ∴， ∵， ∴°， ∴°， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）与的数量关系为． 证明：将绕点顺时针旋转到如图示的位置，连接、， ∴ 由（1）知：，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点在正方形内部，如图，连接， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即：， 当点在正方形外部，如图，连接， 同理，是等边三角形， ∴， ∴， 即：， 综上所述，当或时，． 故答案为：或． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，判断出是等边三角形是解题的关键． 类型八、相似中的动点求t 【解惑】如图，在中，，，，点P在线段上以每秒1个单位的速度从点B向点A运动，同时点Q在线段上以同样的速度从点A向点C运动，运动的时间用（单位：秒）表示． (1)求线段的长； (2)求当t为何值时，与相似？ (3)在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)5 (2)或 (3)不能，见解析 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）根据题意，分与，两种情况求解即可． （3）过点Q作于点N，根据题意，得，，；故，根据四边形与面积相等，，得，此时，说明方程无实数根，解答即可． 本题考查了勾股定理，三角形相似的判定和性质，分类计算，一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握判定和性质，根的判别式是解题的关键． 【详解】（1）解：，，， 故． （2）解：根据题意，得，， 当时， ∴， ∴， 解得； 当时， ∴， ∴， 解得； 综上所述，运动秒或秒时，与相似． （3）解：过点Q作于点N， 根据题意，得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； 故， ∵四边形与面积相等，， ∴， 整理，得， 此时， 故原方程无实数根， 故不存在时间t使得四边形与面积相等． 【融会贯通】 1．如图，已知直线l的表达式为，且直线l与坐标轴分别相交于A，B两点，动点P从点A开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点O运动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒5个单位长度的速度向点A运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒． (1)求点A，B的坐标； (2)线段 ， ．（用含t的代数式表示） (3)当t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1)点的坐标为：，点的坐标为： (2) (3)1或 【分析】此题考查了相似三角形综合题，主要考查了一次函数图象与坐标轴交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的性质和相似三角形的性质是解题的关键，要注意分类讨论思想的应用． （1）令，，分别求解即可． （2）先求出，根据题意解答即可． （3）分为当时，当时，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：， 当时，， 当时，， 则点的坐标为：，点的坐标为：． （2）解：在中， ， 由勾股定理得：， 根据题意可得． 故答案为：． （3）解：， 第一种情况：当时，， 即， 解得：； 第二种情况：当时，， 即， 解得：． 故当为1或时，以点、、为顶点的三角形与相似． 2．如图，在 中，，，，点 以每秒 个单位长度的速度从点 向点 方向运动，同时点 以每秒 个单位长度的速度从点 向点 方向运动，点 到达点 后，点 也停止运动，设点 ， 运动的时间为 ． (1)求点 停止运动时， 的长． (2)在 ， 两点运动过程中， 是点 关于直线 的对称点，是否存在某一时刻，使四边形 为菱形？若存在，求出此时 的值；若不存在，请说明理由． (3)在 ， 两点运动过程中，求使 与 相似的 的值． 【答案】(1) (2)存在， (3)或 【分析】 本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、菱形的性质以及相似三角形的性质． （1）利用勾股定理求斜边长度，再根据运动时间求线段长度，进而用勾股定理求的长； （2）根据菱形性质得到相关线段关系 ，再利用相似三角形的性质列方程求解； （3）分两种情况，根据相似三角形的对应边成比例列方程求解． 【详解】（1） 解 ：，，， ， 点从点运动到点所需时间为， 点停止运动时，， ， ． （2） 存在，连接，交于点， 点与点关于直线对称， ，， 当时，四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 即解得，解得， 故存在某一时刻，使四边形为菱形，此时的值为． （3） 与相似时，分以下两种情况： ①若，则，即，解得； ②若，则，即，解得． 综上所述，使与相似的的值为或 3．如图，在矩形中，，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线方向运动，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段方向运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒（）． (1)用含t的代数式表示线段的长． (2)当与矩形的对角线平行时，求t的值． (3)若点P在上，M为的中点，当t为何值时，以M，P，C为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1)当时，，当时，； (2)或； (3)或。 【分析】本题主要考查了矩形的性质、列代数式、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、轴对称图形的性质、勾股定理、一元一次方程的应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分点在边上和点在延长线上两种情况解答即可； （2）分与两种情况，通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质列出方程求解即可； （3）先求得，再分与两种情况，根据相似三角形的性质列出方程求解即可； 【详解】（1）解：由题意得，，， ∵四边形是矩形， ∴， 当点与点重合时，则，解得， 当点与点重合时，则， ∵当点到达点时，两点同时停止运动， ∴， ∴当时，， 当时，； （2）解：当时，如图，，则， ∴， ∴， 解得； 当时，如图，，则， 由矩形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，的值为或； （3）解：∵点为的中点，， ∴， ∴， 当时，如图， ∴， ∴， 解得； 当时，如图， ∴， ∴， 解得； 综上所述，的值为或。 类型九、相似中的新定义 【解惑】定义：如果一个平行四边形的两条对角线的夹角等于它的一个内角，我们称这个平行四边形为“对等平行四边形”，这组相等的角称为一组“对等角”．如图1，平行四边形中，，则平行四边形为“对等平行四边形”，和称为一组“对等角”． 【初识定义】 下列四边形中，是“对等平行四边形”的有___________ A、矩形  B、菱形  C、正方形 【理解提升】 （2）①小明发现，“对等平行四边形”的边与对角线之间有奇妙的关系，试探究图1中“对等平行四边形”的对角线与之间的数量关系，并加以证明． ②图1中，若，求的长． 【拓展应用】 （3）如图2，线段的长为3，射线于点，且，点为射线上一动点，点为平面内一点，若以为顶点的平行四边形是以为边的“对等平行四边形”． ①请作出所有符合条件的图形（不限作图工具）并用小弧线（“”）标记出“对等角”； ②在你画的“对等平行四边形”中，连接，将沿着翻折得到，若直线与所画的“对等平行四边形”的另一边交于点，直接写出的长． 【答案】（1）C（2）①；②（3）①图见解析②或或 【分析】（1）根据矩形，菱形，正方形的性质，结合新定义，进行判断即可； （2）①证明，得到，平行四边形的性质，得到，，进而推出，，即可得出结论； ②设，则：，勾股定理得到，求出的值，即可得出结果； （3）①分，，三种情况进行讨论，画出图形即可；②根据①种的三种情况，结合平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）矩形的一个内角为90度，对角线相等，不垂直，夹角不等于90度，不符合题意； 菱形的对角线垂直，夹角为90度，菱形的内角不等于90度，不符合题意； 正方形的一个内角为90度，且对角线垂直，夹角也为90度，符合题意； 故选：C； （2）①，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②由①可知，， 设，则：， 在中，， ∴， ∴； （3）第一种情况：，如图： 第二种情况：，如图： 第三种情况：，如图： ②情况1，如图： 在中，， 由（2）①可知：， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，设，则：， 由勾股定理，得：，解得：， ∴； 情况2，如图： 在中，，， ∴， 同法可得：， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴在中，设，则：， 由勾股定理，得：， 解得：； ∵， ∴， ∴， ∴； 情况3：如图， 在中，， ∴只可能是， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 在中，设，则：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上：或或． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，特殊的平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握新定义，正确的画图，利用分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 【融会贯通】 1．综合与实践 【问题情境】定义：四边形一边的中点与它所在边的对边的两个端点的连线所形成的折线，叫作四边形的折中线． 如图1，在四边形中，是边的中点，连接，，则由线段，组成的折线叫作四边形的折中线，折线的长叫作折中线的长． 【特例感知】 （1）如图2，若四边形是矩形，当时，折中线的长与边的长的数量关系是______．（用含的代数式表示） 【深入探究】 （2）如图3，折线是的折中线． ①若，折中线的长为，则与的数量关系是_______．（填“>”“=”或“<”） ②当时，写出图3中的一条角平分线及其平分的角，并说明理由． （3）如图4，在中，，，当折中线的其中一条线段与的一条对角线相等时，直接写出折中线的长． 【答案】（1）；（2）①>；②平分，理由见解析；（3）折中线的长为或． 【分析】（1）证明，求得，利用勾股定理求解即可； （2）①延长交的延长线于点，得到，推出，，得到，在中，利用三角形三边关系即可求解； ②同①求得垂直平分线段，再利用等腰三角形三线合一即可得证； （3）分情况讨论：①当时，过点作于点G，过点B作，交的延长线于点K，②当时，过点A作交的延长线于点F，过点A作于点M，过点E作于点N，分别利用平行四边形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①如图，延长交的延长线于点， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，（三角形三边关系：两边之和大于第三边），即， 故答案为：>； ②平分， 理由：延长交的延长线于点G. ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴平分（等腰三角形三线合一）； （3）或. 观察图形可知，，而，故， ∴折中线中的线段或只能与中较短的对角线相等， 分情况讨论：①当时， 如图，过点作于点G，过点B作，交的延长线于点K， 设，则，， ∴四边形是矩形， 则， 解得， 在中，由勾股定理，得； 在中，由勾股定理，得， 故折中线的长为； ②当时，如图，过点A作交的延长线于点F，过点A作于点M，过点E作于点N， 设，则，， ∴四边形是平行四边形，， ∵，∴， ∴（等腰三角形三线合一）， 即， 解得， ∴，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 故折中线的长为， 综上所述，折中线的长为或． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定与性质，菱形的性质是解题的关键． 2．综合与探究 【定义】若四边形的一条对角线将这个四边形分成等腰三角形和直角三角形，且此对角线为直角三角形的斜边，则这个四边形叫做“等腰直角四边形”，这条对角线为“分割对角线”． 【示例】如图1，是四边形的对角线，是等腰三角形，，则四边形是等腰直角四边形，是分割对角线． 【简单应用】 （1）如图2，在“等腰直角四边形”中，，．若，，，则___________； （2）如图3，在中，点在对角线上．若四边形是“等腰直角四边形”，，求的值； 【拓展提升】 （3）如图4，在“等腰直角四边形”中，对角线与相关于点，，，求的值； （4）如图5，在中，，，．点是平面内一点且满足四边形是以为分割对角线的“等腰直角四边形”，与交于点，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或或 【分析】（1）过点C作于H，证明四边形是矩形，得到，由勾股定理得，则，可得，再利用勾股定理求解即可； （2）过点C作，垂足为，则，证明，得到，即，解得． （3）如图所示，作交延长线于点，作交于点，证明，得到，设，则，证明，得到，再证明，即可得到； （4）分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，过点C作于H， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）如图所示，过点C作，垂足为， ， ， ， ， ， 又， ， ，即， 解得． （3）如图所示，作交延长线于点，作交于点， ， ， ， 又， ， ∴， 设，则， ∵， ∴， ， ∴， ，即 ∴， ， ，即； （4）解析：①当时， 过点A作交延长线于F，分别过点C和点D作的垂线，垂足分别为N、M， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则 在和中，由勾股定理得， ∵， 诉 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ； ②当时， 过点D作于M，过点A作交延长线于N， ∴， 同理可得， 过点A作，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ∵， ∴， ； ③当时， 作交于点，作于H， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 设， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ， ∴， ∴ ∵， ， ． 综上所述，的值为或或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 3．定义新知 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 初步探究 （1）如图1为的正方形网格，线段、的端点均在格点上，请在图中标出格点D的位置，使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形是邻等对补四边形；（标出一个满足条件的点D，同时画出这个四边形） （2）如图2，在邻等对补四边形中，，，连接，求证：平分； 拓展应用 （3）在2025年春晚的舞台上，一群机器人的秧歌表演成为了全球焦点，据了解，这些机器人使用的主要材料为，该材料拥有较高刚性和韧性，且兼具㡂热性、耐腐蚀性、耐磨性等优势，易于加工成各种形态的零件．如图3，现有一块形如三角形的某种新型材料，，，，某科研人员想用这块材料裁出一个邻等对补四边形部件，要求点P在边上，点Q在边上，且该四边形仅有一组邻边相等，请你根据科研人员的规划要求，确定点Q的位置（即的长度）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的长为或 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义画图即可； （2）如图，延长到E，使得，连接，首先证明出，得到，，然后等量代换即可证明平分； （3）首先勾股定理求出，然后分4种情况讨论，然后分别根据勾股定理和相似三角形求解即可． 【详解】解：（1）点D的位置如图所示，四边形即为所求．（答案不唯一，画出一个即可） （2）证明：如图，延长到E，使得，连接， ，， ， 在和中，，，， ， ，， ， ， 平分； （3），，， ， 四边形是邻等对补四边形， ， ． ①当时，如图1，连接， ∴， ， ∵ ∴由勾股定理可得， ∴， 解得； ②当时，如图2，连接， ，， ， ，即， 解得， ； ③当时，如图3，连接， ，， ， ，故不符合题意，舍去； ④当时，如图3，同理可得，不符合题意，舍去． 综上，的长为或． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 类型十、相似中的无刻度尺作图 【解惑】（1）追根溯源 如图1，太阳直射在上，为上的高，，，是位于同一条直线上的影子．则通过，，得到______，进而得到，被称作射影定理． （2）拓展提升 如图2，在中，点为上一点，． ①求证：； ②若，，点为直线上一点，当为直角三角形时，请直接写出的长度． 【答案】（1）； （2）①见解析；②或 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据两角对应相等，证明，根据相似三角形的性质，即可得证； （2）①同（1）证明，即可得证； ②根据相似三角形的性质求得，进而求得，然后根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论，求得的长，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． （2）①∵，， ∴ ∴ ∴， ②∵，， ∴ ∴ 如图， 当时， ∵ ∴ 当时， ∴ ∴ 综上所述，的长为或． 【融会贯通】 1．阅读与思考，完成后面的问题． 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在中，，是斜边上的高，则有如下结论： ①；②；③．下面是该定理的证明过程（部分）： ∵是斜边上的高，∴．∵，， ∴．∴（依据）．∴．即． (1)材料中的“依据”是指　　　　； (2)选择②或③其中一个结论加以证明； (3)应用：中，，，，点A在y轴上，求顶点A的坐标． 【答案】(1)两角分别对应相等的两个三角形相似 (2)见解析 (3)顶点A的坐标为或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定和性质进行推理证明和计算． （1）根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”即可解答； （2）②根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”证明即可得证；③根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”证明； （3）根据题意以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用证明的射影定理得，即可求出，由此求出顶点A的坐标． 【详解】（1）解：“依据”是：两角分别对应相等的两个三角形相似， 故答案为：两角分别对应相等的两个三角形相似； （2）证明：②，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； ③，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； （3）解：如图，根据题意以为坐标原点建立平面直角坐标系， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴顶点A的坐标为或． 2．图①、图②、图③均是的正方形网格．每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作的高； (2)在图②中，在线段上确定一点，连结，使； (3)在图③中，在线段上确定一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了网格作图，三角形的高，相似三角形的性质与判定； （1）根据网格的特点作网格的对角线，交于点，即可求解； （2）根据，根据网格的特点在取点，使得，即可求解； （3）过点，作网格的对角线，交于点，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ∵， ∴是的高； （2）解：即为所求； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：即为所求； ∵与水平线，较小的夹角都为， ∴ 3．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，画图过程用虚线表示，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，作的角平分线交于点； (2)已知是上一点，在（1）的基础上，作点关于的对称点； (3)在图2中，画线段交于点，使平分的面积； (4)在（3）的基础上，将点以点为旋转中心逆时针旋转，取旋转角等于，画出旋转后的点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了格点作图，相似三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）如图所示，格线与的交点D即为所求； （2）取格点E，连接交于O，连接并延长交于Q，点Q即为所求； （3）取格点M，连接，则线段即为所求； （4）取格点P、Q、T、S，连接交于点N，点N即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，格线与的交点D即为所求； 可证明，则平分； （2）解：如图所示，取格点E，连接交于O，连接并延长交于Q，点Q即为所求； 可证明是等腰直角三角形，可证明，进而可证明； （3）解；如图所示，取格点M，连接，则线段即为所求； （4）解：如图所示，点N即为所求； 可证明，， 则，则，则． 6 学科网（北京）股份有限公司 $