专题03 相似三角形中母子型、手拉手型、K字型的三种模型（高效培优专项训练）数学北师大版九年级上册

专题03 相似三角形中母子型、手拉手型、K字型的三种模型 目录 题型一：“母子”模型(共边角模型) 1 题型二：“手拉手”模型(旋转模型) 13 题型三：“K”字模型（相似模型） 26 题型一：“母子”模型(共边角模型) 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 （1）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. （2）双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. （3） “母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 1．（2025·陕西渭南·二模）如图，在中，于点，若，则的长为（    ） A．9 B． C．13 D．12 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，列出比例式求出的长，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； 故选C． 2．（2025·云南西双版纳·二模）如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解答本题的关键；先证得，然后根据相似三角形相似比等于周长比即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，的周长为， ∴， 解得：， 故选：A． 3．（2025·上海奉贤·三模）从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．如图，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，那么的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定和等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意可得，先求出，再根据即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图， 是等边三角形，在一条直线上，，若，，则的长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形外角性质，由等边三角形性质可得，，由，得，根据三角形外角性质可得，，所以，，故有，则，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 5．（24-25九年级下·上海宝山·阶段练习）如图，在中，点是的黄金分割点，如果，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据黄金分割的定义得，然后利用等量代换可得，再结合可得，最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：点是的黄金分割点， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 6．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，中，，是的平分线交于D，若，则的值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形和相似三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，关键在于巧妙构造辅助线以及利用三角形的性质进行推导． 通过在上截取，利用角平分线性质和全等三角形判定得到一些边和角的关系，再结合已知条件推出三角形相似，从而求解的值． 【详解】在上截取，连接．    ∵是的平分线， ∴． ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴，． 又∵，， ∴， ∴． ∴． ∵，且． ∴． 又∵，即， 解得，． ∴，． 在和中， ，， ∴． 设，． ∵，， ∴，． ， ∴，． 由可得，即， 设，则，即． 解得；． ∵（，为线段长度）， ∴，即． 故答案为：． 7．（2025·陕西西安·二模）如图，在中，，，，于点D，平分交于点F，交于点E，则线段的长为 ． 【答案】3 【分析】作于点M，根据角平分线的性质得到，进而得到，根据等角对等边得到，证明，得到，证明∽，得到，代入计算即可. 【详解】解：如图，作于点M， 由题意得，，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ∴ ， ， ，， ∽ ，即， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了角平分线的性质，等角对等边，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键. 8．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，在中，点D为边上的一点，，点E为中点，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理及含30度角的直角三角形的性质； 延长交于点F，过点D作，证明，结合勾股定理可得，然后证明，利用相似三角形的性质求出，进而问题得解． 【详解】解：延长交于点F，过点D作，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵为的中点，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 9．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，过点B作，使边交于点D． (1)求证：． (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，而，则，求得． 【详解】（1）证明：在和中，， ． （2）解：， ， ， 即， ， ． 10．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，已知点P是线段的黄金分割点，，以点B为圆心；以长为半径画弧；再以点P为圆心，以一定长为半径画弧，两弧交于点C，连结，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．也考查了相似三角形的判定与性质． （1）由作法得，根据黄金分格的定义得到，则，然后根据相似三角形的判定方法可判断； （2）先利用黄金分割的定义得到，而，则，接着根据相似三角形的性质得到，从而可求出的长． 【详解】（1）解：由作法得， 点P是线段的黄金分割点，， ，即 而， ； （2）解：点P是线段的黄金分割点，， ， 即， ， ， ， . 11．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，等边的边长为4，点在同一直线上，． (1)求证：； (2)直接写出的长为_________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据，可得，从而得到，再证明，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵等边的边长为4， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）． 12．（24-25九年级上·四川资阳·期中）【基础巩固】 （1）如图，在中，，于点D，求证：． 【尝试应用】 （2）如图，在矩形 中，，点F在 上，，于点E，求的长． 【拓展提高】 （3）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点C的对称点F在边上，G为 中点，连接交 于点M，，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由，得到，再由，得到，从而得到，变形即可得到答案； （2）由矩形的性质得，，从而得到，即，由（1）可得，，从而得到，计算即可得到答案； （3）与关于直线对称，得，从而得到，再通过证明得到，由（1）可得，，设，解方程求出的值即可． 【详解】解：（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）∵ ∴ 在矩形中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 即： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ； （3）解：在矩形中， ∴ ∵与关于直线对称 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵是的中点 ∴ 由（1）可得： ∴ 设 则 ∴ 解得：或(舍去负根) ∴ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质是解题的关键． 题型二：“手拉手”模型(旋转模型) 【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 手拉手相似模型 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE； 1．（23-24九年级上·山西晋中·期中）如图，一副三角板（，，），，顶点A重合，将绕其顶点A旋转，在旋转过程中（不添加辅助线），以下4种位置不存在相似三角形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的判定方法依次判断是解决问题的关键． 【详解】解：选项A，∵，，    ∴，故选项A不符合题意． 选项B，如图，设与交于点，      ∵，， ∴，故选项B不合题意； 选项C，∵，， ∴，故选项C不合题意； 选项D中没有相似三角形，符合题意． 故选：D． 2．（23-24九年级上·山东德州·期末）如图，矩形和矩形，矩形绕点旋转，给出下列结论：①；②；③当时；④，其中正确的结论的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.通过证明 ，由相似三角形的性质可求，可以判断①错误；由相似三角形的性质可得，由余角的性质可证，可以判断②正确； 由勾股定理可求. ，可以判断④错误； 分别求出、即可判断③，即可求解. 【详解】解：∵矩形和矩形，，， ， ， ， ， ，故①错误； 如图: 设与交于点， ， ， 又 ， ， ，故②正确； 如图，连接， ， ，， ， ，，， ， ，故④错误； 如图，过点作 于， 于， ， ∴四边形APGN是矩形， ， ， ， ， ， ，故③正确； 综上所述：正确的结论是②③. 故选A 3．（24-25九年级上·湖北孝感·期中）如图中，，D是斜边的中点，将绕点A按顺时针方向旋转得到，点在的延长线上，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理、旋转的性质、直角三角形斜边中线定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握勾股定理、直角三角形斜边中线定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，由旋转的性质可得，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵，D是斜边的中点，，， ∴，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 4．（2025·江苏盐城·二模）如图，菱形绕点A旋转得到菱形，点在上，交于点P．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作交于点，根据菱形的性质得出，，根据旋转的性质得到推出，，得出，，进而得到三点共线，则有，通过证明求出，再证明得到，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作交于点， 菱形， ，， ， 由旋转的性质得，，，，， ，， ，， ， 三点共线， 菱形， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、旋转的性质、等边对等角、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定，添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，适合有能力解决几何难题的学生． 5．（24-25九年级上·陕西延安·期末）如图，是绕点顺时针方向旋转后所得的图形，点C恰好在上． (1)求的度数； (2)交于点E，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质， 对于（1），根据旋转的性质得，，再根据等腰三角形的性质得出答案； 对于（2），根据旋转可得，即可得，然后根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【详解】（1）解：∵是绕点顺时针方向旋转后所得的图形， ∴，， ∴； （2）解：由旋转可得， ∵， ∴． ∴， ∴． 6．（2025·山东聊城·三模）综合与实践 问题情境：在数学活动课上，王老师让同学们用两张矩形纸片进行探究活动．阳光小组准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图1所示的方式放置，当点A与点E重合，点F，H分别落在，边上时，点F，H恰好为边，的中点．然后将矩形纸片绕点A按逆时针方向旋转，旋转角为，连接与． 观察发现： (1)如图2，当时，小组成员发现与存在一定的关系，其数量关系是 ；位置关系是 ．请说明理由． 探索猜想： (2)如图3，当时，（1）中发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)依然成立，见解析 【分析】（1）根据在直角三角形中，两条直角边对应边成比例可得，再由相似即可得与的数量关系，再延长根据即可得到与的位置关系． （2）根据两边对应成比例及其夹角相等可得，再根据相似三角形的性质可得与的数量关系和位置关系． 【详解】（1）解：因为点F，H恰好为边，的中点，且，， 所以，， 又因为在和中， ，， 所以， 所以，， 延长交于点M，如图， 因为中，， 又因为， 所以， 所以在中，，即， 所以． （2）解：当时，且， 因为四边形和为矩形， 所以， 所以， 即， 由（1）知，，， ，， 所以， 所以， ，， 记与交于点P，与交于点N，如图， 因为，， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了图形的旋转，相似三角形的判定与性质，分别由直角三角形和普通三角形证明相似的方法，证明出是解决本题的关键． 7．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图1，在中，，，在斜边上取一点，过点作，交于点，现将绕点旋转一定角度到如图2所示的位置（点在的内部），使得． (1)如图2，①求证：； ②若，，求的长． (2)如图3，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，设，若，，，求的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）①利用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定进行解答即可；②根据相似三角形的判定和性质、勾股定理进行解答即可； （2）利用相似三角形的判定和性质、勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）解：①， ． 由旋转知，， ． ②在中，， ． 由①知，， ． ， ， ． ， ， ，． ， ， 在中，， 根据勾股定理得，， 在中，， ． （2）由旋转知，， ， ． ． ，， ，． ， ． ， ， ． 在中，， 在中，， ， （舍）或 ． 8．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图1，在正方形中，，在上取一点E，使得以为边作正方形，连接，． 问题发现： （1）的值是 ；直线，所夹锐角的度数是 ； 拓展探究： （2）如图2，正方形绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由； 解决问题： （3）在旋转过程中，当点E到直线的距离为时，请直接写出的长． 【答案】（1） ，  （2）结论成立，理由见解析  （3）或 【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． （1）通过证明可得 ，即可求解； （2）通过证明可得 ，即可求解； （3）分点在直线的左侧和点在直线的右侧两种情况，过点作于，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）如图①， 连接， 连接交于， 延长交于， ∵四边形和四边形是正方形， ， ， ， ， 又， ， 故答案为： ，； （2）结论仍然成立，理由如下：如图②，连接，连接交于， 延长交于， ∵四边形和四边形是正方形， ， ， ， ， 又， ； （3）如图③，当点在直线的左侧时，过点作交的延长线于，则， ， ， ， ， ， ； 如图④，当点在直线的右侧时，过点作于， 则， ， ， ， ， ， ， 综上所述：或． 题型三：“K”字模型（相似模型） 【模型解读与图示】K字型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似． (1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 补充：其他常见的一线三等角图形 1．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米；②沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），那么凉亭的高为（    ） A．0.4米 B．62.5米 C．6.4米 D．0.16米 【答案】C 【分析】本题考查利用相似测高，涉及相似三角形的判定与性质，熟练掌握平面镜测高的方法步骤是解决问题的关键．先由题意可得，从而得到相似比，再将题中已知线段长度代入求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 则， ， 由题意可知，米，米，米， ， 解得米， 故选：C． 2．（2025九年级上·湖南岳阳·专题练习）小辰同学利用图（1）“光的反射演示器”，直观呈现了光的反射原理．激光笔从左边点处发出光线，经平面镜点处反射后，落在右边光屏上的点处（、两点均在量角器的边缘上，为量角器的中心，A、、三点共线，，）．他在实验中记录了以下数据：水平距离的长为；铅垂高度的长为；如果小辰想使反射点沿方向下降，求此时点A沿方向移动的距离为（   ）   A．48 B．36 C．24 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定及勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用．设，在中，由勾股定理可得，由已知条件可证得，则有即，解出此时，使反射点沿方向下降后，同理可得，设，，则有即，在中，利用勾股定理可解得，，，由此即可求得点A移动的距离． 【详解】解：设，在中， 由勾股定理可得：， 即， ， 则， 由题意得：， ，， ， 即， ， 如图，反射点沿方向下降后， ，， 同理可知此时， 设，， 则即， ， 在中，， 即， 将代入得：， 解得， 则，， 点A移动的距离为：． 故选：D． 3．（2024九年级下·广东·学业考试）如图，在四边形内中，，，点E为中点，连接、，若．则的值为 ． 【答案】/0.8 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．利用，，得出，再由，得出，则，求出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，点E为中点， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 4．如图，在正方形中，M是边上的动点，N在上，且，若，设，当 时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似． 【答案】2或 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 先根据得出，再由得出，再分与两种情况进行讨论． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴， 当时，， ∴，解得； 当时，， ∴，解得， 综上所述，当或时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似， 故答案为：2或． 5．（1）如图1，在矩形中，E为边上一点，连接，过点E作交于点F． ①求证：． ②若，，E为的中点，求的长． （2）如图2，在中，，，，E为边上一点(点E不与点A、B重合)，连接，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，的长为多少？ 【答案】（1）①见解析；②；（2）或2． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质是解题关键． （1）①根据两角分别相等的两个三角形相似证明即可；②利用相似三角形对应边成比例求解即可； （2）由等腰直角三角形的性质，得到，证明，得到，由为等腰三角形且，可分别两种情况讨论：和，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）①证明：由题意得， ∴， ∴， ∴． ②解：∵， ∴， ∵，E为的中点， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰三角形且， 若，则 ∴； 若，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或2． 6.【感知】 如图1，在四边形中，点P在边上（不与A、B重合），，易证：（不要求证明）． 【探究】 如图2，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），． （1）求证：； （2）若，求的长． 【应用】 如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E． （3）当是等腰三角形时，直接写出的长 【答案】（1）见解析（2）或（3）4或． 【分析】（1）证明即可． （2）根据，得，设，则，代入比例式，解答即可． （3）根据，得到，结合，得，证明，再对是等腰三角形进行分类计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， 设，则， ∴，整理得， 解得， ∴或． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， 设，则， ∵是等腰三角形，且， 故只有两种情形解答，具体如下： 当时， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， 设，则， 根据前面证明，得， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上所述，的长为4或． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，等腰三角形的分类，分类思想，一元二次方程的解法，熟练掌握三角形相似的判定，等腰三角形的性质是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03相似三角形中母子型、手拉手型、K字型的三种模型 题型归纳 目录 题型一：“母子”模型（共边角模型）…】 题型二：“手拉手”模型（旋转模型） .13 题型三：“K字模型（相似模型）.26 题型专练 题型一：“母子”模型（共边角模型） 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角 形寓于大三角形中，恰似子依母怀)，也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对 应成比例就可以判定这两个三角形相似. D B D D B 图1 图2 图3 (1)“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C-∠ABD: 结论：△ABD~△ACB,AB=ADAC (2)双垂直模型（射影棋型）条件：如图2，∠ACB=90°，CDLAB: 结论：△ACD-△ABC-△CBD:CA=ADAB,BC=BDBA,CD=DADB. (3)“母子”模型（变形）条件：如图3，∠D=∠CAE,AB=AC:结论：△ABD一△ECA; 1.(2025陕西渭南·二模)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,若BD=4,AD=6,则BC 的长为() A.9 B.2V13 C.13 D.12 2.(2025·云南西双版纳·二模)如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD,∠BAD=∠BCA若 AB=5,BC=8,△ABD的周长为12.5，则△ABC的周长为() 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.20 B.25.5 C.30 D.35.5 3.(2025·上海奉贤·三模)从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交 点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形.如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形 相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.如图，在△ABC中，DB=2,BC=4,CD是 △ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，那么CD的长为() D B A.1 B.2 C.3 D.4 4.(24-25九年级上·黑龙江哈尔滨阶段练习)如图，△ABC是等边三角形，DB、C、E在一条直线上， ∠DAE=120°，若BD=1,CE=4,则AB的长是()· A.3 B.2 C.3 D.4 5.(24-25九年级下·上海宝山阶段练习)如图，在△ABC中，点D是AB的黄金分割点 (AD>BD),BC=AD,如果∠ACD=90°，CD=2,则AC=一 D 6.(2025·湖北武汉·模拟预测)如图，△ABC中，AB=AC,BD是∠ABC的平分线交AC于D,若 CD AB=BC+CD,则BD的值是一， 2/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 7.(2025陕西西安·二模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,BC=10,AD⊥BC于点D, BF平分∠ABC交AC于点F,交AD于点E,则线段AE的长为一· B 8.(2025内蒙古呼和浩特·模拟预测)如图，在△ABC中，点D为边AB上的一点， BD=2AD,∠ACD=30°，点E为CD中点，∠BED=60°，CD=4,则AC=一 B D 9.(24-25八年级下山东济南·期末)如图，在△ABC中，过点B作∠ABD=∠C,使边BD交AC于点 D A D C (I)求证：△ABD∽△ACB (2)若AB=6,AD=4,求线段CD的长. 10.(24-25八年级下山东泰安·期末)如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，AP>PB,以点B为圆 心；以AP长为半径画弧；再以点P为圆心，以一定长为半径画弧，两弧交于点C,连结AC,PC,BC. 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：△BCPABAC; (2)若AC=4,求PC的长. 11.(25-26九年级上·吉林长春·开学考试)如图，等边△ABC的边长为4，点D,B,C,E在同一直线上， CE=8,∠BAD=∠E」 D B C (I)求证：△ABD∽△ECA: (2)直接写出AD的长为 12.(24-25九年级上四川资阳期中)【基础巩固】 (1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,求证：AC2=AD·AB. 【尝试应用】 (2)如图②，在矩形ABCD中，AD=2,点F在AB上，FB=3AF,DF⊥AC于点E,求AE的长. 【拓展提高】 (3)如图③，在矩形ABCD中，点E在边BC上，△DCE与△DFE关于直线DE对称，点C的对称点F 在边AB上，G为AD中点，连接GC交DF于点M,GC∥FE,若AD=6,求GM的长. D D E F 图① 图② 图③ 题型二：“手拉手”模型（旋转模型） 【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小（这个顶点 不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形 的旋转相似三角形。 手拉手相似模型 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD AE 二k EC二k 条件：如图，∠BAC=∠DAE=a,ABAC;结论：△ADE-△MBC,△ABD一△ACE;BD 1.(23-24九年级上山西晋中·期中)如图，一副三角板（∠C=∠E=90°，∠B=30°，∠D=45°）， AD=BC,顶点A重合，将△ADE绕其顶点A旋转，在旋转过程中（不添加辅助线），以下4种位置不存 在相似三角形的是() E 7 A B D(F) 30° B B D B B D 2.(23-24九年级上山东德州·期末)如图，矩形ABCD和矩形AEFG,AD=12,AB=9,AG=8,AE=6,矩 形AEFG绕点A旋转，给出下列结论：①3BE=DG;②BE⊥DG;③当∠BAG=60°时4 SAARG=3V5SADG; ④DE2+BG2=315,其中正确的结论的个数为（) G D A.2 B.3 C.4 D.5 3.(24-25九年级上·湖北孝感·期中)如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，将△ACB绕 点A按顺时针方向旋转得到△AEF,点E在CD的延长线上，若AC=6,BC=8,则CE的长为 B 4.(2025江苏盐城·二模)如图，菱形ABCD绕点A旋转得到菱形ABCD,点B在BC上，B'C'交CD 于点P.若AB=6,BB=4,则CP的长为 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(24-25九年级上·陕西延安·期末)如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转30°后所得的图形， 点C恰好在AB上. (1)求∠A的度数： (2)CD交OB于点E,求证：CE·DE=BE·OE. 6.(2025山东聊城三模)综合与实践 问题情境：在数学活动课上，王老师让同学们用两张矩形纸片进行探究活动.阳光小组准备了两张矩形纸 片ABCD和EFGH,其中AB=6,AD=8,将它们按如图1所示的方式放置，当点A与点E重合，点 F,H分别落在AB,AD边上时，点F,H恰好为边AB,AD的中点.然后将矩形纸片EFGH绕点A按逆 时针方向旋转，旋转角为，连接BF与DH. D 4(E G H H A(E) B B B F A(E G G 图1 图2 图3 备用图 观察发现： (I)如图2，当=90°时，小组成员发现BF与DH存在一定的关系，其数量关系是；位置关系是 请说明理由. 探索猜想： (2)如图3，当90°<a<180°时，(1)中发现的结论是否仍然成立？请说明理由. 7.(24-25九年级上·陕西西安·期中)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,在斜边AB上取 6/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一 点D,过点D作DE∥BC,交AC于点E,现将△ADE绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D 在△ABC的内部)，使得∠ABD+∠ACD=90°. D D 图1 图2 图3 (I)如图2，①求证：△ABD~△ACE: ②若CD=1,BD=V6,求AD的长. 4C-g=k,若CD='BD=2 (2如图3，将原题中的条件“AC=BC”去掉，其它条件不变，设AB=D AD=3,求k的值 8.(24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习)如图1，在正方形ABCD中，AB=5,在AD上取一点E,使 得AE=V3,以AE为边作正方形AEFG,连接BE,CF. D 图1 图2 备用图 问题发现： BE (1)CF的值是_；直线E'CF所夹锐角的度数是： 拓展探究： (2)如图2，正方形AEFG绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图2证明：若不成 立，请说明理由； 解决问题： (3)在旋转过程中，当点E到直线AB的距离为V2时，请直接写出CF的长. 题型三：“K字模型（相似模型） 【模型解读与图示】K字型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角 相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而 得到两个三角形相似. (1)三垂直”模型：如图1，∠B=∠D=∠ACE=90°，则△ABC∽△CDE. 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)一线三等角”模型：如图2，∠B=∠ACE=∠D,则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE,若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. B C D C 图1 图2 补充：其他常见的一线三等角图形 D C F G 50o O B D B 1.(25-26九年级上·广东深圳开学考试)如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭AB的高度，他们采取了 如下办法：①在凉亭的右边点E处放置了一平面镜，并测得BE=20米；②沿着直线BE后退到点D处，眼 睛恰好看到镜子里凉亭的顶端A,并测得ED=5米，眼睛到地面的距离CD=1.6米（此时∠AEB=∠CED ),那么凉亭AB的高为() D A.0.4米 B.62.5米 C.6.4米 D.0.16米 2.(2025九年级上·湖南岳阳·专题练习)小辰同学利用图(1)“光的反射演示器”，直观呈现了光的反 射原理.激光笔从左边点C处发出光线，经平面镜点O处反射后，落在右边光屏BE上的点D处(B、C 两点均在量角器的边缘上，O为量角器的中心，A、O、B三点共线，AC⊥AB,DB⊥AB),他在实验 中记录了以下数据：①水平距离AB的长为96cm;②铅垂高度AC的长为48cm:如果小辰想使反射点D 沿DB方向下降35Cm,求此时点A沿OA方向移动的距离为() D 0 0 B 图1 图2 A.48 B.36 C.24 D.12 3.(2024九年级下广东·学业考试)如图，在四边形内ABCD中，AD=4,AB=10,点E为AB中点， 8/10 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 连接DEcE,若∠A=∠B=∠D6C·则既的值为一 B 4.如图，在正方形cD中，M是BC边上的动点，N在Cn上，且CV=号CD,若HB=4设BM=x 4 当x=时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似. D B M 5.(I)如图1，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE,过点E作EF⊥DE交BC于点F. 图1 图2 ①求证：△AED∽ABFE. ②若AB=10,AD=6,E为AB的中点，求BF的长. (2)如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AB=4,E为AB边上一点（点E不与点A、B重合）， 连接CE,过点E作∠CEF=45°交BC于点F,当△CEF为等腰三角形时，BE的长为多少？ 6.【感知】 如图1，在四边形ABCD中，点P在边AB上（不与A、B重合），∠A=∠B=∠DPC=90°，易证： △DAP∽△PBC(不要求证明)· 【探究】 如图2，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A=∠B=∠DPC. (I)求证：△DAP∽△PBC: (2)若AD2,ABH0,BC8,求AP的长 【应用】 如图3，在△ABC中，AC=BC=8,AB=12.点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP,作 ∠CPE=∠A,PE与边BC交于点E. (3)当△CPE是等腰三角形时，直接写出AP的长 9/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P 图1 图2 图3 10/10