第四章 图形的相似（基础+中等类型）-2025-2026学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

第四章 图形的相似思维导图 【类型覆盖】 类型一、比例尺、比例线段 【解惑】在比例尺为的铜仁交通游览图上，乌江特大桥长约，它的实际长度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了比例线段，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题， 根据实际距离图上距离除以比例尺．代值计算即可得出答案． 【详解】解：它的实际长度约为： ， 故选：C． 【融会贯通】 1．下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．cm，，， 【答案】D 【分析】此题考查了比例线段，掌握比例的性质是解题的关键； 根据成比例线段的定义，若四条线段满足最大与最小的乘积等于中间两段的乘积，则它们成比例，逐项判定即可． 【详解】解：A．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； B．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； C．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项不符合题意； D．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项符合题意； 故选：D． 2．在比例尺为的地图上，A，B两地间的图上距离为2厘米，则A，B两地间的实际距离是 千米． 【答案】180 【分析】本题考查的是比例尺，熟练掌握比例尺和比例的性质是解题的关键； 设A，B两地间的实际距离是x厘米，根据比例尺的定义得到，再利用比例的性质求出x，然后把单位化为千米即可． 【详解】解：设A，B两地间的实际距离是x厘米， 根据题意得， 解得， 18000000厘米千米． 故答案为：180． 3．如图，已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段，根据比例线段定义即可求解，解题的关键是掌握比例线段定义对于四条线段，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 类型二、比例的性质与黄金分割 【解惑】已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质逐项判断解答即可． 【详解】解：A.由可得，等式不成立； B.由可得，等式不成立； C.由可得，等式成立； D. 由可得，即，等式不成立； 故选：C． 【融会贯通】 1．已知：，则（   ） A．8 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．利用设法进行计算，即可解答． 【详解】解：设， ，，， ， 故选：B． 2．玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于0.618）时，可以敲击出音阶“sol”．如图，若瓶高，且敲击时发出音阶“sol”，则液面高度约为 ． 【答案】6.18 【分析】根据黄金分割的定义即可列式求解． 【详解】由题知，， 因为， 所以． 故答案为：6.18． 3．善，从言从羊，本义“吉祥”．借助如图的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重．舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“善”字的笔画“．”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若，则的长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，正方形的性质，理解黄金分割知识是解题的关键， 根据矩形的性质求出的长度，再代入即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴, ∴, ∴四边形是矩形， ∵， ∵， ∴． 故答案为：． 类型三、(位似)相似图形、相似三(多)角形 【解惑】下列各组图形中，一定相似的是（   ） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似形的定义，根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答． 【详解】解：A、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故不符合题意； B、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意； C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意； D、两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意； 故选：C． 【融会贯通】 1．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似的定义，如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行（或共线），像这样的两个图形叫做位似图形． 根据位似图形的定义进行判断即可解答． 【详解】根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 综上分析可知：与成位似图形有3个． 故选：C． 2．下列各选项的两个图形中，是位似图形的有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了位似图形的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形．根据位似图形的定义判断即可． 【详解】因为两个位似图形的对应点的连线所在的直线经过同一点， 所以第1，2，4个中的两个图形是位似图形，第3个中的两个图形不是位似图形． 故答案为：3． 3．如图，EF分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB＝1，则AD＝ ． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质，对应边成比例，列出比例式求出AD． 【详解】解：∵E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点， ∴AE＝AD，BF＝BC， ∵矩形ABCD∽矩形EABF， ∴， ∴AE•AD＝AB2=1，即AD2＝1， 解得，AD＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例、对应角相等是解题的关键． 类型四、相似三角形的性质求解 【解惑】如图，在中，，为边上的中线，于点E，交于点F，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，取的中点，连接，易得为的中位线，进而得到，推出，得到，进而得到，证明，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵，为边上的中线， ∴， ∵，， ∴， 取的中点，连接，则：为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，在Rt中，为斜边的中点，为上一点，连、，作，交于点．若，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 根据题意得出，再由相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：∵D是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 2．如图，，，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算方法，解直角三角形以及相似三角形的性质与判定，熟练掌握这些性质是解题的关键． 过点作于点，根据求出，然后在中求出的长，再在中求出的长，利用已知条件证得，根据相似三角形对应边成比例即可求出，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴． 故答案为：． 3．在中，，，，D为中点，点M在射线上运动，直线交直线于点N，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定、勾股定理，过作于，证明出，根据相似三角形的性质得到、，根据，可知，证明出，根据相似三角形的性质得到，根据，可得，在中，利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：如图所示，过作于， ， ，而为中点， ∴， ∴， ，， 又， ， ， ∴ ， ， ， 在中，． 故答案为： ． 类型五、平行线分线段成比例求解 【解惑】如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，直接利用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：D． 【融会贯通】 1．如图，是中位线，M是中点，连结并延长，与相交于点N，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中位线的判定和性质，平行线的性质，取的中点F，连接，则是中位线，根据中位线的性质得，再根据平行线的性质得，则，，，进而可得答案． 【详解】解：如图，取的中点F，连接， ∵是中位线， ∴、分别是、的中点， ∴是中位线， ∴，即， ∴， ∵M是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：C． 2．如图，若，，，，则长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵，，， ∴， 解得． 故答案为：2． 3．如图，是的中线，点是边上一点，交于点，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．如图，过点作交于点．利用平行线等分线段定理，证明即可． 【详解】解：如图，过点作交于点． ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 类型六、网格中的相似三角形 【解惑】如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ）    A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出是的中位线是解题关键．取格点、，由网格的性质可知，，得到，，进而证明是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，取格点、，    由网格的性质可知，， ，， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，下列网格由大小相同的小正方形组成，点，，都在正方形网格的格点上．在图中以线段为一边，另一个顶点在格点上，且与相似（但不全等）的格点三角形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理与网格，根据相似三角形的性质画出图形,即可求解． 【详解】解：如图所示， ，，，，，， ， ， ，，，，， ， ， 综上所述，与相似（但不全等）的格点三角形的个数是2个 故选：B． 2．如图，已知在正方形网格内有两个相似三角形（），则 °． 【答案】45 【分析】本题考查相似三角形的性质，找到对应边和对应角是解题的关键．根据相似三角形的对应角相等及三角形内角和定理即可得出． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案是：． 3．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，均在格点上． （1）在图1中，，相交于点，则的值为 ； （2）如图2，在线段上找一点，使，并简要说明点是如何找到的（不用证明）： 【答案】（1）（2）见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）可证得，进而得出结果； （2）格点满足，，，连接，交于点则 ； 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图， 格点满足，，，连接，交于点则，理由如下： 由上可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 类型七、相似三角形的判定 【解惑】如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可证明． 【详解】证明：， ， ， 又， ． 【融会贯通】 1．四边形中，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据直角三角形的两个锐角互余得出，根据等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定定理即可证明； （2）根据勾股定理求出的值，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵，， ∴． （2）解：在中，， ∵， ∴， 即， ∴． 2．在中，，是斜边上的高． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）证明，结合即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 3．在四边形中，点为的中点，分别连接． (1)如图1，若，． ①求证：； ②求证：平分； (2)如图2，若，，，，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①根据对应角相等证明，所以对应边成比例，再根据点为的中点，代入比例式即可求证；②由①知可得，再由可得，进而得出，可得，即证得结论； （2）过点作，连接，，根据全等三角形的判定与性质，构造，再根据等腰三角形的判定得出为等腰三角形，最后根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：①，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 即； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图，过点作，连接，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握以上知识，合理作出辅助线是解题的关键． 类型八、画位似图形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个，使它与位似，且相似比为； (2)请写出点A的对应点的坐标__________； (3)若以点A，B，O，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】本题考查了位似图形的坐标系中的作图，平移法，平行四边形的判定和性质， （1）根据位似比，结合位置要求画图形即可． （2）根据位似比，结合位置，确定位似点的坐标为或，计算即可． （3）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，利用平移法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，似比为，， 故位似点的坐标为，画图如下： ， 则即为所求． （2）解：根据(1)得， 故答案为：． （3）解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，求解如下： ∵， 当点O平移得到点B时，即实现了向右平移1个单位，再向下平移2个单位的平移变换， ∴向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点P，此时四边形是平行四边形， 且， 故坐标为； 当点B平移得到点O时，即实现了向左平移1个单位，再向上平移2个单位的平移变换， ∴向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点P，此时四边形是平行四边形， 且， 故坐标为； 当点A平移得到点B时，即实现了向左平移1个单位，再向下平移3个单位的平移变换， ∴向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到点P，此时四边形是平行四边形， 且， 故坐标为； 当点B平移得到点A时，即实现了向右平移1个单位，再向上平移3个单位的平移变换， ∴向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点P，此时四边形是平行四边形， 且， 故坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 【融会贯通】 1．如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，    (1)以为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为； (2)计算的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了作图﹣位似变换，涉及位似定义与性质、位似作图、网格中三角形面积等知识，根据题意得出对应点位置是解题关键． （1）根据和以为位似中心，且位似比为，得出对应点位置进而得出答案； （2）利用三角形的面积计算公式解答． 【详解】（1）解：如图所示：    即为所求； （2）解：， ∴的面积为3． 2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在网格格点上，且点A、B的坐标分别为，．    (1)在y轴的左侧以原点O为位似中心作的位似图形（点A、B的对应点分别为）使与的相似比为2∶1； (2)在（1）的条件下，计算的面积为___________． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）根据位似图形的性质，只需要点A、B的横纵坐标分别乘以，即可得出点的坐标，即可求解； （2）用所在的长方形的面积减去周围三个三角形的面积求解即可． 【详解】（1）如图，即为所作；    （2）． 【点睛】本题考查了位似图形的作图，熟练掌握作位似图形的方法是解题的关键． 3．如图，在8×11网格图中，与是位似图形. (1)若在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为（-1，6），点的坐标为（2，3），则点B的坐标为___________； (2)以点A为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为1：2； (3)在图上标出与的位似中心P，并写出点P的坐标为___________，计算四边形ABCP的周长为___________． 【答案】(1) (2)见解析 (3)， 【分析】（1）利用点A和的坐标画出直角坐标系，然后写出B点坐标； （2）利用网格特点，根据位似的性质取AB的中点和AC的中点，则和位似，且位似比为 1：2； （3）连接、、，它们相交于点P，再写出P点坐标，然后利用勾股定理计算AB、BC、PC和AP的长，从而可得到四边形ABCP的周长． 【详解】（1）解：如图，点B的坐标为（−5，2）； 故答案为：； （2）如图，为所作； （3）如图，点P为所作，P点坐标为（1，2）， ，， ，， 所以四边形ABCP的周长． 故答案为：（1，2），． 【点睛】本题考查了作图−位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 类型九、相似中的尺规作图 【解惑】如图，在中，． (1)实践与操作：利用尺规作的平分线，交边于点．交边的延长线于点（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)猜想与证明：若，试猜想与的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了作图﹣基本作图、相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、等角对等边等知识点，正确地作出图形是解题的关键． （1）利用基本作图，作出的平分线交边于点．交边的延长线于点即可； （2）由平行四边形的性质可得，由角平分线的性质和平行线的性质可得、，进一步可得，根据等角对等边可得，再由题意可得，继而可得，再由易求，可得即可解答． 【详解】（1）解：如图，射线为所求． （2）解：．证明如下： 四边形是平行四边形， ． 平分， ． ， ， ， ． ， ， ，即． ， ， ， ． 【融会贯通】 1．如图，中，．请按下列要求解答问题： (1)用尺规在线段的延长线上确定一点，使，连接保留作图痕迹，不写作法； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图复杂作图，相似三角形的判定和性质． （1）在的延长线上截取线，使得，连接即可； （2）设，利用相似三角形的性质构建方程求解． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）解：设． ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 解得． ． 2．如图，已知等腰中，，，请用尺规在上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定、线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． 作的垂直平分线，交于点，连接，由此即可得． 【详解】解：如图，点即为所求．    理由：由线段垂直平分线的性质得：， ， ， ， ， 在和中， ， ． 3．如图，已知，点是的中点，请用尺规在边上找一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，线段垂直平分线的尺规作图，作线段的垂直平分线交于E，则点E即为所求． 【详解】解：如图所示，作线段的垂直平分线交于E，则点E即为所求； 可证明是的中位线，则， 可证明，则． 类型十、相似三角形的应用 【解惑】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线与河垂直，接着再过点S且与垂直的直线a上选择适当的点T，确定与过点Q且垂直的直线b的交点R．如果测得，，，求河的宽度． ​ 【答案】河的宽度为 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 答：河的宽度为． 【融会贯通】 1．如图所示，晚上小亮走在大街上，他发现当他站在大街上高度相等的两盏路灯和之间时，自己右边的影子的长为，左边的影子的长为，又知小亮的身高为，两盏路灯之间的距离为，点A、M、E、N、C在同一条直线上，问：路灯的高为多少米？ 【答案】路灯高米 【分析】本题考查相似三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题求解． 首先根据已知条件求证出∽，∽，然后根据相似三角形的性质求得两个相似三角形的相似比，进而求出路灯的高度． 【详解】解：设，则，再设路灯的高为， ，，， ∽，∽， ，， 即，， 则， 解得：， 故， 解得： 答：路灯高米． 2．某校九年级一班的兴趣小组准备测量西安古城墙的高度，制定了如下的测量方案：如图，首先，王磊站在点，当在正前方1.5米（即米）的点放置一平面镜时，通过平面镜王磊刚好可以看到城墙的最高点，此时测得王磊的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，在阳光下某一时刻，李华再在点处竖立一根高2米的标杆，城墙的影子顶端与标杆的影子顶端恰好重合于点，此时测得米，米，已知图中所有点均在同一平面内，，，，点、、、、在一条水平线上，请根据以上数据，计算西安古城墙的高度．（平面镜大小忽略不计） 【答案】西安古城墙的高度为12米 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，正确理解题意，寻找相似三角形是解题的关键； 设米，证明，推出米，证明，可得，据此解方程即可得到答案． 【详解】设米，由题知， 米，米，米，米， ，，， ， ，， ， ，即， 米， ，， ， ， 又米， ， 解得， 答：西安古城墙的高度为12米． 3．如图1，一个可绕公共顶点A旋转的收纳柜放置在橱柜转角处，两层抽屉形状大小都相同．图2，图3为上层抽屉旋转过程中的俯视图，下层抽屉的长，宽，，当上层抽屉旋转至边恰好经过点D时（如图2），与边平行． (1)求此时点到的距离为______； (2)当上层抽屉旋转至碰到边时（如图3），求此时点到的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查旋转变换，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识． （1）如图2中，过点作交的延长线于点T，证明，即可求出； （2）如图3中，过点作交的延长线于点R．由勾股定理得，则的三边比，由题意可知，图3中的与图2中相似，设，，，利用勾股定理构建方程求出k即可解答． 【详解】（1）解：如图2中，过点作交的延长线于点T， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为， 故答案为：； （2）解：如图2中，在中，， ∴的三边比， 如图3中，过点作交的延长线于点R， 由题意可知，图3中的与图2中相似， ∴可以假设，，， ∴， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴点到的距离为． 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 图形的相似思维导图 【类型覆盖】 类型一、比例尺、比例线段 【解惑】在比例尺为的铜仁交通游览图上，乌江特大桥长约，它的实际长度约为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．cm，，， 2．在比例尺为的地图上，A，B两地间的图上距离为2厘米，则A，B两地间的实际距离是 千米． 3．如图，已知，，，，则 ． 类型二、比例的性质与黄金分割 【解惑】已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知：，则（   ） A．8 B．4 C． D． 2．玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于0.618）时，可以敲击出音阶“sol”．如图，若瓶高，且敲击时发出音阶“sol”，则液面高度约为 ． 3．善，从言从羊，本义“吉祥”．借助如图的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重．舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“善”字的笔画“．”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若，则的长为 cm． 类型三、(位似)相似图形、相似三(多)角形 【解惑】下列各组图形中，一定相似的是（   ） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【融会贯通】 1．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各选项的两个图形中，是位似图形的有 个． 3．如图，EF分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB＝1，则AD＝ ． 类型四、相似三角形的性质求解 【解惑】如图，在中，，为边上的中线，于点E，交于点F，若，，则（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在Rt中，为斜边的中点，为上一点，连、，作，交于点．若，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 2．如图，，，，，则的面积为 ． 3．在中，，，，D为中点，点M在射线上运动，直线交直线于点N，若，则的长为 ． 类型五、平行线分线段成比例求解 【解惑】如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，是中位线，M是中点，连结并延长，与相交于点N，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，若，，，，则长为 ． 3．如图，是的中线，点是边上一点，交于点，若，则 ． 类型六、网格中的相似三角形 【解惑】如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ）    A． B．1 C． D． 【融会贯通】 1．如图，下列网格由大小相同的小正方形组成，点，，都在正方形网格的格点上．在图中以线段为一边，另一个顶点在格点上，且与相似（但不全等）的格点三角形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，已知在正方形网格内有两个相似三角形（），则 °． 3．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，均在格点上． （1）在图1中，，相交于点，则的值为 ； （2）如图2，在线段上找一点，使，并简要说明点是如何找到的（不用证明）： 类型七、相似三角形的判定 【解惑】如图，．求证：． 【融会贯通】 1．四边形中，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 2．在中，，是斜边上的高． (1)证明：； (2)若，，求的长． 3．在四边形中，点为的中点，分别连接． (1)如图1，若，． ①求证：； ②求证：平分； (2)如图2，若，，，，求的长． 类型八、画位似图形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个，使它与位似，且相似比为； (2)请写出点A的对应点的坐标__________； (3)若以点A，B，O，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标． 【融会贯通】 1．如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，    (1)以为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为； (2)计算的面积． 2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在网格格点上，且点A、B的坐标分别为，．    (1)在y轴的左侧以原点O为位似中心作的位似图形（点A、B的对应点分别为）使与的相似比为2∶1； (2)在（1）的条件下，计算的面积为___________． 3．如图，在8×11网格图中，与是位似图形. (1)若在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为（-1，6），点的坐标为（2，3），则点B的坐标为___________； (2)以点A为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为1：2； (3)在图上标出与的位似中心P，并写出点P的坐标为___________，计算四边形ABCP的周长为___________． 类型九、相似中的尺规作图 【解惑】如图，在中，． (1)实践与操作：利用尺规作的平分线，交边于点．交边的延长线于点（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)猜想与证明：若，试猜想与的数量关系，并加以证明． 【融会贯通】 1．如图，中，．请按下列要求解答问题： (1)用尺规在线段的延长线上确定一点，使，连接保留作图痕迹，不写作法； (2)若，，求的长度． 2．如图，已知等腰中，，，请用尺规在上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 3．如图，已知，点是的中点，请用尺规在边上找一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 类型十、相似三角形的应用 【解惑】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线与河垂直，接着再过点S且与垂直的直线a上选择适当的点T，确定与过点Q且垂直的直线b的交点R．如果测得，，，求河的宽度． ​ 【融会贯通】 1．如图所示，晚上小亮走在大街上，他发现当他站在大街上高度相等的两盏路灯和之间时，自己右边的影子的长为，左边的影子的长为，又知小亮的身高为，两盏路灯之间的距离为，点A、M、E、N、C在同一条直线上，问：路灯的高为多少米？ 2．某校九年级一班的兴趣小组准备测量西安古城墙的高度，制定了如下的测量方案：如图，首先，王磊站在点，当在正前方1.5米（即米）的点放置一平面镜时，通过平面镜王磊刚好可以看到城墙的最高点，此时测得王磊的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，在阳光下某一时刻，李华再在点处竖立一根高2米的标杆，城墙的影子顶端与标杆的影子顶端恰好重合于点，此时测得米，米，已知图中所有点均在同一平面内，，，，点、、、、在一条水平线上，请根据以上数据，计算西安古城墙的高度．（平面镜大小忽略不计） 3．如图1，一个可绕公共顶点A旋转的收纳柜放置在橱柜转角处，两层抽屉形状大小都相同．图2，图3为上层抽屉旋转过程中的俯视图，下层抽屉的长，宽，，当上层抽屉旋转至边恰好经过点D时（如图2），与边平行． (1)求此时点到的距离为______； (2)当上层抽屉旋转至碰到边时（如图3），求此时点到的距离． 6 学科网（北京）股份有限公司 $