1—4 成比例线段 平行线分线段成比例 相似多边形 探索三角形相似的条件 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）

1—4 成比例线段 平行线分线段成比例 相似多边形 探索三角形相似的条件 一、成比例线段 成比例线段定义：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a:b = c:d，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 线段比的性质：线段的比是一个正数，没有单位，且比值与所选线段的长度单位无关。求比值时，需要统一两条线段的长度单位。 比例的基本性质：若a:b = c:d，则ad = bc；反之，若ad = bc（a、b、c、d均不为0），则a:b = c:d。 判断成比例线段的方法：先将各线段的单位统一，然后按照顺序计算比值，判断前两条线段的比是否等于后两条线段的比。 二、平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线（不少于三条）所截，截得的对应线段的长度成比例。 推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 应用：通过构造平行线，利用平行线分线段成比例定理解决线段比例问题。 三、相似多边形 相似多边形的定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例；相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 判定方法：各角分别相等，各边成比例的两个多边形相似。 四、探索三角形相似的条件 相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 判定定理： 两角对应相等的两个三角形相似。 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 三边对应成比例的两个三角形相似。 特殊判定： 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。 巩固课内例1:成比例线段 1．下列各组不同长度的线段是成比例线段的是（    ） A．，，， B． C． D． 2．已知线段，，．若线段a，b，c，d成比例，即，则线段d的长为 ． 3．已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求的值； 巩固课内例2:比例的性质 1．把等式，写成比例式，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为 3．已知，，求的值． 巩固课内例3:平行线分线段成比例求值 1．如图，已知三条直线互相平行，直线和直线分别与交于，三点以及三点，若，则的长为（　　） A．1.6 B．2.8 C．3.2 D．3.6 2．如图，直线，直线和被所截，，，，则的长为 ． 3．如图，在中，，为上一点，连接交于点，． (1)求的值； (2)当时，求的长度． 巩固课内例4:相似的判定—两角相等 1．如图所示的三个三角形，相似的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2．如图，在中，点D是边上的一点，请添加一个条件： ，使． 3．如图，点、、分别在等边的三边、、上，且，求证：． 巩固课内例5:相似的判定—两边成比例夹角相等 1．如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么 得到． （填“能”或“不能”） 3．如图，在正方形中，P为中点，Q为上一点，且．求证：． 巩固课内例6:相似的判定—三边成比例 1．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将方格纸分成6个三角形，在②③④⑤⑥5个三角形中，与三角形①相似的三角形是 ．（填序号） 3．如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 巩固课内例7:黄金分割 1．如图，正五角星图案中，若点是线段的黄金分割点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点C和D分别放在琴弦的黄金分割点上，则C、D之间距离为 （保留根号）． 3．把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点可看作是线段的黄金分割点，若，求的长． 类型一、比例尺 1．如图表示我国台湾省几个城市的位置关系．经测量得到基隆市到高雄市的图上距离为，地图上显示的比例尺为．则两城市的实际距离是（   ）千米． A．3.15 B．31.5 C．315 D．3150 2．在比例尺为的扬州旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路的实际长度为 ． 3．在一幅比例尺是1：60000000的地图上，量的甲乙两地的距离是15cm，一辆汽车以每小时120km的速度，从甲地开往乙地，需要多少时间？ 类型二、相似多边形 1．如图，网格中小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（    ）．    A．甲和乙 B．丙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁 2．若两个相似多边形的对应边长分别为和，则它们的面积比为 ． 3．如图，四边形四边形． (1)_________度； (2)求边x，y的长． 类型三、网格中的相似三角形 1．下列的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形网格中的斜三角形：①；②；③．其中能与相似的是 （只填写序号） 3．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，，，是格点，直接写出 ． (2)在图1中，，，是格点，先在上画点，使于点；再画点，使，两点关于直线对称； (3)在图2中，，是格点，在格线上，画出点，使． 类型一、相似多边形的性质 1．若一个多边形的各边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．如图，已知矩形的边长为，边长为，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是 ． 3．如图，四边形四边形，分别求，的长及的度数． 类型二、黄金矩形 1．如图，将正方形的边向右平移到得到矩形，如果与的比等于与的比，那么就称这个矩形为黄金矩形，黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．某小区开发商想在小区空地设计一个周长为16米的黄金矩形花坛，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．如果一个矩形的宽与长之比等于黄金数，就称这个矩形为黄金矩形．若矩形为黄金矩形，矩形的周长为，则矩形的长为 ． 3．已知宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形作为一种美学比例，无论是建筑、绘画、设计还是自然现象，都能找到它的身影，这种比例不仅在视觉上给人以和谐、平衡和美感，还反映了人类对美的追求和自然界的奇妙规律．某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索． 实验操作： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中处； 第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出，得到矩形． 问题解决： （1）求证：矩形是黄金矩形； （2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形”．请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）； 拓展延伸： 淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明． 类型三、证明三角形相似 1．如图，在三角形纸片中，，，．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，线段交于点O，请你添加一个条件： ，使． 3．如图，在中，于E，于F，与分别相交于点． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是菱形． 类型一、最值问题 1．如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，点是边上一个动点，点关于、的对称点分别为，，以，为邻边构造平行四边形，与交于点，则的最小值为 ． 3．【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形中，，，O是的中点，E、F分别是直线、上一个动点，连结、、，且，求线段的最小值． 【问题分析】 小明发现、的长度不变且互相垂直，可将沿的方向平移，使E和F重合，点O的对应点为点G，将两个动线段拼接在一起，转化成两个定点之间的最短距离问题． 【问题解决】如图②，过点O作，且．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）求的值；（提示：可构造相似三角形求解） （2）线段的最小值为________． 【方法应用】 如图③，，，，则最小值为________． 类型二、动点问题 1．如图，中，，，，一动点从出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着方向以的速度运动，、两点同时出发，运动时间为；当与相似时，运动时间的值为（    ） A． B． C．或 D．或 2．如图．在矩形中，，，对角线、交于点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发沿方向匀速运动，速度为．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接并延长交于点，过点作，交于点．设运动时间为．若五边形的面积与三角形的面积之比为，则 3．如图， 在矩形 中，，，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线方向运动，动点 Q从点 C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段方向运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)当与矩形的对角线平行时，求t的值； (3)若点 M为的中点，当 t为何值时，以M、P、C为顶点的三角形与相似，相似比为多少？ (4)直接写出点B关于直线的对称点落在内部时t的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1—4 成比例线段 平行线分线段成比例 相似多边形 探索三角形相似的条件 一、成比例线段 成比例线段定义：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a:b = c:d，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 线段比的性质：线段的比是一个正数，没有单位，且比值与所选线段的长度单位无关。求比值时，需要统一两条线段的长度单位。 比例的基本性质：若a:b = c:d，则ad = bc；反之，若ad = bc（a、b、c、d均不为0），则a:b = c:d。 判断成比例线段的方法：先将各线段的单位统一，然后按照顺序计算比值，判断前两条线段的比是否等于后两条线段的比。 二、平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线（不少于三条）所截，截得的对应线段的长度成比例。 推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 应用：通过构造平行线，利用平行线分线段成比例定理解决线段比例问题。 三、相似多边形 相似多边形的定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例；相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 判定方法：各角分别相等，各边成比例的两个多边形相似。 四、探索三角形相似的条件 相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 判定定理： 两角对应相等的两个三角形相似。 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 三边对应成比例的两个三角形相似。 特殊判定： 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。 巩固课内例1:成比例线段 1．下列各组不同长度的线段是成比例线段的是（    ） A．，，， B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查线段成比例，熟练掌握线段成比例是解题的关键；因此此题可根据“若线段a、b、c、d，且满足，则这四条线段成比例”进行排除选项即可． 【详解】解：A、，所以这四条线段不成比例，故不符合题意； B、因为，所以，所以这四条线段不成比例，故不符合题意； C、因为，所以，所以这四条线段成比例，故符合题意； D、，所以这四条线段不成比例，故不符合题意； 故选C． 2．已知线段，，．若线段a，b，c，d成比例，即，则线段d的长为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了成比例线段．根据比例线段的概念，列出比例式，再进行计算即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， 故线段d的长是． 故答案为：24． 3．已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求的值； 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解题的关键． （）根据，设，，，再代入等式进行计算即可得； （）根据比例中项的定义列式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，； （2）解：∵线段是线段的比例中项， ∴， ∴， ∵，， ∴（负值已舍去）． 巩固课内例2:比例的性质 1．把等式，写成比例式，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 根据内项之积等于外项之积对各选项进行判断． 【详解】解：， 或或，故A，B，D正确； 由得，故C不正确． 故选：C． 2．已知，则的值为 【答案】2 【分析】此题考查了比例的性质．设，则，，，代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴设， ∴，，， ∴， 故答案为：2． 3．已知，，求的值． 【答案】44 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．设，则，再代入可求出的值，从而可得的值，代入计算即可得． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 巩固课内例3:平行线分线段成比例求值 1．如图，已知三条直线互相平行，直线和直线分别与交于，三点以及三点，若，则的长为（　　） A．1.6 B．2.8 C．3.2 D．3.6 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理．三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，由此列式求解即可． 【详解】解：由题意得， 即， 解得， 故选D． 2．如图，直线，直线和被所截，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 由平行线分线段成比例定理，得，代入已知线段得长度求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴即， ∴． ∴ 故答案为：． 3．如图，在中，，为上一点，连接交于点，． (1)求的值； (2)当时，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）掌握相似三角形判定，通过得到对应边成比例，即可计算得出结论； （2）利用得到，利用对应边成比例，即可计算得出结果． 【详解】（1）解：由题意可知，， 在和中， ， ． ． （2）由题意可知，， ，， 在和中， ， ， 由（1）可知，， ，即． 【点睛】本题的关键是掌握相似三角形的判定，两个三角形，对应的两个内角相等，则三角形相似；相似三角形的性质，两个三角形相似，则对应边成比例． 巩固课内例4:相似的判定—两角相等 1．如图所示的三个三角形，相似的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理. 分别把三个三角形的内角计算出来，利用两角对应相等判断三角形相似. 【详解】解：分别把三个三角形的内角都计算出来. ①：由，所以三个内角分别为，，. ②：由，所以三个内角分别为，，. ③：由，所以三个内角分别为，，. 所以只有①②的内角都相等，符合相似三角形的判定定理. 故选：A． 2．如图，在中，点D是边上的一点，请添加一个条件： ，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 利用相似三角形的判定定理进行添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 3．如图，点、、分别在等边的三边、、上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定：先由等边三角形的性质得到，再由三角形内角和定理和平角的定义证明，即可证明． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， ． 巩固课内例5:相似的判定—两边成比例夹角相等 1．如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可． 【详解】解：在和中，， A、当时，满足两组角对应相等，可判断，故A正确； B、当时，满足两组角对应相等，可判断，故B正确； C、当时，其夹角不相等，则不能判断，故C不正确； D、当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故D正确； 故选：C． 2．如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么 得到． （填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，根据条件无法判断，据此即可得到结论． 【详解】解：∵，不能判断， ∴不能得到， 故答案为：不能． 3．如图，在正方形中，P为中点，Q为上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，正方形的性质，由正方形的性质得出，，结合已知条件得出，进而即可得出． 【详解】证明：∵四边形是正方形，P为中点， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴． 巩固课内例6:相似的判定—三边成比例 1．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据网格中的数据求出，，的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可． 【详解】解：根据题意得：，，， ∴， A、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与相似； B、三边之比，图中的三角形（阴影部分）与不相似； C、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似； D、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似． 故选：A． 2．如图，将方格纸分成6个三角形，在②③④⑤⑥5个三角形中，与三角形①相似的三角形是 ．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，勾股定理，设方格纸的每个小正方形的边长，结合勾股定理计算得出每个三角形的三边长，再结合相似三角形的判定定理即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设方格纸的每个小正方形的边长为， 则①的三边长为，，， 的三边长为，，， 的三边长为2，，， 的三边长为，，4， 的三边长2，，， 的三边长为，，， 故和①三边对应成比例的只有③，故三角形①相似的三角形是③， 故答案为：③． 3．如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理和相似三角形的判定，先计算出三角形的各个边的长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似证明即可． 【详解】证明：由图知：，，， ，，． ， ． 巩固课内例7:黄金分割 1．如图，正五角星图案中，若点是线段的黄金分割点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割的比值是解题的关键． 根据黄金分割点的定义得到，代入数据即可得出的长度． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且， ∴，即 ∴． 故选：C． 2．如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点C和D分别放在琴弦的黄金分割点上，则C、D之间距离为 （保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查黄金分割；根据黄金分割的定义得到，再把代入计算即可． 【详解】解：∵点C，点D是的黄金分割点， ∴， ∴， 故答案为：． 3．把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点可看作是线段的黄金分割点，若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割．根据黄金分割的定义及的长求出的长，据此求出的长即可解决问题． 【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，， ， ， 的长为． 类型一、比例尺 1．如图表示我国台湾省几个城市的位置关系．经测量得到基隆市到高雄市的图上距离为，地图上显示的比例尺为．则两城市的实际距离是（   ）千米． A．3.15 B．31.5 C．315 D．3150 【答案】C 【分析】此题考查比例线段，掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用．根据图上距离与比例尺，求实际距离，即图上距离除以比例尺． 【详解】解：设两地间的实际距离为毫米， 根据题意，， 解得， 即实际距离是千米． 故选：C． 2．在比例尺为的扬州旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路的实际长度为 ． 【答案】 【分析】根据比例尺图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换． 【详解】解：设这条道路的实际长度为， 则：， 解得． 故答案是：． 3．在一幅比例尺是1：60000000的地图上，量的甲乙两地的距离是15cm，一辆汽车以每小时120km的速度，从甲地开往乙地，需要多少时间？ 【答案】75小时 【分析】先根据比例尺的定义求出实际距离，再根据时间=路程÷速度得出答案． 【详解】解：（厘米） 900000000厘米＝9000千米， 9000÷120＝75（小时）， 答：从甲地开往乙地，需要75小时． 【点睛】本题主要考查了比例尺的知识，掌握定义是解题的关键．即比例尺＝图上距离÷实际距离． 类型二、相似多边形 1．如图，网格中小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（    ）．    A．甲和乙 B．丙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形，正确理解相似图形的概念是解题的关键．根据“对应角相等，对应边成比例的图形是相似图形”进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似图形． 故选：D． 2．若两个相似多边形的对应边长分别为和，则它们的面积比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟记相似多边形的面积的比等于相似比平方是解题的关键． 根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答即可求出结果． 【详解】解：∵两个相似多边形的对应边长分别为和， ∴两个相似多边形的相似比为， ∴它们的面积比为． 故答案为： 3．如图，四边形四边形． (1)_________度； (2)求边x，y的长． 【答案】(1)70 (2)， 【分析】本题考查相似多边形的性质，多边形内角和问题． （1）由相似多边形对应角相等，可得，再根据四边形内角和为即可求解； （2）根据相似多边形对应边长成比例，可得，代入数值即可求解． 【详解】（1）解：四边形四边形，， ， 四边形内角和为，，， ， 故答案为：70； （2）解：四边形四边形， ， 即， 解得，． 类型三、网格中的相似三角形 1．下列的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题． 【详解】解：根据勾股定理，，，， ∴，， ∴是直角三角形，夹直角的两边的比为， A、不是直角三角形，故A选项不符合题意； B、是直角三角形，夹直角的两边的比为，故B选项不符合题意； C、是直角三角形，夹直角的两边的比为，故C选项符合题意； D、三边分别为、、4，，故不是直角三角形，故D选项不符合题意． 故选：C． 2．如图，在正方形网格中的斜三角形：①；②；③．其中能与相似的是 （只填写序号） 【答案】② 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，从“三边对应成比例，两三角形相似”的角度考虑是解题关键． 分别求出三个三角形的三边的比，再根据相似三角形的判定方法解答． 【详解】解：根据网格可知：，，，的三边之比是， 同理可求：①的三边之比是； ∴与不相似， ②中，． ∴②与相似， ③中，． ∴与不相似， 故答案为：②． 3．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，，，是格点，直接写出 ． (2)在图1中，，，是格点，先在上画点，使于点；再画点，使，两点关于直线对称； (3)在图2中，，是格点，在格线上，画出点，使． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】（1）取格点、，利用相似三角形的判定及性质可得解； （2）取格点、、、、，连接、，、，交于，延长交于，由得，结合直角三角形的性质及判定可得，从而得，根据勾股定理及平行四边形的判定及平行线的判定可得四边形是平行四边形，，、、三点共线，从而得，利用平行线分线段成比例及线段垂直平分线的定义可得垂直平分，从而和关于对称． （3）取格点，连接交的垂直平分线于，连接，根据垂直平分线的性质得，得，又得进而得，结合，根据三角形的中位线性质可得． 【详解】（1）解：取格点、， ∵， ∴， ∴ 故答案为：； （2）解：如图，点和点即为所求， ． （3）解：即为所求作的图形， 【点睛】本题主要考查勾股定理、格点图形中垂直与对称的构造、平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定及性质、三角形的中位线性质，，熟练利用网格特点，结合几何定理（勾股定理、垂直性质、对称性质、平行判定）是解题的关键． 类型一、相似多边形的性质 1．若一个多边形的各边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质进行解答即可．解题的关键是熟练掌握两个相似多边形的对应边成比例． 【详解】解：设另一个多边形的最短边长为x， 根据题意得：， 解得：， 即另一个多边形的最短边长为8． 故选：B． 2．如图，已知矩形的边长为，边长为，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似多边形，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．先求出矩形的面积，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵矩形和矩形相似， ∴， ∴， 故答案为： 3．如图，四边形四边形，分别求，的长及的度数． 【答案】9，12， 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟知似多边形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键．利用相似多边形对应角相等、对应边的比相等即可求解． 【详解】解：四边形四边形， ， ， ， ． 类型二、黄金矩形 1．如图，将正方形的边向右平移到得到矩形，如果与的比等于与的比，那么就称这个矩形为黄金矩形，黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．某小区开发商想在小区空地设计一个周长为16米的黄金矩形花坛，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是黄金分割的含义，一元二次方程的解法，根据黄金分割的含义可得，设，再结合正方形与矩形的性质再建立方程求解即可． 【详解】解：∵正方形，矩形， ∴，， ∵矩形的周长为，设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 故选：C 2．如果一个矩形的宽与长之比等于黄金数，就称这个矩形为黄金矩形．若矩形为黄金矩形，矩形的周长为，则矩形的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了黄金数，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键．设矩形长为x，根据黄金矩形定义得到宽为，再根据矩形的周长为，得到方程，即可求解． 【详解】解：由题意，设矩形长为x，则宽为， ∵矩形的周长为 ∴， 解得：， 故答案为：8． 3．已知宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形作为一种美学比例，无论是建筑、绘画、设计还是自然现象，都能找到它的身影，这种比例不仅在视觉上给人以和谐、平衡和美感，还反映了人类对美的追求和自然界的奇妙规律．某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索． 实验操作： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中处； 第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出，得到矩形． 问题解决： （1）求证：矩形是黄金矩形； （2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形”．请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）； 拓展延伸： 淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明． 【答案】问题解决：（1）见解析；（2）见解析；拓展延伸：矩形也是黄金矩形，见解析 【分析】本题考查几何变换综合题，黄金矩形的定义，正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，翻折变换，二次根式的运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由操作过程可知，．设，则，表示，结合，计算，可得矩形是黄金矩形． （2）在线段的延长线上截取，过作的垂线交于，结合（1）的结论可得矩形是黄金矩形． （3）根据问题解决（1）可得，，求解，再进一步求解即可. 【详解】（1）证明：由操作过程可知，． 设，则， ， 由折叠的性质，得， ， ， 矩形是黄金矩形． （2）解：作图如图． 拓展延伸  解：矩形也是黄金矩形． 证明：由问题解决（1）可得，， ， ， 矩形也是黄金矩形． 类型三、证明三角形相似 1．如图，在三角形纸片中，，，．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题的关键． 根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案． 【详解】解：A：∵，对应边， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故该选项不合题意； B：∵，对应边， 即：，， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故该选项符合题意； C：∵，对应边， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故该选项不合题意； D：∵，对应边， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故该选项不合题意． 故选：B． 2．如图，线段交于点O，请你添加一个条件： ，使． 【答案】．（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 有一对对顶角与，添加，即得结论． 【详解】解： ∵（对顶角相等），， ∴． 故答案为：．(答案不唯一) 3．如图，在中，于E，于F，与分别相交于点． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）根据平行四边形的性质可得．从而得到，再由可得，然后结合三角形外角的性质可得．从而得到，最后根据菱形的判定即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，， ∴． ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 类型一、最值问题 1．如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，根据题意得到点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动是解题的关键． 过点C作于点G，可得四边形是矩形，从而得到，，再利用勾股定理求出的长，从而得到当点到的距离最小时，面积最小，过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小，然后结合可得点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动，当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小，延长交于点M，过点D作于点N，则，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点G， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴当点到的距离最小时，面积最小， 过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小， ∵E是线段的中点，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动， ∴当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小， 延长交于点M，过点D作于点N，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ∴， 即面积的最小值为． 故选：B． 2．如图，在中，，，点是边上一个动点，点关于、的对称点分别为，，以，为邻边构造平行四边形，与交于点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，证明点，，在同一条直线上，四边形是正方形，进而得和 相似，则即，设，，则，进而得 ，，继而得，整理得，由此得出的最小值即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点，关于对称，， ∴，，点，，在同一条直线上，， ∴， ∵点，关于对称， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 设，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 整理得：， ∴， ∴当时，的值为最小，最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，菱形的判定，轴对称的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，熟练掌握相似三角形的判定和性质，二次函数的最值是问题的关键． 3．【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形中，，，O是的中点，E、F分别是直线、上一个动点，连结、、，且，求线段的最小值． 【问题分析】 小明发现、的长度不变且互相垂直，可将沿的方向平移，使E和F重合，点O的对应点为点G，将两个动线段拼接在一起，转化成两个定点之间的最短距离问题． 【问题解决】如图②，过点O作，且．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）求的值；（提示：可构造相似三角形求解） （2）线段的最小值为________． 【方法应用】 如图③，，，，则最小值为________． 【答案】问题解决：（1）；（2）；方法应用： 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及两点之间线段最短等知识，能正确作出辅助线构造平行解答本题的关键． （1）①过点作于点，证明，可得出的值 ②由是的中点得，由勾股定理得，由得，过点作，且，连接，则四边形是平行四边形，得，则，当，，三点共线时，最小值为，由勾股定理得即可； （2）过点作，且，连接，过作于点，，当、、三点共线时的值最小，最小值为；由平行四边形的性质得，，得，，，由勾股定理求出即可． 【详解】解：（1）①过点作于点，则，如图， ∴， ∵，即， ∴， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； ②∵是的中点， ∴， 在中， ∵, ∴， 过点作，且，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当，，三点共线时，最小值为， ∵，， ∴ ∴； （2）过点作，且，连接，过作于点，图， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴当、、三点共线时的值最小，最小值为； 在中，， ∴的最小值为． 类型二、动点问题 1．如图，中，，，，一动点从出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着方向以的速度运动，、两点同时出发，运动时间为；当与相似时，运动时间的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形判定与性质的应用，运动时间为，则得到，，当与相似时，有或，列方程即可得到结论．利用分类讨论及方程的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵运动时间为，则，， ∵，，， ∴当与相似时，有或， 当时，则有， ∴， 解得：； 当时，则有， ∴， 解得：； 综上所述，当点、同时运动秒或秒后，与相似． 故选：D． 2．如图．在矩形中，，，对角线、交于点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发沿方向匀速运动，速度为．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接并延长交于点，过点作，交于点．设运动时间为．若五边形的面积与三角形的面积之比为，则 【答案】或 【分析】根据矩形的性质和勾股定理得到，过点作交于点，已知，则可求的面积；可证得，由相似三角形的面积比可求得的面积，从而可求五边形的面积．根据题意列方程得到或，可求解． 【详解】解：在中，根据勾股定理，得. ∴. 如图，过点作交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， 由矩形的性质可知，， 又∵， ， ， 则， ， ，相似比为， ， ， ， ； 与的函数关系式为； ， ， 解得，或， 当时，或． 故答案为：或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，列函数关系式，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，解一元二次方程，正确的识别图形是解题的关键． 3．如图， 在矩形 中，，，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线方向运动，动点 Q从点 C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段方向运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)当与矩形的对角线平行时，求t的值； (3)若点 M为的中点，当 t为何值时，以M、P、C为顶点的三角形与相似，相似比为多少？ (4)直接写出点B关于直线的对称点落在内部时t的取值范围． 【答案】(1)当时，；当时， (2)或 (3)t的值为 或 或；相似比分别为： (4) 【分析】（1）分点P在边上和点P在边延长线上两种情况解答即可； （2）分与两种情况，通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质列方程求解即可； （3）点M为 的中点，，当，，且时，当，，时，当，，且时，当，，且时，分情况讨论即可； （4）连接，由题意得，垂直平分，，，当点落在上时，证明和，当点落在 上时，，，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，，， ∵四边形是矩形， ∴， 当点P与点C重合时，则， 解得， 当点 Q与点D重合时，则， ∵当点 Q到达点 D时，两点同时停止运动， 当时， ，当时，； （2）解：当时，如图1， ，则， ，即， 解得； 当时，如图2， ， 则， ∵， ∴， ， ，即， 解得： ， 综上所述：t的值为 或 ； （3）解：∵点M为 的中点，， ， ， 当，，且 时， 如图， 则，即， 解得，此时，相似比为：； 当，，且时，如图， 则，即， 解得，此时，相似比为：； 当时，， 且时， 如图5， 则，即， 解得，此时，相似比为：； 当时，， 且 时， 如图6， 则，即， 解得，舍去； 综上所述，t的值为 或 或；相似比分别为：． （4）解：连接，如图7， ∵点与点 B关于直线对称， ∴垂直平分， ，， 当点落在上时，如图7，   ，，， ， ，，， ， ， ， ， ， ，即， 解得， 当点落在 上时，如图8， ，，， ， ， ， 解得， ∴点落在 内部时t的取值范围是：． 【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理与动点几何问题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $