精品解析：湖北省楚天协作体2025-2026学年高三上学期9月起点考试数学试题

2025-2026学年度上学期高三9月起点考试 高三数学试卷 全卷满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交运算即可求解. 【详解】， 故选：D 2. 的展开式中所有项的系数之和为（ ） A. -216 B. -16 C. 27 D. -27 【答案】A 【解析】 【分析】对于多项式，要求其展开式的系数之和，可令，得到的值就是展开式中所有项的系数之和. 【详解】已知多项式，令， 则， 因此的展开式中所有项的系数之和为-216. 故选： 3. 在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列下标和性质及通项公式计算得出公比，最后应用等比数列求和公式计算求解. 【详解】各项均为正数的等比数列中，设公比为，则， ，， 所以，，所以， 则. 故选：D. 4. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理求角，进而可得角. 【详解】因为， 则，， 且，，可得，， 所以. 故选：C. 5. 设点是双曲线上的动点，定点，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. 12 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由数量积的定义可得，结合点在双曲线上可得，且，由此可求结论. 【详解】因为，，， 所以，， 所以， 因为点是双曲线上的动点， 所以或，， 所以，当且仅当时等号成立， 所以当点的坐标为或时，取最小值，最小值为， 故选：A. 6. 在平行四边形中，，对角线，对角线与交于点，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理结合诱导公式计算可得. 【详解】设， 在中，， 在中，， 因为， 所以，解得， 所以. 故选：B. 7. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，点是椭圆和双曲线的一个公共交点，，椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设椭圆的长轴为，双曲线的实轴为，焦距为，由椭圆的离心率得，再由椭圆的定义有，双曲线的定义有，解出，最后利用勾股定理即可求解. 【详解】设椭圆的长轴为，双曲线的实轴为，焦距为，不妨设点是椭圆和双曲线在第一象限的交点， 则由椭圆的离心率为有， 由椭圆的定义有：①， 又由双曲线的定义有②， 由①②解得， 又， 所以，即，解得， 即， 故选：B. 8. 设函数以2为周期，且在区间上定义为：，关于函数下列说法不正确的是（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 在内有3个极值点 C. 在内的极小值点为 D. 两个极大值点之间的最小距离为 【答案】A 【解析】 【分析】计算和的值可判断A；在和内分别对求导，令，并分析两侧导数符号可判断B，C；计算两个极大值点之差可判断D. 【详解】对于A，当时，，， ， ， 即，所以的图象关于直线对称，故A错误； 对于B，当时，，得，又，， 由解得，解得； 当时，得， 又，，由解得，解得， 故在上单调递增，上单调递减，上单调递增，上单调递减. 所以在内有2个极大值点，分别是和，一个极小值点，故B，C正确； 因为函数以2为周期，所以极大值点为和 ()， 相邻极大值点间的距离为或， 因为，所以最小距离为，故D正确. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机事件满足，则（ ） A. 若事件互斥，则 B. 若事件相互独立，则 C. 若，则 D. 若事件互斥，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由条件结合互斥事件概率加法公式求结论即可，对于B，先判断事件与事件相互独立，结合独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式求结论，对于C，由条件可得，结合条件求判断C，对于D，结合条件可得，结合条件求其概率即可判断. 【详解】对于A，因为事件互斥，， 所以，A正确， 对于B，因为事件相互独立，所以事件与事件相互独立， 所以，又， 所以， 所以，B正确， 对于C，因为，所以， 所以，又， 所以，C正确， 对于D，因为事件互斥，所以， 所以，又，故， 所以，D错误， 故选：ABC 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的最小值为 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 函数的图象在点处的切线方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数图象求出函数解析式为，可判断A正确，利用正弦函数的单调性计算可得B正确，由整体代换求得对称中心表达式可知C错误，利用导数的几何意义可求出切线方程可知D正确. 【详解】对于A，根据图象可知，且图象过， 因此可得，即，又，可得； 设的最小正且周期为， 由图可得，即，可知； 又，可得， 由可得，所以，解得； 所以的最小正周期为，可知A正确； 对于B，由A选项可知， 当时，， 根据正弦函数单调性可知当时，取得最小值为，即B正确； 对于C，令，可得， 显然不存在满足，所以函数的图象不关于点中心对称，即C错误； 对于D，易知，则， 所以在点处的切线方程为，即，可知D正确. 故选：ABD 11. 在棱长为2的正方体中，点在棱上移动，．过点作平面垂直于空间对角线，设平面与正方体的截面为多边形．记截面多边形的重心为，面积为，边数为．当从0到2连续变化时，下列说法正确的是：（ ） A. 平面与平面的夹角余弦值是； B. 的取值范围是； C. 的值可能是5； D. 点的轨迹的长度为. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A,通过建立空间直角坐标系，利用空间向量法求平面与平面的夹角余弦值；B,当从到连续变化时，找到当或时，截面为正三角形的面积最小；当时，截面为正六边形的面积最大，再求出最小面积和最大面积即可；C,当从到连续变化时，通过观察分析得到答案；D,当从到连续变化时，首先通过观察分析找到点的轨迹是正三角形的重心到正三角形的重心的线段，再利用等体积法等求出这段线段的长度. 【详解】 如图（1），以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系， 正方体的棱长为2，，,， 对于选项A：平面，平面的一个法向量为，，平面的一个法向量为，，设平面与平面的夹角为，， 选项A正确； 对于选项B：当或时，如图（2），截面为正三角形，且， 为最小值； 当时，截面为正六边形，如图（3），， 为最大值，选项B正确； 对于选项C：当从到连续变化时，截面多边形的边数可能是三角形，六边形，不能是五边形，则选项C错误； 对于选项D：重心的轨迹是正三角形的重心到正三角形的重心的线段， 设正三角形的重心为，正三角形的重心为， ，，，，， 正三角形的重心到正三角形的重心的线段长度为，选项D正确. 故选：ABD 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 若复数，则_________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用复数的除法运算先求，进而得，最后利用复数的乘法运算即可求解. 【详解】由，所以， 所以， 故答案为：. 13. 从名学生（）中选出人分别担任班长､副班长和学习委员（每个职务由不同学生担任）､如果被选中，则不能担任学习委员；和不能同时被选中．则不同的职务分配方案共有__________种． 【答案】 【解析】 【分析】分别讨论无人被选中、有一人被选中，未被选中和有一人被选中，被选中三种情况，根据分类加法计数原理可求得结果. 【详解】若无人被选中，则有种分配方案； 若有一人被选中，未被选中，则有种分配方案； 若有一人被选中，被选中，则有种分配方案； 根据分类加法计数原理，不同的职务分配方案有种. 故答案为：. 14. 在圆内接四边形中，且，为锐角；若，则面积的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据所给条件，利用诱导公式以及两角和的正弦公式，建立方程，求出，；设并结合正弦定理表示出，，再利用三角形面积公式，结合二次函数的性质求出最大值. 【详解】在中，由诱导公式可得， 代入可得， 即， 由于为锐角，设，则，， 解方程得， 所以，， 所以是四边形外接圆直径，故， 设，则， 在中，， 由正弦定理得， 即， 在中，， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足： （1）求的值． （2）证明是等比数列，并求数列的通项公式． （3）设，求数列的前项和． 【答案】（1）. （2） 证明：因为，所以. 所以. 因为,所以. 所以是首项为2，公比为2的等比数列. 所以. 所以数列的通项公式是. （3）. 【解析】 【分析】(1)分别将代入递推公式可得的值. (2)由递推公式构造与的关系,并求出的值,可根据等比数列的定义证明是等比数列,,并求出其通项公式,进而得到数列的通项公式. (3)把由(2)得到的的通项公式,代入，得到数列的通项公式,进而判断数列是等差数列.根据等差数列的前项和公式,求得数列的前项和． 【小问1详解】 因为数列满足：， 所以,. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由(2)知:. 因为当时,. 所以数列是首项为1,公差为1的等差数列. 所以数列的前项和 故. 16. 在斜三棱柱中，底面为直角三角形，，．侧棱与底面成角，且在底面上的投影落在线段上． （1）证明：． （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直，即可得线线垂直； （2）利用空间向量法来求解线面角正弦值即可. 【小问1详解】 如图，由在底面上的投影落在线段上，则平面， 因为平面，所以， 又因为所以，又因为平面， 所以平面，又因为平面， 所以. 【小问2详解】 因为平面，所以如图建立空间直角坐标系， 因为，，平面， 所以有又因为侧棱与底面成角， 所以，则，， 即，所以有， 而平面的法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 新高考数学试卷中的多项选择题，在给出的四个选项中，有2项或3项符合题目的要求，出现2项或3项符合题目的要求可能性相等．评分规则为：当正确选项为2个时，选对1个得3分，选对2个得6分；当正确选项为3个时，选对1个得2分，选对2个得4分，选对3个得6分；有错选得0分．现在一考生四个选项都不会的情况下，给出得分最多的选择方式，（忽略选1项2项3项所用时间的差异），并说明理由． 【答案】选1个或2个选项时，得分最多，理由见详解 【解析】 【分析】分选1、2和3个选项三种情况，分别求得分的随机变量的期望值，根据期望值比较大小即可判断. 【详解】由题意可知：出现2项或3项符合题目的概率均为， 若选1个选项，则得分随机变量的可能取值为3，2，0， 可得，，， 所以随机变量的期望； 若选2个选项，则得分随机变量的可能取值为6，4，0， 可得，，， 所以随机变量的期望； 若选3个选项，则得分随机变量的可能取值为6，0， 可得，， 所以随机变量的期望； 因为，所以选1个或2个选项时，得分最多. 18. 已知椭圆的方程为．点是椭圆的左顶点，点是椭圆的上顶点，离心率为．设是椭圆上异于点､点的任意一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点． （1）求椭圆的标准方程． （2）求面积最大值，并求出此时点的坐标． （3）当点在椭圆上运动时，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】（1） （2）面积最大值为， （3） 【解析】 【分析】（1）根据离心率以及顶点即可求解的值，即可求解， （2）利用点到直线的距离公式，结合三角函数的性质即可求解距离的最大值，进而由三角形面积公式求解， （3）根据点斜式求解直线方程，即可得的坐标，由中点坐标公式，化简即可求解. 【小问1详解】 由题意可知：，所以，故， 故椭圆方程为 【小问2详解】 设， 故直线方程为， 则点到直线的距离为, 由于， 由于，故当时，，此时, 故， 此时的面积最大，且 【小问3详解】 设， 则直线令，则，故, 直线，令，则，故, 设的中点为，则， 进而可得， 由于点在椭圆上，所以， 故， 化简可得， 所以，， ， 则， 故或或， 当时，，此时与重合，不满足题意，舍去， 当时，，此时与重合，不满足题意，舍去， 故轨迹方程为，即 19. 设函数，其中为参数． （1）当时，求的单调区间． （2）求的取值范围，使得对所有实数成立． （3）设，其中为（2）中范围的右端点，记为的两个正实数解，为（2）中定义的正实数（满足）．证明：． （注：） 【答案】（1）单调递减区间为 ，单调递增区间为 （2） 的范围是，其中，是方程的唯一正实数解. （3） 由（2）得，为的两根，且， 设，， 则， 设，， 则，， 由在恒正且单调递增，在单调递减， 可得在单调递减， 由于则， 所以，， 所以单调递增，单调递增， 则， 所以单调递减，， 则， 而，则， 由于，，在单调递增， 所以，即得证. 【解析】 【分析】（1）求导利用基本不等式判断导数符号； （2）先根据偶函数缩小讨论范围，再分参来解恒成立问题，为了方便求导可以同时取对数，结合零点存在定理，利用隐零点来说明； （3）极值点偏移问题，可以构造差函数来解； 【小问1详解】 当时， ， ， 设，则 ， 根据基本不等式（当且仅当 ，即时取等号）， 所以 ，在上单调递增，在上单调递增， ， 所以当时，，当时，0， 所以的单调递减区间为 ，单调递增区间为. 【小问2详解】 由于，则为偶函数，且成立， 则只需要对于，恒成立，即恒成立， 又由于，，则只需恒成立， 设， 则， 由于在单调递增， 在单调递增，所以在单调递增， ，， 所以存在唯一，使得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 极小值，由于， 化简可得， 则，， 设，则时，对所有实数成立， 综上：的范围是，其中，是方程的唯一正实数解. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期高三9月起点考试 高三数学试卷 全卷满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中所有项的系数之和为（ ） A. -216 B. -16 C. 27 D. -27 3. 在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设点是双曲线上的动点，定点，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. 12 D. 6. 在平行四边形中，，对角线，对角线与交于点，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，点是椭圆和双曲线的一个公共交点，，椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数以2为周期，且在区间上定义为：，关于函数下列说法不正确的是（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 在内有3个极值点 C. 在内的极小值点为 D. 两个极大值点之间的最小距离为 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机事件满足，则（ ） A. 若事件互斥，则 B. 若事件相互独立，则 C. 若，则 D. 若事件互斥，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的最小值为 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 函数的图象在点处的切线方程为 11. 在棱长为2的正方体中，点在棱上移动，．过点作平面垂直于空间对角线，设平面与正方体的截面为多边形．记截面多边形的重心为，面积为，边数为．当从0到2连续变化时，下列说法正确的是：（ ） A. 平面与平面的夹角余弦值是； B. 的取值范围是； C. 的值可能是5； D. 点的轨迹的长度为. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 若复数，则_________． 13. 从名学生（）中选出人分别担任班长､副班长和学习委员（每个职务由不同学生担任）､如果被选中，则不能担任学习委员；和不能同时被选中．则不同的职务分配方案共有__________种． 14. 在圆内接四边形中，且，为锐角；若，则面积的最大值为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足： （1）求的值． （2）证明是等比数列，并求数列的通项公式． （3）设，求数列的前项和． 16. 在斜三棱柱中，底面为直角三角形，，．侧棱与底面成角，且在底面上的投影落在线段上． （1）证明：． （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 新高考数学试卷中的多项选择题，在给出的四个选项中，有2项或3项符合题目的要求，出现2项或3项符合题目的要求可能性相等．评分规则为：当正确选项为2个时，选对1个得3分，选对2个得6分；当正确选项为3个时，选对1个得2分，选对2个得4分，选对3个得6分；有错选得0分．现在一考生四个选项都不会的情况下，给出得分最多的选择方式，（忽略选1项2项3项所用时间的差异），并说明理由． 18. 已知椭圆的方程为．点是椭圆的左顶点，点是椭圆的上顶点，离心率为．设是椭圆上异于点､点的任意一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点． （1）求椭圆的标准方程． （2）求面积最大值，并求出此时点的坐标． （3）当点在椭圆上运动时，求线段的中点的轨迹方程． 19. 设函数，其中为参数． （1）当时，求的单调区间． （2）求的取值范围，使得对所有实数成立． （3）设，其中为（2）中范围的右端点，记为的两个正实数解，为（2）中定义的正实数（满足）．证明：． （注：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $