精品解析： 广东省佛山市南海区石门实验中英文学校2022-2023学年九年级上学期潜能大赛数学试卷（二）

2022-2023学年广东省佛山市南海区石门实验中英文学校九年级（上）潜能大赛数学试卷（二） 一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为实常数，则下列结论正确的是（ ） A. 关于的方程的解是 B. 关于的方程的解是 C. 关于的方程的解是 D. 关于的方程的解是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查含绝对值符号的一元一次方程，根据各个选项中的说法可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：A、在方程中，当时，为任意实数，当时，，故选项A错误； B、在方程中，当时，为任意实数，当时，，故选项B错误； C、在方程中，当时，为任意实数，当时，，当时，，，故选项C错误； D、在方程中，，故选项D正确； 故选：D． 2. 古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为如图，在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用阅读材料，先计算出的值，然后根据海伦公式计算的面积； 【详解】，，． ， 的面积； 故选A． 【点睛】考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算，难度不大． 3. a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为，－1的差倒数为，已知，是差倒数，是差倒数，是差倒数，以此类推……，的值是（ ） A 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据新运算定义称为a的差倒数，求出、、的值，可发现规律，再根据新运算的定义计算即可得． 【详解】∵ ， 是的差倒数， ∴， ∵是的差倒数，是的差倒数， ∴， ∴， 根据规律可得以，，为周期进行循环，因为2021＝673×3…2， 所以． 故选B． 【点睛】本题考查了有理数的加减乘除法运算，理解新运算的定义是解题关键． 4. 已知直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处，则直线AM的函数解析式是（ ） A. y＝﹣x+8 B. y＝﹣x+8 C. y＝﹣x+3 D. y＝﹣x+3 【答案】C 【解析】 【详解】【分析】由题意，可求得点A与B的坐标，由勾股定理，可求得AB的值，又由折叠的性质，可求得AB′与OB′的长，BM=B′M，然后设MO=x，由在Rt△OMB′中，OM2+OB′2=B′M2，即可得方程，继而求得M的坐标，然后利用待定系数法即可求得答案． 【详解】当x=0时，y=﹣x+8=8，即B（0，8）， 当y=0时，x=6，即A（6，0）， ∵∠AOB=90°， ∴AB==10， 由折叠的性质，得：AB=AB′=10， ∴OB′=AB′-OA=10-6=4， 设MO=x，则MB=MB′=8-x， 在Rt△OMB′中，OM2+OB′2=B′M2， 即x2+42=（8-x）2， 解得：x=3， ∴M（0，3）， 设直线AM的解析式为y=kx+b，代入A（6，0），M（0，3）得： ， 解得： ∴直线AM的解析式为：y=-x+3， 故选C． 【点睛】本题考查了折叠的性质、一次函数的性质、勾股定理以及待定系数法求一次函数的解析式，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 5. 如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s（阴影部分），则s与t的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设三角形运动速度为1，根据勾股定理可求出等腰直角三角形的斜边长为，分0≤t≤时，＜t≤时，＜t≤2时，2＜t≤2+时，2+＜t≤2+时五种情况，可知等腰直角三角形与正方形的不重叠部分面积变化过程是变小--不变--变大，分别求出函数关系式，即可得出答案． 【详解】∵等腰直角三角形的直角边长为1， ∴等腰直角三角形的斜边长为=， 当0≤t≤时，s＝×1×1+2×2﹣＝﹣t2； 当＜t≤时，s＝22-+2×(-t)2=t2﹣2t+； 当＜t≤2时，s＝×1×1＝； 当2＜t≤2+时，s＝22-2×(t-2)2=t2﹣4t+； 当2+＜t≤2+时，s＝22+-2×（﹣t+2）2=﹣（﹣t+2）2， ∴等腰直角三角形与正方形的不重叠部分面积变化过程是变小--不变--变大，且变小、变大时的图象为抛物线，不变时的图象为直线， ∴A符合要求， 故选：A． 【点睛】考查了动点问题的函数图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论，熟练掌握二次函数的图象是解题关键． 二、填空题：本题共7小题，每小题6分，共42分． 6. 已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1，x2，且满足，则k的值是________． 【答案】2 【解析】 【详解】解：∵关于x的方程的两根分别是，， ∴，， ， 解得：k=2， 故答案为：2 7. 抛物线的对称轴为直线，图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④．正确的结论是______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质； 根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】解：由图象可知：， ，故正确； 由图象可知：，， 由对称轴可知：， ， ，故正确； 由对称轴可知：， ， ，故正确； ④关于的对称点为 ∵，， ，故正确； 故答案为：． 8. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，，点B在点A的右侧，过点B作y轴的垂线，垂足为C，若的面积为2，则点B的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】把A点坐标代入可得k值，即可求出反比例函数的解析式，由BC⊥y轴可得的长，根据△ABC的面积为2可求出m的值，即可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵的面积为2， ∴，即，解得， ∵， ∴， ∴点B的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征及待定系数法求反比例函数解析式，根据三角形面积得出m值是解题关键． 9. 如图，在△中，，,.则边的长为___________. 【答案】 【解析】 【分析】过A作AD⊥BC于D点，根据，可求得CD，在Rt△ACD中由勾股定理可求得AD，再利用Rt△ADB中，可知AB=2AD，即可解题 【详解】过A作AD⊥BC于D点， ∵，AC=2 ∴CD= 在Rt△ACD中由勾股定理得：AD= 又∵∠B=30° ∴AB=2AD=. 【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理求线段长度，30°所对的直角边是斜边的一半，灵活联合运用即可解题. 10. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用． 首先连接，由题意易得，∽，然后由相似三角形的对应边成比例，易得，即可得，在中，即可求得的值，继而求得答案． 【详解】解：如图，连接交于点， 四边形是正方形， ，，，， ， 根据题意得：， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 11. 设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】分别作垂直于x轴于点E、F，设，由抛物线解析式可得，作于H，交y轴于点G，连接交y轴于点D，设点，易证，所以＝，即＝．可得．再证明，所以＝，即＝，可得．即得点D为定点，坐标为，得．进而可推出点C是在以为直径圆上运动，则当点C到y轴距离为此圆的直径的一半，即时最大． 【详解】解：如图，分别作垂直于x轴于点， 设，由抛物线解析式为， 则， 作于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D， 设点， ∵， ∴， ∴＝，即＝． 化简得：． ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴． ∴＝， 即＝， 化简得． 则，说明直线AB过定点D，D点坐标为． ∵， ∴点C是在以为直径的圆上运动， ∴当点C到y轴距离为=时，点C到y轴的距离最大． 故答案：． 【点睛】本题考查了二次函数结合动点问题背景下的最值求法，涉及相似三角形，圆周角定理，此题难度较大，关键是要找出点D为定点，确定出点C的轨迹为一段优弧，再求最值． 12. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA=，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是________s． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴的平行线，再过点作轴的平行线，两线相交于点，如图，利用平行线的性质和三角函数的定义得到，设，，则，则可判断蚂蚁从爬到点所用的时间等于从爬到点所用的时间相等，于是得到蚂蚁从出发，先以1单位的速度爬到线段上的点处，再以1.25单位的速度沿着爬到点所用时间等于它从以1单位的速度爬到点，再从点以1单位速度爬到点的时间，利用两点之间线段最短得到的最小值为的长，接着求出点和点坐标，再利用待定系数法求出的解析式，然后解由直线解析式和抛物线解析式所组成的方程组确定点坐标，从而得到的长，然后计算爬行的时间． 【详解】解：过点作轴的平行线，再过点作轴的平行线，两线相交于点，如图， ， ， ， 设，，则， 蚂蚁从爬到点的时间 若设蚂蚁从爬到点的速度为1单位，则蚂蚁从爬到点的时间， 蚂蚁从爬到点所用的时间等于从爬到点所用的时间相等， 蚂蚁从出发，先以1单位的速度爬到线段上的点处，再以1.25单位的速度沿着爬到点所用时间等于它从以1单位的速度爬到点，再从点以1单位速度爬到点的时间， 作于，则， 的最小值为的长， 当时，，解得，，则，， 直线交轴于点，如图， 在中，， ，则， 设直线的解析式为， 把，代入得，解得， 直线的解析式为， 解方程组得或，则点坐标为，， ， 蚂蚁从爬到点的时间， 即蚂蚁从到的最短时间为． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标化为解关于的一元二次方程．解决本题的关键是确定蚂蚁在和上爬行的时间相等． 三、解答题：本题共3小题，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 在2016年巴西里约奥运会上，中国女排克服重重困难，凭借顽强的毅力和超强的实力先后战胜了实力同样超强的巴西队，荷兰队和塞尔维亚队，获得了奥运冠军，为祖国和人民争了光．如图，已知女排球场的长度OD为18米，位于球场中线处的球网AB的高度为2.24米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方2米的C点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点O的水平距离OE为6米时，到达最高点F，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)当排球运行的最大高度为2.8米时，求排球飞行的高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)之间的函数关系式． (2)在(1)的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由． (3)喜欢打排球的李明同学经研究后发现，发球要想过网，球运行的最大高度h(米)应满足h>2.32，但是他不知道如何确定h的取值范围，使排球不会出界(排球压线属于没出界)，请你帮忙解决并指出使球既能过网又不会出界的h的取值范围． 【答案】(1) y=− (x−6)²+2.8；(2)这次发球可以过网且不出边界；(3)h⩾. 【解析】 【分析】（1）根据此时抛物线顶点坐标为（6，2.8），设解析式为y=a（x-7)2+3.2，再将点C坐标代入即可求得；（2）把x=9，x=18代入（1）中的解析式，与2.24和0比较即可.（3）设抛物线解析式为y=a（x-6）2+h，将点C坐标代入得到用h表示a的式子，再根据球既要过球网，又不出边界即x=9时，y＞2.24且x=18时，y≤0得出关于h的不等式组，解之即可得． 【详解】(1)由题意可得抛物线的顶点F的坐标为(6,2.8)， 设抛物线的解析式为y=a(x−6)²+2.8， 将点C(0,2)代入，得：36a+2.8=2， 解得：a=−， ∴y=− (x−6)²+2.8； (2)当x=9时,y=− (9−6)²+2.8=2.6>2.24， 当x=18时,y=−(18−6)²+2.8=−0.4<0， ∴这次发球可以过网且不出边界； (3)设抛物线解析式为y=a(x−6)²+h， 将点C(0,2)代入,得：36a+h=2,即a=， ∴此时抛物线解析式为y=(x−6)²+h， 根据题意,得：+h⩽0， 解得：h⩾， 又∵h>2.32， ∴h⩾ 答：球既能过网又不会出界的h的取值范围是h⩾. 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，再根据题意确定范围． 14. （2016•万州区校级模拟）如图，正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），M是线段AE的中点，DM的延长线交CE于N． （1）求证：AD=NE （2）求证：①DM=MF；②DM⊥MF． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【详解】试题分析： （1）由已知条件证：△ADM≌△ENM可得AD=NE； （2）连接FD、FN，结合（1）中所得结论和已知条件可证△CDF≌△ENF，从而可得：FD=FN，∠3=∠4，由此可得：∠3+∠CFN=∠4+∠CFN=∠CFE=90°，这样可证得：△DFN是等腰直角三角形；再由△ADM≌△ENM可得DM=NM，就可得到：FM是等腰直角△DFN斜边上的中线，就可得到；DM=MF，DM⊥MF. 试题解析： （1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，∠BCD=90°，AD=CD， ∴∠MAD=∠MEN， 又∵M是AE的中点， ∴AM=EM 在△ADM和△ENM中，， ∴△ADM≌△ENM（ASA）， ∴AD=EN； （2）连接FD、FN， ∵CE是正方形CGEF的对角线， ∴CF=EF，∠1=∠FEN=45°， 又∵∠BCD=90°， ∴∠DCE=90°， ∴∠2=∠1=∠FEN=45°， 在△CDF和△ENF中，， ∴△CDF≌△ENF（SAS） ∴∠3=∠4，DF=FN， 又∵∠CFN+∠4=90°， ∴∠CFN+∠3=90°， ∴△DFN是等腰直角三角形， ∵△ADM≌△ENM， ∴DM=NM， ∴FM=DM，FM⊥DM． 点睛：解本题第（2）问时，由第（1）问中证得的：△ADM≌△ENM可得DM=MN，结合要证的两个结论：FM=DM，FM⊥DM分析可知：要证本题结论就要证△DFN是等腰直角三角形，由此可知需连接DF和NF，从而得到本题的思考方向.. 15. 已知二次函数的图象过点，且对任意实数x，都有． （1）求该二次函数的解析式； （2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，或或或 【解析】 【分析】（1）令，解得，可得函数 必过 ，再结合 必过 得出，，即可得到，再根据，可看成二次函数与一次函数仅有一个交点，且整体位于的上方，可得，有两个相等的实数根，再根据，可解得的值，即可求出二次函数解析式． （2）结合（1）求出点C的坐标，设，①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时,根据中点坐标公式分别列出方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：（1）令，解得， 当时，， ∴ 必过 ， 又∵ 必过 ， ∴， ∴， 即， 即可看成二次函数与一次函数仅有一个交点，且整体位于的上方 ∴， 有两个相等的实数根 ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． （2）由（1）可知：，，设， ①当为对角线时， ∴，解得（舍），， ∴，即． ②当为对角线时， ∴，解得（舍）， ∴，即． ③当为对角线时， ∴，解得， ∴或， ∴． 综上所述：N点坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及到二次函数与不等式组，考查了平行四边形的存在性问题，利用中点公式，分类讨论是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年广东省佛山市南海区石门实验中英文学校九年级（上）潜能大赛数学试卷（二） 一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为实常数，则下列结论正确的是（ ） A. 关于的方程的解是 B. 关于方程的解是 C. 关于方程的解是 D. 关于的方程的解是 2. 古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为如图，在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 3. a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为，－1的差倒数为，已知，是差倒数，是差倒数，是差倒数，以此类推……，的值是（ ） A. 5 B. C. D. 4. 已知直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处，则直线AM的函数解析式是（ ） A. y＝﹣x+8 B. y＝﹣x+8 C. y＝﹣x+3 D. y＝﹣x+3 5. 如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s（阴影部分），则s与t的大致图象为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共7小题，每小题6分，共42分． 6. 已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1，x2，且满足，则k的值是________． 7. 抛物线对称轴为直线，图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④．正确的结论是______． 8. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，，点B在点A的右侧，过点B作y轴的垂线，垂足为C，若的面积为2，则点B的坐标为________． 9. 如图，在△中，，,.则边的长为___________. 10. 如图，在边长相同小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则的值是______． 11. 设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值为______． 12. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA=，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是________s． 三、解答题：本题共3小题，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 在2016年巴西里约奥运会上，中国女排克服重重困难，凭借顽强的毅力和超强的实力先后战胜了实力同样超强的巴西队，荷兰队和塞尔维亚队，获得了奥运冠军，为祖国和人民争了光．如图，已知女排球场的长度OD为18米，位于球场中线处的球网AB的高度为2.24米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方2米的C点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点O的水平距离OE为6米时，到达最高点F，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)当排球运行的最大高度为2.8米时，求排球飞行的高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)之间的函数关系式． (2)在(1)条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由． (3)喜欢打排球的李明同学经研究后发现，发球要想过网，球运行的最大高度h(米)应满足h>2.32，但是他不知道如何确定h的取值范围，使排球不会出界(排球压线属于没出界)，请你帮忙解决并指出使球既能过网又不会出界的h的取值范围． 14. （2016•万州区校级模拟）如图，正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），M是线段AE的中点，DM的延长线交CE于N． （1）求证：AD=NE （2）求证：①DM=MF；②DM⊥MF． 15. 已知二次函数的图象过点，且对任意实数x，都有． （1）求该二次函数的解析式； （2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $