精品解析：云南师范大学附属世纪金源学校2025-2026学年上学期九年级数学开学考试卷

云南师范大学附属世纪金源学校九年级开学诊断 数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共4页：满分100分，考试时间120分钟） 一、选择题（每小题2分，共30分） 1. 刘徽在《九章算术注》对负数做了很自然的解释：“两算得失相反，要令正、负以名之”．若收入100元记作元，那么支出30元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. “山美水美云南美，民族风情处处有”，2024年2月19日云南省文化和旅游厅发布消息，春节假期云南旅游总收入约元，数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，若，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数经过（　　） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 6. 估计的值应在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 7. 五边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 8. 要使有意义，则x的取值范围为( ) A. x≤0 B. x≥－1 C. x≥0 D. x≤－1 9. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产作品录．下面四幅作品分别代表“惊蛰”、“谷雨”、“立秋”、“冬至”，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 10. 为了解某班学生2023年5月27日参加体育锻炼的情况，从该班学生中随机抽取5名同学进行调查．经统计，他们这天的体育锻炼时间（单位：分钟）分别为65，60，75，60，80．这组数据的众数为（ ） A. 65 B. 60 C. 75 D. 80 11. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 12. 观察下列单项式：，…，按此规律，第8个单项式是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 8 14. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则的长为（ ） A. B. C. D. 15. 若关于x的不等式组的解集为x＞a，则a的取值范围是( ) A. a＜2 B. a≤2 C. a＞2 D. a≥2 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：_______． 17. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人次射击成绩的平均数均是环，方差分别为，，，，则射击成绩最稳定的是______． 18. 矩形的两条对角线的夹角为，对角线的长为，则矩形的面积为________． 19. 如图，在中，D是上一点，于点E，点F是的中点，若，则的长为___________． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算： 21. 如图，，，．求证：． 22. 某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了25%，结果提前8天完成任务，那么原计划每天铺设管道多少米？ 23. 某校开展了“安全伴我行”宣传教育活动．为了解活动效果，该校随机抽取名学生进行了一次测试，满分为100分，按成绩划分为A，B，C，D四个等级．将收集的数据整理绘制成如下不完整的统计图表． 成绩频数分布表 等级 成绩x 频数 A 46 B n C 32 D 8 成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出，的值； （2）抽取的这名学生中，其成绩的中位数落在 等级； （3）该校有1500名学生参加这次测试，请估计有多少名学生的成绩达到A等级． 24. 已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），O是对角线AC的中点，过点O的直线EF⊥AC交AD边于E，交BC边于F． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若AE＝10cm，△ABF的面积为24，求△ABF的周长． 25. 为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． （1）求甲、乙两种苹果每箱的售价． （2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 26. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 27. 已知直线：交x轴于点B，交y轴于点A． （1）如图1，若点A的坐标为，求直线的解析式； （2）在（1）的条件下，若点P在y轴上，且，求满足条件的点P的坐标； （3）如图2，若直线：交于点D，点C的横坐标为，以下结论：，，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南师范大学附属世纪金源学校九年级开学诊断 数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共4页：满分100分，考试时间120分钟） 一、选择题（每小题2分，共30分） 1. 刘徽在《九章算术注》对负数做了很自然的解释：“两算得失相反，要令正、负以名之”．若收入100元记作元，那么支出30元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查正数与负数，理解正数与负数的意义是解题的关键．根据正数与负数的意义可求解． 【详解】解：收入100元记作元，那么支出30元应记作元， 故选：B． 2. “山美水美云南美，民族风情处处有”，2024年2月19日云南省文化和旅游厅发布消息，春节假期云南旅游总收入约元，数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故选：C． 3. 如图，直线，若，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差，由平行线的性质得，再根据平角的定义解答即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式分别运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 5. 一次函数经过（　　） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，由于，，根据一次函数图象与系数的关系可判断一次函数的图象经过第一、二、三象限． 【详解】解：∵， ∴图象经过第一、三象限， ∵， ∴图象与y轴的交点在x轴上方， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限． 故选：A． 6. 估计的值应在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算和无理数的估算．先利用二次根式运算法则计算得到化简结果，再估算化简结果范围即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴， 即的值应在5到6之间， 故选：D 7. 五边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和公式，掌握（为多边形的边数）是解题的关键．根据多边形内角和公式（为多边形的边数）即可求解． 【详解】解：，   故选：C ． 8. 要使有意义，则x的取值范围为( ) A. x≤0 B. x≥－1 C. x≥0 D. x≤－1 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义有条件进行求解即可. 【详解】要使有意义，则被开方数要为非负数， 即， ∴， 故选B. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键. 9. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产作品录．下面四幅作品分别代表“惊蛰”、“谷雨”、“立秋”、“冬至”，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A、C、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 10. 为了解某班学生2023年5月27日参加体育锻炼的情况，从该班学生中随机抽取5名同学进行调查．经统计，他们这天的体育锻炼时间（单位：分钟）分别为65，60，75，60，80．这组数据的众数为（ ） A. 65 B. 60 C. 75 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数的定义求解即可． 【详解】解：在65，60，75，60，80中，出现次数最多的是60， ∴这组数据的众数是60， 故选；B 【点睛】本题考查了众数，众数是指一组数据中出现次数最多的数据，掌握众数的定义是解题的关键． 11. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可． 【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等． 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如：矩形的对角线相等；四个角都是直角等． 12. 观察下列单项式：，…，按此规律，第8个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数字的变化规律，根据所给单项式，探索出式子的一般规律是解题的关键． 通过观察可知系数为的n次方，x的次数为自然数，由此可得第n个式子为，即可得出结果． 【详解】解：∵，，，，，…， ∴第n个式子为， ∴第8个单项式是， 故选：C． 13. 如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中点四边形，根据三角形中位线定理得，，证明四边形是矩形，进而得菱形的面积．四边形面积是故可得结论． 【详解】解：连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点E、F、G、H分别是边和的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴菱形的面积， ∴， ∴， ∴四边形的面积为5， 故选：B． 14. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，根据折叠的性质，直角三角形的勾股定理，根据折叠可知，，可得与全等，设，则，在中，可求出的值．理解和掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】∵矩形，沿折叠，，， ∴， ， ， ， ∴ ， ∴，， 设，则， 在中，，即， ∴，即， 故选：B． 15. 若关于x的不等式组的解集为x＞a，则a的取值范围是( ) A. a＜2 B. a≤2 C. a＞2 D. a≥2 【答案】D 【解析】 【分析】先求出每一个不等式的解集，然后根据不等式组有解根据已知给的解集即可得出答案. 【详解】， 由①得， 由②得， 又不等式组的解集是x＞a， 根据同大取大的求解集的原则，∴， 当时，也满足不等式的解集为， ∴，故选D. 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的解集，熟练掌握不等式组解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题的关键. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 原式提取7，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 17. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人次射击成绩的平均数均是环，方差分别为，，，，则射击成绩最稳定的是______． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查了数据的波动，明确方差越小越稳定即可解题． 【详解】，，，， ， 成绩最稳定的是丙． 故答案为：丙． 18. 矩形的两条对角线的夹角为，对角线的长为，则矩形的面积为________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查求矩形面积，涉及矩形性质、含的直角三角形性质和三角形面积公式等知识，先由题意得到，，过点作于，如图所示，构造直角三角形，在中，结合矩形性质及含的直角三角形性质得到，最后由三角形面积公式表示出矩形面积代值求解即可得到答案，熟记矩形性质、含的直角三角形性质，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，如图所示： ，， 过点作于，如图所示： 在矩形中，， 在中，，，，则， 矩形的面积为， 故答案为：16． 19. 如图，在中，D是上一点，于点E，点F是的中点，若，则的长为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要利用等腰三角形的性质和三角形中位线定理来求解的长度．首先，根据等腰三角形的性质确定；然后，利用三角形中位线定理计算的长度． 【详解】 又 ∴是的中位线， 故答案为：5. 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，完全平方，绝对值，二次根式的乘法，再进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 21. 如图，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在和中， ∴ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证明，进而根据即可证明． 【详解】略 22. 某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了25%，结果提前8天完成任务，那么原计划每天铺设管道多少米？ 【答案】30米 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设米，根据“提前8天完成任务”列分式方程，解方程即可． 【详解】解：设原计划每天铺设管道x米， ， 化为整式方程，得：， 解得， 检验，当时，， 即是原分式方程的解． 答：原计划每天铺设管道30米． 23. 某校开展了“安全伴我行”宣传教育活动．为了解活动效果，该校随机抽取名学生进行了一次测试，满分为100分，按成绩划分为A，B，C，D四个等级．将收集的数据整理绘制成如下不完整的统计图表． 成绩频数分布表 等级 成绩x 频数 A 46 B n C 32 D 8 成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出，的值； （2）抽取的这名学生中，其成绩的中位数落在 等级； （3）该校有1500名学生参加这次测试，请估计有多少名学生的成绩达到A等级． 【答案】（1）200；57 （2）B （3）345名 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图、频数分布表、中位数，样本估计总体，读懂统计图表，理清它们之间的数据关系是解题的关键． （）用等级的人数除以其百分比可求出，再求出等级的人数，由即可求出； （）根据中位数的定义即可求解； （）用乘以A等级人数的占比即可求解． 【小问1详解】 解：由统计图表可得，抽取的学生人数为： ， ∴等级的人数， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：把名学生的成绩按照从低到高的顺序排列，中位数为第名和第名学生成绩的平均数， ∴中位数落在等级； 【小问3详解】 解：， 答：估计该校有345名学生的成绩达到A等级． 24. 已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），O是对角线AC的中点，过点O的直线EF⊥AC交AD边于E，交BC边于F． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若AE＝10cm，△ABF的面积为24，求△ABF的周长． 【答案】（1）见解析；（2）24cm． 【解析】 【分析】（1）利用菱形的判定定理证明即可； （2）利用构造完全平方公式法，运用勾股定理，面积公式，完全平方公式的变形整体计算AB+BF的长即可． 【详解】（1）证明：∵O是对角线AC的中点， ∴AO＝CO， ∵矩形ABCD的边AD∥BC， ∴∠ACB＝∠CAD， ∵EF⊥AC， ∴∠AOE＝∠COF＝90°， 在△AOE和△COF中， ∵， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF， 又∵AE∥CF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴四边形AFCE是菱形； （2）解：∵AE＝10cm，四边形AFCE是菱形， ∴AF＝AE＝10cm， 设AB＝x，BF=y, ∵△ABF的面积为24， ∴xy=48， 在Rt△ABF中，根据勾股定理， ， ∴， ∴， ∴x+y=14或x+y=-14，不符合题意，舍去， ∴△ABF的周长＝x+y+AF=14＋10＝24cm． 【点睛】本题考查了菱形的判定，矩形的性质，勾股定理，完全平方公式的变形，熟练掌握判定定理，灵活运用勾股定理，完全平方公式，利用整体思想计算是解题的关键． 25. 为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． （1）求甲、乙两种苹果每箱的售价． （2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 【答案】（1）甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； （2）该公司最少需花费元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意正确列式是解题关键． （1）设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元，根据“2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元”，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买甲种苹果箱，根据“乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数”列不等式，求出的取值范围，设该公司需花费元，得到关于的一次函数，求出最值即可． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元， 则， 解得：， 答：甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； 【小问2详解】 解：设购买甲种苹果箱，则购买乙种苹果箱， 则， 解得：， 设该公司需花费元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值为， 即该公司最少需花费元． 26. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，且， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）证明，且，，可得，证明四边形是平行四边形，结合，可得结论； （2）证明，，，可得，求解，可得，结合，再求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得：∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记特殊四边形的判定与性质是解本题的关键． 27. 已知直线：交x轴于点B，交y轴于点A． （1）如图1，若点A的坐标为，求直线的解析式； （2）在（1）的条件下，若点P在y轴上，且，求满足条件的点P的坐标； （3）如图2，若直线：交于点D，点C的横坐标为，以下结论：，，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 【答案】（1） （2）点P的坐标为或 （3） 正确，证明如下： 在中，令得， ∴， 联立， 解得， ∴， 在中，令得，令得， ∴， 过点C作轴于点，如图所示： ∴， ∴， 同理得：，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点坐标的特征，三角形面积，两点间的距离公式的应用，解题的关键是掌握上述知识． （1）把代入即可求解； （2）设，根据解析式确定，由面积建立方程求解即可； （3）根据题意得出，联立两个函数确定，，利用勾股定理分别求出，，．代入求解计算即可 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：设，则， 在中，令得， ∴，即， ∵， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $