精品解析：四川省广安中学2026届高三零诊模拟考试数学试题

四川省广安中学高2023级“零诊”模拟考试 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的乘法运算求解即得. 【详解】由，得. 故选：D 2. 设集合，，则等于（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据和两种情况判断得出. 【详解】分两种情况： 当时，；当时， 故或 故选：B 3. 的展开式中的系数为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】先把两项相乘化简，再应用二项式展开式的通项公式结合组合数的计算求解. 【详解】的展开式中含的项为， 所以的系数为15. 故选：B. 4. 已知，，则的位数是（ ） A. 76 B. 77 C. 78 D. 79 【答案】C 【解析】 【分析】对取以十为底的对数，对进行估算即可. 【详解】.所以是78位数. 故选：C. 5. 从1，2，…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用方差及组合计数问题列式计算得解. 【详解】令三个整数的平均数为，其样本方差， 则，当且仅当是连续整数时，不等式成立， （取不连续的3个整数且极差最小，不妨取，其平均数为，， 当极差大于3时，3个数的波动变大，方差变大，不符合题意） 从1，2，…，10中随机抽取三个各不相同的数字，有个不同结果， 其中3个数是连续整数的有8个不同结果， 所以. 故选：B 6. 过椭圆上一点作圆的两条切线，点为切点，过的直线与轴、轴分别交于点、两点，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可设，再由切点弦直线得到，，再利用面积公式结合三角恒等变形求值域即可. 【详解】设，由题知， 则同时也在圆上， 又在圆上，则的方程为， ，，. 故选：A. 7. 已知，，，，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题知，再根据向量的模长公式可得，接着利用二倍角公式化简可得，继而可得到值域. 【详解】，， 则，， . 故选：C. 8. 在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且，，.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，易得外接球半径，利用正弦定理得到截面的外接圆半径为，从而得到球心到面的距离，结合题意即可得到最大值. 【详解】三棱锥的外接球就是以、、为长、宽、高的长方体的外接球， 其直径为，即， 又，所以， 则，于是由正弦定理，的外接圆半径为， 故球心到面的距离为. 所以点到面距离的最大值是. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知抛物线：（）的准线与圆：相切，点为抛物线上的动点，点是圆上的动点，过作的垂线，垂足为，的焦点为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值是 C. 当三点，，共线时，点的坐标是 D. 不存在两个点，，使得且 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题易得，根据定义，再由结合点到圆上点的距离的最值即可判断B；对于C，得出直线的方程，再求点坐标即可；对于D，由，得到，再转化为中垂线与曲线交点个数问题即可. 【详解】由准线与圆相切知，，得，所以A正确； 由可得， 又，， 所以最小值是，所以B正确； 易知，，，直线的方程是， 所以点的坐标是，所以C正确； 若，则，作中垂线， 设为中点，则可得，直线斜率为， 由此知为，与抛物线：联立可得到， ，所以有两个实数解， 所以存在两个点，使得，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由得，由得.对于A，利用作差法判断；对于B，由对数运算法则计算判断；对于C，由基本不等式可得，结合对数运算法则计算判断；对于D，解法一：利用基本不等式“1”的妙用，计算判断，解法二：用权方和不等式计算判断. 【详解】由得，由得. 对于A，，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由，，则，当且仅当时等号成立， 因为，故等号不成立，即， 则，故C正确； 对于D，解法一：易知，， 当且仅当时等号成立，因为，故等号不成立，所以， 解法二：若用权方和不等式，则有，当且仅当时等号成立，因为，故等号不成立，所以，故D正确. 故选：BCD 11. 已知函数（）在上恰有三个零点，且分别为，，，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】将函数的零点转化为的根的问题，分析得，进而得.再考虑区间的右端点在第三个和第四个零点之间得的范围. 【详解】令，可得.设. 因为，所以. 如图， 由的图像可知，，，， 所以. 所以. 因为函数在恰有三个零点，由图可知，，解得. 故选：AD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知命题,若命题是假命题，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据命题否定为真，结合二次函数图像列不等式，解得结果 【详解】因为命题是假命题，所以为真 所以 【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立，考查基本分析求解能力，属基础题. 13. 已知数列满足，且数列的前项和为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】应用得出，再应用裂项相消法计算求解. 【详解】若，则； 若，则. 所以，，即. 又也满足，所以. 由于， 所以. 故答案为：. 14. 把1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字分别填入右图所示的方框中，每一排构成一个三位数，若要求图中每个数位上的数字第二排比第一排大，第三排比第二排大，且这三个三位数的和为999，则最后一列的三个数字之和为______（填出所有可能的结果）；这样的排列方法共有______种. 【答案】 ①. 19 ②. 5 【解析】 【分析】根据这三个三位数的和为999，先得出最后一列的数字之和为19，再分第1、2列的三个数字之和依次为8，18得出排法. 【详解】由于1到9的和为45，，这三个三位数的和为999，依题意该算式进位了两次，则最后一列的三个数字之和为19. 第1、2列的三个数字之和依次为8，18. （1）当百位数字从上到下依次为1，2，5时，十位数字从上到下依次可以为4，6，8； 十位数字从上到下依次也可以为3，6，9；十位数字还可以从上到下依次为4，5，9，共有3种填法. （2）当百位数字从上到下依次为1，3，4时，十位数字从上到下依次可以为5，6，7； 十位数字从上到下依次也可以为2，7，9，共有2种填法. 这样的排列方法共有种： 故答案为：19；5. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在中，，，点D在线段BC上． (1)当时，求的值； (2)若AD是的平分线，，求的面积． 【答案】(1) (2) 或． 【解析】 【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用正弦定理可求，由已知利用二倍角的正弦函数公式可得，在中，利用正弦定理可求的值； （2）设，则，由余弦定理可得x的值，进而可求DC，又由（1）可求的值，利用三角形面积公式即可求值得解． 【详解】解：（1），B是三角形内角， ， ， ． ， ， ， ∴在中，． （2）设，则， 在中，由余弦定理可得：， 解得：或． 因为AD是的平分线， 所以， 即，而， 所以． 又由（1）知， ①当时，； ②当时，． 综上，的面积为或． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，二倍角的正弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题． 16. 一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量单位：克，重量分组区间为,,,，由此得到样本的重量频率分布直方图如图． （1）求的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值； （2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量内的小球个数为，求的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率） 【答案】（1）,众数约为20，平均值为24.6 （2） 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）由频率分布直方图中所有小矩形面积（频率）之和为1，可计算出,众数取频率最大即矩形最高的那个矩形的中点横坐标，平均值用各矩形中点值乘频率相加即得；（Ⅱ）的可能取值为、、、，利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为，因此有，从而可得分布列，最后由期望公式可计算出期望． 试题解析：（Ⅰ）由题意，得， 解得； 又由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20（克） 而个样本小球重量的平均值为：（克） 故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为克； （Ⅱ）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为 则.的可能取值为、、、， ，， ，. 的分布列为： .（或者） 考点：频率分布直方图，用样本估计总体，随机变量分布列，数学期望． 17. 如图，在四棱锥中，，， ，为棱的中点，异面直线与所成的角为. （1）在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）在梯形中，与不平行. 延长相交于点（平面），点即为所求的一个点. 理由如下： 由已知，，. 所以四边形是平行四边形. 从而. 又平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）延长相交于点，利用线面平行判断定理可证平面； （2）方法一：过点作，交的延长线于点，连接，过作于，可证是与平面所成的角；进而计算即可. 方法二：由题意可得，进而作，建立空间直角坐标系，利用向量法可求直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 方法一： 由已知，，，，平面， 所以平面.又平面，所以. 所以是二面角的平面角.所以. 设，则在中，. 过点作，交的延长线于点，连接. 因为，所认， 又因为异面直线与所成的角为，所以， 又因为，平面， 所以平面，又平面，所以. 又，平面，所以平面. 又平面，所以平面平面， 过作于，则平面. 所以是与平面所成的角. 在中，，，所以. 在中，， 所以. 方法二： 由已知，，，，平面， 所以平面，又平面，所以. 所以是二面角的平面角.所以. 因为，所认， 又因为异面直线与所成的角为，所以， 又因为，平面， 所以平面， 设，则在中，. 作，以为原点，以 ,的方向分别为轴，轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，，， 设平面的法向量为， 由，所以，设，解得， 设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为 . 18. 已知椭圆：的右焦点为，上两点满足（），且.若椭圆的左右顶点为，，上下顶点为，，记四边形的内切圆为. （1）求圆的标准方程； （2）求证：以为直径的圆恒过异于点的一个定点； （3）已知为椭圆上任意一点，过点作圆的切线分别交椭圆于，两点，试求三角形面积小值. 【答案】（1） （2）证明如下： 设，， 则, 又，所以. 结合（）可得，， 设以为直径的圆上的点， 则， ， 化简得， 令，则，解得或， 所以该圆过. （3）. 【解析】 【分析】（1）由题知四边形为菱形，为其中心点，则圆的半径为到直线的距离，求解出相关量即可； （2）设，，由可得，写出以为直径的圆的福年广场并化简得，令即可得到定点； （3）设直线方程为，根据相切得到，直线代入椭圆可得，即，，同理可得，证得、、三点共线，再根据进行求解即可. 【小问1详解】 因为椭圆的左右顶点为，，上下顶点为，， 所以四边形为菱形，为其中心点， 又，坐标分别为，，可得直线方程为， 则原点到直线的距离为， 即圆的半径，故圆的标准方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设直线方程为，由直线与圆相切，可知原点到直线的距离，整理可得. 将直线方程代入椭圆可得，. 整理即有，. 则. 即，故. 同理，，故、、三点共线，则. 设：代入椭圆方程可得，则， 故. 同理，. 从而，. 所以，，得， 因此，，当且仅当时等号成立. 故三角形面积的最小值为. 19. 已知（），. （1）当时，求证：； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）已知数列的首项为（2）中的最小值，且对任意的正整数都有（其中表示不超过的最大整数），则求满足的最小正整数. 【答案】（1） 证明：当时，，. 令，则， 所以时，在上单调递减， 时，在上单调递增. 故，即. （2） （3） 95 【解析】 【分析】（1）令，求导根据导数确定单调性及最值即可证明； （2）令，题设等价于在恒成立，接着由得到，进而放缩结合（1）即可得出结论； （3）若，可推导，其中且，为正整数，若，可推导，由此得到，再进行估算解不等式即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 令， 因为恒成立，则在恒成立， 又，所以， 当时，， 由（1）知恒成立，故. 【小问3详解】 依题意有， 若，则，， ，…，，其中且，为正整数； 若，则，，，…，， 其中且，为正整数； 依题意有，，，，，…，， 所以，…，，. 故. 令，则， ，， 故满足的最小正整数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省广安中学高2023级“零诊”模拟考试 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，则等于（ ） A. B. 或 C. D. 3. 的展开式中的系数为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 4. 已知，，则的位数是（ ） A. 76 B. 77 C. 78 D. 79 5. 从1，2，…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 过椭圆上一点作圆的两条切线，点为切点，过的直线与轴、轴分别交于点、两点，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且，，.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知抛物线：（）的准线与圆：相切，点为抛物线上的动点，点是圆上的动点，过作的垂线，垂足为，的焦点为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值是 C. 当三点，，共线时，点的坐标是 D. 不存在两个点，，使得且 10. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数（）在上恰有三个零点，且分别为，，，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知命题,若命题是假命题，则实数的取值范围是________. 13. 已知数列满足，且数列的前项和为，则______. 14. 把1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字分别填入右图所示的方框中，每一排构成一个三位数，若要求图中每个数位上的数字第二排比第一排大，第三排比第二排大，且这三个三位数的和为999，则最后一列的三个数字之和为______（填出所有可能的结果）；这样的排列方法共有______种. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在中，，，点D在线段BC上． (1)当时，求的值； (2)若AD是的平分线，，求的面积． 16. 一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量单位：克，重量分组区间为,,,，由此得到样本的重量频率分布直方图如图． （1）求的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值； （2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量内的小球个数为，求的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率） 17. 如图，在四棱锥中，，， ，为棱的中点，异面直线与所成的角为. （1）在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆：的右焦点为，上两点满足（），且.若椭圆的左右顶点为，，上下顶点为，，记四边形的内切圆为. （1）求圆的标准方程； （2）求证：以为直径的圆恒过异于点的一个定点； （3）已知为椭圆上任意一点，过点作圆的切线分别交椭圆于，两点，试求三角形面积小值. 19. 已知（），. （1）当时，求证：； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）已知数列的首项为（2）中的最小值，且对任意的正整数都有（其中表示不超过的最大整数），则求满足的最小正整数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $