精品解析：四川省成都市蓉城名校联盟2025-2026学年高三上学期开学联考数学试卷

高三年级摸底检测 数学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名､座位号､准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上､试卷上答题无效. 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题：，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题“：”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以：. 故选：D. 2. 设，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由基本不等式“1”的代换可求得最值. 【详解】， 当且仅当，即时取等号. 故选：A. 3. 在的展开式中，含项的系数为（ ） A. B. 56 C. D. 28 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式计算即可. 【详解】展开式通项为， 令，得，故系数为. 故选：D. 4. 随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二项分布的概率公式求出的值，再利用方差公式计算即可. 【详解】由题意得，，又，， ，，即，又，， ，解得，. 故选：. 5. 某市环保部门研究近十年空气质量数据，得到以下结论： 结论一：PM2.5浓度与机动车保有量的样本相关系数； 结论二：绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率的样本相关系数； 结论三：工业能耗与近地面臭氧浓度的样本相关系数． 下列说法正确的是（ ） A. 由结论一可知，机动车保有量增加是PM2.5浓度升高的直接原因 B. 由结论二可知，绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率无关联 C. 结论三表明工业能耗与近地面臭氧浓度呈正相关，且线性相关性比结论一更强 D. 结论一中接近1，说明PM2.5浓度与机动车保有量存在极强的线性相关关系 【答案】D 【解析】 【分析】根据相关系数的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】由，可知PM2.5浓度与机动车保有量存在极强的线性相关关系，但并不能说明机动车保有量增加是PM2.5浓度升高的直接原因，故A错误，D正确； 由于，，则表明工业能耗与近地面臭氧浓度呈正相关，但线性相关性没有结论一的强，故C错误， 由，可知绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率呈负相关，相关性不是很强，但不能说绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率无关联，故B错误， 故选：D 6. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题知，代入计算即可得到，继而得到. 【详解】因为数列满足，， 所以， 所以， 则， 所以， 故选：A. 7. 在直三棱柱中，.若点满足，且点在平面内，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量共面的性质列式求解. 【详解】，且点在平面内， . 故选：B. 8. 设函数，若存在唯一整数使，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】存在性问题，把直线与曲线分离，找到临界情况为相切时，数形结合来求解； 【详解】令 因为存在唯一整数使，即，则必为正整数， 所以的图象在的图象下方的部分有且只有一个横坐标为整数的点， 当与相切时，设切点， 由于，故切线斜率， 切线方程为：， 代入得，解得，此时，切点为， 当继续增大时，则，解得, 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本，则下列说法正确的是（ ） A. 若甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则有60种方案 B. 若每人分得2本，则有90种方案 C. 若三人分得书本数互不相同，则有360种方案 D. 共有450种分配方案 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用分组分配问题的解法即可得解. 【详解】对于A，甲1本､乙2本､丙3本，方案数为，故A正确； 对于B，每人2本，方案数为，故B正确； 对于C，书本数互不相同（即1，2，3），所以方案数为，故C正确； 对于D，分三类：第一类，每人2本，方案数为90种；第二类，一人1本，一人2本，一人3本，方案数为360种； 第三类，一人4本，另外两人各1本，方案数为， 故总的分配方案数为种，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知圆C：和直线l：，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线l被圆截得的弦长为 B. 当时，圆上到直线的距离为1的点有3个 C. 存在实数，使得直线与圆相切 D. 若直线与圆相交，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用弦长公式，直接求出弦长，即可求解；对于B，由选项A知圆心到直线的距离为，从而有，，数形结合，即可求解；对于C和D，利用直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由得，所以圆的圆心为，半径为， 对于A，当时，直线l：，圆心到直线的距离为， 所以直线l被圆截得的弦长为，故A正确， 对于B，由选项A知圆心到直线的距离为，又， 则，， 所以由图可知，圆上到直线的距离为1的点有个，故B错误， 对于C，由，得到，解得或， 所以当或时，圆心到直线的距离等于半径， 即存在实数，使得直线与圆相切，所以C正确， 对于D，因为直线与圆相交，则，整理得到， 解得，所以D正确， 故选：ACD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若为的极小值点，则的取值范围为 B. 存在，使得在上有且仅有一个零点 C. 当时，过点存在两条直线与曲线相切 D. 存在，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：根据极值点情况，分析的根的情况，得出的范围；选项B：对正负分类讨论的单调性，根据零点情况，即可得出的解；选项C：求导，设出切点，得到切线方程，把点代入切线方程得关于的方程，根据方程根的个数可判断C；选项D：转化为关于的一次函数的零点情况，即可判断D. 【详解】，令，解得，， 选项A：为的极小值点，，，故A正确； 选项B：， 当时，时，，则在上单调递增，此时在上没有零点； 当时，当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上取得极小值，也是最小值， 即， 在上有且仅有一个零点，，解得，故B正确； 选项C：当时，，设切点， 则切线斜率，切线方程为， 切线过点，代入切线方程即，即，解得， 有且仅有一条直线与曲线相切，故C错误； 选项D：设，， 则， 设，由于，故为单调递增的一次函数， 存在使得符合题意，故D正确； 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先解一元二次不等式和对数不等式，分别求出集合，再求交集即可. 【详解】集合； 对于 ，可得， 解得集合， 故, 故答案为：. 13. 某产品的广告投入（万元）与销售额（万元）的统计数据如下： 2 3 5 6 20 35 50 55 若关于的线性回归方程为，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用回归方程过样本中心点代入求解即可. 【详解】由已知， 代入线性回归直线方程得，解得. 故答案为：2. 14. 数列满足，则的前项和为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件有，，，，再累加，利用等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】因为，即， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 所以， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的公差，前n项和为，且，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算求得公差和首项即得通项公式； （2）利用等差数列的求和公式，结合裂项相消法求和即可得证. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 故， 【小问2详解】 ， 所以， 所以 ， 16. 一批零件共有12件，其中有3件次品，现不放回地随机抽取4件进行检验. （1）求抽到的次品数的分布列； （2）若已知抽到的4件中至少有1件次品，求恰好有2件次品的概率. 【答案】（1）分布列见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出的可能取值及对应的概率，列出分布列得解； （2）根据条件概率的公式计算. 【小问1详解】 的可能取值为， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 【小问2详解】记事件“抽到的4件中至少有1件次品”，事件“恰好有2件次品”， ， 故已知抽到的4件中至少有1件次品，恰好有2件次品的概率为. 17. 随着手机的日益普及，学生使用手机对学校管理和学生发展带来诸多影响．某中学为探究“周末使用手机时长是否影响学业成绩”，随机调查名学生，得到部分统计数据如下表： 学业成绩 使用手机小时 使用手机小时 良好 m 不良好 n 记事件“学业成绩良好且使用手机小时”，事件“学业成绩不良好且使用手机小时”，已知事件A的频率是事件B的频率的3倍． （1）求表中的m，n的值； （2）记使用手机小时的学生中学业成绩良好的概率为，求的估计值； （3）根据小概率值的独立性检验，分析周末使用手机时长与学业成绩是否有关联． 参考数据：，其中． 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）；； （2）； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）由题中条件直接可解； （2）根据样本的频率估计总体频率，再由总体频率估计概率； （3）根据独立性检验的方法直接得出. 【小问1详解】 由样本容量为，得，即. 又事件A的频率是事件B的频率的3倍，所以，即. 故，. 【小问2详解】 因为在样本中用手机小时的学生中学业成绩良好的频率为， 根据用样本频率估计总体频率，估计总体中用手机小时的学生中学业成绩良好的频率为， 再由频率估计概率，故用手机小时的学生中学业成绩良好的概率为. 故的估计值为. 【小问3详解】 设假设：周末使用手机时长与学业成绩相互独立.由题得列联表： 学业成绩 使用手机小时 使用手机小时 良好 不良好 可知，，，，. 所以 故假设不成立，在犯错误的概率不超过的情况下认为周末使用手机时长与学业成绩是有关联． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数在上的单调性； （3）若在内恰有两个不同的极值点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由直线的点斜式方程即可得出结果； （2）求导，再对参数进行分类讨论即可得出函数的单调性； （3）原问题转化为在上有两个不同的解，进而转化为的图象与在内恰有两个不同的交点，利用导数进行求解即可. 【小问1详解】 当时，，， 又，， 故切线方程为. 【小问2详解】 ，令， ， 当时，，故在上单调递增， ， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，，使得， 故当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增. 【小问3详解】 在内恰有两个不同的极值点， 在内恰有两个不同的实根， 故的图象与在内恰有两个不同的交点， 由（2）可知， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 故当时，， 当时，， 在处有最大值即， 又， 的取值范围为. 19. 已知双曲线：的离心率为，且过点．抛物线C：的焦点与双曲线的右焦点重合． （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线l：与抛物线C交于A，B两点，与双曲线的左、右两支分别交于C，D两点． （ⅰ）探究是否存在实数m，使得，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由； （ⅱ）求的最小值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）存在，；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件建立，，方程，求得，即可. （2）（ⅰ）由（1）可求得抛物线方程，分别将直线l双曲线和抛物线联立方程组，利用弦长公式求得，，结合求得的值. （ⅱ）设点到直线l的距离为，利用点到直线的距离公式求得，结合（ⅰ）表示，利用导数求出最小值. 【小问1详解】 由已知可得，，， 又双曲线过点，，，， 双曲线的标准方程为：. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）可知，双曲线的右焦点为， 抛物线C：，设，，如图所示： 由，得，，，， ， 设，，由，得， 直线l与双曲线的左、右两支分别交于，两点，，， ，，， 由，可得，，， ，，，， 故存在实数满足条件，且. （ⅱ）设点到直线l的距离为，则， 令，由（ⅰ）知，， 令，， 故当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增，， 的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级摸底检测 数学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名､座位号､准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上､试卷上答题无效. 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题：，则为（ ） A. B. C. D. 2. 设，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 3. 在的展开式中，含项的系数为（ ） A. B. 56 C. D. 28 4. 随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 某市环保部门研究近十年空气质量数据，得到以下结论： 结论一：PM2.5浓度与机动车保有量的样本相关系数； 结论二：绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率的样本相关系数； 结论三：工业能耗与近地面臭氧浓度的样本相关系数． 下列说法正确的是（ ） A. 由结论一可知，机动车保有量增加是PM2.5浓度升高的直接原因 B. 由结论二可知，绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率无关联 C. 结论三表明工业能耗与近地面臭氧浓度呈正相关，且线性相关性比结论一更强 D. 结论一中接近1，说明PM2.5浓度与机动车保有量存在极强的线性相关关系 6. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在直三棱柱中，.若点满足，且点在平面内，则（ ） A. B. C. D. 1 8. 设函数，若存在唯一整数使，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本，则下列说法正确的是（ ） A. 若甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则有60种方案 B. 若每人分得2本，则有90种方案 C. 若三人分得书本数互不相同，则有360种方案 D. 共有450种分配方案 10. 已知圆C：和直线l：，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线l被圆截得的弦长为 B. 当时，圆上到直线的距离为1的点有3个 C. 存在实数，使得直线与圆相切 D. 若直线与圆相交，则实数的取值范围为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若为的极小值点，则的取值范围为 B. 存在，使得在上有且仅有一个零点 C. 当时，过点存在两条直线与曲线相切 D. 存在，使得 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，，则______． 13. 某产品的广告投入（万元）与销售额（万元）的统计数据如下： 2 3 5 6 20 35 50 55 若关于的线性回归方程为，则__________. 14. 数列满足，则的前项和为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的公差，前n项和为，且，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）证明：． 16. 一批零件共有12件，其中有3件次品，现不放回地随机抽取4件进行检验. （1）求抽到的次品数的分布列； （2）若已知抽到的4件中至少有1件次品，求恰好有2件次品的概率. 17. 随着手机的日益普及，学生使用手机对学校管理和学生发展带来诸多影响．某中学为探究“周末使用手机时长是否影响学业成绩”，随机调查名学生，得到部分统计数据如下表： 学业成绩 使用手机小时 使用手机小时 良好 m 不良好 n 记事件“学业成绩良好且使用手机小时”，事件“学业成绩不良好且使用手机小时”，已知事件A的频率是事件B的频率的3倍． （1）求表中的m，n的值； （2）记使用手机小时的学生中学业成绩良好的概率为，求的估计值； （3）根据小概率值的独立性检验，分析周末使用手机时长与学业成绩是否有关联． 参考数据：，其中． 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数在上的单调性； （3）若在内恰有两个不同的极值点，求的取值范围． 19. 已知双曲线：的离心率为，且过点．抛物线C：的焦点与双曲线的右焦点重合． （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线l：与抛物线C交于A，B两点，与双曲线的左、右两支分别交于C，D两点． （ⅰ）探究是否存在实数m，使得，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由； （ⅱ）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $