22.2二次函数与一元二次方程知识梳理精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版

22.2二次函数与一元二次方程知识梳理 精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版 知识梳理 抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）． ①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x． 精选题练习 一、单选题 1．无论为何值，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 2．二次函数的图象与x轴交于点，，则关于x的方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 4．抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 5．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．与轴无交点 C．与轴交点是 D．对称轴是直线 6．如图，抛物线交 x轴于A、B两点，交y轴于C点，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 7．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 8．设二次函数（常数）的图像与一次函数（，d、e为常数）的图像交于，若函数的图像与轴仅有一个交点．则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．抛物线与y轴的交点坐标是 ． 10．抛物线与轴有交点，则的取值范围为 ． 11．如果满足的实数恰有4个，则实数的取值范围为 ． 12．已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是 ． 13．如图，抛物线的顶点为，与轴交于点A．若平移该抛物线，平移后的抛物线的顶点为，此时抛物线与轴交于点，则 ． 14．如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则方程的两个根为 ． 15．如图，过点的抛物线的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则当取得最小值时， ． 16．如图，一段抛物线：记为图象，它与x轴交于两点O、；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；…如此进行下去，若点在某段抛物线上，则 ． 三、解答题 17．如图，直线和抛物线交于点，． (1)求抛物线的表达式； (2)求不等式的解集（直接写出答案）． 18．已经抛物线与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若该抛物线的顶点为P，求的面积． 19．已知二次函数的表达式为． (1)当时，求该二次函数的图象与x轴的交点坐标． (2)若该二次函数图象的顶点在一次函数的图象上，求b的取值范围． (3)当时，y的最大值与最小值的差是25，求出m的值． 20．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴，与抛物线交于点B． (1)若抛物线经过点； ①求点B的坐标； ②当时，抛物线取得最大值为，求t的值； (2)已知点，，若抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H），求a的取值范围． 21．二次函数（）的图象交轴于原点及点． (1)求点的坐标． (2)若二次函数（）的图象经过，求该二次函数的解析式． (3)在（2）的条件下，二次函数的图象记为，将绕点旋转后的图象记为，将，合起来得到的图象记为，完成以下问题： ①抛物线的函数解析式为______（不用写自变量的取值范围）． ②若直线与有三个交点，把这三个交点的横坐标从左至右依次记为与，且，求的值． ③若点，在上，且，请直接写出的取值范围． 22．如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A，，与y轴交于点C，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《22.2二次函数与一元二次方程知识梳理 精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A C B C C D 1．D 【分析】本题主要考查的是函数图象的交点问题，因为两个图象总有公共点，所以将两个解析式进行联立，再根据根的判别式进行判断即可求出a的取值范围． 【详解】解：∵抛物线， ∴， ∵无论k为何值，直线与抛物线总有公共点， ∴将代入得：， 整理得：， ∴， ∵， ∴，即， 当时，， 解得， ∴； 当时，， 解得：； ∴a的取值范围是或． 故选：D． 2．D 【分析】根据二次函数与x轴的交点坐标，即可得到对应一元二次方程的根．本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为所对应的方程的根是关键． 【详解】解：二次函数的图象与x轴交于点，， 关于x的方程的解为，， 故选：D． 3．A 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，先解方程得，，再计算自变量为0对应的函数值得到，接着证明为等腰直角三角形，所以，即，然后把等式两边平方可得． 【详解】解：由图可得，抛物线的开口向上，与y轴的负半轴相交， ∴，， 当时，， 解得，， ∴，， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即， 整理，得 , ∵ ∴． 故选：A． 4．C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质．通过观察抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点等特征，来判断各项结论的正确性． 【详解】解：A、根据二次函数的性质，由抛物线开口向下，可得； ∵抛物线对称轴为， ∴根据对称轴公式，得到， 又∵抛物线与y轴的交点在轴正半轴， ∴， ∴，故A选项不符合题意； B、∵从图象可以看到抛物线与轴有两个不同的交点， ∴在一元二次方程()中，判别式， 故：，(这里不能取等号，因为是两个不同交点)，故B选项不符合题意； C、∵观察图象可知，当时，， 即：，故C选项符合题意； D、由图可知：对称轴公式，得到，移项可得，而不是，故D选项不符合题意； 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握开口方向，对称轴、顶点坐标以及与x轴的交点坐标的求法是解决问题的关键．根据二次函数的性质对A，D进行判断；令，则，可求出方程的根，当时，，即可对B进行判断． 【详解】解：由可知，则抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为，抛物线的顶点坐标为，故A，D不正确； 令，则， ∴， ∴方程无解， ∴抛物线与轴无交点，故B选项正确； 当时，， ∴抛物线与轴交点是，故C不正确． 故选：B． 6．C 【分析】本题主要考查了待定系数法确定二次函数解析式，含30度的直角三角形等知识，根据题意结合图形求得与坐标轴的交点，即可求得的长，由含30度的直角三角形的性质可得出，进而得到求解再化简即可得出答案． 【详解】解：令，则， ， ， ， 即， 化为， 故选C． 7．C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先根据二次函数的对称性求出二次函数与轴的另一个交点的坐标为，再结合二次函数的图象即可得解，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴二次函数与轴的另一个交点的横坐标为， ∴二次函数与轴的另一个交点的坐标为， ∵二次函数的图象开口向下， ∴不等式的解集为， 故选：C． 8．D 【分析】首先将代入得到，求出一次函数，然后表示出，然后根据题意得到，得到，设，求出，进而　即可． 【详解】解：∵点在一次函数上， ∴， ∴， ∴一次函数， ∴， ∵函数的图像与轴仅有一个交点， ∴， ∴， ∴设， ∴ ∴ ∴ 解得， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了一次函数和二次函数的综合应用，二次函数和x轴的交点问题，解题的关键是掌握以上知识点． 9． 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．令，即可求出抛物线的与y轴的交点坐标． 【详解】解：令，则， 抛物线与y轴的交点坐标是． 故答案为：． 10． 【分析】由抛物线与轴有交点可得出方程有解，利用根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论．本题考查了抛物线与轴的交点以及根的判别式，利用根的判别式找出关于m的一元一次不等式是解题的关键． 【详解】抛物线与轴有交点， 关于的一元二次方程有解， ， 解得：． 故答案为：． 11．或 【分析】本题考查了含绝对值的二次函数，可以根据函数的图像，先画出图像，x轴以下向上翻折得到的图象再向下平移10个单位后，再次将x轴以下反射上去，得到的图像，因为的图像是一条横线，通过图像得a的取值范围． 【详解】解：如图，或时，两函数有4个交点． 故答案为：或． 12．或 【分析】本题考查了抛物线与不等式的解集，熟练掌握二者的关系是解题的关键． 利用数形结合思想求解，符合条件的取值在x轴下方． 【详解】根据题意，得一元二次不等式的解集是：或， 故答案为：或． 13． 【分析】本题考查了二次函数的顶点式的性质、抛物线的平移规律及坐标轴上点的坐标特征，解题的关键是根据顶点式分别求出原抛物线与平移后抛物线与y轴交点A、的坐标，再利用两点间距离公式（y轴上两点距离为纵坐标差的绝对值）计算的长度． 先根据原抛物线顶点式，令求出与y轴交点A的坐标；再根据抛物线平移时二次项系数不变，结合新顶点写出平移后抛物线的顶点式，令求出交点的坐标；最后计算A与纵坐标差的绝对值，得到的长度． 【详解】解：在原抛物线中， 令，则， ∴点A的坐标为． ∵抛物线平移时二次项系数不变，新顶点为， ∴平移后抛物线的解析式为． 令，则， ∴点的坐标为． ∵A、均在y轴上，横坐标均为0， ∴． 故答案为：． 14．或3 【分析】本题考查抛物线的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．利用抛物线的对称性可以求得抛物线与轴的另一个交点坐标，再利用二次函数与一元二次方程的关系即可求解． 【详解】解：由图象知，抛物线的对称轴为：， ∵抛物线与轴的交点关于对称轴对称，其中一个交点为， ∴另一个与轴的交点为， ∴方程的两个根为或3． 故答案为：或3 15． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，最短路径问题，坐标两点的距离公式等知识，利用二次函数的性质将转化为求的长是解题关键． 连接，由抛物线的对称性可知，当D、P、B在同一直线上时，的值最小，最小值为的长，利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点的坐标，然后利用坐标两点的距离公式，求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， 抛物线的对称轴是y轴， ∴， ∴当D、P、B在同一直线上时，的值最小，最小值为的长， ∵抛物线过点， ∴，解得：， 把代入，解得：或， ∴点B的坐标为， ∴， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，发现图象的变化特点； 根据题意和图象可以发现每4个单位长度的图象为一个循环，然后即可计算出点中m的值． 【详解】解：， ∴图象的顶点坐标为， ∴点和图象的顶点间的一半，横坐标为， 把代入，解得：， 作的直线平行轴，如图： ， ∴， 由图象可得， 每4个单位长度的图象为一个循环， ∵，， ∴点与图象的点中的纵坐标是相等的， ∴， 故答案为：． 17．(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、图象法求不等式的解集，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入，到，利用待定系数法即可求解； （2）观察二次函数的图象在直线上方时对应的范围即可． 【详解】（1）解：代入，到，得， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由图象得，当或时，， ∴不等式的解集为或． 18．(1)，，； (2)． 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的顶点坐标． （1）令，则，计算求解可得、B点的坐标；令，则，可得C点的坐标； （2）由，可得顶点，利用三角形面积公式计算求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴； （2）解：∵， ∴顶点， ∴． 19．(1) (2) (3)m的值为7 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据所给的范围分类讨论是解题的关键． （1）将代入，确定函数的解析式，再求函数图象与x轴的交点即可； （2）先求出抛物线的顶点为，再由题意得到，即可求； （3）分三种情况讨论：当时，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值0，此时m无解；当时，时，函数有最大值，当时，函数有最小值，此时不符合题意；当时，时，函数有最大值0，当时，函数有最小值，根据已知列方程求解m值即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 抛物线与x轴的交点为； （2）解：， 抛物线的顶点为 顶点在一次函数的图象上， ， ， ； （3）解：由知， 该二次函数图象开口向上，对称轴为直线， 当时，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值0， ，此时m无解； 当时，时，函数有最大值，当时，函数有最小值， ，不符合题意； 当时，时，函数有最大值0，当时，函数有最小值， ， 解得或舍； 综上所述：m的值为7． 20．(1)①② (2)或 【分析】（1）①先求出，当时，即，可解得； ②先由，的抛物线开口向下，顶点坐标为，再分两种情况讨论求解即可； （2）求出抛物线的对称轴为，顶点为，再抛物线与线段有且只有一个交点，分两种情况讨论：当抛物线的顶点在线段上时，即：；当抛物线顶点落在上方时，当时，，当时，，进而得，由抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H），得与线段有且只有一个点，一定在对称轴右侧，进而得，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：①∵抛物线过点 ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：， ∵抛物线与轴交于点， ∴令，则， ∴点A坐标为， ∵过点作轴，与抛物线交于点 当时，即， 即 ∴，， ∴， ②∵ ∴抛物线开口向下，顶点坐标为 分以下两种情况讨论： Ⅰ．当时，在对称轴右侧，y随x增大而减小， ∴时，为最大值， 即 ∴ 解得（舍）或； Ⅱ．当时，则在中，时，y的最大值为，不合题意， 综上所述，t的值为； （2）解：依题意，抛物线 ∴抛物线的对称轴为，顶点为 ∵抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H）， ∴分以下两种情况讨论： Ⅰ．当抛物线的顶点在线段上时 即： ∴ 解得 Ⅱ．当抛物线顶点落在上方时， 当时，， 当时，， ∵，对称轴为 ∴， ∵抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H）， ∴与线段有且只有一个交点，一定在对称轴右侧， ∴， 解得： 综上，a的取值范围是或 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式，抛物线与线段的交点，解不等式组，综合性强，正确的求出函数解析式，利用分类讨论的思想，进行求解是解题的关键． 21．(1) (2) (3)；或；③ 或 【分析】（1）求二次函数与轴交点，二次函数，令对所得到的代数式进行因式分解，求解，即可得出结果； （2）将点代入到二次函数解析式，即可得出； （3）利用顶点关于对称，且开口大小相同，方向相反即可得到解析式； 分别讨论、和三种情况，然后，对等式去绝对值进行计算，即可得出结果； 点，横坐标相距单位长度，结合和的对称轴和分别讨论点的横坐标位置，即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：令， 得， ． （2）二次函数（）的图象经过， ，解得， 该二次函数的解析式为． （3）① （或） 由（2）知，的函数解析式为， 的顶点坐标为． ∴由绕点旋转得到， ∵与的顶点关于点对称，且与的开口大小相同、方向相反， ∴的顶点坐标为， ∴的函数解析式为． ② 直线与有三个交点， 由图象可知． 当时，由图象可知直线与的三个交点的横坐标为与均大于， 不妨记这三个点从左至右依次为 ， ． 由图象可知点，在上，点在上， 由抛物线的对称性可知， ， ． 当时，由图象可知直线与的三个交点的横坐标为， 与均大于，不妨记这三个点从左至右依次为 ． ， 由图象可知点在上，点在上， 由抛物线的对称性可知， ， ． 当时，易知， ，不符合题意，舍去． 综上所述，或． ③ 或 方法一：结合图象可知， 当点均在上时， ，的对称轴为直线，的开口向上， 点到直线的距离大于点到直线的距离， 且点在直线的左侧． 当点在直线的左侧时， 由二次函数的性质可得，符合题意，此时，即． 当点在直线的右侧时，，即． 故当点均在上时，． 当点均在上时， ，的对称轴为直线，的开口向下， 点到直线的距离小于点到直线的距离， 且点在直线的右侧， 当点在直线的右侧时，由二次函数的性质可得，符合题意，此时． 当点在直线的左侧时，，即． 故当点均在上时，． 当点在上，点在上时，易知，不符合题意． 综上，的取值范围为或． 方法二：结合图象可知，当点均在上时， ，的对称轴为直线， 点连线的中点在直线的左侧， ，即． 当点均在上时， ，的对称轴为直线， 点连线的中点在直线的右侧， ，即． 当点在上，点在上时，易知，不符合题意． 综上，的取值范围为或． 【点睛】本题关键是掌握二次函数图象的特征，开口方向、对称轴、顶点和图象与轴交点，注意求解过程中运用分类讨论的方法． 22．(1) (2)存在，点F的坐标为或或或 【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点，可得，用待定系数法即可求解； （2）分两种情形讨论：①当为对角线时，②当为边时，先求出点E的坐标，再利用平行四边形的中心对称性求出点F的坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， 与x轴交于点A，， ∴点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式； （2）设， ∵，， ∴， ①以为对角线时，如图， ， ∴， 解得：，或， ∴点或， ∵，， ∴，或， ，或， ∴点F的坐标为或； ②以为边时，如图， 当时， ∴， 解得， ∴， 当时， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴，或，， ∴，或，， ∴点F的坐标为或． 综上所述：存在，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，勾股定理，矩形的判定和性质等，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论，属于中考压轴题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $