22.2二次函数与一元二次方程（知识梳理+习题精选）2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.2二次函数与一元二次方程 （一）知识梳理 1、二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线 的个数， 方法归纳： 　　 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. （1） 当二次函数的图象与x轴有 ，，方程有两个 的实根； (2)当二次函数的图象与x轴 ，，方程有 的实根； 　(3)当二次函数的图象与x轴 时，，方程没有实根. 2.抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． （二）知识精练 一、单选题 1．抛物线与y轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．抛物线与坐标轴交点个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．根据下列表格中的对应值：判断方程（，、、为常数）一个解的范围最可能是（   ） A． B． C． D． 4．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（    ） A． B． C．且 D．或 5．如图，已知二次函数的图象与轴有两个交点的横坐标分别为和4，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 6．如图所示的是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ） A． B． C．且 D．或 7．设是抛物线上的三点，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．二次函数的函数值是8，那么对应的x的值是（    ） A．3 B．5 C．和5 D．3和 9．三个方程的正根分别记为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．若抛物线与x轴分别交于A、B两点，则线段的长为 ． 11．根据表格确定一元二次方程x2+2x-9= 0的一个解的范围是 x 0 1 2 3 4 x2+2x-9 19 -6 -1 6 15 12．二次函数的部分图象如图所示，由图象可知，不等式的解集为 ． 13．抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则当y≥0时，x的取值范围是 ． 三、解答题 14．如图，已知抛物线经过点．    (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围． 15．如图，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于 C．    (1)求点A、点C的坐标: (2)作轴交抛物线于D，连接，，求的面积 16．已知二次函数的图象经过点和． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求出函数图象与坐标轴的交点． 17．如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，过A、的直线为． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)由图象写出满足的自变量的取值范围； (3)坐标原点为，在抛物线上是否存在一点，使得的面积为6？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】依据题意，将代入解析式即可得解． 【详解】解：由题意，将代入函数解析式，得， 抛物线与y轴的交点坐标是， 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数与轴的交点，解题时要熟练掌握并理解坐标特点是关键． 2．B 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线与x轴的交点：对于二次函数，决定抛物线与x轴的交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．先计算判别式的值可判断抛物线与x轴的交点个数，而抛物线与y轴一定有一个交点，于是可判断抛物线的图象与坐标轴的交点个数． 【详解】解：令，则， ∵， ∴抛物线与x轴有两个点， ∵时，， ∴抛物线与y轴的交点为， ∴抛物线的图象与坐标轴的交点个数是3个， 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，用列举法估算一元二次方程的近似解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据表格可知，当时，；当时，， ∴ 当时，一个解的范围是， 故选：． 4．A 【分析】本题考查了二次函数与不等式、二次函数的对称性，先利用抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴不等式的解集是． 故选：A． 5．D 【分析】根据二次函数与轴的交点的横坐标，结合函数图象即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个交点的横坐标分别为和4， 根据图象可知，当时，的取值范围是或， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数与轴交点问题，根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 6．D 【分析】本题考查利用图象法求解一元二次不等式，找到二次函数图象与x轴的交点横坐标即可求解，“数形结合”是解题关键． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，且抛物线与x轴交于， ∴抛物线与x轴另一交点坐标为， ∴不等式的解集是或 故选：D． 7．A 【分析】本题考查了求二次函数的函数值．正确的计算是解题的关键． 分别将各个点坐标代入抛物线解析式，计算求解，然后比大小即可． 【详解】解：将代入，得，； 同理，， ∴， 故选：A． 8．D 【分析】本题考查了求二次函数的自变量，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握求二次函数的自变量，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 由题意得，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， 解得，或， 故选：D． 9．A 【分析】分别设： ，，，三个方程的根即为三个二次函数与直线 的交点，画出图像，即可求解． 【详解】解：设，，， 将三个函数画在同一个直角坐标系中，如图： 则三个方程的正根 即为：直线 分别与 在第一象限交点的横坐标， 则由图可知： ． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程的关系，二次函数图像画法，熟练掌握二次函数和一元二次方程的关系以及数形结合的方法是解题的关键． 10．4 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点坐标，由可得，求解，，再进一步解答即可． 【详解】解：当时， ∴， ∴， 解得：，， ∴两个交点的横坐标分别为，； ∴． 故答案是：4． 11．2＜x＜3 【分析】观察表格可知，x的值逐渐增大，x2+2x-9的值在2到3之间由负到正，故可以判断x2+2x-9= 0时，对应的x取值范围在2＜x＜3之间． 【详解】根据表格可知，x2+2x-9= 0时，对应的x取值范围在2＜x＜3之间， 故答案为：2＜x＜3． 【点睛】本题考查了二次函数图像与一元二次方程的解之间的关系，解题关键在于观察表格，确定函数值由负到正时，对应的自变量取值范围． 12．或/或 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图在直角标中的上下位置系自变量的取范，可作图利用点直观解也可把个函数解析式列成不式求解．先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 而抛物线与x轴的一个交点坐标为， 所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 所以不等式的解集为或． 故答案为：或． 13．﹣1≤x≤3 【分析】首先根据对称轴和与x轴的一个交点确定另一个交点的坐标，然后根据其图象确定自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（−1，0）， ∴与x轴的另一个交点坐标为（3，0）， ∴y≥0时，x的取值范围为：﹣1≤x≤3， 故答案是：﹣1≤x≤3． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴求得另一个交点坐标． 14．(1)抛物线的顶点坐标为 (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质． （1）把点代入得到关于m的方程，再解方程可确定抛物线解析式，再化为顶点式求顶点坐标； （2）分别确定时x对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解． 【详解】（1）把代入得： ， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）∵， ∴抛物线开口向下，有最大值4， ∵当时，或， ∴当时，x的取值范围是或． 15．(1)、 (2)的面积是6 【分析】（1）根据待定系数法代入坐标求解即可； （2）求得的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可． 【详解】（1）抛物线解析式为， 当时，，故， 当时，，解得或2 故， ∴、； （2）令，则， 解得，， ， ， ∴． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数待定系数法求坐标，三角形的面积等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 16．（1）；（2）（0，-3），（-1，0），（3，0） 【分析】（1）将（1，-4），（-1，0）代入，用待定系数法即可求得二次函数的解析式； （2）分别令x=0，y=0，求出对应的y值与x值，进而得出此二次函数与坐标轴的交点坐标． 【详解】解：（1）把（1，-4），（-1，0）代入， 得：，解得：， ∴二次函数的表达式为为； （2）令x=0，得y=-3， 令y=0，得， 解得：x=-1或x=3， ∴抛物线与坐标轴的交点为（0，-3），（-1，0），（3，0）． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 17．(1)， (2)或 (3)存在，或或 【分析】（1）把代入即可求出的解析式，令即可求出点的坐标； （2）根据图象即可进行解答； （3）根据三角形的面积求出三角形的高，再进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：把代入得： ，解得：， ∴， 令，， ∴点， 综上：二次函数的解析式为，点． （2）由图可知： ∵，， ∴当或时，． （3）∵， ∴， ∵的面积为6 ∴，即，解得：， ∴设点到x轴的距离为4，即点P的纵坐标为4或， 当时，，解得：， ∴， 当时，，解得：， ∴，或． 综上：存在，或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，会根据图象求解自变量的取值范围． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$