22.2 二次函数与一元二次方程-【鹰击长空】2025-2026学年九年级全一册数学课堂小结（人教版）

(x十1)2-6. 对点练习 抛物线的顶点坐标是(-1，一6). 1.B2.C3.A (2)由P(-1,-2b),点A在y轴上，PA⊥y轴，可得 4.-16 PA=1. 5.解依题意，设y=a(x十2)(x-3).展开，得y=ax2-ax 又BP=2PA,.BP=2. 6a.-a=4,.a=-4,∴.抛物线y=-4x2十4x十24. 由题图，知点B在点P的左侧， 6.D ,点B的横坐标为一3.由抛物线的对称性，可知其对 7.D8.D 称轴为直线x=一2. 9解函数的对称轴是x=子，开口向上，与x轴的交点是 6,1=-2,解得6=5 2 (一1,0)和(4,0)，与y轴的交点是(0，一4)，顶点坐标 又.b十c=-2, 是（-）则图象是： .c=-7. .这条抛物线对应的函数解析式为y=x2十4x一7. 5.解：抛物线y=ax2十bx十4与y轴交于点C, .C(0,4),.OC=4, A(-3,0),.OA=3,.AC=5, ,AB平分∠CAO,∠BAC=∠BAO :BC∥x轴，∴.∠CBA=∠BAO,∴∠BAC=∠CBA, (1)方程的解是x1=一1，x2=4. ∴.CB=CA=5,∴.B(5,4) (2)当x<一1或x>4时，函数值大于0；当一1<x<4 把A(-3,0),B(5,4)代入y=ax2+bz+4,得 时，函数值小于0. 1 课后作业 9a-3b+4=0, a=- 6 1.A2.B3.B 解得 25a+5b+4=4, 5 16= 6 4y=号红-3》+9 ·抛物线解析式为y三一石x+5 6x+4. 5.5(答案不唯一，满足c>4即可) 6.x1=-2,x2=1 6.解(1)因为抛物线y=一x2十bx十c与x轴交于，点 7.①④ A(一1,0)和点B(3,0),所以 8.解(1)由题意可知抛物线对应的一元二次方程的判别 1-1-b+c=0, b=2, 解得 式△>0，且m≠0， -9+3b+c=0, c=3. 即b2-4ac=(3-2m)2-4m(m-2)>0,且m≠0， 所以此抛物线的解析式为y=一x2十2x十3. (2)因为当x=0时，y=3,所以点C的坐标为(0,3). 解得m<,且m≠0， 因为y=-x2+2x+3=-(x2-2x+1)+4=-(x-1)2+4, (2)当x=1时，由题意得m十(3一2m)十m一2=1，符合 所以点D的坐标为(1,4) 函数解析式，.点P(1,1)在抛物线上」 (3)设点P(x,y),则x>0,y>0. 因为5am=号×3X1=号，Sam=号×4=2y, 3)m=1,所以y=+x-1=(e+2）广- Q(合，号)根据对称性可得P(一2,1D。 SAABP=4SACDE, 能力提升 所以2y=4×号，所以)=3，所以-2+2z+3=3, 9.(1)证明由题意，得kx十1=x2一4x,即x2一(4十)x 解得x1=2,x2=0(不合题意，舍去) 1=0,该方程根的判别式△=(4十)2十4， 所以点P的坐标为(2,3) .(4+)2>≥0，.(4+)2+4>0， 22.2二次函数与一元二次方程 .该方程有两个不相等的实数根，即直线（与该抛物 知识梳理 线总有两个交，点。 1.ax2+bx+c=m x=xo (2)解当k=一2时，由(1)得x2一(4一2)x一1=0， 2.(1)两(2)一(3)没有 解得x1=1十√2，x2=1一√2. 45 设点A在点B的左侧，直线1与y轴的交点坐标为C 解得x1=3,x2=12. (0,1), 当x=3时，30一2x=30-6=24>18,故舍去. 则S△AOB=S△c十S△c= ×1×2-1D+号×1× 所以x=12, 2 (2)有.依题意，得8≤30-2x≤≤18， (W2+1)=√2. 解得6≤x≤11.面积 22.3实际问题与二次函数 5=0-2w)=-2(-5}°+2婴6≤≤1 2 第1课时最大面积问题 ①声x-号时，S有我大位，8-受m, 知识梳理 ②当x=11时，S有最小值，S.=11×(30-22)=88(m2). 1.(1)函数解析式(2)最值 (3)令x(30-2x)=100,得x2-15x+50=0. 对点练习 解得x1=5,x2=10. 1.C2.200cm23.B4.A 又30-2x≤18，解得x≥6，故x的取值范围是6≤x≤10. 课后作业 1.B2.B3.D4.150 第2课时商品利润问题 5.解(I)在□ABCD中，AB∥CD,EF⊥AB,故有DG⊥ 知识梳理 FE,即DG为△DEF中EF边上的高. 大左右最大值 ∠BAD=120°，.∠B=60°. 对点练习 ,.∠BEF=∠CEG=30° 1.A2.B3.180 在R△BEF与R△ECC中，BF=合BE-合，EF 4.解(1)由题意得y=90-3(x一50)，化简得y=-3x十240. (2)0=(x-40)(-3x十240)=-3x2十360x-9600. 号，cG=cE=8-, (3)由(2)得=-3x2+360x-9600. ·DG=CD+CG=11-x 因为a=一3<0， 2 所以抛物线开口向下， 于是S=EF·DG=- 8 x2+1 8 x,其中0x≤3. 当x一22=60时，0有最大值， N2)s=三gx2+113】 又因为当x<60时，心随x的增大而增大，所以当x 8 55时，的最大值为1125元.故当每箱苹果的销售价 11w3 8 11 为55元/箱时，可以获得1125元的最大利润. 对称轴为x= 2x(- 2, 课后作业 1.C2.C3.104.0<a<6 当0<x≤3时，S随x的增大而增大， 5.解(1)设y与x之间的函数解析式为y=kx十b(k≠0)， 故当x=3,即E与C重合时，S有最大值，且S最大=3W3. ,图象过(10,30)和(16,24)两点， 6.解(1)当BC=x时，AC=2-x(0<x<2) (10k+b=30, (2)S正方形ACDE=(2-x)2,S正本形CBFG=x2, 16k+b=24, 故S=(2-x)2+x2=2x2-4x十4=2(x-1)2+2, 1k=-1, 画出函数S=2(x一1)2十2(0<x< ↑S 解得 ∴y=-x+40(10≤x≤16). b=40. 2)的图象，如图. (2)W与销售价x之间的函数解析式为 (3)由图象可知，当x=1时，S豪小值= W=(x-10)(-x+40)=-x2+50x-400. 2;没有最大值. -101234x .W=-x2+50x-400=-(x-25)2+225, (4)当x=1时，总面积S取得最小 ∴其图象在对称轴的左边，W随x增大而增大. 值，此时点C恰好在AB的中点处. 又，10≤x≤16， 能力提升 .当x=16时，W最大，W大=144（元）. 7.解(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30-2x)m. 答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大 依题意可列方程x(30一2x)=72,即x2一15x十36=0. 利润是144元. 46数学九年级上册 第二十二章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程 知识梳理ZHISHI SHUL 3.已知二次函数y=2-x十子m-1的图象与 1.一般地，已知二次函数y=ax2十bx+c的函 x轴有交点，则m的取值范围是() 数值为m,求自变量x的值，可以看作解一元 A.m≤5B.m≥2 C.m<5 D.m>2 二次方程 反之，解一 4.若抛物线y=一x2一8x十c的顶点在x轴上， 元二次方程ax2十bx十c=m又可以看作求使 则c= 已知二次函数y=ax2十bx十c的值为m的自 知识点二利用二次函数求一元二次方程的近 变量x的值.特别地，如果抛物线y=ax2+bx 似解 十c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x, 5.（天津武清区期末)抛物线y=ax2十4x十c与 那么当 时，函数值是0，因此x= x轴交于点A(-2,0),B(3,0),求抛物线解 x0就是方程ax2十bx十c=0的一个根 析式. 2.抛物线y=a.x2十bx十c与x轴的位置关系 (一元二次方程ax2+bx十c=0的根的判别 式△=b2-4ac): (1)当△=b一4ac>0时台抛物线y=a.x2+ bx十c与x轴有 个公共点； (2)当△=b-4ac=0时台抛物线y=ax2+ bx十c与x轴只有 个公共点： 6.如图是二次函数y=a.x (3)当△=b2一4ac<0时曰抛物线y=ax2+ 十bx+c的图象，图象上 bx+c与x轴 公共点 B(2.68,0.54) 有两点分别为A(2.18, -2-1 12 42.18,0.51) 对点练习DUIDIAN LANXI -0.51),B(2.68,0.54),则 方程ax2十bx十c=0的一个根可能是() 知识点一二次函数与一元二次方程 A.2.18B.2.68 1.已知关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0 C.-0.51D.2.45 有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2十 知识点三二次函数与不等式 bx十c与x轴的交点个数是( 7.有函数y=x2+6x十8，使函数值y>0的x的 A.0个B.1个 C.2个 D.3个 取值范围是() 2.二次函数y=ax2十bx+c的图象如图所示， A.x<-4且x>-2B.x<-4 则方程a.x2+bx十c=0的根是 C.-4<x<-2 D.x<-4或x>-2 8.如图是二次函数计y=ax2十bx十 A.x1=1,x2=-1 c的部分图象，由图象可知不等式 B.x1=0,x2=2 a.x2+bx十c<0的解集是( C.x1=-1,x2=2 A.-1<x<5 B.x>5 D.x1=1,x2=0 C.x<-1 D.x<-1或x>5 38 22.2二次函数与一元二次方程 9.画出二次函数y=x2一3x一4的图象.利用图 6.如图，抛物线y=ax2与直线 象回答： y=bx十c的两个交点坐标分 (1)方程x2一3x一4=0的解是什么？ 别为A(一2,4)，B(1,1),则方程 (2)当x取什么值时，函数值大于0？当x取 ax2=bx十c的解是 什么值时，函数值小于0？ 7.对于二次函数y=x2-2mx一3，有下列说法： ①它的图象与x轴有两个公共点； ②若当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1; ③若将它的图象向左平移3个单位长度后过 原点，则m=一1； ④若当x=4时的函数值与当x=2012时的函 数值相等，则当x=2016时的函数值为一3. 其中正确的说法是 .(填序号) 8.已知抛物线y=mx2+(3-2m)x+m-2(m≠0) 课后作业KEHOU ZUOYE 与x轴有两个不同的交点， 1.若函数y=x2一2x十b的图象与坐标轴有三 (1)求m的取值范围； 个交点，则b的取值范围是( (2)判断点P(1,1)是否在抛物线上； A.b<1,且b≠0 B.b>1 (3)当m=1时，求抛物线的顶点Q及点P关 C.0<b<1 D.b<1 于抛物线的对称轴对称的点P的坐标. 2.已知二次函数y=ax2+bx十c的图象如图所 示，则下列说法正确的是( A.ac<0 B.b<0 C.62-4ac<0 D.a+b+c<0 3.(天津期末)二次函数y=ax2+ bx的图象如图，若关于x的一元 二次方程ax2+bx+m=0有实 9.已知直线1：y=kx十1与抛物线y=x2-4x. 数根，则m的最大值为( (1)求证：直线1与该抛物线总有两个交点； A.-3 B.3 C.-6 D.9 (2)设直线1与该抛物线的两交点为A,B,O 4.已知抛物线经过点P(一2,0)，Q(8,0),顶点 为原点.当k=一2时，求△OAB的面积. 在直线y=罗上，则该地物线的解析式 为 5.若二次函数y=x2一4x十c的图象与x轴没 有交点，其中c为整数，则c= (写 一个即可) 39