精品解析：广东省揭阳市2024-2025学年高一上学期教学质量监测数学试卷

2024-2025学年度第一学期教学质量监测 高一级数学科试卷 温馨提示：请将答案写在答题卡上；考试时间为120分钟，满分150分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合交、补运算即可求解； 【详解】由条件可得， 所以, 故选：B 2. 函数定义域为（ ） A. [2，+∞) B. (2，+∞) C (2，3)∪(3，+∞) D. [2，3)∪(3，+∞) 【答案】C 【解析】 【分析】要使函数有意义，分母不为零，底数不为零且偶次方根被开方数大于等于零. 【详解】要使函数有意义， 则，解得且， 所以的定义域为. 故选：C. 【点睛】具体函数定义域常见类型： （1）分式型函数，分母不为零； （2）无理型函数，偶次方根被开方数大于等于零； （3）对数型函数，真数大于零； （4）正切型函数，角的终边不能落在y轴上； （5）实际问题中的函数，要具有实际意义. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，将绝对值不等式化简，即可得到结果. 【详解】因为，所以或，所以或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 幂函数在上是增函数，则实数的值为（ ） A. 2或 B. C. 2 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，结合幂函数的单调性列式即可求解. 【详解】为幂函数， 所以，即， 即，解得或， 又在上是增函数， 所以， 当时，， 当时，， 所以. 故选：. 5. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可. 【详解】因定义域为， 且在上单调递增，可知在上单调递增， 又因为，， 即，所以在上存在唯一零点. 故选：B 6. 已知sin＝，则cos＝（ ） A. B. － C. D. － 【答案】B 【解析】 【分析】首先将，再利用诱导公式计算的值即可. 【详解】由题意知，. 故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题. 7. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据各段函数的单调性和分段点处的高低可得关于的不等式组，故可得其取值范围. 【详解】因为在上单调递减，故， 故. 故选：D. 8. 牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度将满足，其中是环境温度，称为半衰期.现有一杯的热茶，放置在的房间中，如果热茶降温到，需要10分钟，则欲降温到，大约需要（ ）分钟.（参考数据，） A. 16分钟 B. 20分钟 C. 24分钟 D. 26分钟 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求出，进而转化为解指数方程，利用对数的运算以及换底公式即可求出结果. 【详解】根据题意可得，解得， 所以，即，所以， 故, 故大约需要26分钟， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数表示的是不同函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用相同函数的定义求解. 【详解】A. 的定义域为，且，的定义域为，解析式不同，所以不是同一函数，故错误； B. 的定义域为R，定义域为R，且解析式相同，所以是同一函数，故正确； C. 的定义域为R，的定义域为，所以不是同一函数，故错误； D.，由得，所以的定义域为，由，得 或 ， 所以函数的定义域为或 ，所以不是同一函数，故错误； 故选：ACD 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B 若，，则 C. 若，则的最小值为1 D. 若，，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，即可求解AB，根据基本不等式即可求解CD. 【详解】对于A, 由于，则，故，，因此，A正确， 对于B，取，，但，故B错误， 对于C，，则，故， 当且仅当，即取等号，故C正确， 对于D，，由可得， 则 ， 当且仅当，即时取等号，故最小值为， 故选：ACD 11. 设函数（是常数）若在区间上具有单调性，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的周期为 B. 的单调递减区间为 C. 的对称轴为 D. 的图象可由的图象向左平移个单位得到 【答案】AB 【解析】 【分析】根据已知条件求得，由此对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】依题意在区间上具有单调性，且， . ，所以关于点对称， ，所以关于直线对称. 所以，，所以. . . 所以的最小正周期为，A选项正确. ， 所以的单调递减区间为，B选项正确. ， 所以的对称轴为，C选项错误. 向左平移个单位得到，D选项错误. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若角的终边经过点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，即可求解. 【详解】. 故答案为： 13. 已知集合，集合，若，则m的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】分时，时，两种情况讨论，分别利用空集与子集的定义列不等式求解实数的取值范围 【详解】当时，，符合题意； 当时，由知：，得， 综上可得，实数的取值范围为， 故答案为： 【点睛】本题主要考查集合的包含关系判断及应用，考查了空集的定义，同时考查了分类讨论思想的应用，属于易错题． 14. 定义域为的函数满足条件： ①，，恒有； ②； ③， 则不等式的解集是___________. 【答案】 【解析】 【分析】结合函数的单调性、奇偶性求得正确答案. 【详解】①，，，恒有， 所以在上单调递增； ②，， 所以是偶函数；所以在上递减； ③，； 不等式可转化为或， 所以不等式的解集是. 故答案为： 【点睛】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求值：； （2）化简：． 【答案】（1）0；（2） 【解析】 【分析】（1）由指数幂的运算性质及对数的运算性质可求解； （2）由诱导公式可求解. 【详解】（1）原式； （2）原式. 16. （1）求关于的一元二次不等式的解集； （2）若一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）直接解不含参数的一元二次不等式即可； （2）由题意可知和是方程的两个实数根，结合韦达定理求出的值，进而解不含参数的一元二次不等式即可. 【详解】解：（1）因为，则，即， 故的解集为； （2）不等式的解集为的解集, 和是方程的两个实数根, 即，解得，，, 则不等式等价于， 即，因此，解得, 故所求不等式的解集为． 17. 已知函数 （1）求的值； （2）求函数的递增区间； （3）求函数在区间上的值域． 【答案】（1） （2）, （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数的恒等变换，把三角函数变形成正弦型函数，即可得的值； （2）根据正弦型三角函数的性质列不等式求解单调增区间即可； （3）根据（2）确定函数在区间上的单调性，求值即可得函数的值域． 【小问1详解】 则； 【小问2详解】 令：， 解得 的单调递增区间为：,； 【小问3详解】 由（2）可得，函数在区间上单调递增 ， 在区间上的值域为：． 18. 为了保护环境，发展低碳经济，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一项把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本（元与月处理量（吨之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿． （1）当时，判断该项目能否获利？如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？ （2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 【答案】（1）不获利，； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出获利函数即可求解；（2）由题意可得平均处理成本函数，结合二次函数的性质和基本不等式即可求解. 【小问1详解】 当,时，设该项目获利为，则 当，时， 当时，取最大值；当时，取最小值 国家每月补偿数额的范围是,； 【小问2详解】 由题意可知，二氧化碳的每吨的平均处理成本为 ①当，时，，时，取得最小值240； ②当，时， 当且仅当，即时，取得最小值200， 每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低． 19. 定义在上的函数，若对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．已知函数． （1）若是奇函数，判断函数是否为有界函数，并说明理由； （2）若在上是以为上界的函数，求的取值范围． 【答案】（1）函数为有界函数，理由见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）解法一：由是奇函数，得，然后化简可求出的值，对函数变形后，利用指数的函数单调性判断函数为有界函数，解法二：由为奇函数，可得，解得，对函数变形后，利用指数的函数单调性判断函数为有界函数； （2）由题意可得在上恒成立，则恒成立，转化为不等式组在上恒成立，从而可求出的取值范围． 【小问1详解】 解法一：若奇函数，则， 则， 所以恒成立， 所以是奇函数时，， 此时， 由，知，于是，则， 故时，， 所以，函数为有界函数． 解法二：因为为奇函数，可得，则有，解得． 此时， 由，知，于是，则， 故时，， 所以，函数为有界函数． 【小问2详解】 若函数在上是以为上界的函数，则有在上恒成立． 故恒成立，即恒成立， 所以，即， 由题可知，不等式组在上恒成立． 因为在上单调递减，其最大值为； 又在上单调递减，其最小值为． 所以，即， 故的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本小题通过设置函数奇偶性与新信息探索性问题相关的综合创新情境，主要考查函数的奇偶性，单调性等基础知识，考查运算求解能力，逻辑推理能力，推理论证能力，考查数学抽象、数学运算、直观想象、逻辑推理等素养，解题关键是对有界函数定义的正确理解，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期教学质量监测 高一级数学科试卷 温馨提示：请将答案写在答题卡上；考试时间为120分钟，满分150分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数定义域为（ ） A. [2，+∞) B. (2，+∞) C. (2，3)∪(3，+∞) D. [2，3)∪(3，+∞) 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 幂函数在上是增函数，则实数的值为（ ） A. 2或 B. C. 2 D. 或 5. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 6 已知sin＝，则cos＝（ ） A. B. － C. D. － 7. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度将满足，其中是环境温度，称为半衰期.现有一杯的热茶，放置在的房间中，如果热茶降温到，需要10分钟，则欲降温到，大约需要（ ）分钟.（参考数据，） A. 16分钟 B. 20分钟 C. 24分钟 D. 26分钟 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数表示的是不同函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则最小值为1 D. 若，，则的最小值为 11. 设函数（是常数）若在区间上具有单调性，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的周期为 B. 的单调递减区间为 C. 的对称轴为 D. 的图象可由的图象向左平移个单位得到 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若角的终边经过点，则______. 13. 已知集合，集合，若，则m取值范围为_______． 14. 定义域为的函数满足条件： ①，，恒有； ②； ③， 则不等式的解集是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求值：； （2）化简：． 16. （1）求关于的一元二次不等式的解集； （2）若一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 17. 已知函数 （1）求的值； （2）求函数的递增区间； （3）求函数在区间上值域． 18. 为了保护环境，发展低碳经济，某企业在国家科研部门支持下，进行技术攻关，新上了一项把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本（元与月处理量（吨之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿． （1）当时，判断该项目能否获利？如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？ （2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 19. 定义在上的函数，若对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．已知函数． （1）若是奇函数，判断函数是否为有界函数，并说明理由； （2）若在上是以为上界的函数，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $