精品解析：山东省名校考试联盟2025-2026学年高三上学期开学摸底考试数学试题

山东名校考试联盟 2025—2026学年高三年级开学摸底考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下面四个条件中，使得成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 与直线相切，且与圆外切的圆的圆心轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线的一支 C. 抛物线 D. 圆 4. 已知圆：，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 5. 已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，在矩形中，E，F分别为，的中点，G为线段上的一点，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数图象与直线相邻两交点间的距离为，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正三棱台中，为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 平面 10. 在中，，，则（ ） A. B. C. 周长的最大值为6 D. 面积的最大值为 11. 已知函数有两个零点，设其由小到大分别为，，则（ ） A. 实数的取值范围是 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在处的切线方程为_____. 13. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是的渐近线上的一点，且，，则E的离心率为_____. 14. 从1，2，3，4，5，6这6个数中随机抽一个数记为，再从中随机抽一个数记为，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若等比数列的各项均大于1，其前项和为，且，， （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 电视台组织有奖答题活动，指定了三道题目，选手有两种答题方案可选. 方案一：回答这三道题目，至少有两道答对则获得奖金； 方案二：在三道题中，随机选两道，这两道题都答对则获得奖金. 假设小明对三道指定题目答对的概率分别为（均不为1），且三道题目是否答对相互之间没有影响. （1）分别求小明选择方案一和方案二时获得奖金的概率； （2）要想使获得奖金的可能性更大，小明应选择哪种答题方案?请根据数据计算说明. 17. 如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，平面，且，. （1）若平面与平面的交线为，求证：； （2）求证：； （3）是否存在球O，使得四棱锥的顶点均在此球面上?若存在，求与平面所成角的正切值；若不存在，说明理由. 18. 已知椭圆：，定义两曲线E，F之间的最长距离为． （1）若，求； （2）若，求； （3）若，求． 19. 已知函数. （1）若，的最大值为4，求实数的所有可能取值； （2）若，函数在上是单调函数，求实数的取值范围； （3）当时，比较，6和这三个数的大小，并证明你的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东名校考试联盟 2025—2026学年高三年级开学摸底考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下面四个条件中，使得成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，由，则不一定成立，即充分性不成立， 反之若，则一定成立，即必要性成立 ， 所以是的必要不充分条件，所以A不符合题意； 对于B中，由，则一定成立，即充分性成立， 反正若，则不一定成立，即必要性不成立 ， 所以是的充分不必要条件，所以B符合题意； 对于C中，由，则不成立，即充分性不成立， 反正若，则不成立，即必要性不成立 ， 所以是的既不充分也不必要条件，所以C不符合题意； 对于D中，由，则不一定成立，即充分性不成立， 反正若，则不一定成立，即必要性不成立 ， 所以是的既不充分也不必要条件，所以D不符合题意. 故选：B. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求解再得出虚部即可. 【详解】因为，所以 可知的虚部为. 故选：D. 3. 与直线相切，且与圆外切的圆的圆心轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线的一支 C. 抛物线 D. 圆 【答案】C 【解析】 【分析】由动圆与定圆相外切可得两圆圆心距与半径的关系，然后利用圆与直线相切的可得圆心到直线的距离与半径的关系，借助等量关系可得动点满足的条件，即可得动点的轨迹. 【详解】记与圆外切的圆为圆， 设圆的圆心为，半径为，圆的圆心为， 因为圆与圆外切，所以， 设圆圆心到直线的距离为，则， 所以，即动点到定点的距离等于到定直线的距离， 由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线. 故选：C 4. 已知圆：，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合圆的性质和弦长的几何求法，求过圆内一点的最长和最短的弦长，再根据两弦所在的直线互相垂直求四边形的面积. 【详解】如图： 结合圆的性质可知：最长弦过圆心，所以； 当时，弦最短，此时. 且，所以四边形的面积为：. 故选：B 5. 已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得，要使为整数，即为整数，计算即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得， 因为，所以， 因为，要使为整数，即为整数， 所以，共个， 即使得为整数的正整数的个数是. 故选：C 6. 如图，在矩形中，E，F分别为，的中点，G为线段上的一点，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图先用、表示，再结合题设所给，利用对应系数相等，即可求出的值. 【详解】由题可设， 则 ， 因为，所以，解得. 故选：A 7. 若函数图象与直线相邻两交点间的距离为，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件可知函数的周期，进而求出，再由函数单调性求值域. 【详解】因，所以在各周期内单调递增，最小正周期. 而该函数图象与相邻两交点的距离为，即，故. 所以. 故，因，所以. 因在上单调递增，因此，即. 所以的值域为. 故选：D 8. 若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得只有1个整数解，利用导数分析函数的单调性，令，则的图象是一条过定点的直线，画出函数图象，结合图象分析即可求解. 【详解】因为，，所以， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，当时，，且， 令，则的图象是一条过定点的直线， 当时，不符合题意； 则，如图，当的图象经过时， 直线的斜率分别为， 不等式只有1个整数解， 由图可知. 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正三棱台中，为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 平面 【答案】BC 【解析】 【分析】利用线面垂直判定定理可证明平面，可得C正确，结合线面垂直性质得出矛盾可知A错误，利用线面平行判定定理证明可得B正确，根据线面平行性质定理可知只有当时，选项D才可能正确. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示： 因为正三棱台中，为等边三角形，四边形为等腰梯形， 且易知，所以四点共面， 且, 又，平面， 所以平面，即可知平面，可得C正确； 对于A，因为平面，因此， 若，且，平面， 所以可得平面， 显然与正三棱台底面中心的连线不平行，所以平面不成立，即A错误； 对于B，由正三棱台性质可知，又平面，平面， 所以平面，可知B正确； 对于D，若平面， 由平面，且平面平面，所以， 又因为是的中点，所以只有当时才成立，因此D不一定正确. 故选：BC 10. 在中，，，则（ ） A. B. C. 周长的最大值为6 D. 面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理和两角和差的正弦公式化简即可判断A；利用正弦定理和余弦定理化简即可求出B；利用不等式判断C；利用判断D. 【详解】由正弦定理可化为， 则，故A正确； 由正弦定理可化为， 即，则， 因，则，故B错误； 因，则，得， 则，，等号成立时，故C正确； 因，则，得， 则，等号成立时，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数有两个零点，设其由小到大分别为，，则（ ） A. 实数的取值范围是 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过指对同构化简，再分离参数，数形结合可得AB选项； 利用零点关系化简，再构造函数，根据单调性以及范围可判断C选项； 可利用齐次化、比值代换解决D选项极值点偏移问题. 【详解】定义域为，有两个零点，可化为有两个解， 又由于，所以左侧恒大于0，故右侧也恒大于0，可得， 设，则，在单调递增， 原方程可化为， 由于，，都在的单调增区间里， 所以，即， 设，，， 则时，，单调递增， 时，，单调递减，且恒大于0， 极大值， 可画出如图所示，则要使有两个解，即与图像有两个交点， 由图像可得a的范围是，故A选项正确； 同样由图象可得，所以，故B选项正确； ，， 结合，可得， 设，由于，则单调递增, 所以，故C错误； 由于， 所以， 设，则,， 设，， ， 在单调递增，， 所以， 又由于，， 所以，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在处的切线方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由导数的几何意义代入计算，即可得到结果. 【详解】当时，，即切点坐标为， 且，将代入可得， 即切线的斜率， 由直线的点斜式可得， 化简可得. 故答案为： 13. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是的渐近线上的一点，且，，则E的离心率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】不妨设在直线上，且在第一象限，坐标为，根据，可得，在中，根据，结合，可得关于的方程，即可求解. 【详解】 如图，不妨设在直线上，且在第一象限，坐标为， 因为，， 所以直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以，即， 整理可得，解得，则， 在中，，所以， 两边平方可得，又， 所以，即， 解得或（舍）. 故答案为：. 14. 从1，2，3，4，5，6这6个数中随机抽一个数记为，再从中随机抽一个数记为，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】分析可得每个数出现的概率相同，都为，分别求得X=1,2,3,4,5,6时的期望，根据全期望公式，即可得答案. 【详解】已知从1，2，3，4，5，6这6个数中随机抽一个数记为，每个数出现的概率相同， 则， 当时，是从中随机抽取的一个数，则服从离散均匀分布， 对于离散均匀分布，其期望公式为（其中a为最小值，b为最大值）， 当时，只能取1，所以； 当时，从1，2中抽取，所以； 当时，从1，2，3中抽取，所以； 当时，从1，2，3，4中抽取，所以； 当时，从1，2，3，4，5中抽取，所以； 当时，从1，2，3，4，5，6中抽取，所以， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若等比数列的各项均大于1，其前项和为，且，， （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，由已知列方程组可求解首项和公比，根据等比数列的通项公式即可求解； （2）由（1）知，可得的表达式，根据的表达式可得的表达式，然后利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，由已知可得， 解得或， 因为等比数列的各项均大于1，所以， 所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以， 所以 . 16. 电视台组织有奖答题活动，指定了三道题目，选手有两种答题方案可选. 方案一：回答这三道题目，至少有两道答对则获得奖金； 方案二：在三道题中，随机选两道，这两道题都答对则获得奖金. 假设小明对三道指定题目答对的概率分别为（均不为1），且三道题目是否答对相互之间没有影响. （1）分别求小明选择方案一和方案二时获得奖金的概率； （2）要想使获得奖金的可能性更大，小明应选择哪种答题方案?请根据数据计算说明. 【答案】（1）答案见解析； （2）选择第一种答题方案. 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解即可； （2）利用作差法来判断大小，即可作出选择. 【小问1详解】 设小明选择方案一获得奖金的概率为， 则， 设小明选择方案二获得奖金的概率为， 则， 【小问2详解】 由 ， 因为，所以， 即， 则， 故小明应选择第一种答题方案. 17. 如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，平面，且，. （1）若平面与平面的交线为，求证：； （2）求证：； （3）是否存在球O，使得四棱锥的顶点均在此球面上?若存在，求与平面所成角的正切值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在球O， 【解析】 【分析】（1）首先证明平面，结合线面平行的性质即可证明； （2）首先证明平面，从而证明平面，利用线面垂直的性质即可证明； （3）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出球心的坐标，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式即可求解. 【小问1详解】 因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面与平面的交线为， 则平面，平面， 所以 【小问2详解】 因为平面，所以， 因为底面为正方形，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以 【小问3详解】 根据题意以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设四棱锥的外接球的球心，半径为， 所以，解得：， 所以，则， 设平面的法向量为，，， 则，即，取，则，， 所以平面的法向量为 设与平面所成角为，则， 因为与平面所成角，则 所以与平面所成角的正切值 18. 已知椭圆：，定义两曲线E，F之间的最长距离为． （1）若，求； （2）若，求； （3）若，求． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质即可求解． （2）先求出椭圆上的点距离圆心最远的距离，再加上圆的半径即可求解． （3）利用三角代换设出点坐标，求出两点间的距离并结合角恒等变换求出最大值． 【小问1详解】 椭圆C的长半轴长为2，短半轴长为1，椭圆上距离原点最远的距离即为长半轴长，也即2． 【小问2详解】 设椭圆上一点，圆的圆心为，半径，根据两点间距离公式可得， ， 令，，则， 则当时，， 那么椭圆上的点到圆上的点的最远距离． 【小问3详解】 椭圆上任取一点，椭圆上任取一点，， 则， 而， 则，令，， ，其中， 而，当且仅当取等号， 当时，，取，解得， 当时，，取，解得， 则，因此两椭圆上点的最远距离． 19. 已知函数. （1）若，的最大值为4，求实数的所有可能取值； （2）若，函数在上是单调函数，求实数的取值范围； （3）当时，比较，6和这三个数的大小，并证明你的结论. 【答案】（1），其中； （2）； （3），证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的有界性得到，解出即可； （2）代入，化简，再求导，分和讨论即可； （3）首先分析得，则当时，，再分别代入值，利用累加法即可得到不等式，令，再利用导数即可证明另一个不等式. 【小问1详解】 若． 因为的最大值为4，当且仅当，且时取等号成立， 则，解得，其中． 【小问2详解】 若，函数， 由于在上是单调函数，则或恒成立． 若，由于，则恒成立， 于是，因为，则，即， 若，由于，则恒成立， 于是，因为，则． 综上所述，实数的取值范围是． 【小问3详解】 当时，由（2）可知，于是在上单调递增，则． 故当时，. 令可知 ， 将这个式子相加可得 于是. 令，则在上单调递减， 且，则存在，使得． 则当时，；当时，， 于是在上单调递增，在上单调递减，而， 所以，即当时，． 于是 . 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $