2025年初高中数学衔接教材 讲义

初高中数学衔接教材 前言 如何学好高中数学 一、 高中数学与初中数学特点的变化 1 数学语言在抽象程度上不同。初中的数学主要是以形象、通俗的文字语言进行表达。而高中数学要求对数学的三种语言：文字语言、符号语言、图形语言切换自如，尤其是符号语言让高中数学更加抽象。 2 思维方法向理性层次跃迁。初中学习中习惯于机械的、便于操作的定势方式。而高中数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。 3 知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。例如：高一教材的基本概念就达89个之多，形成了概念密集的学习阶段。加之高中一年级第一学期只有七十多课时，辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧，因而教学进度一般较快，从而增加了教与学的难度。这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。 二、 高中如何科学地学习数学 首先要培养良好的学习习惯。良好的学习习惯包括专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结几个方面。 (1) 上课是理解和掌握基础知识、基本技能和基本方法的关键环节。“学然后知不足”，上课一定要专心听课，做到“眼到，心到，手到”，那些重要的内容要当堂消化。 (2) 及时复习是高效率学习的重要一环。通过反复阅读教材，笔记，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关旧知识联系起来，进行分析比效，对所学的新知识由“懂”到“会”。 (3)独立作业是通过自己的独立思考，灵活地分析问题、解决问题，进一步加深对所学新知识的理解和对新技能的掌握过程。这一过程也是对意志力的考验，通过运用使对所学知识由“会”到“熟”。一般在复习后再写作业 (4)解决疑难是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误，或由于思维受阻遗漏解答，通过点拨使思路畅通，补遗解答的过程。解决疑难一定要有锲而不舍的精神，对错误的地方要反复思考。实在解决不了的要请教老师和同学，并要经常把易错的知识拿来复习强化，作适当的重复性练习，使所学到的知识由“熟”到“活”。 (5)系统小结是通过积极思考，总结、归类，建立主体的知识结构网络。小结要在系统复习的基础上以教材为依据，参照笔记与资料，通过分析、综合、类比、概括，揭示知识间的内在联系，以达到对所学知识融会贯通的目的。经常进行多层次小结，能对所学知识由“活”到“悟”。 其次，数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。华罗庚先生倡导的“由薄到厚”和“由厚到薄”的学习过程就是这个道理。方法因人而异，但学习的四个环节（上课、作业、复习、解决疑问）和一个步骤（归纳总结）是少不了的。 最后，学数学要循序渐进，防止急躁。有的同学贪多求快，囫囵吞枣；有的同学想靠几天“冲刺”一蹴而就；有的取得一点成绩便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。要知道，学习是一个长期地巩固旧知、发现新知的积累过程，决非一朝一夕可以完成的。许多优秀的同学能取得好成绩，其中一个重要原因是他们的基本功扎实，他们的阅读、书写、运算技能达到了非常熟练的程度。 第一讲 关于运算 《普通高中数学课程标准2020修订版》界定的高中数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析这6大数学核心素养。其中，数学运算主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果。 提升数学素养，理解运算对象的含义、作用至关重要。高中阶段学生需要掌握几种重要的运算对象：数、字母（代数式）、集合、向量等。运算法则是运算的依据，是推理的基础，也是运算结果具有唯一性的保障，它可以帮助我们探索运算思路。在通过运算解决问题的过程中，形成正确的运算思路是解决问题的关键，理解了运算思路，就能掌握一类问题的通性通法。下面，我们重点分析数及式的运算。 （一）数的运算 我们把整数和分数统称为有理数，有理数可以写成统一的形式，有理数与无理数统称为实数。实数范围内的运算有：加，减，乘，除，乘方，开方。由加法的逆运算产生减法，由加法的简便运算产生乘法，由乘法的逆运算产生了除法，由数的自乘产生乘方，乘方的逆运算产生开方。何为逆运算，简单说就是由某种运算的结果，反过来求参与运算的量的运算，称为原来运算的逆运算。6种运算与结果如图： 运算 加 减 乘 除 乘方 开方 运算结果 和 差 积 商 幂 方根 引进一种新的数，就要研究相应的运算；定义一种运算，就要研究相应的运算法则、运算律、运算性质，这是代数的核心思想。我们把下面给大家梳理初中学过的数的运算。 （1）加法法则：①同号相加，取相同符号，绝对值相加；绝对值不等异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用绝对值较大的绝对值减较小的绝对值，互为相反数的两数和为0 满足的运算律有： 加法交换律： 加法结合律： （2）减法法则：转化为加法，即 加减是第一级运算 （3）乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘得0.满足的运算律有：乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： （4）除法法则：转化为乘法即 乘除是第二级运算 （5）乘方：求个相同因数的积的运算 ，结果为幂。规定： 则幂的运算性质： （6）开方：如果则叫做的平方根。记作： 如果则叫做的立方根。记作： 乘方，开方是第三级运算 运算时注意四个方面：运算法则，运算律，运算性质和运算顺序 有理数混合运算时（1）先乘方，再乘除，最后加减 （2）同级运算，从左到右进行 （3）如有括号，先算括号内。 （二）整式的运算（数式通性，很多法则和运算律可以类比） （1）整式的加减运算法则：有括号先去括号，再合并同类项。 （2）整式的乘除运算法则：单项式乘（除）单项式，把系数，同底数幂分别相乘（除） 多项式乘以多项式法则： 添括号法则：括号前为正，括到括号里各项不变，括号前为负，括到括号里改变符号。 乘法公式：特殊形式多项式相乘，可以写成公式形式。如：平方差公式，完全平方公式 （三）分式的运算 （1）分式基本性质： （2）最简分式：一个分式的分子与分母公因式约去叫分式约分，约分后叫最减分式 （3）通分：把几个异分母分式化为与原来分式相等的同分母分式，通分要找最简公分母。 （4）分式乘除法法则： 分式分子或分母为多项式，先分解因式便于约分，从而化简运算。 （5）分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加 异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减。 （6）解分式方程：去分母，转化为整式方程，但要注意验根。 （四）二次根式及其运算 （1）定义：形如的式子叫二次根式。 性质： （2）二次根式的乘（除）法法则： （3）二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并（最简二次根式指被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式） 最简二次根式： 1．被开方数的因数是整数，因式是整式．2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足以上两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 练习： 1.先化简再求值：，其中． 2.化简=________ 3.解方程 _________ 4.已知求代数式的值 ______ 5．设，且，求=_________. 6. 已知 =—————— 7．计算或化简(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)： (1) (2) (3) (4) （5） （6）= 8. 9.（1）正数，满足，求的值.（2）若，求的值 10. 11. 12. 已知是完全平方式，求 13. 已知 14.（1）试证：（其中n是正整数）； （2）计算：； （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有． 15.　设，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值． 16.正数满足，求的值． 第二讲：数与式 【考点梳理】 考点一、乘法公式 【公式1】平方差公式： 【公式2】完全平方公式： 【公式3】完全立方公式： 【公式4】（三数和的完全平方公式） 【公式5】(立方和公式) 【公式6】(立方差公式) 练习题 1.计算： （1） （2） （3） 2. 计算：． 3.计算： 4. 已知，，求的值． 5.已知，求的值． 6.已知，求的值． 7.若，则等于 8．设，且，求=_________. 9．_____________. 10.不论，为何实数，的值 （ ） （A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数 11．已知，，则的值为____________. 第三讲：因式分解 【考点梳理】 考点一、提公因子法 考点二、公式法(立方和、立方差公式) 运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解． 考点三、分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组． 考点四、十字相乘法 1．型的因式分解 (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和． . 因此，. 2．一般二次三项式型的因式分解 大家知道，． 反过来，就得到： 我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，那么就可以分解成． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 练习题 1.因式分解： （1） （2） （3） （4） （5） (6) （8） （9） （10） （11）(1)； (12)； (13)； (14)． 2.若多项式分解因式的结果中有一个因式为，则的值为______________ 3.已知正数m，满足m4﹣7m2+1＝0，则m+的值为________ 4．的值最接近（       ） A． B． C． D． 6．已知，求代数式的值． 7．证明：当为大于2的整数时，能被120整除． 8．已知，求证：． 第四讲：一元二次方程根与系数的关系 【考点梳理】 考点一、一元二次方程的根的判断式 一元二次方程，用配方法将其变形为： (1) 当时，方程有两个不相等的实数根： ； (2) 当时，方程有两个相等的实数根：； (3) 当时，方程没有实数根． 由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式：. 考点二、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的两个根为： . 所以：， . 定理：如果一元二次方程的两个根为，那么： . 说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是． 练习题 1．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，并且满足，则实数的值是_____ 2．已知是一元二次方程的两实根，则代数式的值是___ 3．关于的一元二次方程：有两个实数根、，则=___ 4．已知正实数满足，为方程的根，则 5．若一元二次方程的两个根分别为a，b，则的值为____ 6．在中，a、b、c为三角形三条边，且方程有两个相等的实数根，则该三角形是_______ 7．关于的一元二次方程的两实数根、，满足，则的值是___ A． B． C．或 D．或 二、填空题 8．已知，是方程的两个根，则____________. 9．若关于x的方程的两个实数根为，且，则实数m的值为___________. 10．已知关于的方程有两个实数根、，若，则的值为________ 三、解答题 11．设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． (1) ； (2) ； (3) ； (4) . （5）；（6）（7）． 12．已知是一元二次方程的两个实数根． （1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （2）若是整数，求使的值为整数的所有的值． （1）假设存在实数k，使成立． （2）∵ 13．已知关于的方程有两个不等实根. （Ⅰ）求实数的取值范围； （Ⅱ）设方程的两个实根为，且，求实数的值； （Ⅲ）请写出一个整数的值，使得方程有两个正整数的根.（结论不需要证明） 14．已知关于x的方程． （1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根； （2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1，x2． 第五讲：二次函数与方程 （一） 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质 二我们可以得到以下结论： 二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”． 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法： 由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－ ， 所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质： （1）当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而减小；当x＞时，y随着x的增大而增大；当x＝时，函数取最小值y＝． （2）当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而增大；当x＞时，y随着x的增大而减小；当x＝时，函数取最大值y＝． 练习： 1 求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象． 2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示： x /元 130 150 165 y/件 70 50 35 若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？ 3 把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，求b，c的值． 4 已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值． （二） 二次函数的三种表示方式 通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式： 1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)． 若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以 x1＋x2＝，x1x2＝， 即 ＝－(x1＋x2)， ＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a() = a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)． 由上面的推导过程可以得到下面结论： 若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)． 这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法： 3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标． 今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题． 练习： 1．选择填空题: （1）函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是 （ ） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无法确定 （2）函数y＝－(x＋1)2＋2的顶点坐标是 （ ） （A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2) （3）二次函数y＝－x2+2x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 ． 2.解答题 （1） 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式． （2） 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式． （3） 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式． 通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？ （三）三元一次方程组 （1） (r>0) 第六讲：三角形的“四心” 三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题. 图3.2-3 图3.2-1 图3.2-2 如图3.2-1 ，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点. 练习： 1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2： 已知 D、E、F分别为三边BC、CA、AB的中点， 求证 AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1. 三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5） 图3.2-6 2 已知的三边长分别为，I为的内心，且I在的边上的射影分别为，求证：. 3若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形. 已知 O为三角形ABC的重心和内心. 求证 三角形ABC为等边三角形.图3.2-7 三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8） 图3.2-8 过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点. 4．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形. 5． （1） 若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为，则三角形的内切圆的半径是___________; （2）若直角三角形的三边长分别为（其中为斜边长），则三角形的内切圆的半径是___________. 并请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 初高中数学衔接教材 前言 如何学好高中数学 一、 高中数学与初中数学特点的变化 1 数学语言在抽象程度上不同。初中的数学主要是以形象、通俗的文字语言进行表达。而高中数学要求对数学的三种语言：文字语言、符号语言、图形语言切换自如，尤其是符号语言让高中数学更加抽象。 2 思维方法向理性层次跃迁。初中学习中习惯于机械的、便于操作的定势方式。而高中数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。 3 知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。例如：高一教材的基本概念就达89个之多，形成了概念密集的学习阶段。加之高中一年级第一学期只有七十多课时，辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧，因而教学进度一般较快，从而增加了教与学的难度。这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。 二、 高中如何科学地学习数学 首先要培养良好的学习习惯。良好的学习习惯包括专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结几个方面。 (1) 上课是理解和掌握基础知识、基本技能和基本方法的关键环节。“学然后知不足”，上课一定要专心听课，做到“眼到，心到，手到”，那些重要的内容要当堂消化。 (2) 及时复习是高效率学习的重要一环。通过反复阅读教材，笔记，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关旧知识联系起来，进行分析比效，对所学的新知识由“懂”到“会”。 (3)独立作业是通过自己的独立思考，灵活地分析问题、解决问题，进一步加深对所学新知识的理解和对新技能的掌握过程。这一过程也是对意志力的考验，通过运用使对所学知识由“会”到“熟”。一般在复习后再写作业 (4)解决疑难是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误，或由于思维受阻遗漏解答，通过点拨使思路畅通，补遗解答的过程。解决疑难一定要有锲而不舍的精神，对错误的地方要反复思考。实在解决不了的要请教老师和同学，并要经常把易错的知识拿来复习强化，作适当的重复性练习，使所学到的知识由“熟”到“活”。 (5)系统小结是通过积极思考，总结、归类，建立主体的知识结构网络。小结要在系统复习的基础上以教材为依据，参照笔记与资料，通过分析、综合、类比、概括，揭示知识间的内在联系，以达到对所学知识融会贯通的目的。经常进行多层次小结，能对所学知识由“活”到“悟”。 其次，数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。华罗庚先生倡导的“由薄到厚”和“由厚到薄”的学习过程就是这个道理。方法因人而异，但学习的四个环节（上课、作业、复习、解决疑问）和一个步骤（归纳总结）是少不了的。 最后，学数学要循序渐进，防止急躁。有的同学贪多求快，囫囵吞枣；有的同学想靠几天“冲刺”一蹴而就；有的取得一点成绩便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。要知道，学习是一个长期地巩固旧知、发现新知的积累过程，决非一朝一夕可以完成的。许多优秀的同学能取得好成绩，其中一个重要原因是他们的基本功扎实，他们的阅读、书写、运算技能达到了非常熟练的程度。 第一讲 关于运算 《普通高中数学课程标准2020修订版》界定的高中数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析这6大数学核心素养。其中，数学运算主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果。 提升数学素养，理解运算对象的含义、作用至关重要。高中阶段学生需要掌握几种重要的运算对象：数、字母（代数式）、集合、向量等。运算法则是运算的依据，是推理的基础，也是运算结果具有唯一性的保障，它可以帮助我们探索运算思路。在通过运算解决问题的过程中，形成正确的运算思路是解决问题的关键，理解了运算思路，就能掌握一类问题的通性通法。下面，我们重点分析数及式的运算。 （一）数的运算 我们把整数和分数统称为有理数，有理数可以写成统一的形式，有理数与无理数统称为实数。实数范围内的运算有：加，减，乘，除，乘方，开方。由加法的逆运算产生减法，由加法的简便运算产生乘法，由乘法的逆运算产生了除法，由数的自乘产生乘方，乘方的逆运算产生开方。何为逆运算，简单说就是由某种运算的结果，反过来求参与运算的量的运算，称为原来运算的逆运算。6种运算与结果如图： 运算 加 减 乘 除 乘方 开方 运算结果 和 差 积 商 幂 方根 引进一种新的数，就要研究相应的运算；定义一种运算，就要研究相应的运算法则、运算律、运算性质，这是代数的核心思想。我们把下面给大家梳理初中学过的数的运算。 （1）加法法则：①同号相加，取相同符号，绝对值相加；绝对值不等异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用绝对值较大的绝对值减较小的绝对值，互为相反数的两数和为0 满足的运算律有： 加法交换律： 加法结合律： （2）减法法则：转化为加法，即 加减是第一级运算 （3）乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘得0.满足的运算律有：乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： （4）除法法则：转化为乘法即 乘除是第二级运算 （5）乘方：求个相同因数的积的运算 ，结果为幂。规定： 则幂的运算性质： （6）开方：如果则叫做的平方根。记作： 如果则叫做的立方根。记作： 乘方，开方是第三级运算 运算时注意四个方面：运算法则，运算律，运算性质和运算顺序 有理数混合运算时（1）先乘方，再乘除，最后加减 （2）同级运算，从左到右进行 （3）如有括号，先算括号内。 （二）整式的运算（数式通性，很多法则和运算律可以类比） （1）整式的加减运算法则：有括号先去括号，再合并同类项。 （2）整式的乘除运算法则：单项式乘（除）单项式，把系数，同底数幂分别相乘（除） 多项式乘以多项式法则： 添括号法则：括号前为正，括到括号里各项不变，括号前为负，括到括号里改变符号。 乘法公式：特殊形式多项式相乘，可以写成公式形式。如：平方差公式，完全平方公式 （三）分式的运算 （1）分式基本性质： （2）最简分式：一个分式的分子与分母公因式约去叫分式约分，约分后叫最减分式 （3）通分：把几个异分母分式化为与原来分式相等的同分母分式，通分要找最简公分母。 （4）分式乘除法法则： 分式分子或分母为多项式，先分解因式便于约分，从而化简运算。 （5）分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加 异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减。 （6）解分式方程：去分母，转化为整式方程，但要注意验根。 （四）二次根式及其运算 （1）定义：形如的式子叫二次根式。 性质： （2）二次根式的乘（除）法法则： （3）二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并（最简二次根式指被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式） 最简二次根式： 1．被开方数的因数是整数，因式是整式．2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足以上两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 练习： 1.先化简再求值：，其中． 2.化简=________ 3.解方程 _________ 4.已知求代数式的值 ______ 5．设，且，求=_________. 6. 已知 =—————— 7．计算或化简(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)： (1) (2) (3) (4) （5） （6）= 解：(1) = (2) 原式= (3) 原式= (4) 原式= 8. 9.（1）正数，满足，求的值.（2）若，求的值 10. 11. 12. 已知是完全平方式，求 (12 ) 13. 已知 (4,17) 14.（1）试证：（其中n是正整数）； （2）计算：； （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有． （1）证明：∵， ∴（其中n是正整数）成立． （2）解：由（1）可知 ＝． （3）证明：∵ ＝ ＝， 又n≥2，且n是正整数， ∴一定为正数， ∴＜． 15.　设，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值． 解：在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得 2e2－5e＋2＝0， ∴(2e－1)(e－2)＝0， ∴e＝＜1，舍去；或e＝2． ∴e＝2． 16.正数满足，求的值． 第二讲：数与式 【考点梳理】 考点一、乘法公式 【公式1】平方差公式： 【公式2】完全平方公式： 【公式3】完全立方公式： 【公式4】（三数和的完全平方公式） 【公式5】(立方和公式) 【公式6】(立方差公式) 练习题 1.计算： （1） （2） （3） 解：（1）原式= （2）原式= （3）原式= 2. 计算：． 解法一：原式= = =． 解法二：原式= = =． 3.计算： 解：原式= 4. 已知，，求的值． 解： ． 5.已知，求的值． 解： 原式= 说明：本题若先从方程中解出的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举． 6.已知，求的值． 解： 原式= ① ②，把②代入①得原式= 说明：注意字母的整体代换技巧的应用． 7.若，则等于 2 8．设，且，求=_________. 9．_____________. 10.不论，为何实数，的值 （ ） （A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数 11．已知，，则的值为____________.24 第三讲：因式分解 【考点梳理】 考点一、提公因子法 考点二、公式法(立方和、立方差公式) 运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解． 考点三、分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组． 考点四、十字相乘法 1．型的因式分解 (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和． . 因此，. 2．一般二次三项式型的因式分解 大家知道，． 反过来，就得到： 我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，那么就可以分解成． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 练习题 1.因式分解： （1） （2） （3） （4） （5） (6) （8） （9） （10） （11）(1)； (12)； (13)； (14)． 答案(11) ； (12)； (13)； (14) 2.若多项式分解因式的结果中有一个因式为，则的值为__-20____________ 3.已知正数m，满足m4﹣7m2+1＝0，则m+的值为________3 4．的值最接近（  B     ） A． B． C． D． 6．已知，求代数式的值． 7．证明：当为大于2的整数时，能被120整除． 8．已知，求证：． 第四讲：一元二次方程根与系数的关系 【考点梳理】 考点一、一元二次方程的根的判断式 一元二次方程，用配方法将其变形为： (1) 当时，方程有两个不相等的实数根： ； (2) 当时，方程有两个相等的实数根：； (3) 当时，方程没有实数根． 由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式：. 考点二、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的两个根为： . 所以：， . 定理：如果一元二次方程的两个根为，那么： . 说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是． 练习题 1．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，并且满足，则实数的值是_____3 2．已知是一元二次方程的两实根，则代数式的值是___ 3．关于的一元二次方程：有两个实数根、，则=___-4 4．已知正实数满足，为方程的根，则 5．若一元二次方程的两个根分别为a，b，则的值为____-2 6．在中，a、b、c为三角形三条边，且方程有两个相等的实数根，则该三角形是_______直角三角形（       ） 7．关于的一元二次方程的两实数根、，满足，则的值是___ A． B． C．或 D．或 二、填空题 8．已知，是方程的两个根，则____________.32 9．若关于x的方程的两个实数根为，且，则实数m的值为___________.1 10．已知关于的方程有两个实数根、，若，则的值为________4 三、解答题 11．设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． (1) ； (2) ； (3) ； (4) . （5）；（6）（7）． 解：∵是方程的两个根， ∴ (1)原式； (2)原式； (3)原式； (4)原式 12．已知是一元二次方程的两个实数根． （1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （2）若是整数，求使的值为整数的所有的值． （1）假设存在实数k，使成立． ∵一元二次方程的两个实数根 ∴， 又，是一元二次方程的两个实数根 ∴∴ ，但 ． ∴不存在实数k，使成立． （2）∵ ∴要使其值是整数，只需能整除4， ∴，，， 注意到，要使的值为整数的实数k的整数值为－2，－3，－5． 所以的值为 13．已知关于的方程有两个不等实根. （Ⅰ）求实数的取值范围； （Ⅱ）设方程的两个实根为，且，求实数的值； （Ⅲ）请写出一个整数的值，使得方程有两个正整数的根.（结论不需要证明） 解：（Ⅰ）因为方程有两个不相等实数根，所以，即，解得，即 （Ⅱ）因为方程的两个实根为，所以，，又，所以，解得或，又，所以 （Ⅲ）当时，方程，解得，满足条件 14．已知关于x的方程． （1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根； （2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1，x2． 第五讲：二次函数与方程 （一） 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质 二我们可以得到以下结论： 二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”． 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法： 由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－ ， 所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质： （1）当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而减小；当x＞时，y随着x的增大而增大；当x＝时，函数取最小值y＝． （2）当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而增大；当x＞时，y随着x的增大而减小；当x＝时，函数取最大值y＝． 练习： 1 求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象． 解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4， ∴函数图象的开口向下； 对称轴是直线x＝－1； 顶点坐标为(－1，4)； 当x＝－1时，函数y取最大值y＝4； 当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小； 采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点B和C，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）． 2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示： x /元 130 150 165 y/件 70 50 35 若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？ 分析：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值． 解：由于y是x的一次函数，于是，设y＝kx＋（B） 将x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有 解得 k＝－1，b＝200． ∴ y＝－x＋200． 设每天的利润为z（元），则 z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000 ＝－(x－160)2＋1600， ∴当x＝160时，z取最大值1600． 答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元． 3 把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，求b，c的值． 解法一：y＝x2＋bx＋c＝(x+)2，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到的图像，也就是函数y＝x2的图像，所以， 解得b＝－8，c＝14． 解法二：把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，等价于把二次函数y＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝x2＋bx＋c的图像． 由于把二次函数y＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝(x－4)2＋2的图像，即为y＝x2－8x＋14的图像，∴函数y＝x2－8x＋14与函数y＝x2＋bx＋c表示同一个函数，∴b＝－8，c＝14． 说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律． 这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题． 4已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值． 分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论． 解：（1）当a＝－2时，函数y＝x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2； （2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝a2； （3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最小值y＝0； （4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a2；当x＝0时，函数取最小值y＝0． x y O －2 a ① x y O －2 a a2 4 图2.2－6 x y O a －2 2 4 a2 ② －2 x y O a a2 4 ③ 说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题． （二） 二次函数的三种表示方式 通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式： 1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)． 若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以 x1＋x2＝，x1x2＝， 即 ＝－(x1＋x2)， ＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a() = a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)． 由上面的推导过程可以得到下面结论： 若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)． 这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法： 3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标． 今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题． 练习： 1．选择填空题: （1）函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是 （ ） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无法确定 （2）函数y＝－(x＋1)2＋2的顶点坐标是 （ ） （A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2) （3）二次函数y＝－x2+2x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 ． 2.解答题 （1） 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式． 分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a． 解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标， ∴顶点的纵坐标为2． 又顶点在直线y＝x＋1上， 所以，2＝x＋1，∴x＝1． ∴顶点坐标是（1，2）． 设该二次函数的解析式为， ∵二次函数的图像经过点（3，－1）， ∴，解得a＝－2． ∴二次函数的解析式为，即y＝－2x2＋8x－7． 说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题． （2） 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式． 分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式． 解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)， ∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)， 展开，得 y＝ax2＋2ax－3a， 顶点的纵坐标为 ， 由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2， ∴|－4a|＝2，即a＝． 所以，二次函数的表达式为y＝，或y＝－． 分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式． 解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)， ∴对称轴为直线x＝－1． 又顶点到x轴的距离为2， ∴顶点的纵坐标为2，或－2． 于是可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2， 由于函数图象过点(1，0)， ∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2． ∴a＝－，或a＝． 所以，所求的二次函数为y＝－(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2． 说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题． （3） 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式． 解：设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得 解得 a＝－2，b＝12，c＝－8． 所以，所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8． 通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？ （三）三元一次方程组 （1） (r>0) 第六讲：三角形的“四心” 三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题. 图3.2-3 图3.2-1 图3.2-2 如图3.2-1 ，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点. 练习： 1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2： 已知 D、E、F分别为三边BC、CA、AB的中点， 求证 AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1. 证明 连结DE，设AD、BE交于点G， D、E分别为BC、AE的中点，则DE//AB，且， ∽，且相似比为1：2， 图3.2-4 设AD、CF交于点，同理可得， 则与重合， AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成. 图3.2-5 三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5） 图3.2-6 2 已知的三边长分别为，I为的内心，且I在的边上的射影分别为，求证：. 证明 作的内切圆，则分别为内切圆在三边上的切点， 为圆的从同一点作的两条切线，， 同理，BD=BF，CD=CE. 即. 3若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形. 已知 O为三角形ABC的重心和内心. 求证 三角形ABC为等边三角形.图3.2-7 证明 如图，连AO并延长交BC于D. O为三角形的内心，故AD平分， （角平分线性质定理） O为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC. ，即. 同理可得，AB=BC. 为等边三角形. 三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8） 图3.2-8 过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点. 4．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形. 5． （1） 若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为，则三角形的内切圆的半径是___________; （2）若直角三角形的三边长分别为（其中为斜边长），则三角形的内切圆的半径是___________. 并请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $