3.1勾股定理的探究培优提升训练 2025—2026学年苏科版八年级数学上册

3.1勾股定理的探究培优提升训练苏科版2025一2026学年八年级上册 一、选择题 1.在RIAABC中，∠A=90°，b=6,c=10,则a的值是() A.8 B.6 C.10 D.2V34 2.如图， ABC中，∠BAC=90°，分别以边AB、AC、BC向外作正方形，图形中数字或 字母表示该正方形的面积，则字母S所代表的正方形的面积是() 25 B A S 169 A.18 B.39 C.194 D.144 3.在Rt△ABC中，斜边BC=5,则AB2+AC2+BC2的值为() A.15 B.25 C.50 D.无法计算 4.中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”.如图，设勾α=6，弦 c=10,则小正方形ABCD的面积是() D股b A B A.3 B.4 C.6 D.9 5.若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为() A.13 B.13或√119 C.13或15 D.15 6.如图，数轴上一点A,表示-1，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取AC=2,连结 OC,以点O为圆心，OC为半径作弧交x轴的负半轴于点D,则点D表示的数为() D -2-1 0 12345 A.-万 B.-√6 C.-V5 D.-2 7.图中数字表示对应正方形的面积，则图中正方形A、B、C、D中边长为12的是() 112 400 B 400 A 225 B 225 D 20 256 A 400 D 8.如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC=5,AB=8,则等腰ABC的面积为() B A.10 B.11 C.12 D.13 二、填空题 9.己知直角三角形的两条直角边分别为6和8，则斜边上的中线长为 10.如图，OP=1,过点P作PP⊥OP且PP=1,得OP=√2；再过点P作PE⊥OP且 PE=1,得OP=V3;又过点B作P,P⊥OP且PP=1,得OP=2;依此法继续作下去， 得0P2025= P P P 11.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4,BC=2,AC的垂直平分线分别交AB、 AC于点E、D,连结CE,则△BCE的面积为一· A 12.若直角三角形的两边长为α、b,且满足√2a-6+b-4=0,则该直角三角形的第三边 长为 三、解答题 13.如图，长方形ABCD中，AB=4,BC=3,P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至 △EBP,BE与CD相交于点G,PE与CD相交于点O,且OE=OD. (I)求证：DP=EG; E (2)求AP的长. D G 14.如图，四边形ABCD中，LA=90°，DF⊥BC,E为AB上一点，DE=DC, ∠BED+LC=180°. (1)求证：AE=CF; (2)若BE=2,BC=8,求线段BF的长. 15.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=CD,AD=BC,点E,F在边BC上，连 接AE,DF,∠BAE=∠CDF. (I)求证：△ABE≌△DCF; (②)当AB=12,DF=13时，求BE的长. 16.如图，在ABC中，AC=BC,∠C=90°，AD是ABC的角平分线，DE⊥AB,垂 足为E. (I)求证：△ACD≌△AED; (2)已知CD=4,求AC的长 A B D 17.为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新 的公路.如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路AC、AD和AB,C 地、D地、B地在同一笔直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又从D地修了一条笔直 的公路DH与公路AB在H处连接，且公路DH和公路AB互相垂直，已知AC=9千米， AB=15千米，BD=5千米. (I)求公路CD的长度； (2)若修公路DH每千米的费用是2000万元，请求出修建公路DH的总费用. H D 18.如图，在ABC中，∠CAB=90°，D是斜边BC上的中点，E、F分别是AB、AC边 上的点，且DE⊥DF. (1)若AB=AC,BE=12,CF=5,求△DEF的面积. (2)求证：BE2+CF2=EF2. A E B D 图1 图2 参考答案 一、选择题 1.D 2.D 3.c 4.B 5.B 6.c 7.C 8.C 二、填空题 9.5 10.√2026 12.√7或5 三、解答题 13.【解】(1)证明：：四边形ABCD是长方形， :∠A=LD=90°，AB=CD=4,AD=BC=3, :将△ABP沿BP翻折至△EBP,BE与CD相交于点G,PE与CD相交于点O, :∠A=∠E=LD=90°，PE=PA, 在△PD0和△GE0中， ∠D=∠E OD=OE ∠DOP=∠EOG :△PDO≌AGEO(ASA, :OG=OP,PD=EG; (2)解：：0P=0G,0D=0E, :.0D+0G=0E+0P, 即DG=PE, :DG=PE=PA, 设AP=x,则PD=EG=3-x,DG=AP=x, :BG=BE-EG=4-(3-x)=1+x,CG=DC-DG=4-x, 在Rt△BCG中，根据勾股定理得：BC2+CG2=BG, 即32+(4-x)2=(1+x)2, 解得：x=2.4, AP=2.4. 14.【解】(1)证明：DF⊥BC, .∠DFC=90°， :∠BED+∠C=180°，LBED+LAED=180°， .∠C=∠AED. 在△AED与△FCD中， [∠DFC=∠A=90° ∠C=∠AED DE=DC ·△AED≌△FCD(AAS), .AE=CF; （2)解：设BF=x, BC=8, CF=AE=8-x BE=2, :AB=AE+BE=8-x+2=10-x 由(1)知，△AED≌△FCD, :AD=DF, 在Rt△ABD和RtABDF中， 由勾股定理可知：AB2+AD2=BD2,BF2+DF2=BD2, AB2+AD2=BF2+DF2, 即(10-x)2+AD2=x2+DF2, (10-x)2=x2,解得x=5, 线段BF的长为5. 15.【解】(1)：∠B=∠C=90°，AB=CD,∠BAE=∠CDF, △ABE≌△DCF(ASA; (2)△ABE≌△DCF, .AE=DF=13, ∠B=90°，AB=12, BE=√AE2-AB2=5. 16.【解】(1)证明：：∠C=90°，DE1AB, .DC⊥AC,∠AED=90°， :AD是ABC的角平分线，DC⊥AC,DE⊥AB, .CD ED 在△ACD与△AED中， 「AD=AD DC=DE' △ACD≌△AED(HL; （2)解：设AC=x, :AC=BC,∠C=90°， .在Rt△ABC中，AB=VAC2+BC2=Vx2+x2=√2x, 5.-BD:AC-4B.DE,CD=4, 2 2 解得：x=4+4√2或x=0（舍去). 17.【解】(1)解：：∠C=90°，AC=9千米，AB=15千米， .BC=VAB2-AC2=12(千米)， BD=5千米， CD=BC-BD=12-5=7(千米). 答：公路CD的长度是7千米， (2)解：：DH⊥AB, Sns=74B-DH. AC⊥CB, DB:4C. DC. AB=15千米，AC=9千米，DB=5千米， :DH=9x5=3(千米). 15 :修建公路DH的费用为2000×3=6000（万元）. 答：修建公路DH的费用为6000万元 18.【解】(1)解：连接AD,如图1， :在Rt△ABC中，AB=AC,AD为BC边的中线， :∠DAC=∠BAD=∠C=45°，AD⊥BC,AD=DC, 又：DE⊥DF,AD⊥DC, :.LEDA+LADF=LCDF+∠FDA=90°， :∠EDA=∠CDF, 在△AED与△CFD中， ∠EDA=∠CDF AD=CD ∠EAD=∠C B D ∴△AED≌△CFD (ASA), 图1 :AE=CF, 同理可证：△AFD≌△BED, .AF BE, :∠EAF=90° :EF2=DE2+DF2 :.BE2+CF2=EF2, BE=12,CF=5, EF=13, :△BDE≌△ADF, ∴DE=DF,∠BDE=∠ADF, AD⊥BD, LADB=90°， LEDF=LADE+LADF=LBDE+LADE=LADB=90°， 在R1aEDF中，由勾股定理得：ED:+DP:=13,DE=DP-13N2 2 0ar的积5含DE0Fl,15y. 2 4 (2)证明：延长ED至点G,使得DG=DE,连接FG,CG,如图2， :DE=DG,DF⊥DE, .DF垂直平分EG, :EF=FG, D是BC中点， :BD =CD, 在BDE和aCDG中， BD=CD D ∠BDE=∠CDG, DE=DG 图2 △BDE≌ACDG(SAS, BE=CG,LDCG=∠DBE, :LACB+∠DBE=90°， ∠ACB+∠DCG=90°，即∠FCG=90°， CG2+CF2=FG2, BE2+CF2=EF2