第一章 预备知识 章末综合测试-2025-2026学年高一上学期北师大版必修第一册

第一章《预备知识》章末综合测试 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D B A A C D D ABC AB ACD 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】B 因为集合，， 把集合元素的范围表示在数轴上，如图， 可知. 2. 已知集合，则集合的真子集的个数为（ ） A. 32 B. 31 C. 16 D. 15 【解析】D 由题意得， 其真子集有个. 3. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【解析】B 对A选项，当时不等式不成立,故A选项错误； B选项，满足不等式的同向可加性，故B选项正确； C选项，当，则，故C选项错误； D选项，当时，，故D选项错误. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】A 由得：，解得：； 由得：或； 或，或， “”是“”的充分不必要条件. 5. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 【解析】A 因正数a，b满足， 则， 当且仅当，即， 所以当时，取得最小值9. 6. 如图所示，阴影部分用M、P表示：（ ） A. B. C. D. 【解析】C 由题意如图，阴影部分是的补集，其对应的集合为, 由集合的运算性质可得 7. 若命题“”为假命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】D 由命题“”为假命题，则命题“”为真命题， 即不等式在上恒成立， 则满足，解得，即实数的取值范围是. 8. 已知，不等式对于一切实数恒成立，且，使得成立，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【解析】D 因为不等式对于一切实数恒成立， 所以， 又因为，使得成立， 所以，所以， 即， 所以， 当且仅当时取得最小值. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的有（ ）． A. 若命题，，则， B. 不等式的解集为 C. 是的充分不必要条件 D. ， 【解析】ABC 对A，若命题，，则，，故A正确； 对B，， 令， 则， 又的图象开口向上， 不等式的解集为；故B正确； 对C，由， 解得：或， 设，， 则，故是的充分不必要条件，故C正确； 对D，当时，，故D错误. 10. 已知，，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 最大值为5 【解析】AB 根据题意，①，②， 两式相加得，A正确； 由②得，与①相加得，故B正确； 设，即， 得，则， 所以，故C错误； 由①可得，即， 由②可得，即，则， 所以，故D错误. 11. 已知，，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C． D．的最小值为 【解析】ACD 由得，， 由得，，整理得， 解得或（舍去），当且仅当时等号成立， 故的最小值为，选项A正确. 由得，，即， 解得（舍去），当且仅当时等号成立， 故的最小值为，选项B错误. 由得，，所以，解得，选项C正确. ， 当且仅当，即时等号成立，选项D正确. 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为____________. 【解析】试题分析：将不等式转化为，所以解集为. 13. 为了丰富全校师生的课后学习生活，共建和谐美好的校园文化，某校计划新建校园图书馆精品阅读区，该项目由图书陈列区（阴影部分）和四周休息区组成.图书陈列区的面积为，休息区的宽分别为和（如图所示）.当校园图书馆精品阅读区面积最小时，则图书陈列区的边长为__________. 【解析】依题意，设，得， 图书馆精品阅读区面积为 ， 当且仅当时，等号成立，此时，，解得. 14. 已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于中的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”． ①集合与是集合的“好子集”的是______； ②集合“好子集”所含元素个数的最大值为______． 【解析】①由于整除，所以集合不是集合的“好子集”； 由于不能整除，不能整除，不能整除，所以集合是集合的“好子集”； ②若集合是集合的“好子集”，则，因为若，则会被整除； ，因为若，则同为奇数或偶数，则为偶数，则能被整除，所以； 所以 设集合是集合的一个“好子集”， 令， ，，…，， 于是累加得， 从而，所以， 另一方面，取，其中任意两元素差值都不能整除，故其是“好子集”， 此时集合有个元素，且是集合的一个“好子集”， 故集合的“好子集”所含元素个数的最大值为. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）若，求和； （2）若，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 又， ，. （2）若， 当时，则，解得， 当，则，解得， 综上：实数的取值范围为. 16. 设集合，集合. （1）若，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围； （2）若中只有一个整数，求实数的取值范围. 【解析】（1）由得，， 又“”是“”的必要不充分条件，且， 只需，， 综上有的取值范围为. （2）由题意得或， 显然，， 要使中只有一个整数，只需， ，的取值范围为. 17. 已知关于的不等式的解集为． (1)求，的值； (2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以，为方程的根，且. 所以，解得，. （2）因为恒成立， 所以即可. 因为，所以， 当且仅当，即时取等号. 所以，解得. 18. 已知关于的方程. （1）若该方程的解集中只有一个元素，求的值； （2）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）若，解关于的不等式. 【解析】（1）由关于的方程， 当时，方程即为，解得，满足题意； 当时，若该方程的解集中只有一个元素，则满足， 即，解得， 综上可得，实数值为或. （2）当时，不等式为，即， 由时，恒成立，即为时，恒成立， 又因为， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 即实数的取值范围为. （3）由不等式，可化为， 因为，可得，即为， 当时，即时，解得，不等式的解集为； 当时，即时，不等式为，此时不等式解集为； 当时，即时，解得，不等式的解集为， 综上可得： 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为. 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”． （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 【解析】（1）由，，则集合是“完美集”， （2）若是两个不同的正数，且是“完美集”， 设， 根据根和系数的关系知，和相当于的两根， 由，解得或（舍去）， 所以，又均为正数， 所以至少有一个大于2. （3）不妨设中， 由，得， 当时，即有，又为正整数，所以， 于是，则无解，即不存在满足条件的“完美集”； 当时，，故只能，，求得， 于是“完美集”只有一个，为． 当时，由，即有， 而， 又，因此，故矛盾， 所以当时不存在完美集， 综上知，“完美集”为. ( 第 1 页 共 11 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章《预备知识》章末综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则集合的真子集的个数为（ ） A. 32 B. 31 C. 16 D. 15 3. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 6. 如图所示，阴影部分用M、P表示：（ ） A. B. C. D. 7. 若命题“”为假命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，不等式对于一切实数恒成立，且，使得成立，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的有（ ）． A. 若命题，，则， B. 不等式的解集为 C. 是的充分不必要条件 D. ， 10. 已知，，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 最大值为5 11. 已知，，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C． D．的最小值为 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为____________. 13. 为了丰富全校师生的课后学习生活，共建和谐美好的校园文化，某校计划新建校园图书馆精品阅读区，该项目由图书陈列区（阴影部分）和四周休息区组成.图书陈列区的面积为，休息区的宽分别为和（如图所示）.当校园图书馆精品阅读区面积最小时，则图书陈列区的边长为__________. 14. 已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于中的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”． ①集合与是集合的“好子集”的是______； ②集合“好子集”所含元素个数的最大值为______． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）若，求和； （2）若，求实数的取值范围. 16. 设集合，集合. （1）若，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围； （2）若中只有一个整数，求实数的取值范围. 17. 已知关于的不等式的解集为． (1)求，的值； (2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围． 18. 已知关于的方程. （1）若该方程的解集中只有一个元素，求的值； （2）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）若，解关于的不等式. 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”． （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. ( 第 1 页 共 11 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $