3.3 探索与表达规律（同步练习）-2025-2026学年北师大版（2024）数学七年级上册

3.3探索与表达规律 一．选择题（共7小题） 1．（2025•双柏县模拟）按一定规律排列的单项式：，，，，…，第n个单项式为（　　） A． B． C． D． 2．（2025春•浙江月考）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝1，a3＝2，a4＝3，a5＝5，⋯，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和，记Sn为数列{an}的前n项和，若S2023＝m，则a2025＝（　　） A．m B．m+1 C．m﹣1 D．2m+1 3．（2025•昆明三模）如图是由大小相同的爱心按照一定规律排列组成的图形，依此规律，图21中共有爱心的个数为（　　） A．47 B．45 C．43 D．41 4．（2025•凤庆县模拟）以下是一组按一定规律排列的多项式：﹣a+b，a2+2b，﹣a3+3b，a4+4b，﹣a5+5b，…，第n个多项式是（　　） A．（﹣1）nan+（n﹣1）b B．（﹣1）nan+nb C．（﹣1）n+1an+（n﹣1）b D．（﹣1）n+1an+1+nb 5．（2025•云南）按一定规律排列的代数式：a，3a，5a，7a，9a，⋯，第n个代数式是（　　） A．（2n﹣1）a B．（2n+1）a C．（n+1）a D．2025a 6．（2025•南岗区模拟）观察下列四个三角形内的数，确定M的值（　　） A．27 B．55 C．72 D．80 7．（2025•杭州模拟）如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第⑦个图形需要棋子（　　） A．28枚 B．26枚 C．24枚 D．20枚 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•辽中区期中）把一张正方形纸片对折、再对折（两条折痕垂直），将此视为1次操作．1次操作后这正方形纸片变为22层，那么m次操作后，这张正方形纸片的层数为 　 　 ． 9．（2025•杭州校级模拟）按一定规律排列的一列数：2﹣1，2﹣3，2﹣4，2﹣7，2﹣11，•••，若x，y，z表示这列数中的连续三个数，则x，y，x满足的关系式是　 　 ． 10．（2025•杭州模拟）一些大小相同的“”按如图所示的规律摆放：第①个图形有2个，第②个图形有6个，第③个图形有10个，第④个图形有14个，…，依此规律，第⑩个图形有 　 　 个． 11．（2025•睢县二模）水滴石穿是一个成语，最早出自东汉•班固《汉书•枚乘传》．该成语的意思是指水滴不断地滴，可以滴穿石头，比喻坚持不懈，集细微的力量也能成就大的功劳．小明同学观察记录后发现，水滴不断地滴在一块石头上，1年后形成了一个深为0.0003m的小洞，0.0003用科学记数法可表示为　 　 ． 12．（2025•大庆二模）如图，在一个正三角形场地中，若在每边上放2盆花，则共需要3盆花：若在每边上放3盆花，则共需要6盆花；以此类推，若在每边上放25盆花，则共需要　 　 盆花． 三．解答题（共3小题） 13．（2025•青岛模拟）如图，在边长都为a的正方形内分别排列着一些大小相等的圆． （1）根据图中的规律，第4个正方形内圆的个数是　 　 ，第n个正方形内圆的个数是　 　 ． （2）如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影． ①第1个正方形中阴影部分的面积为　 　 ，第n个正方形中阴影部分的面积为　 　 （用含a的代数式表示，结果保留π）． ②若a＝10，请直接写出第2024个正方形中阴影部分的面积：　 　 （结果保留π）． 14．（2025•蚌埠模拟）如图，图1中小黑点的个数记为a1＝4，图2中小黑点的个数记为a2＝8，图3中小黑点的个数记为a3＝13，… 根据以上图中的规律完成下列问题： （1）图5中小黑点的个数记为a5，则a5＝　 　 ； （2）图n中小黑点的个数记为an，则an＝　 　 （用含n的式子表示）； （3）若第n个图形中小黑点的个数比它前一个图形中小黑点的个数多2023，则n的值是多少？ 15．（2024秋•鞍山期末）设表示一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9，且a是整数）．例如：当a＝2时，表示的两位数是25．观察下列各式并回答问题： 当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25 当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25 当a＝3时，352＝1225＝3×4×100+25 … （1）依据上述算式写出当a＝4时，452＝　 　 ； （2）归纳出一般表达式，　 　 ； （3）请利用上述方法计算1452的值． 3.3探索与表达规律 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．（2025•双柏县模拟）按一定规律排列的单项式：，，，，…，第n个单项式为（　　） A． B． C． D． 【考点】规律型：数字的变化类；单项式． 【专题】整式；运算能力． 【答案】B 【分析】分别找出单项式的系数、字母的指数的规律解答即可． 【解答】解：根据单项式：，，，，…的排列规律可得， 系数为，字母为x，指数为2n， ∴第n个单项式为 故选：B． 【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，单项式，根据题意发现规律是解题的关键． 2．（2025春•浙江月考）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝1，a3＝2，a4＝3，a5＝5，⋯，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和，记Sn为数列{an}的前n项和，若S2023＝m，则a2025＝（　　） A．m B．m+1 C．m﹣1 D．2m+1 【考点】规律型：数字的变化类． 【专题】规律型；运算能力． 【答案】B 【分析】根据题意可知an+2＝an+1+an，依次写出a3＝a2+a1，a4＝a3+a2•••，再通过累加可得a2025＝S2023+a2，然后代入数值即可得出解． 【解答】解：由条件可知an+2＝an+1+an， ∴a3＝a2+a1， a4＝a3+a2， ……， a2024＝a2023+a2022， a2025＝a2024+a2023， 相加，得a3+a4+a5+•••+a2025＝a2+a3+•••+a2024+（a1+a2+•••+a2023）， ∴a2025﹣a2＝S2023． 由条件可得a2025＝m+1． 故选：B． 【点评】本题主要考查了数字变化规律问题，求代数式的值，发现规律是关键． 3．（2025•昆明三模）如图是由大小相同的爱心按照一定规律排列组成的图形，依此规律，图21中共有爱心的个数为（　　） A．47 B．45 C．43 D．41 【考点】规律型：图形的变化类． 【专题】规律型；运算能力． 【答案】B 【分析】根据题目中的图形可以发现爱心个数的变化规律，从而可以得到图21中共有爱心的个数． 【解答】解：图1中爱心的个数为5； 图2中爱心的个数为7； 图3中爱心的个数为9； 图4中爱心的个数为11； ……， ∴图n中爱心的个数为3+2n， ∴图21中共有爱心的个数3+2×21＝45； 故选：B． 【点评】本题考查了图形的变化规律，有所给图形总结出存在的规律是解题的关键． 4．（2025•凤庆县模拟）以下是一组按一定规律排列的多项式：﹣a+b，a2+2b，﹣a3+3b，a4+4b，﹣a5+5b，…，第n个多项式是（　　） A．（﹣1）nan+（n﹣1）b B．（﹣1）nan+nb C．（﹣1）n+1an+（n﹣1）b D．（﹣1）n+1an+1+nb 【考点】规律型：数字的变化类；多项式． 【专题】规律型；运算能力． 【答案】B 【分析】根据题意，把原来多项式拆成两个单项式，分别找出每组单项式的规律即可． 【解答】解：将排列的多项式拆成两组单项式为： ﹣a，a2，﹣a3，a4，﹣a5，⋯⋯， b，2b，3b，4b，5b，……， 第n个单项式为（﹣1）nan和nb， ∴第n个多项式是（﹣1）nan+nb． 故选：B． 【点评】本题考查多项式排列中的规律．发现规律是关键． 5．（2025•云南）按一定规律排列的代数式：a，3a，5a，7a，9a，⋯，第n个代数式是（　　） A．（2n﹣1）a B．（2n+1）a C．（n+1）a D．2025a 【考点】规律型：数字的变化类；单项式． 【专题】规律型． 【答案】A 【分析】观察可知，每一个代数式都是只含有字母a的单项式，其中系数是从1开始的连续的奇数，据此规律求解即可． 【解答】解：第1个代数式为a， 第2个代数式为3a， 第3个代数式为5a， 第4个代数式为7a， 第5个代数式为9a， …， 以此类推，可知，第n个代数式是 （2n﹣1）a， 故选：A． 【点评】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，正确找出规律是解题的关键． 6．（2025•南岗区模拟）观察下列四个三角形内的数，确定M的值（　　） A．27 B．55 C．72 D．80 【考点】规律型：数字的变化类． 【专题】规律型． 【答案】B 【分析】首先观察前三个图形可得规律：10＝（2+3）×2，21＝（3+4）×3，36＝（4+5）×4，于是知三角形顶点的数＝三角形两底数之和×左底数字，即可求出M的值． 【解答】解：观察规律可知： 10＝（2+3）×2， 21＝（3+4）×3， 36＝（4+5）×4， 三角形顶点的数＝三角形两底数之和×左底数字， 即M＝（5+6）×5＝55． 故选：B． 【点评】本题主要考查规律型：数字的变化类得知识点，解答本题的关键是找出几个图形之间的规律进行解题，此题难度不大． 7．（2025•杭州模拟）如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第⑦个图形需要棋子（　　） A．28枚 B．26枚 C．24枚 D．20枚 【考点】规律型：图形的变化类． 【专题】规律型；运算能力． 【答案】A 【分析】观察可知，每个图形棋子的个数即为序号的4倍，据此可得答案． 【解答】解：第①个图形需要4枚棋子， 第②个图形需要8枚棋子， 第③个图形需要12枚棋子， ……， 发现规律：第n个图形需要4n枚棋子， ∴第⑦个图形需要棋子4×7＝28枚， 故选：A． 【点评】本题主要考查了图形类的规律探索，发现规律是关键． 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•辽中区期中）把一张正方形纸片对折、再对折（两条折痕垂直），将此视为1次操作．1次操作后这正方形纸片变为22层，那么m次操作后，这张正方形纸片的层数为 　22m　 ． 【考点】规律型：图形的变化类；有理数的乘方． 【专题】实数；运算能力． 【答案】22m． 【分析】根据题意，计算1次，2次，3次操作后这正方形纸片的层数，找到规律，从而得出结论． 【解答】解：根据题意，1次操作后这正方形纸片变为22层，即22×1， 2次操作后这正方形纸片变为22层，即22×2， 3次操作后这正方形纸片变为22层，即22×3， …， 以此类推，规律是：m次操作后，这张正方形纸片的层数为22m． 故答案为：22m． 【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，有理数的乘方，根据题意找到规律是解题的关键． 9．（2025•杭州校级模拟）按一定规律排列的一列数：2﹣1，2﹣3，2﹣4，2﹣7，2﹣11，•••，若x，y，z表示这列数中的连续三个数，则x，y，x满足的关系式是　xy＝z　 ． 【考点】规律型：数字的变化类． 【专题】规律型；运算能力． 【答案】xy＝z． 【分析】观察可得相邻三个数之间，前面两个数的指数之和等于最后面一个数的指数，据此可根据同底数幂乘法计算打得到xy＝z． 【解答】解：不妨设x、y、z的指数分别为a、b、c， ∴a+b＝c，x＝2a，y＝2b，z＝2c， ∴xy＝2a•2b＝2a+b＝2c＝z， ∴xy＝z， 故答案为：xy＝z． 【点评】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，同底数幂乘法计算，负整数指数幂，熟练掌握以上知识点是关键． 10．（2025•杭州模拟）一些大小相同的“”按如图所示的规律摆放：第①个图形有2个，第②个图形有6个，第③个图形有10个，第④个图形有14个，…，依此规律，第⑩个图形有 　38　 个． 【考点】规律型：图形的变化类． 【专题】规律型；运算能力． 【答案】38． 【分析】根据图形，发现规律，计算即可得解， 【解答】解：由图形可得：第①个图形有4×1﹣2＝2个， 第②个图形有4×2﹣2＝6个， 第③个图形有4×3﹣2＝10个， 第④个图形有4×4﹣2＝14个， 第⑤个图形有4×5﹣2＝18个， 第⑥个图形有4×6﹣2＝22个， …， 故第⑩个图形有4×10﹣2＝38个， 故答案为：38． 【点评】本题考查了图形类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． 11．（2025•睢县二模）水滴石穿是一个成语，最早出自东汉•班固《汉书•枚乘传》．该成语的意思是指水滴不断地滴，可以滴穿石头，比喻坚持不懈，集细微的力量也能成就大的功劳．小明同学观察记录后发现，水滴不断地滴在一块石头上，1年后形成了一个深为0.0003m的小洞，0.0003用科学记数法可表示为　3×10﹣4　 ． 【考点】规律型：图形的变化类；科学记数法—表示较小的数． 【专题】实数；符号意识． 【答案】3×10﹣4． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.0003＝3×10﹣4． 故答案为：3×10﹣4． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12．（2025•大庆二模）如图，在一个正三角形场地中，若在每边上放2盆花，则共需要3盆花：若在每边上放3盆花，则共需要6盆花；以此类推，若在每边上放25盆花，则共需要　72　 盆花． 【考点】规律型：图形的变化类． 【专题】规律型；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】设每边上放n盆花，则共需要an盆花（n≥2，且为正整数），根据各图形中所需花盆总数的变化可找出变化规律“an＝3n﹣3”，再代入n＝25即可求出结论． 【解答】解：设每边上放n盆花，则共需要an盆花（n≥2，且为正整数）， ∵a2＝3×2﹣3＝3，a3＝3×3﹣3＝6，a4＝3×4﹣3＝9，…， ∴an＝3n﹣3， ∴a25＝3×25﹣3＝72． 故答案为：72． 【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中所需花盆总数的变化，找出变化规律“an＝3n﹣3”是解题的关键． 三．解答题（共3小题） 13．（2025•青岛模拟）如图，在边长都为a的正方形内分别排列着一些大小相等的圆． （1）根据图中的规律，第4个正方形内圆的个数是　16　 ，第n个正方形内圆的个数是　n2　 ． （2）如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影． ①第1个正方形中阴影部分的面积为　　 ，第n个正方形中阴影部分的面积为　　 （用含a的代数式表示，结果保留π）． ②若a＝10，请直接写出第2024个正方形中阴影部分的面积：　100﹣25π　 （结果保留π）． 【考点】规律型：图形的变化类；列代数式；代数式求值． 【专题】规律型；运算能力． 【答案】（1）16，n2； （2）①；②100﹣25π． 【分析】（1）分别求出前几个图形内圆的个数，发现规律进而求得第n个正方形中圆的个数； （2）①根据正方形的面积减去圆的面积求解即可；②同理可知第n个图中的阴影部分面积也是为，将a＝10代入中求解即可． 【解答】解：（1）第1个正方形内圆的个数是1， 第2个正方形内圆的个数是4， 第3个正方形内圆的个数是9， 第4个正方形内圆的个数是16， ……， 第n个正方形内圆的个数是n2． （2）①第1个正方形中，， 第n个正方形中，． 故答案为：； ②从以上计算看出各个正方形中阴影部分的面积均相等，与圆的个数无关． 第n个正方形中阴影部分的面积， 当a＝10时，第2024个正方形中阴影部分的面积为． 故答案为：100﹣25π． 【点评】本题考查了图形类找规律，列代数式，代数式求值，整式的加减，找到规律是解题的关键． 14．（2025•蚌埠模拟）如图，图1中小黑点的个数记为a1＝4，图2中小黑点的个数记为a2＝8，图3中小黑点的个数记为a3＝13，… 根据以上图中的规律完成下列问题： （1）图5中小黑点的个数记为a5，则a5＝　26　 ； （2）图n中小黑点的个数记为an，则an＝　　 （用含n的式子表示）； （3）若第n个图形中小黑点的个数比它前一个图形中小黑点的个数多2023，则n的值是多少？ 【考点】规律型：图形的变化类；列代数式． 【专题】规律型． 【答案】（1）a5＝26； （2）an； （3）n＝2021． 【分析】（1）由已知图形得出a5＝1+2+3+4+5+6+5＝26可得； （2）由题意得an＝1+2+……+n+（n+1）+n，整理即可得； （3）利用（2）中所得结果列出方程，解之可得答案． 【解答】解：（1）将黑点从左向右分列观察计算， a1＝1+2+1， a2＝1+2+3+2， a3＝1+2+3+4+3， ……， ∴a5＝1+2+3+4+5+6+5＝26， 故答案为：26； （2）由（1）可知， ， 故答案为：； （3）由题意得an﹣an﹣1＝100， 则 ， 解得：n＝2021． 【点评】本题考查了图形的变化类问题，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现，解题的关键是能够找到图形变化的通项公式，难度不大． 15．（2024秋•鞍山期末）设表示一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9，且a是整数）．例如：当a＝2时，表示的两位数是25．观察下列各式并回答问题： 当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25 当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25 当a＝3时，352＝1225＝3×4×100+25 … （1）依据上述算式写出当a＝4时，452＝　2025＝4×5×100+25　 ； （2）归纳出一般表达式，　100a（a+1）+25　 ； （3）请利用上述方法计算1452的值． 【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算． 【专题】规律型；运算能力． 【答案】（1）2025＝4×5×100+25； （2）100a（a+1）+25； （3）21025． 【分析】（1）根据已有等式推理即可解答； （2）根据已有等式推理即可； （3）利用（2）得到的规律解答即可． 【解答】解：（1）当a＝4时，452＝2025＝4×5×100+25． 故答案为：2025＝4×5×100+25． （2）． 故答案为：100a（a+1）+25． （3）1452＝14×15×100+25＝21025． 【点评】本题主要考查了数字规律、有理数混合运算等知识点，理解数字规律是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $