精品解析：湖南省常德市临澧县第一中学2025-2026学年高二上学期暑假作业暨开学模拟检测数学试题

2024级高二年级暑假作业暨开学模拟检测 数学（试题卷） 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（是虚数单位），则（　　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用复数除法运算化简复数，然后求出复数的模即可. 【详解】因为， 所以， 故选：D． 2. 若表示直线，表示平面，则下列命题中，正确命题为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中直线与直线平行，平面与平面垂直平面、平面与平面平行的判定方法依次判断各选项. 【详解】选项A:在空间中垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面，所以选项A错误； 选项B:由线面垂直的性质定理，垂直于同一平面的两条直线平行，所以选项B正确； 选项C:由线面垂直的性质，垂直于同一直线的两个平面平行，所以选项C错误； 选项D:在空间中垂直于同一平面的两个平面可能平行，也可能相交(如墙角),所以选项D错误． 故选：B． 3. 数据1，2，4，8，9，10的第60百分位数为（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算即得. 【详解】将数据按照从小到大排列：1，2，4，8，9，10， 因，可知应是第四个数，即. 故选:C． 4. 已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的性质化简不等式，然后根据函数的单调递减解关于的不等式，求出的取值范围. 【详解】因为奇函数在上有定义，所以， 所以 所以，解得. 所以的取值范围为. 故选：D. 5. 一艘轮船从地出发，先沿东北方向航行15海里后到达地，然后从地出发，沿北偏西方向航行10海里后到达地，则地与地之间的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 15海里 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可求得，利用余弦定理可得，可求得. 【详解】在中，由题意可知海里，海里，. 由余弦定理可得， 则海里. 故选：A. 6. 若一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论不正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的体积小于圆锥与球的体积之和 D. 三个几何体的表面积中，圆柱的表面积最大 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥，圆柱，以及球的表面积和体积公式，即可结合选项逐一求解. 【详解】 对A，圆柱的侧面积等于，A正确； 对B，圆锥的母线长为，所以圆锥的侧面积为，B正确； 对C，圆柱的体积为，圆锥的体积为， 球的体积为，所以，C错误； 对D，圆柱的表面积， 圆锥的表面积， 球的表面积为，由于，所以圆柱的表面积最大，D正确. 故选：C． 7. 如图，E，F分别为平行四边形ABCD边AD的两个三等分点，分别连接BE，CF，并延长交于点O，连接OA，OD，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据相似三角形可得，结合平面向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意知，， 由，得，所以， 在中，， 即， 即，整理得. 故选：C 8. 已知矩形，，，将沿折起到．若点在平面上的射影落在的内部（不包括边界），则四面体的体积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，确定点在平面上的射影点位置，再求出点到平面的距离最大和最小作答，结合锥体的体积公式可求得三棱锥的体积. 【详解】在矩形中，，，过点作于，交边于，如图， ，， 所以，，， 所以，，则， 则， 把沿折起到的过程中，，， 又因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，平面平面， 由面面垂直的性质定理可知，点在平面上的射影在直线上， 因为点在平面上的射影落在的内部（不包括边界），则当平面时， 点到平面的距离最大，于是， 当平面时，点到平面的距离最小，如图，此时， 于是，从而， 而， 所以，. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求空间几何体体积的方法如下： （1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解； （2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用平面向量的数量积运算求解判断；对于B，利用平面向量的模公式求解判断；对于C，利用平面向量夹角公式求解判断；对于D，利用平面向量的投影向量的定义求解判断. 【详解】对于A，，，因此错误，故A错误； 对于B，，，因此，故B正确； 对于C，，且，因此与的夹角为，故C错误； 对于D，在方向上的投影向量为，故D正确. 故选：BD. 10. 衡阳市某中学为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了100名学生，根据这100名学生对食堂用餐质量给出的评分数据，分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为了解评分较低的原因，该校从评分低于80分的学生中用比例分配的分层抽样方法随机抽取18人座谈，则应选取评分在的学生8人； C. 该样本数据的中位数和众数均为85； D. 若样本数据的平均数低于85分，则认为食堂需要整改，根据此样本认为该校食堂不需要整改 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用各小组数据的频率之和等于1即可求得的值；对于B，根据分层抽样计算抽样比即可求得；对于C，利用频率分布直方图中求百分位数的方法计算中位数和众数即可判断；对于D，利用频率分布直方图中求平均数的公式计算即可判断. 【详解】对于A，由图可得，解得，故A正确； 对于B，由图知，评分低于80分的学生有人， 随机抽取人，抽样比为，故应选取评分在的学生人，故B正确； 对于C，因前三组的频率之和为，前四组的频率之和为：， 故中位数在第四组，中位数为，众数为，故C错误； 对于D，该样本数据的平均数为：， 根据此样本认为该校食堂需要整改，故D错误. 故选：AB. 11. 在锐角中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理边化角、诱导公式、和差角公式计算可判断A项，结合A项、三角形内角和及锐角三角形计算可判断B项，运用正弦定理将问题转化为三角函数在区间上求值域可判断C项，运用切化弦、差角公式化简式子，由换元法将问题转化为求在上的值域，结合导数求解即可判断D项. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 又因为，所以， 即， 整理得，即 对于A项，因为A、B、C均为锐角，所以，即，故A项正确； 对于B项，因为，，所以， 因为A、B、C均为锐角，所以，即，解得， 所以的取值范围为，故B项错误． 对于C项，由正弦定理得，， 所以，所以．故C项正确． 对于D项，由A项知，，由B项知，，所以， 所以，， 令，则，所以，， 令，，则，所以在上单调递增， 又，，所以，即范围为，故D项正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 衡阳市一中高一某班45名学生成立了A、B两个数学兴趣小组，A组25人，B组20人，经过一个月的强化培训后进行了一次测试，在该次测试中，A组的平均成绩为82分，方差为8，B组的平均成绩为86.5分，方差为2，则在这次测试中全班学生成绩的方差为________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用分层抽样的方差公式计算即可. 【详解】设，，，，，， 则全班学生成绩的平均数为， 全班学生成绩的方差为， 故答案为： 13. 设是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意结合概率运算性质可得答案. 【详解】由概率的性质知，因此， . 故答案为：. 14. 已知，函数，若，则的最小值为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】先根据函数在上恒成立，探索的关系，再结合基本不等式可求的最小值. 【详解】由题意可知的定义域为，令，解得；令，解得．则当时，，故，所以； 当时，，故，所以， 故，即，又， 所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为6． 故答案为：6 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，在复平面内，复数，，对应的点分别为A，B，C. （1）求； （2）已知四点A、B、C、D组成平行四边形，求D点坐标以及的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数运算的几何意义可得点的坐标，即可求出，即可求得其模长； （2）由平行四边形性质可得，结合向量坐标运算即可求得D点坐标；利用向量夹角的坐标形式，即可求得的值. 【小问1详解】 由题意知， 故， 则，故； 【小问2详解】 因为四点A、B、C、D组成平行四边形，故， 设，则，即， 解得，即； 又，则， 即. 16. 某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色和标号外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回地抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖．班委会讨论了以下两种规则： 规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖； 规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数,且不是5的倍数获三等奖，其余不获奖． （1）求两种规则下获得二等奖的概率； （2）请问哪种规则的获奖概率更大，并说明理由． 【答案】（1） （2） 两种规则的获奖概率一样大．理由如下： 记规则一获得一、二、三等奖分别为事件 由(1)可知事件包含两个样本点，所以 事件包含,共12个样本点，所以 由(1)知， 所以规则一的获奖概率为 记规则二下获得一、二、三等奖分别为事件 事件包含两个样本点，； 事件包含，共十二个样本点，； 由(1)知， 所以规则二的获奖概率. 所以两种规则的获奖概率一样大． 【解析】 【分析】（1）（2）列出两次抽取小球的所有可能结果，根据古典概型的概率求法求得两种规则分别获得一、二、三等奖的概率， 进而得到两种规则的获奖概率，即可解决问题. 【小问1详解】 据题意，两次抽取小球的所有可能结果为： 记规则一获得二等奖为事件，记规则二获得二等奖为事件， 事件包含五个样本点，故， 事件包含五个样本点，故． 所以两种规则下获得二等奖的概率均为. 【小问2详解】 略 17. 已知正方体的棱长为，，分别为，的中点． （1）证明：平面． （2）求异面直线与所成角的大小． （3）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 连接交于点， 分别为，的中点， ， 平面，且平面， 平面； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）通过中位线定理证明线线平行，进而证明线面平行； （2）利用平行关系将异面直线所成角转化为共面直线所成角，再通过解三角形求解； （3）利用线面垂直，从而确定线面角，再通过几何法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 与所成角大小等于与， 为的中点， ，即与所成角的大小为； 【小问3详解】 连接，过作于点， 平面，且平面， ，又且,且两直线在平面内， 平面， 平面， ，又，且，,且两直线在平面内， 平面， 直线与平面所成角大小等于， 正方体的边长为， . 18. 在中，角所对的边分别为，满足. （1）求的值； （2）当与边上的中线长均为2时，求的周长； （3）当内切圆半径为1时，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理及两角和得正弦公式化简即可得解； （2）利用余弦定理及向量化求出，即可得解； （3）先利用等面积法求出与的关系，再结合余弦定理可求出与的关系，再结合基本不等式及三角形的面积公式即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 又由，得. 因为，所以； 【小问2详解】 由余弦定理得， 即，① 设的中点为，则， 则， 则，② 由①②得， 联立，解得， 所以，即的周长为； 【小问3详解】 由（1）得， 由内切圆半径为1，得，即， 由余弦定理得，所以， 得，因为，所以， 解得或， 又因为的面积大于其内切圆面积，即， 得，所以， 当且仅当时，的面积取到最小值. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 19. 已知函数的图象关于直线对称，其最小正周期为． （1）求的对称中心； （2）若函数在上恰有8个零点，求的最小值； （3）设函数，证明：有且只有一个零点，且． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用周期和对称轴可求函数的解析式，再计算函数的对称中心； （2）由函数零点和三角函数的对称中心，计算即可； （3）先代入化简得到的解析式，分类讨论结合零点存在性定理证明零点只有一个，最后根据函数单调性证明不等式； 【小问1详解】 因为函数的最小正周期为，所以由题， 所以又由图象关于直线对称， 所以，即，所以， 所以， 令， 所以的对称中心为． 【小问2详解】 令，解得， 若函数在上恰有8个零点，则均应是零点， 所以最小值为 【小问3详解】 由（1）可得，定义域为， ①当时，函数在上单调递增， 因为 所以，根据零点存在定理，使得， 故在上有且只有一个零点． ②当时，因单调递增，单调递减， ， 所以，所以在上不存在零点； ③当时，因为单调递增，， 因为，所以，所以在上不存在零点； 综上：有且只有一个零点，且． 因为，所以， 所以， 在上单调递减，， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二年级暑假作业暨开学模拟检测 数学（试题卷） 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（是虚数单位），则（　　） A. 1 B. C. 2 D. 2. 若表示直线，表示平面，则下列命题中，正确命题为（　　） A. B. C. D. 3. 数据1，2，4，8，9，10的第60百分位数为（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 9 4. 已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 一艘轮船从地出发，先沿东北方向航行15海里后到达地，然后从地出发，沿北偏西方向航行10海里后到达地，则地与地之间的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 15海里 6. 若一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论不正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的体积小于圆锥与球的体积之和 D. 三个几何体的表面积中，圆柱的表面积最大 7. 如图，E，F分别为平行四边形ABCD边AD的两个三等分点，分别连接BE，CF，并延长交于点O，连接OA，OD，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知矩形，，，将沿折起到．若点在平面上的射影落在的内部（不包括边界），则四面体的体积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量为 10. 衡阳市某中学为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了100名学生，根据这100名学生对食堂用餐质量给出的评分数据，分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为了解评分较低的原因，该校从评分低于80分的学生中用比例分配的分层抽样方法随机抽取18人座谈，则应选取评分在的学生8人； C. 该样本数据的中位数和众数均为85； D. 若样本数据的平均数低于85分，则认为食堂需要整改，根据此样本认为该校食堂不需要整改 11. 在锐角中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 衡阳市一中高一某班45名学生成立了A、B两个数学兴趣小组，A组25人，B组20人，经过一个月的强化培训后进行了一次测试，在该次测试中，A组的平均成绩为82分，方差为8，B组的平均成绩为86.5分，方差为2，则在这次测试中全班学生成绩的方差为________. 13. 设是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_______. 14. 已知，函数，若，则的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，在复平面内，复数，，对应的点分别为A，B，C. （1）求； （2）已知四点A、B、C、D组成平行四边形，求D点坐标以及的值. 16. 某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色和标号外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回地抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖．班委会讨论了以下两种规则： 规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖； 规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数,且不是5的倍数获三等奖，其余不获奖． （1）求两种规则下获得二等奖的概率； （2）请问哪种规则的获奖概率更大，并说明理由． 17. 已知正方体的棱长为，，分别为，的中点． （1）证明：平面． （2）求异面直线与所成角的大小． （3）求直线与平面所成角的余弦值． 18. 在中，角所对的边分别为，满足. （1）求的值； （2）当与边上的中线长均为2时，求的周长； （3）当内切圆半径为1时，求面积的最小值. 19. 已知函数的图象关于直线对称，其最小正周期为． （1）求的对称中心； （2）若函数在上恰有8个零点，求的最小值； （3）设函数，证明：有且只有一个零点，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $