精品解析：北京市第二中学分校2025-2026学年九年级上学期数学开学考试卷

北京二中教育集团2025-2026学年度第一学期 初三数学综合练习试卷 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 下列交通标志图中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于x的方程的一个根，则m的值是（） A. B. C. 3 D. 15 3. 在中，的对边分别是a，b，c，下列条件中，能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点，都在函数的图象上．若，则下列四个推断中不一定正确的是（ ）． A. 坐标原点不在此函数图象上 B. 点M在第二象限 C. D. 5. 学校“校园之声”广播站要选拔一名英语主持人，小莹参加选拔的各项成绩如下： 姓名 读 听 写 小蒙 92 80 90 若把读、听、写的成绩按的比例计入个人的总分，则小莹的个人总分为（ ） A. 86 B. 87 C. 88 D. 89 6. 在勾股定理的证明中，小云用与全等的三角形拼出了如图所示的弦图，若正方形的面积为16，正方形的面积为4，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点E、D、F分别在边上，且，，下列四个判断中，不正确的是（ ） A. 四边形是平行四边形 B. 如果平分，那么四边形是菱形 C. 如果，那么四边形是矩形 D. 如果且，那么四边形是正方形 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线，分别在x轴、y轴上，且相交于点O，，．直线与菱形的边分别交于点E，F（E，F不重合）．记线段的长为d，根据学习函数的经验，d可以看作是b的函数．给出下面三个结论：①当时，；②当d取最大值时，b的值一定为0；③函数d的图象是一个轴对称图形．上述结论中，所有正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 10. 在平面直角坐标系中，点A（-4，1）关于原点对称的点的坐标是_______． 11. 在平面直角坐标系中，直线经过第一、二、三象限，写出一个满足题意的的值___________． 12. 据国家统计局发布的《2024年国民经济和社会发展统计公报》显示，2021年和2023年全国居民人均可支配收入分别为万元和万元．设2021年至2023年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为___． 13. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为 _________________ ． 14. 关于的方程有两个相等的实数根，则的值是_________． 15. 如图，正比例函数与一次函数的图象交于点．下面四个结论：①；②；③不等式的解集是；④当时，．其中正确的有______．（填上正确的序号） 16. ，，三种原料每袋的重量（单位：）依次是，，，每袋的价格（单位：万元）依次是，，．现生产某种产品需要，，这三种原料的袋数依次为（均为正整数），则生产这种产品时需要的这三类原料的总重量（单位：）=_________（用含的代数式表示）；为了提升产品的品质，要求，当的值依次是_________时，这种产品的成本最低． 三、解答题（共68分，第17题4分，第18题8分，第19-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26-27题，每题7分，第28题6分） 17. 计算：． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求的取值范围． 20. 如图，在中，D，E分别是，的中点，连接，延长到点F，使得，连接交于点O．求证：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕点P逆时针方向旋转得到，点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为． （1）点P的坐标是 ；（填写正确的选项） A. B. C. （2）画出旋转后的，并写出的坐标是 ； （3）线段的延长线与线段交于点M，直接写出的度数. 22. 某学校要举办数学节，向全校学生征集数学节设计．如图，王博同学设计的矩形长，宽，为了使这个更美观，他要给添加一个边框，边框上、下、左、右的宽度相等，且添加边框后的整个图形的面积为，求边框的宽． 23. 在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 24. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长． 25. 4月23日是世界读书日，某校初一、初二两个年级的学生进行了“青春飞扬”读书演讲比赛．为了解比赛情况，现从两个年级各随机抽取了20名学生的比赛成绩，并对数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ．初二年级20名学生的分数数据如下： ．初一年级20名学生分数的频数分布直方图如下（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组）： ．样本数据的平均数、众数、方差如下： 平均数 众数 方差 初一年级 初二年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的值为______； （2）抽取的初一年级20名学生的中位数位于第_____组； （3）可以推断出______（填“初一”或“初二”）年级学生在本次比赛中发挥比较稳定； （4）初二年级共有学生600人，如果前120名学生将被推荐参加区级比赛，请你估计，成绩至少达到____分才能参加区级比赛． 26. 学习一次函数时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．请根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． （1）函数中自变量的取值范围是___________； （2）如表是与的几组对应值． ．．． 0 1 2 3 4 5 6 ．．． ．．． 4 2 1 2 3 4 ．．． 直接写出表格中的值是___________； （3）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； （4）结合函数图象，解决问题： ①方程有___________个解； ②当时，的取值范围是___________； （5）进一步研究：若点是函数图象上的任意两点，若对于，都有，则的取值范围是___________． 27. 已知E为正方形内部一点，且满足，连接，，． （1）如图1，若，求的大小； （2）如图2，连接，将线段绕点C顺时针旋转到线段，连接，射线交线段于点M． ①依照意补全图2； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点分别为，，，线段在矩形的外面．给出如下定义：将线段关于直线对称，得到线段，若线段不在矩形的外面，则称线段为矩形关于直线的对称线段，线段与线段中点间的距离为线段到矩形的对称距离． （1）如图，已知点，，，在线段，中，是矩形关于轴的对称线段的是______，该线段到矩形的对称距离为______； （2）过点作轴的垂线． ①已知点，，若存在，使线段MN是矩形关于直线的对称线段，则的取值范围是______； ②已知点，，若存在，使线段是矩形关于直线的对称线段，则线段到矩形的对称距离的取值范围是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京二中教育集团2025-2026学年度第一学期 初三数学综合练习试卷 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 下列交通标志图中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用中心对称图形的定义逐个分析选项即可. 【详解】中心对称图形：将图形绕某一点旋转180°后，与原来图形完全重合． A、不是中心对称图形； B、轴对称图形，不是中心对称图形； C、轴对称图形，中心对称图形； D、轴对称图形，不是中心对称图形； 故选C 【点睛】本题考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形特征是解答本题的关键. 2. 若是关于x的方程的一个根，则m的值是（） A. B. C. 3 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 直接把代入一元二次方程得到关于的方程，然后解一次方程即可． 【详解】解：把代入方程， 得 解得． 故选：C． 3. 在中，的对边分别是a，b，c，下列条件中，能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合三角形内角和为度以及勾股定理的逆定理进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵， ， ∴不是直角三角形，故A选项不符合题意； ∴不是直角三角形，故B选项不符合题意； ∵ 则 ∴不是直角三角形，故C选项不符合题意； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴是直角三角形，故D选项符合题意； 故选D 4. 在平面直角坐标系中，点，都在函数的图象上．若，则下列四个推断中不一定正确的是（ ）． A. 坐标原点不在此函数图象上 B. 点M在第二象限 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质及点与函数图象的关系，解题的关键是根据一次函数的表达式分析函数的性质以及点的坐标特征． 根据一次函数的性质，结合各选项逐一分析判断． 【详解】A、当时，，故坐标原点不在函数图象上，A正确； B、点的横坐标，纵坐标．当时，，点在第二象限；当时，，点在第三象限．由于中可能小于，故点的位置不一定在第二象限，B不一定正确； C、函数的，随增大而增大．由可知，C正确； D、当时，，故恒成立，D正确． 综上，不一定正确的是B． 故选：B． 5. 学校“校园之声”广播站要选拔一名英语主持人，小莹参加选拔的各项成绩如下： 姓名 读 听 写 小蒙 92 80 90 若把读、听、写的成绩按的比例计入个人的总分，则小莹的个人总分为（ ） A. 86 B. 87 C. 88 D. 89 【答案】C 【解析】 【分析】利用加权平均数按照比例进一步计算出个人总分即可． 【详解】解：小莹的个人总分， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了加权平均数的求取，熟练掌握相关公式是解题关键． 6. 在勾股定理的证明中，小云用与全等的三角形拼出了如图所示的弦图，若正方形的面积为16，正方形的面积为4，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质、二元一次方程组的应用等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设，根据正方形的性质得到，然后根据勾股定理列方程组求得a、b，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设， ∵正方形的面积为16，正方形的面积为4， ∴， 由题意可得：，解得：， ∴． 故选：C． 7. 如图，在中，点E、D、F分别在边上，且，，下列四个判断中，不正确的是（ ） A. 四边形是平行四边形 B. 如果平分，那么四边形是菱形 C. 如果，那么四边形是矩形 D. 如果且，那么四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形，逐项判断即可得出答案． 【详解】A．因为，，所以四边形是平行四边形．故A选项正确，不符合题意； B．如果，四边形是平行四边形，所以四边形是矩形．故B选项正确，不符合题意； C．因为平分，所以， ∵，， ∴， ∴，又因为四边形是平行四边形，所以是菱形．故C选项正确，不符合题意； D．∵且， ∴D为的中点． ∵，， ∴E为的中点，F为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形．故D选项错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知识点，熟练掌握判定定理是解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线，分别在x轴、y轴上，且相交于点O，，．直线与菱形的边分别交于点E，F（E，F不重合）．记线段的长为d，根据学习函数的经验，d可以看作是b的函数．给出下面三个结论：①当时，；②当d取最大值时，b的值一定为0；③函数d的图象是一个轴对称图形．上述结论中，所有正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，一次函数的应用等知识，学会数形结合的思想是解题的关键．由菱形的性质得出，，，当时，直线与菱形的交点E、F，画出图形结合图形可知，根据题意画出图2，证明四边形，，都是平行四边形，可得出，即可判断②，结合图2可得出③． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ①当时，直线与菱形的交点E、F如图1所示． 过点E作垂直y轴，垂足为M． 很显然，， ∵， ∴， ∴．故结论①错误． ②如图2所示，、、互相平行， ∵四边形是菱形， ∴， ∴四边形，，都是平行四边形， ∴， ∴当d取最大值时，b的值不一定为0．故结论②错误． ③结合图2可以看到，随着b从正往负的变化，会呈现出斜着向下平移的变化，在运动到的位置之前的长度(也就是d的大小)会从0逐渐增大，在到达的位置之后，的长度保持不变，直至到达的位置，然后的长度逐渐减小为0．整个变化过程具有对称性，因此函数d的图象也会是一个轴对称图形． 故结论③正确． 故选：B 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】x≥5 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】∵在实数范围内有意义， ∴x−5⩾0，解得x⩾5． 故答案为：x≥5 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数a⩾0，同时也考查了解一元一次不等式． 10. 在平面直角坐标系中，点A（-4，1）关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】（4，-1） 【解析】 【分析】由平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特点：横坐标与纵坐标都互为相反数． 【详解】解：由平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特点：横坐标与纵坐标都互为相反数，所以：点A（-4，1）关于坐标原点O对称点A′的坐标是（4，-1）． 故答案为：（4，-1）． 【点睛】本题考查解关于原点对称的点坐标问题，关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，会利用对称性求点的坐标． 11. 在平面直角坐标系中，直线经过第一、二、三象限，写出一个满足题意的的值___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质．根据一次函数的性质确定k的符号，然后找到一个满足条件的k的值即可． 【详解】解：∵直线经过第一、二、三象限， ∴， ∴满足条件的k的值可以是1， 故答案为：1（答案不唯一）． 12. 据国家统计局发布的《2024年国民经济和社会发展统计公报》显示，2021年和2023年全国居民人均可支配收入分别为万元和万元．设2021年至2023年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用2023年全国居民人均可支配收入2021年全国居民人均可支配收入（2021年至2023年全国居民人均可支配收入的年平均增长率），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 13. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为 _________________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用．连接，由勾股定理求出，即可得出的长． 【详解】解：如图，连接，则， 中，由勾股定理可得， ， 又∵， ∴， 故答案为：． 14. 关于的方程有两个相等的实数根，则的值是_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的情况，根据方程有两个相等的实数根时判别式为0即可求解． 直接根据一元二次方程根的判别式列出式子，求解即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：5． 15. 如图，正比例函数与一次函数的图象交于点．下面四个结论：①；②；③不等式的解集是；④当时，．其中正确的有______．（填上正确的序号） 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据正比例函数和一次函数的性质判断即可． 【详解】解：因为正比例函数经过二、四象限，所以，①正确； 一次函数经过一、二、三象限，所以，②错误； 由图象可得：不等式的解集是，③正确； 当时，，④错误； 故正确的有①③共2个， 故答案为：①③． 【点睛】此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断． 16. ，，三种原料每袋的重量（单位：）依次是，，，每袋的价格（单位：万元）依次是，，．现生产某种产品需要，，这三种原料的袋数依次为（均为正整数），则生产这种产品时需要的这三类原料的总重量（单位：）=_________（用含的代数式表示）；为了提升产品的品质，要求，当的值依次是_________时，这种产品的成本最低． 【答案】 ①. ②. 1，5，1 【解析】 【分析】根据重量等于单袋重量乘以袋数，列式计算即可；运用不等式的基本性质计算即可． 【详解】∵A，B，C三种原料每袋的重量（单位：kg）依次是1，2，3，需要A，B，C这三种原料的袋数依次为（均为正整数）， ∴， 故答案为：； 设总成本价为M元，根据题意，得， ∵均为正整数，， ∴， 当且仅当，时，成本最低，此时， 故， 故答案为：1，5，1． 【点睛】本题考查了不等式的应用，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 三、解答题（共68分，第17题4分，第18题8分，第19-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26-27题，每题7分，第28题6分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先计算除法和乘法，并化简二次根式，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法及解一元二次方程-配方法． （1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴， 解得，． 19. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：关于x的一元二次方程， ∵ ∴此方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证； （2）根据公式法求得方程的解，得出，，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ 解得， ∵方程有一个根小于1 ∴， 解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 20. 如图，在中，D，E分别是，的中点，连接，延长到点F，使得，连接交于点O．求证：． 【答案】 证明：连接，， D，E分别是，的中点， 且， ， 且， 四边形是平行四边形， ． 【解析】 【分析】本题考查了中位线定理，平行四边形的性质与判定，掌握中位线定理，平行四边形的性质与判定是解本题的关键． 首先连接，，由中位线定理得到，，再由题干，可证得四边形是平行四边形，即可得证． 【详解】略 21. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕点P逆时针方向旋转得到，点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为． （1）点P的坐标是 ；（填写正确的选项） A. B. C. （2）画出旋转后的，并写出的坐标是 ； （3）线段的延长线与线段交于点M，直接写出的度数. 【答案】（1）A （2）如图，即为所求作，点坐标为， （3） 【解析】 【分析】此题考查了坐标与图形-旋转变换，旋转的性质，寻找旋转中心，全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，画出图形，结合有关性质正确求解． （1）线段，的垂直平分线的交点P即为所求； （2）根据要求作出图形，根据图形可得坐标； （3）根据旋转的性质，即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图，旋转中心P的坐标为， 故选：A． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由旋转的性质可得，，， ∴ ∴，又， ∴， 则． 22. 某学校要举办数学节，向全校学生征集数学节设计．如图，王博同学设计的矩形长，宽，为了使这个更美观，他要给添加一个边框，边框上、下、左、右的宽度相等，且添加边框后的整个图形的面积为，求边框的宽． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设边框的宽为，根据添加边框后的整个图形的面积为建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设边框的宽为， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：边框的宽为． 23. 在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）且． 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析，平移的性质是关键． （1）根据平移得到，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据一次函数图象的性质求解即可． 【小问1详解】 解：函数的图象是由函数的图象平移得到， ∴， ∵函数经过点， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：函数中，当时，，当时，， 函数的图象如下， 对于，当时，时，的值小于， 对于， ∵的值越大，越靠近轴，若的值大于， ∴， ∴，且， 综上所述，，且． 24. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长． 【答案】 (1)证明:∵四边形ABCD为菱形， ∴点O为BD的中点， ∵点E为AD中点， ∴OE为△ABD的中位线， ∴OE∥FG， ∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形 ∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形． (2)OE=5，BG=2. 【解析】 【分析】(1)先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形； (2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE=AB=AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2． 【详解】解：(1)略 (2)∵点E为AD的中点，AD=10， ∴AE= ∵∠EFA=90°，EF=4， ∴在Rt△AEF中，． ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=AD=10， ∴OE=AB=5， ∵四边形OEFG为矩形， ∴FG=OE=5， ∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2． 故答案为：OE=5，BG=2． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型，需要重点掌握． 25. 4月23日是世界读书日，某校初一、初二两个年级的学生进行了“青春飞扬”读书演讲比赛．为了解比赛情况，现从两个年级各随机抽取了20名学生的比赛成绩，并对数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ．初二年级20名学生的分数数据如下： ．初一年级20名学生分数的频数分布直方图如下（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组）： ．样本数据的平均数、众数、方差如下： 平均数 众数 方差 初一年级 初二年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的值为______； （2）抽取的初一年级20名学生的中位数位于第_____组； （3）可以推断出______（填“初一”或“初二”）年级学生在本次比赛中发挥比较稳定； （4）初二年级共有学生600人，如果前120名学生将被推荐参加区级比赛，请你估计，成绩至少达到____分才能参加区级比赛． 【答案】（1） （2） （3）初二 （4） 【解析】 【分析】本题考查了数据统计，众数，中位数，方差的意义，样本估计总体，掌握以上知识是解题的关键； （1）根据众数的定义求得的值； （2）根据中位数的定义，结合频数分布直方图，即可求解； （3）根据方差的意义，比较两个年级成绩的方差，即可求解； （4）根据题意，成绩考前的能参加比赛，找到初二年级前的最低分，即可求解． 【小问1详解】 解：根据表格可得初二年级学生分数中，出现次数最多，则， 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据初一年级20名学生分数的频数分布直方图可得第和第个数据在第4组， 故答案为：． 【小问3详解】 解：初二成绩的方差小于初一成绩的方差， ∴初二年级学生在本次比赛中发挥比较稳定； 故答案为：初二． 【小问4详解】 解：， 初二年级成绩从大到小排列为：，，，，，…… 第个数据为 ∴估计成绩至少达到分才能参加区级比赛 故答案为：． 26. 学习一次函数时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．请根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． （1）函数中自变量的取值范围是___________； （2）如表是与的几组对应值． ．．． 0 1 2 3 4 5 6 ．．． ．．． 4 2 1 2 3 4 ．．． 直接写出表格中的值是___________； （3）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； （4）结合函数图象，解决问题： ①方程有___________个解； ②当时，的取值范围是___________； （5）进一步研究：若点是函数图象上的任意两点，若对于，都有，则的取值范围是___________． 【答案】（1）一切实数 （2） （3） 函数的图象如图所示： （4）2； （5） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）根据二次根式有意义条件得，求解即可； （2）把代入中，求出值即为值； （3）用描点法作出函数图象即可； （4）①根据函数的图象与直线有两个交点，可得方程有2个解，； ②根据函数图象可得，当时，y的取值范围是； （5）由题意，结合（2）可得，分析函数的性质，得到在左侧，在右侧，的中点一定在对称轴直线的右侧，从而可求出的范围． 【小问1详解】 解：由二次根式有意义条件，得， 解得：为一切实数， ∴函数中自变量的取值范围是一切实数． 故答案为：一切实数； 【小问2详解】 解：把代入中得：， ∴， 故答案为：． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图， ∵函数的图象与直线有两个交点， ∴方程有2个解， 故答案为：； 由图可得：当时，， 当时，， 当时，， ∴根据函数图象可得，当时，y的取值范围是． 故答案为：2；； 【小问5详解】 解：对于函数的图象的对称轴是直线，当时，随的增大而减小，而时，随的增大而增大；函数图象上的点离对称轴直线越近，函数值越小． ∵对于，都有， ∴，在左侧，在右侧，的中点一定在对称轴直线的右侧， ∴恒成立， ∴． 故答案为：． 27. 已知E为正方形内部一点，且满足，连接，，． （1）如图1，若，求的大小； （2）如图2，连接，将线段绕点C顺时针旋转到线段，连接，射线交线段于点M． ①依照意补全图2； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） ①依题意补全图2，如图， ②，证明如下： 连接，，过点B作，交的延长线于点G，如图， ∵四边形为正方形， ∴，，． ∵将线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∵，， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质和等边三角形的判定与性质得到，利用等腰三角形的性质定理和三角形的内角和定理求得，结论可求； （2）①依据题意画图即可； ②连接，，过点B作，交的延长线于点G，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质得到，，利用（1）的方法求得，利用正方形的性质，三角形的内角和定理和等式的性质得到，利用等腰三角形的判定定理得到，最后利用全等三角形的判定与性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点分别为，，，线段在矩形的外面．给出如下定义：将线段关于直线对称，得到线段，若线段不在矩形的外面，则称线段为矩形关于直线的对称线段，线段与线段中点间的距离为线段到矩形的对称距离． （1）如图，已知点，，，在线段，中，是矩形关于轴的对称线段的是______，该线段到矩形的对称距离为______； （2）过点作轴的垂线． ①已知点，，若存在，使线段MN是矩形关于直线的对称线段，则的取值范围是______； ②已知点，，若存在，使线段是矩形关于直线的对称线段，则线段到矩形的对称距离的取值范围是______． 【答案】（1），； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）分别写出，，，关于轴对称的坐标，即可得出答案，然后再写出相应的中点坐标，求出其距离即可； （2）①过点作轴的垂线，那么该直线为，然后写出点，关于直线的对称点为，，据题意可知，点，，在矩形的外面，，在矩形的内部，那么有，那么有，然后分成和讨论即可得出答案；②点，关于直线的对称点为，，根据题意可知，点，在矩形的外面，，，在矩形的内部，那么有，那么有，然后分成和分别讨论出的范围，进而得到的范围． 【小问1详解】 解：由题意可知，，，关于轴对称的坐标分别为，，在矩形的内部，，关于轴对称的坐标分别为，，不在矩形的内部， 那么矩形关于轴的对称线段的是，如图所示： 那么、的中点为，，即、， 那么、之间的距离为，该线段到矩形的对称距离为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①过点作轴的垂线，那么该直线为， 点，关于直线的对称点为，， 根据题意可知，点，，在矩形的外面， ，在矩形的内部， 那么有，那么有， 那么当时，点为，， ，，为保证，在矩形的内部，如图所示： 那么需要满足，即， 那么当时，点为，， ，，为保证，在矩形的内部，如图所示： 那么需要满足，即， 综上，； 故答案为：； ②过点作轴的垂线，那么该直线为， 点，关于直线的对称点为，， 根据题意可知，点，在矩形的外面，，，在矩形的内部， 那么有，那么有， 那么当时，点为，，，，为保证，在矩形的内部，如图所示： 那么需要满足，即， 此时，点为，的中点为，，的中点为，则线段到矩形的对称距离为，那么； 那么当时，点为，，，，为保证，在矩形的内部，如图所示： 那么需要满足，即， 此时，点为，的中点为，，的中点为，则线段到矩形的对称距离为，那么； 综上，； 则线段到矩形的对称距离的取值范围是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了“对称线段”，“对称距离”，两点距离公式，两点的中点公式，轴对称的性质，理解“对称线段”和“对称距离”，画出图形数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $