第21章 一元二次方程单元测试•基础测试卷-2025-2026学年人教版九年级数学上册考点精讲与题型精练

第21章 一元二次方程（单元测试•基础测试卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．做填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题的关键：含有一个未知数且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义进行求解即可． 【详解】解：A、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程； B、方程整理可得，未知数的次数不是2，不是一元二次方程； C、方程是一元二次方程，符合题意； D、方程不是整式方程，不是一元二次方程． 故选：C． 2．一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的根的情况，掌握根的判别式，利用判断根的情况是解题的关键； 当，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当，方程无实数根，计算得出即可． 【详解】解：，，， ， ∴原方程无实数根． 故选：C． 3．下列一元二次方程中，根是的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式， 根据一元二次方程的求根公式计算判断即可．一元二次方程，当时，． 【详解】因为一元二次方程的根是，所以A符合题意； 因为一元二次方程的根是，所以B不符合题意； 因为一元二次方程的根是，所以C不符合题意； 因为一元二次方程的根是，所以D不符合题意． 故选：A． 4．把方程化成的形式，则（   ） A．17 B．14 C．11 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．将常数项移到方程的两边，两边都加上一次项系数的一半的平方配成完全平方公式后即可得出答案． 【详解】解： ∴ ∴ ∴ ， 故选A． 5．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与根的判别式的关系．根据题意得出且，即且，求解即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 即且， ∴且． 故选：B． 6．若方程中，a，b，c满足和，则方程的根是（    ） A．0，4 B．0， C．，4 D．1，4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键． 根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵把代入得：， ∴方程的一个解是， ∵把代入得：， ∴方程的一个解是． 故选：C． 7．若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系可以得到，，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， ∴ ， 故选：B． 8．已知是一元二次方程（）一个根，则一次函数的图象必过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，一次函数的定义，根据题意得当时，，即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程（）一个根， ∴ ∴ ∴一次函数的图象必过定点 故选：B． 9．如图是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（　　） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中… 开启新对话 给发送消息 88深度思考（）联网搜索+ A．1 B． C． D．1或 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设这个数为x，根据先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设这个数为x， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 这个数为1， 故选A． 10．关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，则方程的解是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查换元法求一元二次方程的解，令，对于关于的一元二次方程的解为，，则或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：∵方程（m，h，k均为常数，）的解是，， 令， ∴对于关于的一元二次方程的解为，， 即或， 即，， ∴关于的一元二次方程的解是，． 故选：C． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，灵活运用一元二次方程的解法是关键．运用一元二次方程的解法求解即可． 【详解】解： 或， 解得，， 故答案为：，． 12．把一元二次方程化成一般形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且），在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据题意将一元二次方程化为一般形式即可． 【详解】解： 一元二次方程化成一般形式是， 故答案为：． 13．已知关于x的一元二次方程的一个根，且，则此方程的另一个根 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用根的判别式判断一元二次方程根的情况； 根据判别式等于0，可知一元二次方程有两个相等的实数根，从而求得答案. 【详解】解：∵一元二次方程满足， ∴一元二次方程有两个相等的实数根. ∴. 故答案为：． 14．已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的意义，求代数式的值等内容，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解的意义． 利用一元二次方程的解的意义得出，然后代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴ ， 故答案为：2025． 15．若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义， 根据定义可知，且，求出解即可． 【详解】∵是一元二次方程， ∴，且， 解得或，且， ∴． 故答案为：3． 16．小影与小冬一起写作业，在解一道二次项系数为1的一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．原来的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，即可求解． 【详解】解：根据题意设一元二次方程为：， ∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1； ∴，即， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是． ∴， 原来的方程是， 故答案为： 17．某学校有一矩形空地，长，宽，计划在这块空地上划出如图所示宽度（单位：m）相等的形区域建成花圃．已知花圃的面积为，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解决问题的关键． 由列出方程，解方程即可求出． 【详解】解：由题意，得， 即， 解得，． ， ， 不符合题意，舍去． 故答案为：． 18．若实数，满足，，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数的关系，将变形为，结合，可知实数，可以看作方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系求解，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， ， 实数，可以看作方程的两个根， ； 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分。 19．解方程： (1)； (2)； 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）先化为一元二次方程的一般形式，再利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 或， ，． （2）， 移项，得， 这里，，，． ． ，． 20．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了解分式方程、因式分解，解题的关键是掌握相关运算法则． （1）根据解分式方程的步骤求解即可． （2）根据因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， 方程变形为：， 去分母得：， 去括号得：， 化简得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解． （2）解：， 方程变形为：， 移项得：， 因式分解：， 则或， 解得：． 21．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m 的取值范围； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据根与系数的关系得到，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得，，再由得到，解得，，然后利用（1）中m的取值范围确定m的值． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得m， 所以m的取值范围为； （2）解：根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得，， ∵， ∴m的值为2． 22．先阅读例题，再解答问题： 例：解方程． 解：当时，，解得（不合题意，舍去），； 当时，．解得（不合题意，舍去），． 综上所述，原方程的解为或． 依照上例解法解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查了解含有绝对值符号的一元二次方程，根据绝对值的性质，可化简方程，根据因式分解法解方程，可得答案． 【详解】解：当时，， ∴， 解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）； 当时，， ∴， 解得，． 综上所述，原方程的解为或． 23．（过程纠错改错）下面是小君同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：二次项系数化为，得，第一步 配方，得，……第二步 变形，得，……………… 第三步 开方，得，………………… 第四步 解得，．…………… 第五步 (1)上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是___________； (2)上面小君同学的解题过程中，从第___________步开始出现错误，写出正确的解答过程． 【答案】(1)完全平方公式 (2)二，过程见解析 【分析】本题考查配方法解一元二次方程， （1）根据解答过程得出依据即可； （2）根据配方法判断即可； 掌握利用配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是完全平方公式； 故答案为：完全平方公式； （2）上面小君同学的解题过程中，从第二步开始出现错误，写出正确的解答过程如下： 正确过程如下： ， 解：移项，得：， 二次项系数化为，得：， 配方，得：， 变形，得：， 开方，得∶， 解得∶，． 24．已知关于的一元二次方程，如果满足，我们就称这个一元二次方程为“和谐方程”． (1)判断方程是否为“和谐方程”，并说明理由． (2)已知关于的“和谐方程”的一个根是，求这个方程的另一个根． 【答案】(1)是和谐方程，理由见解析 (2) 【分析】（1），先明确方程中、、的值，再将其代入计算，根据结果判断是否为和谐方程． （2）先把已知根代入方程得到一个等式，再结合和谐方程的条件得到另一个等式，联立求解出、的值，进而得到方程，最后求解方程得到另一个根． 本题主要考查了新定义下一元二次方程的相关知识，熟练掌握方程的解的定义以及解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：是和谐方程 理由：∵， ， 故此方程为和谐方程． （2）解：将代入方程，得① ∵方程为和谐方程， ∴， 由①②得， ∴这个和谐方程为， 解得， ∴这个方程的另一个根为 25．“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2014年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子_______________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 【答案】(1) (2)①；②6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式．根据题意正确的列等式方程是解题的关键． （1）设从假期第一天到第三天的平均日增长率为，依题意得，计算求出满足要求的解即可； （2）①由题意知，每天可售出扇子把，然后作答即可； ②依题意得，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：设从假期第一天到第三天的平均日增长率为， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴从假期第一天到第三天的平均日增长率为； （2）①解：由题意知，每天可售出扇子把， 故答案为：； ②解：依题意得，， 整理得，， 解得，或， ∵想尽可能地减少库存， ∴每把扇子应降价6元． 26．如图，在中，，，．点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，如果点，分别从点，同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动，设运动的时间为． (1)当t为何值时，的面积是面积的？ (2)当为何值时，的长为？ 【答案】(1)当为1时，的面积是面积的 (2)为或2时，的长度等于 【分析】本题是与三角形有关的动点问题，考查了勾股定理，一元二次方程，由题意得一元二次方程是关键． （1）由题意可求得、的长，从而可得关于t的一元二次方程，解方程即可； （2）根据勾股定理即可得到关于t的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意知，， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵的面积是面积的， ∴， ∴， 解得，（舍去）． ∴当为1时，的面积是面积的； （2）解：设秒后，的长度等于， 根据勾股定理，得，即， 整理得，， 解得，． ∴当为或2时，的长度等于． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 一元二次方程（单元测试•基础测试卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．做填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 3．下列一元二次方程中，根是的方程是（    ） A． B． C． D． 4．把方程化成的形式，则（   ） A．17 B．14 C．11 D．7 5．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 6．若方程中，a，b，c满足和，则方程的根是（    ） A．0，4 B．0， C．，4 D．1，4 7．若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．已知是一元二次方程（）一个根，则一次函数的图象必过定点（   ） A． B． C． D． 9．如图是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（　　） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中… 开启新对话 给发送消息 88深度思考（）联网搜索+ A．1 B． C． D．1或 10．关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，则方程的解是（  ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．方程的解是 ． 12．把一元二次方程化成一般形式是 ． 13．已知关于x的一元二次方程的一个根，且，则此方程的另一个根 ． 14．已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 15．若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 16．小影与小冬一起写作业，在解一道二次项系数为1的一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．原来的方程是 ． 17．某学校有一矩形空地，长，宽，计划在这块空地上划出如图所示宽度（单位：m）相等的形区域建成花圃．已知花圃的面积为，则的值为 ． 18．若实数，满足，，，且，则 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分。 19．解方程： (1)； (2)； 20．解方程 (1) (2) 21．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m 的取值范围； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 22．先阅读例题，再解答问题： 例：解方程． 解：当时，，解得（不合题意，舍去），； 当时，．解得（不合题意，舍去），． 综上所述，原方程的解为或． 依照上例解法解方程：． 23．（过程纠错改错）下面是小君同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：二次项系数化为，得，第一步 配方，得，……第二步 变形，得，……………… 第三步 开方，得，………………… 第四步 解得，．…………… 第五步 (1)上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是___________； (2)上面小君同学的解题过程中，从第___________步开始出现错误，写出正确的解答过程． 24．已知关于的一元二次方程，如果满足，我们就称这个一元二次方程为“和谐方程”． (1)判断方程是否为“和谐方程”，并说明理由． (2)已知关于的“和谐方程”的一个根是，求这个方程的另一个根． 25．“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2014年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子_______________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 26．如图，在中，，，．点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，如果点，分别从点，同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动，设运动的时间为． (1)当t为何值时，的面积是面积的？ (2)当为何值时，的长为？ 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $第21章一元二次方程（单元测试·基础测试卷） 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ▣===。====================== 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 考生禁填： 缺考标记 ▣ 证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：填空题和解答题 以上标记由监考人员用2B铅 必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔 笔填涂 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 选择题填涂样例： 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【][/] 一、选泽题：本题共10小题，每小题3分， 共30分。在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1[A]B][CD] 5 [A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A]B][CD] 6[A]B][CD] 10 [A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4 [A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 12 13 15 6 17 18 三、解答题：本题共8小题，共6分。解答应写出文字说明、证明过程 或演算步聚。 19.(8分) 请在各题目的答题第域愿作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 21.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 单)打 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(8分) 23.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 笔3页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第4页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第5页一 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(10分) Q A->P 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！