精品解析：山西省太原市部分学校2025-2026学年高三上学期9月质量检测数学试题

2025～2026学年高三9月质量检测卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数及其导数（70%），其他（30%）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求集合，利用交集定义即可得解. 【详解】因为，， 由交集定义可得，. 故选：A. 2. 已知命题：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由全称命题的否定是把任意改为存在，并否定原结论，即可得. 【详解】由全称命题的否定为特称命题，即把任意改为存在，并否定原结论， 所以是，. 故选：C 3. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘除法，即可求得答案. 【详解】由，得，所以. 故选：D. 4. 已知，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分条件，必要条件结合指数幂的性质判断即可. 【详解】取时，满足， 但是，即此时， 故充分性不成立， 取时，满足，此时， 故必要性不成立， 所以“”是“”既不充分也不必要条件， 故选：D. 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用对数函数的定义域得到，再结合复合函数的性质求解单调区间即可. 【详解】由，解得， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 由对数函数性质得在上单调递增， 则的单调递增区间是，故A正确. 故选：A. 6. 已知向量，，，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先结合给定条件表示出，再结合题意建立不等式，求解取值范围即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以， 则，因为，所以， 即，解得，故B正确. 故选：B. 7. 已知正四棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据体积公式，可求得正四棱台的高，作图可得，是与平面所成的角，分别求得各个边长，即可求得答案. 【详解】设棱台的高为，则，解得， 连接，交于点O，过作，垂足为，连接，， 由正四棱台性质可得，且平面，即， 所以是与平面所成的角. 因为在正四棱台中，，，则，， 所以，则， 所以在中，， 所以在中，. 故选：A. 8. 已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的对称性易得和的图象都关于直线对称，从而根据对称性求解两个图象所有交点横坐标的和. 【详解】由知的图象关于直线对称， 又的图象也关于直线对称， 所以函数与的图象有6个交点，分3对分别关于直线对称， 每对交点的横坐标之和为4，所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知a，b，c都是实数，下列命题是真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用零指数幂的定义计算求解判断选项A，根据对数的运算法则计算判断选项B，根据指数函数性质结合特殊值验证判断选项C，利用不等式性质，两边同时乘以负数时，不等号方向改变判断选项D. 【详解】若，时，则，故A错误； 若，时，，故B正确； 若，当时，，但，命题不成立，故C错误； 当时，，又，所以，故D正确. 故选：BD. 10. 已知函数是幂函数，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数为幂函数可求出m的值，即可判断AB；结合函数的奇偶性判断C；根据函数解析式可判断D. 【详解】由是幂函数知，所以或-2， 所以或，所以，，AB正确； 当时，，是奇函数，C错误； 对于，当时，， 对于，当时，不成立，故当时，，D正确 故选：ABD. 11. 已知抛物线：的焦点为，点在圆：上，则（ ） A. 的焦点为 B. 圆M与的准线相交 C. 圆M上到x轴距离为3的点有4个 D. 存在与圆M和抛物线都相切的直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意求得，求得焦点坐标判断A；求得圆心到准线的距离可判断B；求得圆心到轴的距离为，根据与的范围可判断C；假设存在直线：是圆与的公切线，可得，将代入可判断D. 【详解】由点在圆：上，得， 又，所以，的焦点为，即，故A正确； 圆的方程化为，圆的半径，圆心， 圆心到的准线的距离，圆与的准线不相交，故B错误； 圆心到轴的距离为，则，， 所以圆上到轴距离为3的点有4个，故C正确； 假设存在直线：是圆与的公切线， 由，消去得， 由直线与相切得，所以， 由圆与直线相切得，所以， 当，满足上式，直线与圆和都相切，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等比数列中，若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式直接求解. 【详解】设等比数列的公比为，由题得，， 所以，解得. 所以. 故答案为：. 13. 已知函数，则的值域为_________. 【答案】 【解析】 【分析】令，求得，结合基本不等式，求得，进而求得函数的值域，得到答案. 【详解】由函数，可得且，解得， 又由，则，可得， 因为，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以，可得， 所以函数的值域是. 故答案为：. 14. 设函数，若，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据导数判断函数单调性，结合函数单调性确定函数值域情况，进而可得参数范围. 【详解】由，可知， 则当时，恒成立，在上单调递减，且的值域为，不满足，不成立； 当时，由得， 由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，由得， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）写出的单调区间； （2）解不等式. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为； （2）. 【解析】 【分析】（1）分段去绝对值符号，再结合二次函数单调性求出单调区间. （2）分段求解一元二次不等式即可. 【小问1详解】 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，，在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 当时，，由，得，则； 当时，，由，得无实数解， 所以不等式的解集为. 16. 已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是奇函数. （1）求的最小值； （2）当最小时，求函数取得最大值时，的取值集合. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平移及函数的奇偶性即可得参数的取值，从而可得最小值； （2）利用三角函数恒等变形，结合余弦函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由，向左平移个单位长度可得： ， 因为是奇函数，所以，， 所以，， 因为，所以当时，取到最小值为. 【小问2详解】 由（1）知， ， 所以时，取得最大值， 此时，由，得. 所以的取值集合为. 17. 已知函数的图象过点和点． （1）求实数的值； （2）写出的定义域，并求的值域． 【答案】（1） （2）的定义域为；值域为. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组求解即可； （2）根据法则求出定义域，利用基本不等式求值域. 【小问1详解】 由，得，，， 上两式联立，解得，. 【小问2详解】 由（1）知，故，得， 所以的定义域为； ，时，， 因为，当且仅当时取等号， 所以，即， 所以的值域为. 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数求出切点处的斜率，再利用点斜式方程即可求解； （2）分析的导数即可求解的单调区间； （3）分、、三种情况讨论，其中、采用分离变量法，分别求出a的取值范围后合并即可． 【小问1详解】 因为的定义域为，， 所以，又，所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 令， 则对成立， 所以在上单调递减，由知，时，；时，，所以在上单调递增，在上单调递减． 【小问3详解】 由得，， 当时，不等式成立， 当时，，当时，， 令，则，， 当或时，； 当或时，， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和， 所以当时，， 当时，， 所以，所以的取值范围是． 19. 已知函数，. （1）若的图象关于原点对称，求s，t（用a表示）； （2）讨论的极值，有极值时，求的极值（用a表示）； （3）若，求有3个零点的概率. 【答案】（1），； （2）当时，的极大值为，极小值为；当时，没有极值；当时，的极大值为，极小值为. （3）. 【解析】 【分析】（1）求出函数，再利用整式函数为奇函数列式求解. （2）求出函数的导数，再分类讨论求出其极值. （3）由（2）的单调性及极值，结合零点存在性定理及古典概率公式求解. 【小问1详解】 依题意， ， 由的图象关于原点对称，得是奇函数，因此， 所以，. 【小问2详解】 函数定义域为R，， 当时，由，得或，由，得； 当时，恒成立； 当时，由，得或，由，得. 所以当时，在上递增，在上递减， 函数的极大值为，极小值为； 当时，在上单调递增，没有极值； 当时，在上递增，在上递减， 的极大值为，极小值为. 【小问3详解】 由（2）知，当时，，要使有3个零点，有，即， 符合； 当时，在上单调递增，至多有1个零点； 当时，，要使有3个零点，有，即，符合， 则当时，没有3个零点， 当时，，，，，， 则在上有1个零点，在上有1个零点，在上有1个零点，即有3个零点； 当时，，，，， ， 则在上有1个零点，在上有1个零点，在上有1个零点，即有3个零点， 所以当时，有3个零点的概率是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年高三9月质量检测卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数及其导数（70%），其他（30%）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正四棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知a，b，c都是实数，下列命题是真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 已知函数是幂函数，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 当时， 11. 已知抛物线：的焦点为，点在圆：上，则（ ） A. 的焦点为 B. 圆M与的准线相交 C. 圆M上到x轴距离为3的点有4个 D. 存在与圆M和抛物线都相切的直线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等比数列中，若，则_________. 13. 已知函数，则的值域为_________. 14. 设函数，若，则实数的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）写出的单调区间； （2）解不等式. 16. 已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是奇函数. （1）求的最小值； （2）当最小时，求函数取得最大值时，的取值集合. 17. 已知函数的图象过点和点． （1）求实数的值； （2）写出的定义域，并求的值域． 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若，求实数的取值范围． 19. 已知函数，. （1）若的图象关于原点对称，求s，t（用a表示）； （2）讨论的极值，有极值时，求的极值（用a表示）； （3）若，求有3个零点的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $