精品解析：河南省南阳市第一中学校2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

南阳一中2025年秋期高三年级开学考试 数学试题 一、单选题 1. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出． 【详解】因为，所以，即． 故选：A． 2. 已知A，B为实数，则“”是“为双曲线方程”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线方程的特点分焦点在轴或轴两种情况进行讨论分析，可得到正确答案. 【详解】当表示双曲线时，均不为0. 若双曲线的焦点在轴上，则其标准方程为：，此时，,所以,所以 若双曲线的焦点在轴上，则其标准方程为：，此时，,所以,所以 当时，若则表示焦点在轴上的双曲线， 若则表示焦点在轴上的双曲线. 所以“”是“为双曲线方程”的充要条件． 故选：C. 3. 已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合二次函数知识及题意画出图形，数形结合可得答案． 【详解】结合题意：函数 所以图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为， 所以，易知：， 由图可知,要使函数的定义域是，值域为， 则的取值范围是， 故选：B. 4. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数单调性的判断方法，结合二次函数单调性和定义域，列出不等式求解即可. 【详解】根据复合函数的单调性，要满足题意，则在单调递减，且在恒成立； 故可得：，解得，故的取值范围为. 故选：A. 5. 已知定义在R上的函数，在上单调递减，且对任意的，总有，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意利用二次函数的单调性求的取值范围．要使对任意的，都有，只要成立即可，进而列出不等式即可求出结果． 【详解】二次函数的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又已知在上单调递减， 所以，可得. 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，由对称性可知， 所以当时，取得最大值，即最大值为， 在当时取得最小值，即最小值为， 要使对任意的，都有，只要成立即可， 所以，解得， 又，所以的取值范围，即. 故选：A. 6. 设正实数、、满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 7. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则在区间内的所有零点之和为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，且的周期为，因为时，，所以，故，，进而可知函数在区间内的所有零点之和. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以； 因为，所以的周期且， 所以， 因为当时，，所以，所以， 所以， 故在区间内的零点为，其零点之和为， 故选：A. 8. 已知函数，函数有三个不同的零点，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出的图象，根据有三个不同的零点，转化为有三个根，求出，，关系，构造函数求出函数的导数，利用导数研究取值范围即可． 【详解】作出函数的图象如图， 不妨设，则有三个不同的根，则， 当时，，得，则， 当时，，，则， 设（），则， 所以在上单调递增， 所以，即的取值范围是. 故选：C． 二、多选题 9. 若，， 且，则（ ） A. B. C. D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，消去选项中的b，构造关于a的函数，分析函数的性质，判断正误. 【详解】对于A，因为在单调递减，在单调递增，所以，选项A正确； 对于B，因为，所以有，于是，当且仅当时，等号成立，选项B正确； 对于C，，设，所以在单调递减，在单调递增， 所以，选项C错误； 对于D，设，所以，所以，选项D正确. 【点睛】因为，，，所以注意构造的函数中. 10. （多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（    ） A. 若，则M为的重心 B. 若M为的内心，则 C. 若，，M为的外心，则 D. 若M为的垂心，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，，作出辅助线，得到，，三点共线，同理可得为的重心；B选项，设内切圆半径为，将面积公式代入得到；C选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D选项，得到，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设，，，表示出，，，结合三角函数得到，进而求出余弦值. 【详解】对A选项，因为，所以， 取的中点，则，所以， 故，，三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线， 所以为的重心，A正确； 对B选项，若为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； 对C选项，若，，为的外心，则， 设的外接圆半径为，故，， ， 故，，， 所以，C错误； 对D选项，若为的垂心，， 则， 如图，，，，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， ，则，D正确； 故选：ABD. 11. 已知函数为定义在R上的奇函数，又函数，且与的函数图象恰好有2026个不同的交点，，…，，则下列叙述中正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于点对称 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，先判断函数与函数的图象有相同的对称中心，再依次判断各个选项即可. 【详解】选项A:函数为定义在R上的奇函数，则有，即，又，所以函数的图象关于点中心对称，无法判断是否关于点对称，所以选项A错误； 方法二：函数为定义在R上的奇函数，则函数的图象关于坐标原点对称.函数的图象可由函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，因此函数的图象关于点对称.无法判断是否关于点对称，所以选项A错误； 选项B:函数，因此函数的图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到.因为反比例函数的图象关于坐标原点对称，所以函数的图象关于点对称，所以选项B正确； 选项C、D:函数与函数的图象都关于点对称，且函数的图象不过点，所以它们的所有交点关于点对称，不妨设，则有，， 所以，，所以C选项正确；D选项错误． 故选：BC. 三、填空题 12. 写出一个同时满足①②的复数___________.①；②. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，设，结合条件，列出方程，求解即可. 【详解】因为，不妨设，则， 解得，即符合. 故答案为: 或 13. 如图，圆是边长为的等边三角形的内切圆，其与边相切于点，点为圆上任意一点，，则的最大值为________ 【答案】2 【解析】 【分析】以点为原点，所在直线为轴，垂直于方向为轴建立坐标系，设，则可用表示，利用辅助角公式即可求其取值范围. 【详解】因为圆是等边三角形的内切圆且与边相切于点，所以是边上的中点， 以点为原点，所在直线为轴，垂直于方向为轴建立如图所示坐标系， 设内切圆半径为，因为等边三角形的边长为， 所以由三角形面积公式解得， 故可设，且， 所以，，， 由可得， 解得， 所以，所以最大值为2， 故答案为：2 14. 已知定义在R上的函数满足，且关于点对称，当时，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由题，推导出函数是周期为4的周期函数，计算出的值，结合函数的周期性以及并项求和法可求得所求代数式的值. 【详解】因为，令，则， 所以函数的图象关于直线对称，则， 因为函数的图象关于点对称，设，则， 即，即， 令，则，故函数为奇函数， 所以，则， 故函数是周期为4的周期函数，则， 当时，，则，可得， 即当时，， 所以，，，， 所以 . 故答案为：. 四、解答题 15. 实数满足. （1）求实数的取值范围； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，根据不等式的性质计算可得； （2）求出，再利用不等式的性质得解. 【小问1详解】 ， 由，，则， 所以，即， 故实数的取值范围为． 【小问2详解】 设， 则，解得， ∴， ∵，． ∴，， ∴， 即的取值范围为． 16. 已知，． （1）分别求P和Q； （2）若，且，求m． 【答案】（1），． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据指数和对数运算法则计算即得； （2）利用指数式与对数式的互化，结合换底公式计算可得. 【小问1详解】 易知， ． 【小问2详解】 因为，所以，， 由换底公式得，，则， 则， 解得． 17. 已知函数（且）. （1）若在区间上的最大值与最小值之差为1，求的值； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）或 （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由对数函数的单调性得到，求解即可； （2）讨论，，结合函数单调性构造不等式求解即可. 【小问1详解】 因为在上为单调函数，且在上的最大值与最小值之差为1， 所以， 解得或. 【小问2详解】 当时，是上的减函数， 所以，即， 故原不等式的解集为； 当时，是上的增函数， 所以，即， 故原不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 18. 如图，是单位圆上的相异两定点（Q为圆心），且（为锐角）．点C为单位圆上的动点，线段交线段于点M． （1）求（结果用表示）； （2）若． ①求的取值范围： ②设，记，求函数的值域． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的线性运算结合二倍角公式化简即可. （2）①结合给定条件，将目标式表示为三角函数，结合有界性求解即可. ②利用给定条件将目标式表示为一元函数，结合换元法和定义法求解值域即可. 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 ①， ， 设．由题意得，则， ，， ，所以 ， 因为，则， 所以，则； ②设， 则， 所以，由得， 即， 整理得，所以， 所以． 即，， 令，， ，，令． ； ∵，，， 则，即， ∴在上单调递增，则， 所以函数值域是. 【点睛】关键点点睛：解题关键是利用平面向量的线性运算将目标式表示为一元函数，然后利用换元法结合定义法得到所要求的值域即可． 19. 若函数在区间上有意义，对于给定的，存在，使得，则称为上的“阶等值函数”. （1）判断，是否是上的“阶等值函数”，并说明理由； （2）若二次函数满足，证明：是上的“阶等值函数”； （3）证明：是上的“阶等值函数”，并求的最大值. 【答案】（1）不是，证明见解析； （2）证明见解析； （3）证明见解析，的最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据“阶等值函数”的定义，判断在上是否存在使得即可. （2）根据题目中所给的定义，结合二次函数的对称性，可得答案； （3）由题意代入端点值，求得参数值，利用反证法，结合指数函数的性质，可得答案. 【小问1详解】 假设是上的“阶等值函数”. 则存在，使得，故. 又因为是单调递增函数，而，所以，矛盾， 所以不是上的“阶等值函数”. 【小问2详解】 证明：因为是二次函数，， 所以的对称轴为， 若存在，使得，则， 解得，所以是上的“阶等值函数”． 【小问3详解】 证明：因为， 当时，，令，得， 所以， 所以是上的“阶等值函数”，且的一个值为， 下面证明的最大值为： 假设存在，使得是上的“阶等值函数”， 则存在，使得， 因为，所以在上单调递减， 所以， 因为，所以，即， 又，所以，矛盾， 所以的最大值为. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （3）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南阳一中2025年秋期高三年级开学考试 数学试题 一、单选题 1. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 已知A，B为实数，则“”是“为双曲线方程”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义在R上的函数，在上单调递减，且对任意的，总有，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设正实数、、满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则在区间内的所有零点之和为（ ） A. B. C. D. 0 8. 已知函数，函数有三个不同的零点，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 若，， 且，则（ ） A. B. C. D. 的最大值为 10. （多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（    ） A. 若，则M为的重心 B. 若M为的内心，则 C. 若，，M为的外心，则 D. 若M为的垂心，，则 11. 已知函数为定义在R上的奇函数，又函数，且与的函数图象恰好有2026个不同的交点，，…，，则下列叙述中正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于点对称 C. D. 三、填空题 12. 写出一个同时满足①②的复数___________.①；②. 13. 如图，圆是边长为的等边三角形的内切圆，其与边相切于点，点为圆上任意一点，，则的最大值为________ 14. 已知定义在R上的函数满足，且关于点对称，当时，，则________． 四、解答题 15. 实数满足. （1）求实数的取值范围； （2）求的取值范围. 16. 已知，． （1）分别求P和Q； （2）若，且，求m． 17. 已知函数（且）. （1）若在区间上的最大值与最小值之差为1，求的值； （2）解关于的不等式. 18. 如图，是单位圆上的相异两定点（Q为圆心），且（为锐角）．点C为单位圆上的动点，线段交线段于点M． （1）求（结果用表示）； （2）若． ①求的取值范围： ②设，记，求函数的值域． 19. 若函数在区间上有意义，对于给定的，存在，使得，则称为上的“阶等值函数”. （1）判断，是否是上的“阶等值函数”，并说明理由； （2）若二次函数满足，证明：是上的“阶等值函数”； （3）证明：是上的“阶等值函数”，并求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $