精品解析：云南省昆明市云南师范大学附属中学2027届高三第五次学科体验数学试题

云南师大附中2027届高三数学第五次学科体验 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1. 已知命题p：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】由存在量词命题的否定的规律可知，命题的否定为： 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以的虚部为3. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直求得，进而求得. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以. 4. 有三个数：，大小顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、三角函数、对数函数的单调性，结合“媒介数”比较大小作答. 【详解】， ， 所以. 故选：A 5. 已知直线与直线.“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用两直线平行求出，利用充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】和平行， ， 或. 当时，，，； 当时，，，. “”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，从第二层开始，第层比第层多个球，则第100层球的个数为（ ） A. 4949 B. 4950 C. 5049 D. 5050 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出第层球的个数与层数的递推关系，利用累加法求出通项公式，代入求解. 【详解】设第层球的个数为，． 由题意可知，． 当时，第层比第层多个球，即． 所以  ． 当时，，满足上式． 故第层球的个数为，． 所以当时，． 7. 已知双曲线，分别为其左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，线段上一点满足，且，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由线段比例关系，双曲线定义，余弦定理可得方程，得到，求出离心率 【详解】因为，，所以， 因为，所以， 由双曲线定义可知，，故，， 由题意得， 在中，由余弦定理得， 即， 整理可得，两边同除以得， 解得或（舍去）. 8. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差中项和三角恒等变换化简得，然后结合和差公式将所求化简为关于的表达式，利用基本不等式可得. 【详解】由题知，由正弦定理得， 即， 因为，所以， 又， 所以，得， 所以最多有一个是钝角，所以， 因为 ， 由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为3. 故选：B 【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变换和三角形内角和定理，将已知和所求转化为的表达式，即可利用基本不等式求解. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若事件、满足，，且，则、相互独立 B. 数据、、、、、、、、、、、的第百分位数为 C. 变量关于变量的经验回归方程为，则样本点的残差为 D. 回归分析中，决定系数越大，说明残差平方和越小，回归方程的拟合效果越好 【答案】AD 【解析】 【分析】根据条件概率公式及相互独立事件的定义判断A，根据百分位数的定义判断B，根据残差的定义判断C，根据决定系数的定义判断D. 【详解】对于A：已知，由于， 所以，即. 所以事件与事件相互独立，故A正确； 对于B：将数据由小到大排列：，共个数据， 由，因此数据的第百分位数为，故B错误； 对于C：当时，，所以样本点的残差为，故C错误； 对于D：决定系数越大的模型，对应残差平方和越小，拟合的效果越好，故D正确. 10. 如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（   ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 若在底面内（包含边界）运动，且满足，则动点的轨迹的长度为 D. 由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 【答案】AD 【解析】 【分析】由线面垂直的性质定理可判断A，由三棱锥的体积公式计算可判断B，易得动点的轨迹的长度为以D为圆心，1为半径的圆的周长的四分之一，即可判断C，作出过三点确定的平面，进而求得截面的周长判断D. 【详解】对于A，连接，如下图： 由正方体性质可得， 又平面，在平面内，所以， 又，平面，平面， ∴平面， 又平面，∴，故A正确； 对于B，三棱锥的体积，故B错误； 对于C，因为P满足， 则动点的轨迹的长度为以D为圆心，1为半径的圆的周长的四分之一， 所以P点的轨迹的长度为，故C错误； 对于D，过三点确定的平面与正方体相交形成的截面为等腰梯形，（其中F为的中点），如下图： 易知， 故等腰梯形的周长为，可知D正确. 故选：AD. 11. 已知函数的定义域为，，，为奇函数，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】令可得，再由为奇函数可得，令可得，令，可得，可判断A；令，可得，可判断B；由，可得，从而，可判断C；计算、、、、和的值，结合函数的周期性计算可判断D. 【详解】由， 令，得，即，， 由为奇函数，可得， 即，即， 所以函数关于点对称，令可得， 令，得，可得，故A错误； 令，可得，即， 则，所以，或， 当 时，， 当时，用替换得 ，所以 ，解得 ，满足， 所以，，即，则为偶函数，故B正确； 由，，可得，即， 所以，则是以6为周期的周期函数，则，故C正确； 由，，，，为偶函数，是以6为周期的周期函数，可得 ，，，， 所以，故D正确. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列是等比数列，若，，则_______． 【答案】 324 【解析】 【详解】设等比数列的公比为， 则， 因为，， 所以， 又，， 因此. 13. 甲盒装有2个红球、4个白球，乙盒装有3个红球、3个白球.掷一枚质地均匀的骰子，若向上的点数为1或2，从甲盒中随机摸出2个球，否则从乙盒中随机摸出2个球.则摸到2个白球的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】分别计算从甲盒、乙盒摸出白球的概率，根据全概率公式求解即可. 【详解】记事件为“从甲盒中摸球”，事件为“从乙盒中摸球”，事件为“摸到两个白球”， 掷质地均匀的骰子，出现点数为1,2的概率，此时从甲盒摸到白球的条件概率； 出现点数为3,4,5,6的概率，此时从乙盒摸到2个白球的总概率； 则摸到白球的总概率为：. 14. 若函数的图象存在对称轴，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设的对称轴为，则，从而得到方程，求出，故，令，换元并配方得到当时，取得最小值，最小值为. 【详解】设的对称轴为，则， 即， 化简得， ， ， 故需满足，解得， 故， 令，故， 则， 故当时，即时，取得最小值，最小值为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程及演算步骤． 15. 已知函数， （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）在中，，，，若的平分线交于，求的长. 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二倍角公式、辅助角公式将化简为正弦型函数，再结合三角函数性质求解周期和单调递增区间； （2）先由求出角，再利用三角形面积的拆分关系建立方程求解的长度. 【小问1详解】 函数， 最小正周期， 由 ，解得 ， 即的单调递增区间为. 【小问2详解】 由得，即， 因为为的内角，故，则，因此， 解得， 因为是的角平分线，所以， 由面积关系，则有 ， 得 ，解得. 16. 如图，在长方体中，分别为棱，的中点. （1）证明:四点共面; （2）为边上一点，若平面与平面ABCD所成夹角的余弦值为，求CP的长度. 【答案】（1）证明：连接， 因为分别为棱，的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又，所以， 所以四点共面. （2）1或3 【解析】 【分析】（1）连接，由题意可得，即可证明； （2）以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，平面的法向量为，由题意可得，由二面角的余弦值即可求出，继而即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 由分别为棱，的中点， 可得，， 设， 则，，， 设平面的法向量为， 则，可取， 为平面的法向量， 又平面与平面ABCD所成夹角的余弦值为， 设平面与平面ABCD所成夹角为， 则， 解得或3，所以的长度为1或3. 17. 把一颗质地均匀，四个面上分别标有复数1，，，（为虚数单位）的正四面体玩具连续抛掷两次，第一次出现底面朝下的复数记为，第二次出现底面朝下的复数记为． （1）计算的值； （2）用表示“”这一事件，求事件的概率； （3）设复数的实部为，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2） （3） 0 1 【解析】 【分析】(1)利用虚数单位i的幂次周期为4的性质，每连续四项相加和为0，对2027项分组，余下几项单独计算；(2)连续抛两次，总基本事件共16个，枚举满足的组合，用古典概型求概率；(3)先求出的所有可能取值，分别数对应基本事件个数写出分布列，再按期望公式计算. 【小问1详解】 因为i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1， 所以i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝0(n∈N)， 因为， 所以. 【小问2详解】 所有的基本事件个数有（个）， 包含的基本事件有、、、共4个，所以． 【小问3详解】 由题意可知，随机变量的可能取值为-1、0、1， 所包含的基本事件有：、、、，共4个， 所包含的基本事件有：、、、、、、、，共8个， 所包含的基本事件有：、、、，共4个， 所以，，，， 的分布列为 0 1 所以． 18. 已知函数，其中． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）已知有三个零点，分别为，，， （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）由（ⅰ）得，，，. 而， 故，而，所以. 则也是函数的一个零点， 又，函数只有3个零点，所以， 所以， 因此. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，计算，的值，求出切线方程即可. （2）（i）利用函数零点的意义变形并构造函数，求出导数，按，分类讨论确定单调性，结合零点存在性定理判断即可； （ii）由（i）的信息确定的取值范围，再确定关系即可推理得证. 【小问1详解】 当时，，所以 则， 所以曲线在点处的切线斜率， 又切点为，所以所求切线方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）函数的定义域为， 由，得. 令，依题意，则函数有3个零点， ，方程，. 当，即时，， 函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意； 当，即时， 方程的两个根为，. 又，则， 又，则. 当，时，；当时，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 则，而， 因此，， 又当时，，当时，， 则函数在，，各有一个零点，故函数有3个零点， 即函数有3个零点. 综上，. （ii）略 19. 现有一系列曲线，的方程为，从原点出发的射线（，）与曲线交于点，过作曲线的切线与曲线交于点，． （1）求曲线的离心率； （2）记的面积为， （i）求数列的通项公式； （ii）求证：． 【答案】（1） （2）（i）； （ii） ， 由得， 所以 【解析】 【分析】（1）由条件求出，即得离心率； （2）（i）由题意设直线的方程为，与方程联立后利用韦达定理得，联立直线与曲线的方程，韦达定理，利用弦长公式求得，结合点O到直线的距离可得的面积为； （ii）先利用放缩法得，然后利用裂项相消法求和即可证明. 【小问1详解】 由曲线的方程为，即， 所以，所以曲线的离心率为； 【小问2详解】 （i）由于，故直线的斜率一定存在，设直线的方程为， 联立 ，消去y可得， 由于直线与曲线相切，故， 化简得， 联立 ，消去y可得， 所以， 所以 ， 又点O到直线的距离为， 所以的面积为 ； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南师大附中2027届高三数学第五次学科体验 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1. 已知命题p：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 5 4. 有三个数：，大小顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与直线.“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，从第二层开始，第层比第层多个球，则第100层球的个数为（ ） A. 4949 B. 4950 C. 5049 D. 5050 7. 已知双曲线，分别为其左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，线段上一点满足，且，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若事件、满足，，且，则、相互独立 B. 数据、、、、、、、、、、、的第百分位数为 C. 变量关于变量的经验回归方程为，则样本点的残差为 D. 回归分析中，决定系数越大，说明残差平方和越小，回归方程的拟合效果越好 10. 如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（   ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 若在底面内（包含边界）运动，且满足，则动点的轨迹的长度为 D. 由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 11. 已知函数的定义域为，，，为奇函数，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列是等比数列，若，，则_______． 13. 甲盒装有2个红球、4个白球，乙盒装有3个红球、3个白球.掷一枚质地均匀的骰子，若向上的点数为1或2，从甲盒中随机摸出2个球，否则从乙盒中随机摸出2个球.则摸到2个白球的概率为________. 14. 若函数的图象存在对称轴，则的最小值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程及演算步骤． 15. 已知函数， （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）在中，，，，若的平分线交于，求的长. 16. 如图，在长方体中，分别为棱，的中点. （1）证明:四点共面; （2）为边上一点，若平面与平面ABCD所成夹角的余弦值为，求CP的长度. 17. 把一颗质地均匀，四个面上分别标有复数1，，，（为虚数单位）的正四面体玩具连续抛掷两次，第一次出现底面朝下的复数记为，第二次出现底面朝下的复数记为． （1）计算的值； （2）用表示“”这一事件，求事件的概率； （3）设复数的实部为，求的分布列及数学期望． 18. 已知函数，其中． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）已知有三个零点，分别为，，， （i）求的取值范围； （ii）证明：． 19. 现有一系列曲线，的方程为，从原点出发的射线（，）与曲线交于点，过作曲线的切线与曲线交于点，． （1）求曲线的离心率； （2）记的面积为， （i）求数列的通项公式； （ii）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $