精品解析：福建省厦门外国语学校2025届高三下学期保送考试数学试题

厦门外国语学校2025届高三保送考试 数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（每题5分，8题共40分） 1. ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义求解可得答案. 【详解】，. 故选：B 2. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度（单位：）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图： 由此散点图，在10℃至35℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据散点图的变化规律，寻求合适的特征函数. 【详解】由图可知，随着温度的增加，发芽率的增长速度越来越慢，符合对数型函数的特征. 故选：D. 3. 社会劳动实践期间，4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，6名同学站成一排合影留念，若2名女生相邻，则不同的站法有（ ） A. 240种 B. 192种 C. 144种 D. 48种 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由相邻问题“捆绑法”即可得到结果. 【详解】由题意可得，，所以不同的站法有种. 故选：A 4. “”是“，，成等比数列”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要 【答案】B 【解析】 【分析】判断“”和“，，成等比数列”的逻辑推理关系，即可得答案. 【详解】由题意当时，成立，但此时，，构不成等比数列； 反之，当，，成等比数列时，必有成立， 故“”是“，，”成等比数列的必要不充分条件， 故选：B 5. 若二次函数满足，且，则的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，根据得到，再根据得到，，从而得到函数的解析式. 【详解】设，， ∵，则， 又∵， 令，则，∴，即，， 令，则，，即，， ∴，，. 故选：D. 6. ，，，若，，共面，则实数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量共面的充要条件：存在唯一的实数对，使，列出方程组，即可求出的值． 【详解】向量，，， 若向量，，共面，则存在唯一的实数对，使， 即 ，解得， 实数的值为． 故选：D 7. 过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得为等边三角形，可得结果. 【详解】圆化为标准方程为， 其圆心为，半径为1， 由题意知，,,,, 所以,所以. 所以,且, 所以为等边三角形， 所以. 故选:C． 8. 某次考试共有8道单选题，某学生掌握了其中5道题，2道题有思路，1道题完全没有思路．掌握了的题目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为．已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全概率公式和条件概率公式，即可求解. 【详解】设事件表示选到会做的题，事件表示选到有思路的题，事件表示选到完全没有思路的题； 设事件表示答对该题，则， 设事件表示答对某个题， 则， 设事件表示将有思路的题目做对，则， 故选：B 二、多选题（每题5分，三题共15分） 9. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当时， D. 当或5时，取得最大值 【答案】CD 【解析】 【分析】根据表达式及时，的关系，求出数列通项公式，即可判断A、B、C选项的正误.的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得. 【详解】当时，，又， 所以，则是递减数列，故A错误，B错误； 当时，，故C正确； 当时，因为的对称轴为，开口向下，而是正整数， 且或5时距离对称轴一样远，所以当或5时，取得最大值， 又，所以当或5时，取得最大值，故D正确. 故选：CD. 10. 在正方体中，是线段上一点，则的大小可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，设点，其中，利用空间向量法求出的取值范围，即可得解. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则、、、， 设点，其中，则，， 所以，， 当时，，则，则， 所以，， 因为，所以，， 故选：BD. 11. 定义在上的偶函数满足，当时，，则（ ） A. B. 的一个周期为4 C. 的图象关于点对称 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用偶函数求得，即可判断；对于B，由题意可得，从而有，即可判断；对于C，由题意可得的图象关于直线对称，从而可判断；对于D，，再利用周期性即可计算，从而可判断. 【详解】对于A，因为为偶函数，且当时，， 所以，故A正确； 对于B，因为为偶函数，且， 所以，所以， 所以的周期为4，故B正确； 对于C，因为，所以的图象关于直线对称. 因为的周期为4， 所以的图象关于直线对称，故C错误； 对于D，因为， 所以，故D错误. 故选：AB 三、填空题 12. 命题“，”的否定为__________. 【答案】， 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，改量词否定结论即可. 【详解】因为全称量词命题的否定为特称量词命题，改量词否定结论， 故“，”的否定为“，”， 故答案为：， 13. 展开式中的系数是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据通项公式可求出结果. 【详解】， 的通项公式为，， 所以展开式中的系数是. 故答案为：. 14. 已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上，且关于原点对称.若的面积为，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为，连，可得四边形为矩形，然后结合双曲线的定义，三角形的面积和勾股定理列方程组可求出的关系，从而可求出离心率. 【详解】设双曲线的左焦点为，连， 因为 所以四边形为矩形. 不妨设点在双曲线的右支上，设，则 由①得： 所以，即， 所以，所以离心率. 故答案为： 四、解答题 15. 已知等差数列前项和为，满足． （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列前项和为，且，，设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n项和公式求，即可得通项公式； （2）先根据题意求，即可得数列的通项公式，利用分组求和法结合等差、等比数列求和公式运算求解. 【小问1详解】 设等差数列的首项和公差分别为， 因为，可得，解得， 所以. 【小问2详解】 设等比数列的首项和公比分别为， 因为，可得； 又因为，即，可得，， 则，可得， 所以. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 连接交于点，连接， 由四边形为正方形， 可知为中点，为中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，即可得到，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则 ， 所以， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17. 2023年的高考已经结束，考试前一周，某高中进行了一场关于高三学生课余学习时间的调查问卷，现从高三12个班级每个班随机抽取10名同学进行问卷，统计数据如下表： 课余学习时间超过两小时 课余学习时间不超过两小时 200名以前 40 200名以后 40 （1）求x的值； （2）依据上表，判断是否有99.9%的把握认为，高三学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关； （3）学校在成绩200名以前的学生中，采用分层抽样，按课余学习时间是否超过两小时抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中课余学习时间超过两小时的学生人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：参考公式：，其中． a 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）10 （2）有99.9%的把握认为，高三学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关； （3）分布列： X 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）利用样本容量求x的值； （2）利用列联表计算，与临界值比较后得结论； （3）由分层抽样，确定抽取的6人在两层中的人数，由X可能的取值，计算相应的概率，得分布列，利用公式计算数学期望. 【小问1详解】 由题意可得高三12个班级共抽取120名， 所以，解得； 【小问2详解】 零假设：高三学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩无关， 利用列联表可得， 则没有理由认为零假设成立， 所以有99.90/的把握认为高三学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关； 【小问3详解】 这6人中课余学习时间超过两小时的人数为，课余学习时间不超过两小时的人数为2， X可能的取值为1，2，3， 有；；． 故X的分布列为： X 1 2 3 P ． 18. 已知抛物线：的焦点为，过轴正半轴上一点的直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，且. （1）求点的坐标； （2）设点关于直线的对称点为，求四边形面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设直线的方程为，联立抛物线方程，可得根与系数关系式，结合数量积的坐标表示，列式计算，即得答案. （2）利用，结合求得，求得四边形面积的表达式，结合基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 设直线的方程为，联立， 可得，需满足，设， 则，由于， 由可得， 解得或（舍去）， 则过轴正半轴上一点， 即点的坐标为. 【小问2详解】 由题意知，结合（1）知， 不妨设， 则， 由于关于对称，故， 故， 当且仅当时，即时，等号成立， 故四边形面积的最小值为. 【点睛】关键点睛：求解四边形面积的最小值时，关键是求出四边形面积的表达式，即利用，进而结合，求得表达式，然后结合基本不等式求解. 19. 已知函数． （1）若对任意时，成立，求实数的最大值； （2）若，求证：； （3）若存在，使得成立，求证：． 【答案】（1）1 （2） 证明：设， ， 在上单调递减， ， ， 即． （3） 法一：证明：存在时，便得成立， ， ， 令，由可知， 由（2）知在上单调递减， 即， ，即， ，由知， 即， . 法二：， ， 在上单调递减，在上单调递增． 存在时，使得成立， ，且， ， 令， ， 在上单调递增， 又， ，即即， 在上单调递增， 即. 【解析】 【分析】（1）根据题意，求导得到极值，即可得到结果； （2）根据题意，构造，然后求导得到，即可证明； （3）方法一：由条件可得，令，然后结合（2）中的结论即可证明；方法二：结合条件可得，然后令 ，然后由函数的单调性即可证明. 【小问1详解】 ， ， 令解得， 在单减，在上单增， 在取得极小值，也是最小值， 时，成立． 只需即可， 实数的最大值为1． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值，以及利用导数证明不等式问题，难度较难，解答本题的关键在于构造出合适的函数，然后利用导数去研究. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门外国语学校2025届高三保送考试 数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（每题5分，8题共40分） 1. ，，则（ ） A. B. C. D. 2. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度（单位：）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图： 由此散点图，在10℃至35℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ） A. B. C. D. 3. 社会劳动实践期间，4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，6名同学站成一排合影留念，若2名女生相邻，则不同的站法有（ ） A. 240种 B. 192种 C. 144种 D. 48种 4. “”是“，，成等比数列”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要 5. 若二次函数满足，且，则的表达式为（ ） A. B. C. D. 6. ，，，若，，共面，则实数为（ ） A. B. C. D. 7. 过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（ ） A. B. C. D. 2 8. 某次考试共有8道单选题，某学生掌握了其中5道题，2道题有思路，1道题完全没有思路．掌握了的题目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为．已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，三题共15分） 9. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当时， D. 当或5时，取得最大值 10. 在正方体中，是线段上一点，则的大小可以为（ ） A. B. C. D. 11. 定义在上的偶函数满足，当时，，则（ ） A. B. 的一个周期为4 C. 的图象关于点对称 D. 三、填空题 12. 命题“，”的否定为__________. 13. 展开式中的系数是__________. 14. 已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上，且关于原点对称.若的面积为，则双曲线的离心率为__________. 四、解答题 15. 已知等差数列前项和为，满足． （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列前项和为，且，，设，求数列的前项和． 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 2023年的高考已经结束，考试前一周，某高中进行了一场关于高三学生课余学习时间的调查问卷，现从高三12个班级每个班随机抽取10名同学进行问卷，统计数据如下表： 课余学习时间超过两小时 课余学习时间不超过两小时 200名以前 40 200名以后 40 （1）求x的值； （2）依据上表，判断是否有99.9%的把握认为，高三学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关； （3）学校在成绩200名以前的学生中，采用分层抽样，按课余学习时间是否超过两小时抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中课余学习时间超过两小时的学生人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：参考公式：，其中． a 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知抛物线：的焦点为，过轴正半轴上一点的直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，且. （1）求点的坐标； （2）设点关于直线的对称点为，求四边形面积的最小值. 19. 已知函数． （1）若对任意时，成立，求实数的最大值； （2）若，求证：； （3）若存在，使得成立，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $