精品解析：江西省 宜春市 袁州区江西省宜春实验中学2021--2022学年上学期九年级入学考试数学试卷

宜春实验中学2021—2022年上学期九年级入学考试 数学试卷 一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列各式中，一定是二次根式的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 2，3，4 D. 1，， 3 3. 若样本x1，x2，x3，…，xn的平均数为10，方差为4，则对于样本x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，…，xn﹣3，下列结论正确的是（　　） A. 平均数为10，方差为2 B. 众数不变，方差为4 C. 平均数为7，方差为2 D. 中位数变小，方差不变 4. 顺次连接四边形的四边中点所得的四边形是正方形，则下列判断正确的是（ ） A. 四边形一定是正方形 B. 四边形一定是菱形 C. 四边形一定是矩形 D. 四边形的对角线一定相互垂直且相等 5. 若直线经过一，二，四象限，则直线的图象只能是图中的（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①；②；③；④正方形对角线：，其中正确的序号是（ ） A. ①②④ B. ①② C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. 函数中的自变量的取值范围是______． 8. 如图是“俄罗斯方块”游戏中的一个图案，由四个完全相同的小正方形拼成，则∠ABC的度数为__________． 9. 有两个全等矩形纸条，长与宽分别为8和6，按图所示交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形周长为__________． 10. 如图所示，把长方形放在直角坐标系中，使、分别落在x轴、y轴上，点C的坐标为，将沿翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处，交x轴于点E．则点D的坐标为________． 11. 如图，在正方形内有一点P，若，则的度数为________． 12. 在中，，，，点在上，，点在的边上，则当时，的长为__． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算题 （1）； （2）． 14. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF 15. 已知一次函数的图象经过点 和. （1）求该函数图像与x轴的交点坐标； （2）判断点是否在该函数图像上. 16. 如图，已知正方形ABCD，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）． （1）如图（1），若点E在AD边上，连接BE，请作出BEDF； （2）如图（2），若点E在正方形ABCD的对角线AC上，请以BE，DE为边作一个菱形． 17. 如图，把一块直角三角形（，）土地划出一个三角形（）后，测得米，米，米，米． （1）求证：； （2）求图中阴影部分土地的面积． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某花农要将规格相同的800棵平安树运往A，B，C三地销售，要求运往C地的棵数是运往A地棵数的3倍，各地的运费如下表所示： A地 B地 C地 运费（元/棵） 10 20 15 （1）设运往A地的平安树x（棵），总运费为y（元），试写出y与x的函数关系式． （2）若要求运往A地的平安树不超过运往B地的平安树，且总运费不超过14000元，问当运往A地的平安树多少棵时，总运费才最省？ 19. 如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝5，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 20. 某中学举行“中国梦．校园好声音”歌手大赛，八（1）、八（2）班根据初赛成绩，两个班各选出的5名选手的决赛成绩如图表． 平均数/分 中位数/分 众数/分 八（1） a 85 c 八（2） 85 b 100 （1）写出上表中a、b、c的值； （2）结合两个班成绩的平均数和中位数，分析哪个班的决赛成绩较好？ （3）计算两个班决赛成绩的方差，并判断哪个班代表队选手的成绩较为稳定． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 阅读与理解 同学们，你知道平方差公式吗？它实际上就是，你会用吗？请阅读下列解题过程： ． ． 这实际上就是分母有理化的过程，请回答下列问题： （1）观察上面的解答过程，请写出______； （2）利用上面的解法，请化简：； （3）解关于x的方程：． 22. 在长方形纸片中，，，点是边上一点，将沿所在直线折每叠，使点落在点处， （1）如图，当点落在对角线上时，求的长； （2）如图，当点落在边上是，求的长； （3）如图，当点为的中点，且的延长线交于点是，求的长． 六、（本大题共12分） 23. 如图，平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于，两点，点的坐标为，，过点的直线与轴交于点． （1）求直线的解析式及点的坐标． （2）点在轴上从点向点以每秒1个单位长的速度运动（），过点分别作，，交、于点、，连接，点为的中点． ①判断四边形的形状并证明； ②求出为何值时线段的长最短． （3）点是轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜春实验中学2021—2022年上学期九年级入学考试 数学试卷 一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列各式中，一定是二次根式的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的定义：一般形如的式子做二次根式分析，即可完成求解． 【详解】A、被开方数小于0，式子没有意义，故本选项不合题意； B、是二次根式，故本选项符合题意； C、不是二次根式，故本选项不合题意； D、，当a＜0时，二次根式无意义，故本选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的知识，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义，从而完成求解． 2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 2，3，4 D. 1，， 3 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】A、42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故本选项错误； B、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故本选项正确； C、22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故本选项错误； D、，不可以构成直角三角形，故本选项错误． 故选：B 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 3. 若样本x1，x2，x3，…，xn的平均数为10，方差为4，则对于样本x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，…，xn﹣3，下列结论正确的是（　　） A. 平均数为10，方差为2 B. 众数不变，方差为4 C. 平均数为7，方差为2 D. 中位数变小，方差不变 【答案】D 【解析】 【分析】利用平均数、中位数、众数和方差的意义进行判断． 【详解】解：∵样本x1，x2，x3，…，xn的平均数为10，方差为4， ∴样本x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，…，xn﹣3的平均数为10-3=7，方差不变为4，众数和中位数变小． 故选：D． 【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数和方差的定义，熟练掌握方差的意义是解题的关键． 4. 顺次连接四边形的四边中点所得的四边形是正方形，则下列判断正确的是（ ） A. 四边形一定是正方形 B. 四边形一定是菱形 C. 四边形一定是矩形 D. 四边形的对角线一定相互垂直且相等 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，由中位线定理可得，，由四边形EFGH为正方形，可得：，，进而可得：，． 【详解】已知：如下图，四边形EFGH为正方形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点 求证：四边形ABCD是对角线垂直且相等的四边形 证明：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， ∴，， ∵四边形EFGH为正方形， ∴，， ∴，． 故答案为：D． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，正方形的性质和判定，熟练掌握相关定理是解题的关键． 5. 若直线经过一，二，四象限，则直线的图象只能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，首先确定，然后再确定，，进而可得直线的图象经过的象限，从而得答案． 【详解】解：∵直线经过一、二、四象限， ， ， ∴直线的图象经过第一、二、三象限， 故选：B． 6. 如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①；②；③；④正方形对角线：，其中正确的序号是（ ） A. ①②④ B. ①② C. ②③④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】证明即可证明①正确，由①的结论得到三角形CEF是等腰直角三角形，即可证明②正确，根据AC垂直平分EF可以判断③错误，利用锐角三角函数值求出AC的长度证明④正确． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，故②正确； 如图，连接AC，交EF于点G， ∵，， ∴AC是EF的垂直平分线， ∵， ∴， 同理， ∴，故③错误； ∵是边长为2的等边三角形，， ∵，， ∴，， ∴，故④正确． 故选：A． 【点睛】本题考查四边形综合题，解题的关键是掌握正方形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形的方法． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. 函数中的自变量的取值范围是______． 【答案】 且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据分母不能为零，且二次根式的被开方数必须非负，得到关于的不等式，解不等式求出自变量的取值范围． 【详解】解：函数 有意义， 可得：， 解得：且； 故答案为：且． 8. 如图是“俄罗斯方块”游戏中的一个图案，由四个完全相同的小正方形拼成，则∠ABC的度数为__________． 【答案】45° 【解析】 【详解】连接， 根据勾股定理可得：， ， ， 是等腰直角三角形． 故答案为． 9. 有两个全等矩形纸条，长与宽分别为8和6，按图所示交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形周长为__________． 【答案】25 【解析】 【分析】由题意得出∠A=90°，AB=BE=6，AD∥BC，BF∥DE，AD=8，证四边形BGDH是菱形，得出BH=DH=DG=BG，设BH=DH=x，则AH=8-x，在Rt△ABH中，由勾股定理得出方程，解方程求出BG，即可得出答案． 【详解】解：如图所示： 由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF， ∴∠A=90°，AB=BE=6，AD∥BC，BF∥DE，AD=8， ∴四边形BGDH是平行四边形， ∴平行四边形BGDH的面积=BG×AB=BH×BE， ∴BG=BH， ∴四边形BGDH是菱形， ∴BH=DH=DG=BG， 设BH=DH=x，则AH=8-x， 在Rt△ABH中，由勾股定理得：62+（8-x）2=x2， 解得：x=， ∴BG=， ∴四边形BGDH的周长=4BG=25； 故答案为：25． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识；证明四边形BGDH为菱形是解题的关键． 10. 如图所示，把长方形放在直角坐标系中，使、分别落在x轴、y轴上，点C的坐标为，将沿翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处，交x轴于点E．则点D的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据翻折的性质证明，由全等三角形的性质得到，设，则，再根据勾股定理解得，最后根据等积法解得，据此解得点D的坐标． 【详解】解：过点作于， 四边形是矩形，点， 将沿翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处， 在与中， 设，则， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、翻折、矩形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 11. 如图，在正方形内有一点P，若，则的度数为________． 【答案】135°． 【解析】 【分析】将△ABP绕着点A顺时针旋转90°得△ADP′,连结PP′，可得△ABP≌△ADP′,可证△APP′是等腰直角三角形,可得∠AP′P=45°,由勾股定理得PP′=,利用勾股定理逆定理可证△P′PD为直角三角形,可得∠PP′D=90°,可求∠APB=∠AP′D=135°． 【详解】解：将△ABP绕着点A顺时针旋转90°得△ADP′,连结PP′ ∴△ABP≌△ADP′, ∴AP′=AP=4,P′D=BP=7,∠AP′D=∠APB, 由旋转得∠PAP′=90°, ∴△APP′是等腰直角三角形, ∴∠AP′P=45°, 在Rt△APP′中, 由勾股定理得PP′=, 又∵P′P2+P′D2=, ∴△P′PD为直角三角形, ∴∠PP′D=90°, ∴∠AP′D=∠AP′P+∠PP′D =45°+90°=135°, ∴∠APB=∠AP′D=135°． 故答案为:135°． 【点睛】本题考查正方形性质，旋转变换，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理与勾股定理逆定理，利用旋转变换构造全等,得到等腰直角三角形是解题关键． 12. 在中，，，，点在上，，点在的边上，则当时，的长为__． 【答案】3或或 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质可得BC=4，从而得到，进而得到，然后分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点P在AC边上时， ∵， ∴； 当点P在AB边上，且时， ， ∴， ∴； 当点P在BC边上， ∵∠C=90°， ∴， ∴，解得：； 综上所述，的长为3或或． 故答案为：3或或 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算题 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握平方差公式以及完全平方公式和二次根式的运算法则是解题的关键. （1）利用二次根式的运算法则进行化简运算即可得出答案； （2）根据题意利用平方差公式以及完全平方公式进行二次根式的化简运算即可. 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 14. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠B=∠D， 又∵BE=DF， ∴△ABE≌△CDF， ∴AE=CF. （其他证法也可） 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和已知条件证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质：即可得到AE=CF． 【详解】略 15. 已知一次函数的图象经过点 和. （1）求该函数图像与x轴的交点坐标； （2）判断点是否在该函数图像上. 【答案】（1）（2，0）；（2）点不在该函数图像上. 【解析】 【分析】（1）设一次函数解析式为y=kx+b，把已知两点坐标代入求出k与b的值，即可确定出解析式，然后令y=0，解出x，即可求得交点； （2）将x=-3代入解析式计算y的值，与6比较即可． 【详解】解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b， 把 和代入解析式得：，解得：， ∴一次函数解析式为， 令y=0，则，解得：， ∴该函数图像与x轴的交点坐标为（2，0）； （2）将x=-3代入解析式得：， ∵， ∴点不在该函数图像上. 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 16. 如图，已知正方形ABCD，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）． （1）如图（1），若点E在AD边上，连接BE，请作出BEDF； （2）如图（2），若点E在正方形ABCD的对角线AC上，请以BE，DE为边作一个菱形． 【答案】（1）如图1，BEDF即为所求； （2）如图2．菱形BEDF即为所求． 【解析】 【分析】（1）连接AC和BD交于点O，连接点E与点O，并延长交BC于F，连接DF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形求解； （2）连接BD交AC于点O，延长BE与AD相交于点M，连接MO并延长，交BC于N，连接DN交AC于点F，连接BF、DF，利用一组邻边相等的平行四边形是菱形求解． 【详解】解：（1）连接AC和BD交于点O，连接点E与点O，并延长交BC于F，连接DF，BEDF即为所求； （2）连接BD交AC于点O，延长BE与AD相交于点M，连接MO并延长，交BC于N，连接DN交AC于点F，连接BF、DF，菱形BEDF即为所求． 【点睛】本题属于作图题．主要考查正方形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定等知识点． 17. 如图，把一块直角三角形（，）土地划出一个三角形（）后，测得米，米，米，米． （1）求证：； （2）求图中阴影部分土地的面积． 【答案】 （1）∵∠ACB=90°，BC=12，AB=13， ∴AC==5， ∵32+42=52，即AD2+CD2=AC2， ∴∠ADC=90°； （2）24 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理证明∠ADC=90°； （2）利用△ABC的面积减去△ACD的面积即可． 【详解】解：（1）略 （2）S阴影=S△ABC-S△ACD = = =24． 【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的应用以及勾股定理的逆定理，有利于培养学生生活联系实际的能力． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某花农要将规格相同的800棵平安树运往A，B，C三地销售，要求运往C地的棵数是运往A地棵数的3倍，各地的运费如下表所示： A地 B地 C地 运费（元/棵） 10 20 15 （1）设运往A地的平安树x（棵），总运费为y（元），试写出y与x的函数关系式． （2）若要求运往A地的平安树不超过运往B地的平安树，且总运费不超过14000元，问当运往A地的平安树多少棵时，总运费才最省？ 【答案】（1）；（2）当运往A地的平安树为160棵时，总运费才最省． 【解析】 【分析】（1）先分别求出运往B、C两地的棵数，再根据运费表列出函数关系式即可； （2）先根据题干信息求出x的取值范围，再利用一次函数的性质即可得． 【详解】（1）设运往A地的平安树x棵，则运往C地的棵数为3x棵，B地的棵数为棵， 则， 解得， 由题意得：， 整理得：， 故y与x的函数关系式为； （2）由题意得：， 解得， 由一次函数的性质可知，在内，y随x的增大而减小， 则当时，y取得最小值， 答：当运往A地的平安树为160棵时，总运费才最省． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用、一元一次不等式组的应用，依据题意，正确得出一次函数的表达式是解题关键． 19. 如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝5，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）是定值，为 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到EN=EM，然后判断∠DEN=∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE=EF即可； （2）同（1）的方法判断出△ADE≌△CDG得到CG=AE，即：CE+CG=CE+AE=AC=． 【详解】解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N， ∴∠MEN=90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM=EN， ∵∠DEF=90°， ∴∠DEN=∠MEF， ∵∠DNE=∠FME=90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF=DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形； （2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下： ∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE=DG，AD=DC， ∵∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°， ∴∠CDG=∠ADE， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE=CG， ∴CE+CG=CE+AE=AC=AB=，是定值． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是作出辅助线，判断三角形全等． 20. 某中学举行“中国梦．校园好声音”歌手大赛，八（1）、八（2）班根据初赛成绩，两个班各选出的5名选手的决赛成绩如图表． 平均数/分 中位数/分 众数/分 八（1） a 85 c 八（2） 85 b 100 （1）写出上表中a、b、c的值； （2）结合两个班成绩的平均数和中位数，分析哪个班的决赛成绩较好？ （3）计算两个班决赛成绩的方差，并判断哪个班代表队选手的成绩较为稳定． 【答案】（1） （2）八（1）班成绩好些 （3）八（1）班代表队选手的成绩较为稳定 【解析】 【分析】本题考查方差的定义：一般地设个数据，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． （1）根据平均数的计算公式和众数、中位数的定义分别进行解答，然后把表补充完整即可； （2）根据平均数相同的情况下，中位数高的那个队的决赛成绩较好； （3）根据方差公式先算出各队的方差，然后根据方差的意义即可得出答案． 【小问1详解】 解：八（1）班的平均成绩是：（分）， 在八（1）班成绩中85出现了2次，出现的次数最多；（分）， 把八（2）班的成绩从小到大排列为：70，75，80，100，100，最中间的数是80，则中位数（分）； 故：； 【小问2详解】 解：八（1）班成绩好些， 因为两个队的平均数都相同，八（1）班的中位数高， 所以在平均数相同的情况下，中位数高的八（1）班成绩好些； 【小问3详解】 解：八（1）班的方差是：， 八（2）班的方差是：， ∵， ∴八（1）班代表队选手的成绩较为稳定． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 阅读与理解 同学们，你知道平方差公式吗？它实际上就是，你会用吗？请阅读下列解题过程： ． ． 这实际上就是分母有理化的过程，请回答下列问题： （1）观察上面的解答过程，请写出______； （2）利用上面的解法，请化简：； （3）解关于x的方程：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化． （1）仿照题干计算过程作答即可； （2）仿照题干计算得到一般规律，进而计算即可； （3）仿照题干计算得到一般规律，对进行转化，再解方程，最后分母有理化即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 ∴ 【小问3详解】 ∴ ∵ ∴ 即 22. 在长方形纸片中，，，点是边上一点，将沿所在直线折每叠，使点落在点处， （1）如图，当点落在对角线上时，求的长； （2）如图，当点落在边上是，求的长； （3）如图，当点为的中点，且的延长线交于点是，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求出，由折叠得AF=AD，从而可得结论； （2）由矩形的性质得出∠B=∠C=90°，BC=AD=10，CD=AB=6，由折叠的性质得AF=AD=10，EF=ED，由勾股定理得出，得出CF=BC-BF=2，设CE=x，则EF=ED=6-x，在Rt△CEF中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）连接EG，证明Rt△CEG≌△FEG（HL），得出CG=FG，设CG=FG=y，则AG=AF+FG=10+y，BG=BC-CG=10-y，在Rt△ABG中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴，， 由折叠可得 ； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠C=90°，BC=AD=10，CD=AB=6， 由折叠的性质得：AF=AD=10，EF=ED， ∴， ∴CF=BC-BF=10-8=2， 设CE=x，则EF=ED=6-x， 在Rt△CEF中，由勾股定理得：22+x2=（6-x）2， 解得：x=， 即CE的长为； （3）连接EG，如图所示： ∵点E是CD的中点， ∴DE=CE， 由折叠的性质得：AF=AD=10，∠AFE=∠D=90°，FE=DE， ∴∠EFG=90°=∠C， 在Rt△CEG和△FEG中，， ∴Rt△CEG≌△FEG（HL）， ∴CG=FG， 设CG=FG=y， 则AG=AF+FG=10+y，BG=BC-CG=10-y， 在Rt△ABG中，由勾股定理得：62+（10-y）2=（10+y）2， 解得：y=， 即CG的长为． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、折叠的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和正确利用勾股定理是解题的关键． 六、（本大题共12分） 23. 如图，平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于，两点，点的坐标为，，过点的直线与轴交于点． （1）求直线的解析式及点的坐标． （2）点在轴上从点向点以每秒1个单位长的速度运动（），过点分别作，，交、于点、，连接，点为的中点． ①判断四边形的形状并证明； ②求出为何值时线段的长最短． （3）点是轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1），；（2）①矩形，理由见解析；②3；（3），或，或或 【解析】 【分析】（1）根据有一个角为30°的直角三角形的性质，求出OB，再利用待定系数法即可求解； （2）由有一个角是直角的平行四边形是矩形，判断出四边形DEBF是矩形，再利用点到直线的距离中垂线短最短即可； （3）设出点P（0，m）的坐标，先利用平行四边形的性质作出图形，求出点Q的坐标，再利用菱形的四边相等求出m即可． 【详解】解：（1）， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， 在直线上， ， ， 在直线上， ， 直线的解析式为， 点在轴上， ． （2）解：如图1， ①四边形为矩形， ，， 四边形为平行四边形， ∵，， ∴OB=，OC=3， ∴BC===2OB， ∴∠OBC=60°， ∴∠ABC=∠OBC+∠ABO=90°， 平行四边形为矩形． ②为中点， 为矩形的对角线的交点， 要使最短，也就是最短， 只有时，最短， ， ； （3）如图2，在坐标平面内是存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形， 设且，， 直线的解析式为， 作，则直线的解析式为， 作，则直线的解析式为， 作，则直线的解析式为， ①以为对角线时，有， ， 四边形为菱形， ，即：， ， ， ，， ②以为边时， Ⅰ、为对角线时， 点，， ， 点是轴上的点， 或 解析式为， 解析式为或， 四边形为菱形， 点过点且轴的直线上， 或； Ⅱ、以为边时， ， 点， 存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，，或，或或． 【点睛】本题是一次函数中简单的综合题，涉及到待定系数法求直线解析式，平面内两点之间距离公式，利用方程组求直线的交点坐标，解本题的关键是利用两直线平行，比例系数相等，设出直线解析式如直线的解析式为，直线的解析式为，作，则直线的解析式为；作，则直线的解析式为；作，则直线的解析式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $