精品解析：内蒙古呼和浩特市2025-2026学年高三上学期第一次质量监测数学试卷

呼和浩特市2025～2026学年高三年级第一次质量监测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2.作答选择题时，将答案填涂在答题卡相应位置，如需改动，用橡皮擦干净后，重新填涂．作答非选择题时，将答案写在答题卡相应位置．所有答案写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合A＝{是12的正因数}，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 3. 设是定义在R上且周期为2的函数，当时，，则（ ）． A. B. C. D. 4. 在中，，，，则的面积为（ ）． A 8 B. 16 C. 32 D. 64 5. 抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线准线方程为（ ）． A. B. C. D. 6. 下列函数是偶函数的是（ ）． A. B. C. D. 7. 已知等比数列，且，，则公比等于（ ）． A. B. C. 2 D. 4 8. 命题p：关于x的方程有且仅有一个根；命题q：已知函数的图象是双曲线，则其离心率为；对p、q命题说法正确的是（ ）． A. p真q假 B. p假q真 C. p假q假 D. p真q真 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）． A. 的最小正周期为 B. 直线是图象的一条对称轴 C. D. 在上单调递增 10. 在棱长均为2的正方体中，下列说法正确的是（ ）． A. 三棱锥的四个面均为直角三角形 B. 平面 C. 三棱锥的体积为 D. 过正方体棱BC、CD、中点的截面与此正方体任一棱所在直线所成角均相等 11. 若是函数的极值点，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 关于x的方程有3个根 C. 关于x的不等式的解集为 D. 函数是奇函数 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平面向量，，若，则______． 13 若，则______． 14. 在中，，，则面积的最大值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知正项数列前n项和为，且． （1）求； （2）设表示不超过x的最大整数，例如，，求． 16. 已知椭圆的左、右焦点分别是、，，O是坐标原点，直线l过O且与椭圆C相交于P、Q两点． （1）若，求证：； （2）求周长的最小值． 17. 如图，边长为2的平面正方形中，将沿BD折至，使平面与平面所成的二面角为直二面角. （1）在空间中找一点O，使得O与，B，C，D距离相等，并证明； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 18. 工厂要对2024年12月份生产的N件产品中随机抽取3件做质量分析，已知其中A等品占，B等品占． （1）当时， ①求出3件产品中恰有2件A等品的概率； ②求出3件产品中A等品个数X的分布列与数学期望； （2）当总量N足够大，抽出的个体数量足够小时，超几何分布近似为二项分布．现在在2024年全年生产的产品范围内考虑从件产品（A，B等品比例不变）中随机抽取3件，在超几何分布中A等品恰有2件的概率记作；在二项分布中A等品恰有2件的概率记作．那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过的前提下，认为超几何分布近似为二项分布． （参考数据：，） 19. 已知，． （1）求证：在处的切线l也是的切线； （2）关于x不等式恒成立，求k取值范围； （3）直线分别交、图象于A、B两点，O是坐标原点，求证：是锐角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 呼和浩特市2025～2026学年高三年级第一次质量监测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2.作答选择题时，将答案填涂在答题卡相应位置，如需改动，用橡皮擦干净后，重新填涂．作答非选择题时，将答案写在答题卡相应位置．所有答案写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合A＝{是12的正因数}，，则（ ）． A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集的运算易得结果. 【详解】由题意，，由于，，，. 故选：C. 2. 已知，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数模的公式求解即可. 【详解】由， 则. 故选：B. 3. 设是定义在R上且周期为2的函数，当时，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用周期函数的性质求出函数值. 【详解】当时，，而的周期为2， 所以. 故选：A 4. 在中，，，，则的面积为（ ）． A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平方关系求得，再结合三角形的面积公式求解. 【详解】在中，因，则是锐角，， 所以的面积为. 故选：C. 5. 抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线准线方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求双曲线的右焦点坐标，根据抛物线的焦点可求的值，再根据抛物线方程求其准线方程. 【详解】对于双曲线：因为，，所以，所以. 所以双曲线的右焦点坐标为：. 对于抛物线，因为焦点为，即. 所以其准线方程为：. 故选：B 6. 下列函数是偶函数的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义，分别对各选项函数逐一判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，关于原点对称， 任取，则， 因，故不是偶函数； 对于B，函数的定义域为，关于原点对称， 任取，则，， 因，故不是偶函数； 对于C，函数的定义域为，关于原点对称， 任取，则，，， 因，故不是偶函数. 对于D，函数的定义域为，关于原点对称， 因，故是偶函数. 故答案：. 7. 已知为等比数列，且，，则公比等于（ ）． A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式可得结果. 【详解】由于为等比数列，所以，所以. 故选：C. 8. 命题p：关于x的方程有且仅有一个根；命题q：已知函数的图象是双曲线，则其离心率为；对p、q命题说法正确的是（ ）． A. p真q假 B. p假q真 C. p假q假 D. p真q真 【答案】D 【解析】 【分析】结合指数函数的性质判断命题p，根据给定的双曲线求出其渐近线方程，求出实轴所在直线的方程，由此求出实半轴长，结合双曲线的几何性质求出虚半轴长，进而求出半焦距，进而求得离心率即可判断命题q. 【详解】命题p：由，则， 因为函数在上单调递减， 则函数在上单调递减，又， 则关于x方程有且仅有一个根，命题正确； 命题q：双曲线的渐近线为直线， 如图，令双曲线的顶点，直线为直线所夹锐角的平分线， 则直线的倾斜角为， 则直线的斜率为， 则直线：，由，得， 令双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，则， 过分别作直线垂线交直线分别于， ， 半焦距， 所以离心率为，故命题正确. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）． A. 的最小正周期为 B. 直线是图象的一条对称轴 C. D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据辅助角公式化简可得，再由三角函数的图象变换可得，利用三角函数的周期性、对称性、单调性的判断方法依次判断各选项即可. 【详解】，则， 对于A，的最小正周期，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，令，解得， 当时，，而在的范围内，故D正确. 故选：ACD. 10. 在棱长均为2的正方体中，下列说法正确的是（ ）． A. 三棱锥的四个面均为直角三角形 B. 平面 C. 三棱锥的体积为 D. 过正方体棱BC、CD、中点的截面与此正方体任一棱所在直线所成角均相等 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正方体的结构特点，可判断AB的真假；利用求三棱锥的体积，判断C的真假；用空间向量法求线面角，可判断 D的真假. 【详解】如图： 对A：因为为正方体，所以平面，平面， 因为平面，所以，； 因为平面，所以，. 所以三棱锥的四个面均为直角三角形，故A正确； 对B：因为为正方体，所以平面， 又平面，所以， 又，平面，， 所以平面.故B正确； 对C：因为，故C错误； 对D：如图： 以为原点，建立如图空间直角坐标系， 则中点，中点，中点，，，. 所以，，，，. 设平面的法向量为， 则， 取，又，，. 所以， ， . 所以过棱、、中点的正方体截面与此正方体任一棱所在直线所成角均相等.故D正确. 故选：ABD 11. 若是函数的极值点，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 关于x的方程有3个根 C. 关于x的不等式的解集为 D. 函数是奇函数 【答案】AD 【解析】 【分析】求导，由题意可得，进而求得检验即可判断A；转化为函数和的交点问题，结合图象判断B；直接解不等式即可判断C；先求出，进而验证奇偶性即可判断D. 【详解】对于A，由题， 则， 因为是函数的极值点，所以，解得， 此时，则， 令，得或；令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则是函数的极小值点，满足题意，即，故A正确； 对于B，方程根的个数方程根的个数 函数和反比例函数图象交点个数， 因为， 令，得，令，得或， 所以函数在上单调递减，在和上单调递增， 且，， 则，， 而函数在和上单调递增， 且，则， 画出函数和的图象如下： 由图可知，函数与只有2个交点，故B错误； 对于C，由得，解得，且， 即不等式的解集为，故C错误； 对于D，由， 则， 设，，则， 所以函数是奇函数，故D正确. 故选：AD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平面向量，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量坐标运算求出，再利用坐标求出向量的模. 【详解】由向量，，得， 由，得，解得， 所以. 故答案为： 13. 若，则______． 【答案】100 【解析】 【分析】利用错位相减求和法求解. 【详解】设， 则. 所以. 所以，. 所以. 故答案为：100 14. 在中，，，则面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理结合基本不等式求出的取值范围，再利用三角形的面积公式可求三角形面积的最大值. 【详解】由余弦定理可得：， 即（当且仅当时取等号）. 所以. 所以. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知正项数列的前n项和为，且． （1）求； （2）设表示不超过x的最大整数，例如，，求． 【答案】（1） （2）24 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用，结合等差数列定义求出通项公式. （2）由（1）的结论，结合取整函数的定义求出和. 【小问1详解】 数列中，，，则当时，，即，解得， 当时，，于是， 即，整理得，而，则， 因此数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以通项公式. 【小问2详解】 由（1）知，当，2时，；当，4，5时，； 当，7时，；当，9，10时，；当，12时，， 所以. 16. 已知椭圆的左、右焦点分别是、，，O是坐标原点，直线l过O且与椭圆C相交于P、Q两点． （1）若，求证：； （2）求周长的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆方向，再利用椭圆的范围推理得证. （2）利用椭圆的定义及性质求出周长的表达式，再由（1）的结论求出最小值. 【小问1详解】 依题意，，，则椭圆方程为， 由点P在椭圆上，得点P的坐标满足，即，其中， 则，由，得， 所以． 【小问2详解】 依题意，四边形是平行四边形， 则的周长， 又设，则， 由（1）得，当，即点P落到椭圆的上下顶点时，取得最小值1， 所以的周长最小值为6. 17. 如图，边长为2的平面正方形中，将沿BD折至，使平面与平面所成的二面角为直二面角. （1）在空间中找一点O，使得O与，B，C，D距离相等，并证明； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】（1）BD的中点，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取BD的中点为O点，利用直角三角形的性质即可证明； （2）由题意可得平面平面，进而得到BD，CO，两两互相垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 取BD的中点为O点， 在中，O点与B，C，D距离相等， 在中，O点与，B，D距离相等， 故BD的中点与，B，C，D的距离相等． 【小问2详解】 ∵平面与平面所成的二面角为直二面角， 则平面平面． 又平面平面， 在平面中，；在平面中，， 故BD，CO，两两互相垂直， 以O为原点，OB，OC，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 又，，， 可得，， 设为平面的一个法向量， 则，可取， 易得平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的二面角为， 由题得，所以． 18. 工厂要对2024年12月份生产的N件产品中随机抽取3件做质量分析，已知其中A等品占，B等品占． （1）当时， ①求出3件产品中恰有2件A等品的概率； ②求出3件产品中A等品个数X的分布列与数学期望； （2）当总量N足够大，抽出个体数量足够小时，超几何分布近似为二项分布．现在在2024年全年生产的产品范围内考虑从件产品（A，B等品比例不变）中随机抽取3件，在超几何分布中A等品恰有2件的概率记作；在二项分布中A等品恰有2件的概率记作．那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过的前提下，认为超几何分布近似为二项分布． （参考数据：，） 【答案】（1）①；②分布列见解析， （2）145 【解析】 【分析】（1）①先求出当时，A等品有4件，B等品有6件，利用超几何分布概率模型求出概率； ②利用超几何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求数学期望； （2）利用二项分布概率模型和超几何分布概率模型即可求解. 【小问1详解】 ①当时，其中A等品有件，B等品有件， 则从10件产品中随机抽取3件，恰有2件A等品的概率为； ②当时，A等品有4个，B等品有6个． X服从超几何分布，，1，2，3， ，， ，， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P ． 【小问2详解】 ， ， 由于，则， 即， 即， 由题意易知， 从而， 化简得， 又，于是． 由于函数在上单调递减，在上单调递增， 而，从而，当时单调递增， 又，． 因此当时，符合题意， 而又考虑到和都是整数，则N一定是5的整数倍，于是． 即N至少为145， 我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布． 19. 已知，． （1）求证：在处的切线l也是的切线； （2）关于x的不等式恒成立，求k取值范围； （3）直线分别交、图象于A、B两点，O是坐标原点，求证：是锐角三角形． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由求导得到切线l，再判断出l也是的切线即可； （2）在上单调递增，且，在上单调递增，且，当时， 分离参数由恒成立，借助导数求出函数单调性，分别可得，故可得，再验证当时，当时，验证恒成立. （3）令，，根据函数的单调性及零点，判断出，，且，，再由A、B关于对称，可知，为等腰三角形，然后用向量法判断为锐角即可. 【小问1详解】 因，， ∴在处的切线，即， 又，，因与都过点， 故在点处的切线l也是的切线． 【小问2详解】 在上单调递增，且， 在上单调递增，且， 首先证明：对任意， 构造函数，， 则当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 故， ，即， 由可得； 故对任意，，得证. 故. 当时，，， 要使恒成立，可转化为恒成立， 则成立， 由，可得， 令，则， 令，则， 若，则， 故在上单调递减，故， 即，所以在上单调递增， 又，所以，即， 要使恒成立，所以①； 令， 则， 构造函数，， 则， 故在单调递增，则， 即当时，，所以在单调递减， 又，， 要使恒成立，即，所以②； 由①②可知； 当时，，， 由，且，可知， 即恒成立，满足题意. 综上可知. 【小问3详解】 由，可得， 令，， ∴在R上单调递增，又，， ∴，使得，即，故； 又由，则， 令，， ∴在上单调递增． 又，， ∴使， 即，故， 由 因为与互为反函数， 所以与的图象关于对称， 又图象关于对称，所以A、B关于对称， 由可解得对称中心为， 所以，且在中， 所以， 则，所以， 故是锐角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $