精品解析：河南省新未来2025-2026学年高三上学期9月联合测评数学试题

河南省新未来2025—2026学年高三年级9月联合测评 数学试题 考试时间：2025年9月5日7：40-9：40 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设命题，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定即可求解． 【详解】∵存在量词命题的否定为全称量词命题，∴，. 故选：B. 2. 样本数据40，70，110，130，160，200，200，290，320的极差和中位数分别为（ ） A. 280，160 B. 280，130 C. 250，160 D. 250，145 【答案】A 【解析】 【分析】利用极差和中位数公式求解. 【详解】样本数据40，70，110，130，160，200，200，290，320，最小数为40，最大数为320， 则极差为；这组数据共有9个，因此第五个数据是中位数，即中位数为160. 故选：A 3. 已知集合，则A的所有真子集的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 14 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求得，再根据真子集个数公式求解. 【详解】∵，∴， 解得，又，∴，共4个元素， ∴其真子集有个. 故选：D 4. 已知向量，的夹角为，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的坐标求出模长，利用，的模长和夹角求出，求出后开方求出. 【详解】∵， ∴， ， ∴. 故选：C. 5. 已知直线与焦点在x轴上的双曲线C的其中一条渐近线垂直，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由焦点在x轴上的双曲线C的渐近线方程为：，得，由进行求解． 【详解】由两直线垂直可得双曲线C的一条渐近线的斜率， 设焦点在x轴上的双曲线C的方程为， 则它的渐近线方程为，结合题意得到， 故C的离心率． 故选：A 6. 已知函数满足对于任意的，都有，则的最小正周期的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得相邻两个相等函数值的间隔至少为1，据此可求得最小正周期的范围. 【详解】对于任意的，都有， 这等价于相邻两个函数值相等的间隔至少为1，对于函数， 相邻两个函数值相等的间隔即为周期，故最小正周期. 故选：C. 7. 记首项为的等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式列方程，解方程可得数列的基本量，进而可得解. 【详解】由已知数列为等差数列，设其公差为， 则，解得， 所以，， 则， 故选：B. 8. 近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为元，厂家可制作的模型的最大半径为，若批发商以3元/的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得利润，利用导数可求利润的最大值. 【详解】由题意可得利润， 所以，且. 令，∴， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∴利润在时取得最大值，此时， ∴该厂家售卖单个模型最多可以获利元. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的图象经过点，，则（ ） A. B. C. 曲线关于轴对称 D. 不等式的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】代入点坐标，解方程组可得函数解析式，再利用定义法可判断函数的奇偶性，再根据复合函数单调性的判断方式可判断函数单调性，进而可判断各选项. 【详解】由题意可得，，解得，故选项A正确，选项B错误； 由前面计算可知，其定义域为关于原点对称， 且， 为偶函数，即曲线关于轴对称，故选项C正确； 由复合函数单调性可知在区间上单调递减，且为偶函数， 故等价于， 两边平方可得，解得，故选项D错误； 故选：AC. 10. 已知，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据诱导公式及给定条件，可得或，，根据，可得，进而可得，分析可得A的正误；根据正弦函数的单调性，可判断B的正误；代入，根据两角和的余弦公式，计算可判断C的正误；根据二倍角公式，计算可判断D的正误，即可得答案. 【详解】选项A：∵，∴， ∴或，， 即或，， ∵，∴，∴， ∴，，， ∴，故选项A正确； 选项B：∵，且在上单调递减， ∴，又， ∴，故选项B正确； 选项C：由可知，， ∴当时， ，故选项C错误； 选项D：由题意得， 即，∴， 由可知，， ∴，故选项D正确. 故选：ABD 11. 设椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为2，短轴长为，A是椭圆E上且位于第一象限内的一点，过点A且与椭圆E相切的直线分别交y轴、x轴于B，C两点，设O为坐标原点，则（ ） A. E的长轴长为4 B. 设点，则的最小值为 C. 的面积不小于 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出椭圆的方程，结合两点间距离公式求解判断AB；求出切线方程，结合三角形面积公式、三角恒等变换求解判断CD. 【详解】对于A，半焦距，短半轴长，则长半轴长，椭圆E的长轴长为4，A正确； 对于B，椭圆，设点，则， ，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，设切线的方程为，由，得， 则，即，，于是，即， 切线方程为，由点在切线上，得， 点，，又，因此，C正确； 对于D，设的倾斜角为，的倾斜角为，的倾斜角为， 由，，得， 要证，只要证明即可， 当时，，，， 因此，又， 则，即，由， 得，于是，；当时，轴， 点，直线方程为，，， ，则， 因此，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某实践团有个男生、个女生，从中任选人发起问卷调研，那么恰好有个女生被选中的方法有______种. 【答案】 【解析】 【分析】根据组合数的定义及计算方式直接可得解. 【详解】恰好有个女生被选中时，共有种方法， 故答案为：. 13. 已知，其中a为实数，若，则a=______. 【答案】 【解析】 【分析】由复数的除法运算法则化简得，即可求解． 【详解】易得， 若，则， 解得. 故答案为： 14. 在中，，，则其内切圆半径r的最大值为______；若平面内动点P满足，则当r取得最大值时，的取值范围为______. 【答案】 ①. （或） ②. 【解析】 【分析】解法一：记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据，可求得，记的中点为O，可得，且，可求结论.解法二：不妨记的内心为M.，内切圆半径，利用余弦定理可求得，当且仅当时取等号.，结合且可求结论. 【详解】解法一：不妨记内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 由余弦定理可得，即， 故，又因为， 可得，而， 故，于是， 故， 故， 当且仅当时，等号成立. 故r的最大值为，此时，为等腰三角形. 记的中点为O，因为，，可得， 于是由等腰三角形性质可知， 故且， 当且仅当A，P，O三点共线时等号成立. 故的取值范围是. 解法二：不妨记的内心为M. ∵， ∴， 又，， ∴内切圆半径， 又由余弦定理，得， ∴， ∴， ∴， 当且仅当时取等号.， 根据条件，易证得，为等腰三角形，A，M，D三点共线. ，由得， 故且， 当且仅当A，P，D三点共线时等号成立， 故的取值范围是 故答案为：①（或）；②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2025年7月22日是二十四节气中的第十二个节气——大暑.受今年气候等多因素的影响，全国各地高温天气持续不断.某校以“预防中暑，防止脱水”为主题举行活动.为了解男女同学对该活动的兴趣程度，对多位该校同学进行了调查，并将结果整理成如下列联表. 性别 兴趣程度 合计 感兴趣 不感兴趣 男生 女生 合计 （1）当m足够大时，估计从该校任选一名对该活动不感兴趣的学生是男生的概率； （2）若根据小概率值的独立性检验，认为对该活动是否感兴趣与性别有关，求正整数m的最小值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）根据频率估计概率，结合古典概型公式，即可得答案. （2）先求得，由题意可得，分析计算，即可得答案. 【小问1详解】 由调查数据可知当m足够大时，以频率估计概率可知， 从该校任选一名对该活动不感兴趣的学生是男生的概率为. 【小问2详解】 由题意可得， 若根据小概率值的独立性检验，认为对该活动是否感兴趣与性别有关， 则，解得 因为m为正整数， 所以m的最小值为10. 16. 设函数 （1）若，讨论在区间上的单调性； （2）若的极大值点与其一个零点重合，求a. 【答案】（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可 （2）由及的零点为，a，3，进行分类讨论求解． 【小问1详解】 若，此时，得， 令可得，由于， 由得，，由得，， 故在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由题可得 令，则的零点为，a，3， 又的极大值点与其一个零点重合， 注意到，无论将三个零点中的任意一个代入导函数，均会遗留包含另外两个零点的式子， 故要使遗留的式子也为0，当且仅当a的值与其他两个零点中的任意一个相同时成立. ∴若，，当时，，当时， 故为函数的极大值点，符合题意， 若时，，当时，，当时，，故为函数的极小值点，不满足题意， 故. 17. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，其图象上两点A，B满足，其中点A在第一象限，点B在第四象限，不与x轴垂直.且当时，点B的横坐标为6. （1）求抛物线E的标准方程； （2）记点，为上一点，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义进行求解 （2）不妨设直线，与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，再由直线与直线的斜率乘积为-1进行证明． 【小问1详解】 不妨记，，由，可知， 由抛物线的定义可得，解得， 故抛物线E的标准方程为. 【小问2详解】 证明：由可知，即 不妨设直线，联立， 可得到， ∴，， ∴， 代入可得 ∴，整理得， 易知，代入可得，故 ∴的斜率，而的斜率， ∴， ∴ 18. 如图，三棱柱中，是边长为2的等边三角形，M，N分别为棱，的中点，. （1）已知， ①求证：三棱柱是直三棱柱； ②求二面角的正弦值. （2）若，，求异面直线与夹角的余弦值. 【答案】（1）①证明见解析；② （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形性质及题干条件，结合线面垂直的判定定理、性质定理，可证，根据向量的线性运算法则及，可得，进而可证平面，即可得证；分析可得二面角的平面角为，分别求出MB、MN的长，计算即可得答案. （2）由（1）可知，根据线性运算法则及数量积公式，可得，进而可得，分别计算、，结合向量求夹角公式，计算即可得答案. 【小问1详解】 ①证明：由是等边三角形可知， ，，平面，平面， ∴平面. 又平面， ∴. ∵， 且， ∴， 由，分别为，的方向向量可知，. ∵，平面，平面， ∴平面，故三棱柱是直三棱柱. ②解：∵，，，平面，平面，平面平面， ∴二面角的平面角为. ∵，， ∴， ∴ ∴二面角的正弦值为 【小问2详解】 解：由（1）可知， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，解得， ∴， ∵， ∴ ， ∴ 记异面直线与的夹角为，则 19. （1）求函数的单调区间； （2）数列满足 ①记为数列的前n项和，求证： ②记为数列的前n项和，求证： 附：. 【答案】（1）单调递减区间为，无单调递增区间；（2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数为负得出单调减区间； （2）①应用（1）的单调性得出，再应用裂项相消法计算证明； ②构造函数应用导数得出函数单调性，进而得出，应用累加法计算证明不等式. 【详解】（1）函数定义域为， ∴在区间上单调递减， ∴其单调递减区间为，无单调递增区间. （2）①∵，∴由的单调性可知，即 ∴ 当时， 当时， ∴ . 综上所述， ②， 设，，， ∴在区间上单调递增，又， ∴，∴ ∴ ∴ 又， ∴ ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省新未来2025—2026学年高三年级9月联合测评 数学试题 考试时间：2025年9月5日7：40-9：40 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设命题，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 样本数据40，70，110，130，160，200，200，290，320的极差和中位数分别为（ ） A. 280，160 B. 280，130 C. 250，160 D. 250，145 3. 已知集合，则A的所有真子集的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 14 D. 15 4. 已知向量，的夹角为，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 已知直线与焦点在x轴上的双曲线C的其中一条渐近线垂直，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数满足对于任意的，都有，则的最小正周期的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 记首项为的等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为元，厂家可制作的模型的最大半径为，若批发商以3元/的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的图象经过点，，则（ ） A. B. C. 曲线关于轴对称 D. 不等式的解集为 10. 已知，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 11. 设椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为2，短轴长为，A是椭圆E上且位于第一象限内的一点，过点A且与椭圆E相切的直线分别交y轴、x轴于B，C两点，设O为坐标原点，则（ ） A. E的长轴长为4 B. 设点，则的最小值为 C. 的面积不小于 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某实践团有个男生、个女生，从中任选人发起问卷调研，那么恰好有个女生被选中的方法有______种. 13. 已知，其中a为实数，若，则a=______. 14. 在中，，，则其内切圆半径r的最大值为______；若平面内动点P满足，则当r取得最大值时，的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2025年7月22日是二十四节气中的第十二个节气——大暑.受今年气候等多因素的影响，全国各地高温天气持续不断.某校以“预防中暑，防止脱水”为主题举行活动.为了解男女同学对该活动的兴趣程度，对多位该校同学进行了调查，并将结果整理成如下列联表. 性别 兴趣程度 合计 感兴趣 不感兴趣 男生 女生 合计 （1）当m足够大时，估计从该校任选一名对该活动不感兴趣的学生是男生的概率； （2）若根据小概率值的独立性检验，认为对该活动是否感兴趣与性别有关，求正整数m的最小值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 16. 设函数 （1）若，讨论在区间上的单调性； （2）若的极大值点与其一个零点重合，求a. 17. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，其图象上两点A，B满足，其中点A在第一象限，点B在第四象限，不与x轴垂直.且当时，点B的横坐标为6. （1）求抛物线E的标准方程； （2）记点，为上一点，求证：. 18. 如图，三棱柱中，是边长为2的等边三角形，M，N分别为棱，的中点，. （1）已知， ①求证：三棱柱是直三棱柱； ②求二面角的正弦值. （2）若，，求异面直线与夹角的余弦值. 19. （1）求函数的单调区间； （2）数列满足 ①记为数列的前n项和，求证： ②记为数列的前n项和，求证： 附：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $