专题10.2 空间直线与直线间的位置关系 (10大题型+能力提升）讲义-2025-2026学年高二上学期数学沪教版必修第三册

2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】 专题10.2 空间直线与直线的位置关系 知识点一：平行公理及推论 公理4、平行于同一条直线的两条直线平行；这一性质通常叫做平行线的传递性； 符号表示：⇒a∥c. 等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补； 【说明】等角定理实质上是由如下两个结论组合成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向都相同(或方向都相反)，则这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补； 知识点二：空间两直线的位置关系 1、空间两条直线的位置关系 2、异面直线 ①定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线； ②画法：(通常用平面衬托) 【说明】1、异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件； 异面直线既不相交，也不平行； 2、不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中， 虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线； 3、判定两条直线是异面直线的方法 ①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内； ②反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面， 从而可得两线异面； ③判定定理：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线； 用符号语言可表示为：, ，，与l是异面直线（如图）； 知识点三：异面直线所成的角 1、异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)； ②范围：； 2、求异面直线所成的角常用方法 （1）平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线或利用中位线； 【说明】又名“平移线段法”；平移的方法一般有三种类型：①利用图中已有的平行线平移；②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；③补形平移；计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行； （2）补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系； 3、把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 题型01：空间的平行直线--平行线公理 【例1】（2024黄浦区大同中学高二期中）已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 【答案】A 【分析】由平行直线的传递性可得答案. 【详解】∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d. 故选：A. 【例2】（2024上海浦东新·华师大二附中高二期中）如图所示，在长方体中，与相交于点分别是，的中点，则长方体的各棱中与平行的有（ ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【答案】B 【解析】根据三角形中中位线的性质，以及长方体的各棱长位置关系进行判断. 【详解】由于分别是，的中点， 故， 因为和棱平行的棱有，，， 所以符合题意的棱共有4条. 故选：B. 【点睛】本题考查线线平行的判定，涉及平行关系的传递性，属基础题. 【例3】（2024闵行区七宝中学高二期中）在正方体中，，分别是平面，平面的中心，，分别是线段，的中点，则直线与直线的位置关系是 A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 【答案】C 【解析】利用中位线性质说明它们都与平行． 【详解】如图，连接，则分别为的中点.由三角形的中位线定理知，所以. 故选：C. 【点睛】本题考查空间两直线位置关系，掌握中位线定理是解题关键． 题型02：平行线公理的推论—等角定理 【例4】（2024上海高二课时练习）空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为（ ） A．60° B．120° C．30° D．60°或120° 【答案】D 【解析】∵空间两个角α，β的两边对应平行，∴这两个角相等或互补，∵α=60°，∴β=60°或120°．故选D． 【名师点睛】根据公理4知道当空间两个角α与β的两边对应平行时，得到这两个角相等或互补，根据所给的角的度数，即可得到β的度数． 【例5】（2024-25闵行区高二上期中）下列结论，其中正确的是________(填序号). ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等. ②如果两个角的两边都平行于一个平面，那么这两角相等或互补. ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补. ④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行. 【答案】④ 【分析】根据等角定理和平行线的传递性理解辨析． 【详解】根据等角定理可知： 对于①：这两个角相等或互补，①错误； 对于②、③：无法判定这两个角的两边分别平行，所以无法确定这两角的大小关系，②、③错误； 对于④：根据平行线的传递性，④正确； 故答案为：④． 【例6】（2024-25松江区高二上期中）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则∠EFG与∠ABC1（　　） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 【答案】B 【知识点】等角定理的应用 【分析】利用已知条件判断线段和，线段和的位置关系即可求解. 【详解】因为E，F，G分别为，，的中点，所以∥,∥,∥， 所以∠EFG与∠ABC1的两组对应边分别平行，一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，故∠EFG与∠ABC1互补. 故选：. 【例7】（2024上海高二课时练习）若，且，OA与的方向相同，则（　　） A．，且方向相同 B．，且方向不同 C．OB与不平行 D．OB与不一定平行 【答案】D 【分析】结合正方体以及空间角的知识确定正确选项. 【详解】在正方体中，如下图所示，则， 如下图所示，则与不平行， 综上所述，D选项符合. 故选：D 题型03：空间直线与直线间位置关系 【例8】垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．选项A，B，C均有可能 【答案】D 【知识点】空间中的点（线）共面问题、异面直线的概念及辨析 【分析】根据立体几何关系中线线关系的判定分析； 【详解】   可以参考正方体里的线线关系，更好理解题目； 同时垂直于直线,,,直线与直线异面， 所以选项A，B，C均有可能， 故选：D. 【例9】（2024-25徐汇区高二上期中）一个正方体纸盒展开后如图所示，在关于原正方体纸盒的下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由展开图还原立体图，可以判断相关线之间得关系． 【详解】如图所示，还原正方体，连结相关线段，可得： ∵∥AC,即ACMB为▱，则，A正确． ∵AB⊥EF，AB⊥DE，则AB⊥平面DEFN，∴AB与CN不垂直，B不正确． 从图形可以判断C、D 均不正确． 故选：A． 【例10】（23-24高二上·上海·期中）空间中已知直线，直线，直线，若直线直线，直线与直线异面，则直线与直线的位置关系是 . 【答案】相交或异面 【分析】根据直线与直线的位置关系判断可得出结论. 【解析】空间直线，直线，直线a与c为异面直线， 则直线b与直线c可能是相交直线或也可能是异面直线. 故答案为：相交或异面 【例11】（2024上海高二课时练习）分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是（　　） A．异面 B．相交 C．平行 D．异面或相交 【答案】D 【知识点】异面直线的概念及辨析、异面直线的判定 【分析】作图分析，分情况判断结合反证法，即可判断出答案. 【详解】如图所示，是异面直线，都与相交，相交； 都与相交，异面, 假设平行，则确定一平面，不妨设为， 则；同理，这与是异面直线矛盾， 故分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是异面或相交， 故选：D 【例12】如果两条直线与没有公共点，那么与（    ） A．共面 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 【答案】D 【知识点】异面直线的概念及辨析 【分析】根据空间中两条直线的位置关系，即可求解. 【详解】根据空间中两条直线的位置关系，可得如果两条直线与没有公共点，那么与可能平行，也可能是异面直线. 故选：D. 【例13】（2024·上海长宁·一模）已知非零空间向量和，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据空间向量平行与垂直的定义判断即可. 【详解】若，则或与不共线，故选项A与B错误； 若，则，故选项C错误，选项D正确. 故选：D. 【例14】（2024·上海金山·二模）如图，点为正方形的中心，△为正三角形，平面⊥平面，是线段的中点，则以下命题中正确的是（    ）． A． B． C．A、、三点共线 D．直线与相交 【答案】D 【分析】分别求得的长度判断选项A；利用反证法否定选项B和选项C；求得直线与的位置关系判断选项D. 【详解】取中点F，连接,取中点H，连接. 又△为正三角形，则，， 又平面⊥平面，平面平面， 则平面，平面， 又平面，平面， 则，， 设，则, 则， 则.故选项A判断错误； 假设， 又，，平面， 则平面，又平面，则， 这与矛盾，故假设不成立，不互相垂直. 故选项B判断错误； 由平面，可得直线平面， 假设A、、三点共线，则，则平面， 这与平面矛盾，故假设不成立. 故选项C判断错误； 由，可得，， 则四边形为梯形，则直线与相交. 故选项D判断正确. 故选：D 题型04：异面直线的概念及辨析 【例15】（2024上海高二课时练习）两条异面直线指的是（    ） A．不同在任何一个平面内的两条直线 B．在空间内不相交的两条直线 C．分别位于两个不同平面内的直线 D．某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 【答案】A 【知识点】异面直线的概念及辨析 【分析】根据异面直线的定义判断即可. 【详解】解：两条异面直线指的是不同在任何一个平面内的两条直线，故A正确； 空间中不相交的两条直线可以平行或异面，故B错误； 分别位于两个不同平面内的两条直线可以平行、相交或异面，故C错误； 某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线可以平行、相交或异面，故D错误. 故选：A 【例16】（2024高三·全国）下列命题中，真命题的个数是（　　） ① 分别在两个平面内的两条直线是异面直线； ② 和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条； ③ 和两条异面直线都相交的两条直线必定异面； ④ 与同一条直线都异面的两条直线也是异面直线． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】略 【例17】（2024上海高二课时练习）两条异面直线在一个平面内的投影是（    ） A．两条平行直线 B．两条相交直线 C．两条平行直线或两条相交直线 D．以上都不正确 【答案】D 【知识点】异面直线的概念及辨析 【分析】由投影的方位知，可能是两直线平行或相交外，还可能是一条直线及其外一点． 【详解】两条异面直线在一个平面内的投影：可能是两直线平行或相交外， 还可能是一条直线及其外一点． 故选：D. 题型05：异面直线的判定（对数与条数） 【例18】（23-24高二上·上海·期中）在正方体中的12条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有 条. 【答案】6 【分析】利用正方体的结构特征，结合异面直线的意义求解即得. 【解析】在正方体中的12条棱所在直线中， 与直线相交的棱所在直线有，共6条， 其余6条棱所在直线与直线是异面直线，    所以与直线是异面直线的共有6条. 故答案为：6 【例19】（2024-25浦东新区高二上期中）正方体有六个面，每个面有两条对角线，则这十二条对角线所在的十二条直线中，可以组成异面直线（    ） A．24对 B．30对 C．32对 D．64对 【答案】B 【知识点】异面直线的判定 【分析】由正方体的面对角线的性质结合异面直线的特征计算即可； 【详解】由正方体的特征可知每一条对角线与5条面对角线成异面直线， 所以共有对. 故选：B. 【例20】（2024上海高二课时练习）过三棱柱任意两个顶点的直线中，其中异面直线有（    ）对 A．15 B．24 C．36 D．54 【答案】C 【详解】三棱柱中，与异面的直线有， 与异面的直线有, 与异面的直线有, 与异面的直线有, 与异面的直线有, 与异面的直线有, 与异面的直线有,与异面的直线有, 与异面的直线有,与异面的直线有, 与异面的直线有,与异面的直线有, 所以异面直线有对， 故选： C. 【例21】（嘉定2023一模9）如图为正六棱柱，其个侧面的条面对角线所在直线中，与直线异面的共有______条.【答案】 【解析】连接，因为六边形为正六边形，所以，故 所以四点共面，不是异面直线 同理可得：与共面，不是异面直线 而，又与相交 故条面对角线中，与异面的分别为共5条 题型06：求异面直线所成的角 【例22】（2024-25奉贤区高二上期中）如图，在正方体中，M、N分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】若为中点，连接有，异面直线所成角即为，进而求其大小. 【详解】若为中点，连接，又M是的中点，则， 所以与所成角，即为与所成角， 令正方体棱长为2，则，，， 在△中，则. 故选：D 【例23】（2024上海高二课时练习）在空间四边形ABCD中，，且异面直线AB与CD所成的角为30°，E、F分别是边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角等于（　　） A．15° B．30° C．75° D．15°或75° 【答案】D 【知识点】求异面直线所成的角、由异面直线所成的角求其他量 【分析】根据线线平行可得异面直线所成角的角，即可分情况求解. 【详解】如图，设G是AC的中点，分别连接，由已知得，所以是所成的角或是其补角．      因为，所以 当时，AB和EF所成角， 当时，AB和EF所成角. 故选：D 【例24】（2024-25七宝中学高二上期中）若两异面直线成，且过空间一点与这两条异面直线成角的直线有四条，则的取值范围是______（答案用角度制表示） 【答案】 【分析】由异面直线所成角的概念结合角的旋转即可得到答案． 【详解】解：如图， 过分别作，的平行线，，则，所成锐角为，钝角为， 则钝角的一半为，当钝角角平分线上下旋转时与，成角大于， 同理锐角角平分线上下旋转能得到与，成等角的两条直线， 过空间一点与这两条异面直线成角的直线有四条，的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查异面直线所成角，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题． 【例25】（2024·高一·上海课堂例题）如图，已知是棱长为a的正方体．    (1)求异面直线与BC所成的角； (2)求异面直线与AC所成的角． 【解析】（1）在中，因为，则即为直线与BC所成的角或其补角， 因为，所以直线与BC所成的角为90°． （2）在中，连接，，， 则四边形为平行四边形，所以， 因此直线与AC所成的角就是直线与所成的角或其补角， 因为，，，即， 所以直线与所成的角为60°，即直线与AC所成的角为60°． 题型07：空间中证明线线平行 【例26】（2024上海高二课时练习）如图，在正方体中，、分别为、的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】连接，由正方体的性质得到为平行四边形，从而得到，再由中位线的性质得到，最后由平行公理证明即可. 【详解】如图，连接， 在正方体中，易知且， 四边形为平行四边形， ， 又、分别为、的中点， ， ． 【例27】（2024-25延安中学高二上期中）如图所示，已知三棱锥的点G，F，E，H分别是的中点，四边形是什么图形. 【答案】平行四边形 【分析】利用中位线，平行关系，即可判断四边形的形状； 【详解】因为点G，F，E，H分别是 的中点，， 所以，且， 所以四边形是平行四边形. 题型08：综合提升 【例28】（2024·高二·四川自贡·阶段练习）如图，在正方体中，点E，F分别为棱，AB的中点．    (1)求证：E、F、C、四点共面： (2)求异面直线与BC所成角的余弦值． 【解析】（1）连接. 在中，点E，F分别为棱，AB的中点， 则， 在正方体中，， ，且， 四边形是平行四边形， ，则， 故、、、四点共面. （2）由（1）知，， 则即为所求异面直线与BC所成的角， 设正方体的棱长为， 在中，， 则， 所以. 故所求异面直线与BC所成角的余弦值为． 【例29】（24-25高三上·上海黄浦·期末）如图，在正方体中，E是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线DE与平面ABCD所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，结合正方体的性质易得，，进而求证即可； （2）过作，交于，连接，易得是直线与平面所成的角，进而结合直角三角形中正切的定义求解即可. 【详解】（1）证明：连接，在正方体中，E是的中点， 所以E是的中点，且，即， 因为平面，平面， 所以， 又，平面, 所以平面. （2）过作，交于，连接， 在正方体中，平面，， 所以平面， 又平面，所以， 所以是直线与平面所成的角. 由题意，设，则， ，所以， 所以在，， 故直线与平面所成角的大小是. 一、填空题 1．（2020·上海市七宝中学高二期中）若直线、均平行于平面，那么与位置关系是________ 【答案】相交、平行、异面 【分析】依据题意画出图形，即可判断． 【详解】解：由题意可知：直线平面，直线平面，则与的位置关系是：图1是相交；图2是平行；图3是异面直线． 故答案为：相交、平行、异面 【点睛】本题考查空间直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力． 2．（2024上海高二课时练习）若空间中两个角的两边分别平行，则这两个角的大小关系是 ． 【答案】相等或互补 【分析】由空间等角定理判断 【详解】空间中两个角的两边分别平行，则这两个角的大小关系是相等或互补 故答案为：相等或互补 3.（2024·高一·全国·课时练习）已知角的两边和角的两边分别平行且，则 . 【答案】或. 【解析】由等角定理可知，或，或. 故答案为：或. 4.两条直线没有公共点是这两条直线为异面直线的______________条件(选填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“非充分非必要”) 【答案】必要不充分 【分析】根据异面直线的定义“不同在任一平面内的两条直线”，就可做出正确选择． 【详解】解：若空间中有两条直线， 则“这两条直线为异面直线”⇒“这两条直线没有公共点”； 反之“这两条直线没有公共点”不能推出“这两条直线为异面直线”， 因为“这两条直线可能平行，可能为异面直线”； 故两条直线没有公共点是这两条直线为异面直线的必要不充分条件． 故答案为必要不充分． 【点睛】本题考查异面直线的定义，是基础题． 5．（2020·上海师范大学第二附属中学高二期中）如图，、、、分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线与是异面直线的图形有______. 【答案】②④ 【分析】图①中，直线，图②中面，图③中，图④中，面． 【详解】解：根据题意， 在①中，且，则四边形是平行四边形，有，不是异面直线； 图②中，、、三点共面，但面，因此直线与异面； 在③中，、分别是所在棱的中点，所以且，故，必相交，不是异面直线； 图④中，、、共面，但面，与异面． 所以图②④中与异面． 故答案为：②④. 6．（23-24高一下·重庆·期中）如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点.则异面直线，所成角的余弦值为______    【分析】为中点，可知即为异面直线，所成角（或其补角），余弦定理求解即可. 【详解】连结，取中点，连结，，如图所示，    则，可知即为异面直线，所成角（或其补角）， ，， ，， 所以，即异面直线，所成角的余弦值为. 7.（2024·高二·重庆·期末）在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为______ 【解析】如图所示，取中点，连接，取中点，连接， 则， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以或其补角是异面直线与所成角， 设正方体棱长为2，则， 在等腰中，是中点，所以， 所以， 即异面直线与所成角的正弦值为. 故选：C 8.（2024·高二·四川达州·阶段练习）如图，在正方体 中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________ 【解析】 如图，连接，， 因为，， 所以四边形是平行四边形， ，因此是异面直线与所成的角或其补角， 设正方体的棱长为2，则，， 在直角三角形中，， ，即三角形是直角三角形， ， 即异面直线与所成角的余弦值为. 9．（2020·宝山·上海交大附中高二期中）如图，在三棱锥中，底面是边长为的正三角形，，且，分别是，中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________． 【答案】 【分析】连结DE，到DE中点P，连结PF、PC，则PF∥AE，从而∠PFC是异面直线AE和CF所成角的余弦值，由此能求出异面直线AE和CF所成角的余弦值. 【详解】解：因为三棱锥A−BCD中，底面是边长为2的正三角形，AB＝AC＝AD＝4， 所以三棱锥A−BCD为正三棱锥； 连结DE，取DE中点P，连结PF、PC， ∵正三棱锥A−BCD的侧棱长都等于4，底面正三角形的边长2， 点E、F分别是棱BC、AD的中点， ∴PF∥AE， ∴∠PFC是异面直线AE和CF所成角的余弦值， ， ， ， ， . ∴异面直线AE和CF所成角的余弦值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，关键是利用线线平行将异面直线所成的角转化为两相交直线所成的角，是中档题. 10．（2024上海高二课时练习）如图，直三棱柱中，是等边三角形，点分别是线段的中点，直线与平面交于点，则异面直线与所成角的余弦值为______ 【详解】如图，延长交的延长线于点，连接交于点， 依题意，，则（或其补角）即为异面直线与所成的角． 显然，，，则， 由，得，则，令， 由是等边三角形，得， 由余弦定理得， 因此， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故选：D 11．（2020·宝山·上海交大附中高二期中）若异面直线，所成的角为，则过空间上任一点P可做不同的直线与，所成的角都是，可做直线有______条. 【答案】3 【分析】将异面直线，平移过点，此时确定一个平面，当时，有1条直线，当时，有2条直线满足，得到答案. 【详解】将异面直线，平移过点，此时确定一个平面， 当时，有1条直线满足所成的角为. 当时，根据对称性知有2条直线满足所成的角为. 故共有3条直线满足条件. 故答案为：. 【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力. 12．（2020·宝山·上海交大附中高二期中）如图，在正方体中，点在线段上运动，异面直线与所成的角为，则的最小值为______. 【答案】 【分析】设正方体边长为，如图所示：连接，，，根据对称性知：， 计算，，得到答案. 【详解】设正方体边长为，如图所示：连接，，，根据对称性知：， 在中，，，，当时，根据等面积法， 故， 易知，故为异面直线与所成的角， ，故. 故答案为：. 【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 二、选择题 13．一条直线与两条平行线中的一条异面且垂直，则它与另一条的位置关系不可能的是（       ） A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直 【答案】B 【解析】若该直线与两平行线中另一条也平行，则三条直线都平行，不满足该直线与其中一条平行线垂直， 所以该直线与另一条线不可能平行， 故选：B 14.如图所示的是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，线段AB与CD所在直线的位置关系为（    ）    A．相交 B．平行 C．异面 D．无法判断 【答案】C 【知识点】异面直线的判定 【分析】将正方体的展开图还原为正方体，在正方体中找到展开图中AB、CD对应的直线，再判断AB、CD的位置关系． 【详解】由题意，将正方体展开图还原为正方体，如图所示： 在正方体中找到对应的AB、CD两条直线，由图可知，AB与CD异面． 故选：C．    15．（22-23高一下·河北邢台·期中）在正方体中，为的中点，在该正方体各棱所在的12条直线中，与直线异面的共有（    ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 【答案】D 【分析】根据异面直线的概念可得. 【详解】 如图与直线异面的直线为，，，，，，，，共8条． 故选：D 16..如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为 A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】A 【解析】∵A、M、C、C1四点不共面，∴直线AM与CC1是异面直线，故①错误； 同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误；同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确； 同理，直线AM与DD1是异面直线，故④正确．故选A． 【方法技巧】判定或证明两直线异面的常用方法： 1．定义法：不同在任何一个平面内的两条直线． 2．定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线． 3．推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线． 4．反证法：证明立体几何问题的一种重要方法． 证明步骤有三步：第一步是提出与结论相反的假设；第二步是由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步是推翻假设，从而原命题成立． 三、解答题 17．如图，在三棱锥中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．    (1)求证：四边形EFGH是平行四边形 (2)当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形． 【答案】(1)证明见解析 (2)当AC与BD垂直且相等时，四边形EFGH是正方形 【分析】（1）根据三角形中位线即可得线线平行，进而可证， （2）根据平行四边形结合正方形的性质即可求解. 【详解】（1）在中，E，F分别是边AB，BC的中点， 所以，且， 同理有，且， 所以且， 故四边形EFGH是平行四边形． （2）当AC与BD垂直且相等时，四边形EFGH是正方形，理由如下： 若，则有， 又因为四边形EFGH是平行四边形， 所以四边形EFGH是菱形． 若，则，所以菱形EFGH是正方形． 18．（2019·上海市吴淞中学高二期中）如图，在体积为的正三棱锥中，长为，为棱的中点； （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求正三棱锥的表面积． 【答案】(1) ；(2) . 【分析】（1）作的平行线，找出异面直线所成的角，然后在中利用余弦定理求角的大小； （2）将正三棱锥的三个侧面的面积与底面的面积相加，即可得到答案. 【详解】（1）设为底面正三角形的中心，连结， 正三棱锥体积：， ∴，即为1． 作交于，则为中位线， ∴即为异面直线的夹角． 在中，，，得，. 在中，，， 由余弦定理：， ∴所求异面直线的夹角为． （2）， 正三棱锥的表面积为. 【点睛】本题考查异面直线所成角、几何体的表面积计算，考查空间想象能力和运算求解能力，在求解异面直线所成角时，一般是按“一作、二证、三求”的步骤进行. 19．（2021·上海浦东新·华师大二附中高二期中）将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧. (1)求三棱锥的体积； (2)求异面直线与所成的角的大小. 【答案】(1) (2). 试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径，，再由三角形面积公式计算后即得. （2）设过点的母线与下底面交于点，根据，知或其补角为直线与所成的角，再结合题设条件确定，．得出即可． 试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径． 由的长为，可知． ， ． （2）设过点的母线与下底面交于点，则， 所以或其补角为直线与所成的角． 由长为，可知， 又，所以， 从而为等边三角形，得． 因为平面，所以． 在中，因为，，，所以， 从而直线与所成的角的大小为． 【考点】几何体的体积、空间角 【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题时，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运算能力等. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】 专题10.2 空间直线与直线的位置关系 知识点一：平行公理及推论 公理4、平行于同一条直线的两条直线平行；这一性质通常叫做平行线的传递性； 符号表示：⇒a∥c. 等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补； 【说明】等角定理实质上是由如下两个结论组合成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向都相同(或方向都相反)，则这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补； 知识点二：空间两直线的位置关系 1、空间两条直线的位置关系 2、异面直线 ①定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线； ②画法：(通常用平面衬托) 【说明】1、异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件； 异面直线既不相交，也不平行； 2、不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中， 虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线； 3、判定两条直线是异面直线的方法 ①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内； ②反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面， 从而可得两线异面； ③判定定理：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线； 用符号语言可表示为：, ，，与l是异面直线（如图）； 知识点三：异面直线所成的角 1、异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)； ②范围：； 2、求异面直线所成的角常用方法 （1）平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线或利用中位线； 【说明】又名“平移线段法”；平移的方法一般有三种类型：①利用图中已有的平行线平移；②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；③补形平移；计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行； （2）补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系； 3、把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 题型01：空间的平行直线--平行线公理 【例1】（2024黄浦区大同中学高二期中）已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 【例2】（2024上海浦东新·华师大二附中高二期中）如图所示，在长方体中，与相交于点分别是，的中点，则长方体的各棱中与平行的有（ ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【例3】（2024闵行区七宝中学高二期中）在正方体中，，分别是平面，平面的中心，，分别是线段，的中点，则直线与直线的位置关系是 A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 题型02：平行线公理的推论—等角定理 【例4】（2024上海高二课时练习）空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为（ ） A．60° B．120° C．30° D．60°或120° 【例5】（2024-25闵行区高二上期中）下列结论，其中正确的是________(填序号). ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等. ②如果两个角的两边都平行于一个平面，那么这两角相等或互补. ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补. ④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行. 【例6】（2024-25松江区高二上期中）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则∠EFG与∠ABC1（　　） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 【例7】（2024上海高二课时练习）若，且，OA与的方向相同，则（　　） A．，且方向相同 B．，且方向不同 C．OB与不平行 D．OB与不一定平行 题型03：空间直线与直线间位置关系 【例8】垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．选项A，B，C均有可能 【例9】（2024-25徐汇区高二上期中）一个正方体纸盒展开后如图所示，在关于原正方体纸盒的下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【例10】（23-24高二上·上海·期中）空间中已知直线，直线，直线，若直线直线，直线与直线异面，则直线与直线的位置关系是 . 【例11】（2024上海高二课时练习）分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是（　　） A．异面 B．相交 C．平行 D．异面或相交 【例12】如果两条直线与没有公共点，那么与（    ） A．共面 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 【例13】（2024·上海长宁·一模）已知非零空间向量和，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．若，则 【例14】（2024·上海金山·二模）如图，点为正方形的中心，△为正三角形，平面⊥平面，是线段的中点，则以下命题中正确的是（    ）． A． B． C．A、、三点共线 D．直线与相交 题型04：异面直线的概念及辨析 【例15】（2024上海高二课时练习）两条异面直线指的是（    ） A．不同在任何一个平面内的两条直线 B．在空间内不相交的两条直线 C．分别位于两个不同平面内的直线 D．某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 【例16】（2024高三·全国）下列命题中，真命题的个数是（　　） ① 分别在两个平面内的两条直线是异面直线； ② 和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条； ③ 和两条异面直线都相交的两条直线必定异面； ④ 与同一条直线都异面的两条直线也是异面直线． A．0 B．1 C．2 D．3 【例17】（2024上海高二课时练习）两条异面直线在一个平面内的投影是（    ） A．两条平行直线 B．两条相交直线 C．两条平行直线或两条相交直线 D．以上都不正确 题型05：异面直线的判定（对数与条数） 【例18】（23-24高二上·上海·期中）在正方体中的12条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有 条. 【例19】（2024-25浦东新区高二上期中）正方体有六个面，每个面有两条对角线，则这十二条对角线所在的十二条直线中，可以组成异面直线（    ） A．24对 B．30对 C．32对 D．64对 【例20】（2024上海高二课时练习）过三棱柱任意两个顶点的直线中，其中异面直线有（    ）对 A．15 B．24 C．36 D．54 【例21】（嘉定2023一模9）如图为正六棱柱，其个侧面的条面对角线所在直线中，与直线异面的共有______条. 题型06：求异面直线所成的角 【例22】（2024-25奉贤区高二上期中）如图，在正方体中，M、N分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是（    ） A． B． C． D． 【例23】（2024上海高二课时练习）在空间四边形ABCD中，，且异面直线AB与CD所成的角为30°，E、F分别是边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角等于（　　） A．15° B．30° C．75° D．15°或75° 【例24】（2024-25七宝中学高二上期中）若两异面直线成，且过空间一点与这两条异面直线成角的直线有四条，则的取值范围是______（答案用角度制表示） 【例25】（2024·高一·上海课堂例题）如图，已知是棱长为a的正方体．    (1)求异面直线与BC所成的角； (2)求异面直线与AC所成的角． 题型07：空间中证明线线平行 【例26】（2024上海高二课时练习）如图，在正方体中，、分别为、的中点．求证：． 【例27】（2024-25延安中学高二上期中）如图所示，已知三棱锥的点G，F，E，H分别是的中点，四边形是什么图形. 题型08：综合提升 【例28】（2024·高二·四川自贡·阶段练习）如图，在正方体中，点E，F分别为棱，AB的中点．    (1)求证：E、F、C、四点共面： (2)求异面直线与BC所成角的余弦值． 【例29】（24-25高三上·上海黄浦·期末）如图，在正方体中，E是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线DE与平面ABCD所成角的大小． 一、填空题 1．（2020·上海市七宝中学高二期中）若直线、均平行于平面，那么与位置关系是________ 2．（2024上海高二课时练习）若空间中两个角的两边分别平行，则这两个角的大小关系是 ． 3.（2024·高一·全国·课时练习）已知角的两边和角的两边分别平行且，则 . 4.两条直线没有公共点是这两条直线为异面直线的______________条件(选填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“非充分非必要”) 5．（2020·上海师范大学第二附属中学高二期中）如图，、、、分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线与是异面直线的图形有______. 6．（23-24高一下·重庆·期中）如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点.则异面直线，所成角的余弦值为______    7.（2024·高二·重庆·期末）在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为______ 8.（2024·高二·四川达州·阶段练习）如图，在正方体 中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________ 9．（2020·宝山·上海交大附中高二期中）如图，在三棱锥中，底面是边长为的正三角形，，且，分别是，中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________． 10．（2024上海高二课时练习）如图，直三棱柱中，是等边三角形，点分别是线段的中点，直线与平面交于点，则异面直线与所成角的余弦值为______ 11．（2020·宝山·上海交大附中高二期中）若异面直线，所成的角为，则过空间上任一点P可做不同的直线与，所成的角都是，可做直线有______条. 12．（2020·宝山·上海交大附中高二期中）如图，在正方体中，点在线段上运动，异面直线与所成的角为，则的最小值为______. 二、选择题 13．一条直线与两条平行线中的一条异面且垂直，则它与另一条的位置关系不可能的是（       ） A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直 14.如图所示的是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，线段AB与CD所在直线的位置关系为（    ）    A．相交 B．平行 C．异面 D．无法判断 15．（22-23高一下·河北邢台·期中）在正方体中，为的中点，在该正方体各棱所在的12条直线中，与直线异面的共有（    ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 16..如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为 A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 三、解答题 17．如图，在三棱锥中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．    (1)求证：四边形EFGH是平行四边形 (2)当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形． 18．（2019·上海市吴淞中学高二期中）如图，在体积为的正三棱锥中，长为，为棱的中点； （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求正三棱锥的表面积． 19．（2021·上海浦东新·华师大二附中高二期中）将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧. (1)求三棱锥的体积； (2)求异面直线与所成的角的大小. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $