专题1.4平面与平面间的位置关系难点题型讲义（3个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版必修第三册）

专题1.4平面与平面间的位置关系难点题型专训 （3个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 判断面面平行 题型二 证明面面平行 题型三 面面平行证明线线平行 题型四 面面平行证明线面平行 题型五 空间平行的转化 题型六 二面角的概念及辨析 题型七 求二面角 题型八 由二面角大小求线段长度或距离 题型九 由二面角大小求线线角或线面角 题型十 判断面面是否垂直 题型十一 证明面面垂直 题型十二 面面垂直证线面垂直 题型十三 空间垂直的转化 拓展训练一 面面平行的判定，证明及应用 拓展训练二 二面角相关问题 拓展训练三 面面垂直的判定、证明及应用 知识点一：平面与平面平行 1、平面与平面位置关系 位置关系 定义 符号表示 平行 平面与平面没有公共点 ∥ 相交 平面与平面有且仅有一条公共直线 2、平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 图形语言： 符号语言：且，那么 3、两个平面平行的性质定理 如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 图形语言： 符号语言：若，，则 4、几个重要结论 （1）垂直于同一条直线的两个平面平行 （2）如果两个平面平行那么在一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 （3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另外一个 （4）夹在两个平行平面中的平行线段相等 （5）经过平面外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 注：①两个平面平行的判定定理中必须是“两条”“相交”直线才能得出面面平行，把条件改成“一条”、“两条”、“无数条”都不一定成立 ②面面平行则面内的所有直线都平行与另一个平面，但是分别在两个平行平面内的两条直线不一定平行 5、半平面的定义 一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面 【即时训练】 1．（23-24高一下·全国·课后作业）下列四个说法中正确的是（　　） A．平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则αβ B．α∩γ＝a，α∩β＝b，且ab（α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线），则γβ C．平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则αβ D．平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则αβ 【答案】C 【分析】求得平面α内有无数个点到平面β的距离相等时α与β的位置关系判断选项A；求得α∩γ＝a，α∩β＝b，且ab时γ与β的位置关系判断选项B；平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边时α与β的位置关系判断选项C；举特例否定选项D. 【详解】选项A：当时，平面α内的直线l上有无数个点到平面β的距离相等.判断错误；    选项B：在如下图所示的三棱柱中： γ与β相交，α∩γ＝a，α∩β＝b，且ab，则.判断错误；    选项C：平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边， 则αβ.判断正确； 选项D：如下图，，平面α内的一个平行四边形相对的两边 与平面β内的一个平行四边形相对的两边满足.判断错误.    故选：C 2．（22-23高一·全国·随堂练习）若平面内任意一条直线均平行于平面，则平面与平面的位置关系是 ． 【答案】平行 【分析】刚刚平面与平面平行的定义判断即可. 【详解】平面与平面平行的定义为：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行； 所以一个平面内的任意一条直线都与另一个平面没有公共点， 即一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行， 所以若平面内任意一条直线均平行于平面，则平面与平面平行； 故答案为：平行 知识点二：二面角 1、二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面 2、画法 第一种是卧式法，也称为平卧式： 第二种是立式法，也称为直立式： 3、二面角的平面角： （1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做 二面角的平面角 （2）一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足， 则也是的平面角 【即时训练】 1．（22-23高一·全国·课后作业）两二面角的两个半平面分别垂直，则这两个二面角的平面角（    ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 【答案】D 【分析】在正方体中举反例得到答案即可． 【详解】 正方体中，平面平面 , 平面平面 二面角与二面角的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补． 故选：D 2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知一个六条棱均相等的四面体，则二面角的余弦值为 . 【答案】 【分析】由二面角的平面角的定义，作出二面角的平面角，利用余弦定理求解即可得. 【详解】如图，    设，取的中点为，连接, 由，可得， 所以为二面角的平面角， 由， 所以. 故答案为： 知识点三：平面与平面垂直 1、平面与平面垂直定义 　　两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 表示方法：平面与垂直，记作. 画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直. 如图： 　　　　　　　　　　 2、平面与平面垂直的判定定理 　　判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 　　符号语言： 　　图形语言： 　　　　　　 　　特征：线面垂直面面垂直 注意： 平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面垂直即可. 3、平面与平面垂直的性质 　　性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 　　符号语言： 　　图形语言： 　　　　　　　　 【即时训练】 1．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线与平面，则能使的充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用线面垂直的性质、面面垂直的判定及充分条件的定义逐项判断. 【详解】对于A，由，得，而，则，A不是； 对于B，，分别是平面内互相垂直的异面直线，满足，B不是； 对于C，由，得，又，则，C是； 对于D，由，得二面角的平面角可以是锐角、直角，也可以是钝角，D不是. 故选：C 2．（22-23高三·全国·课后作业）如图，已知矩形ABCD所在的平面，则下列说法中正确的是 ．（写出所有满足要求的说法序号） ①平面PAD⊥平面PAB；        ②平面PAD⊥平面PCD； ③平面PBC⊥平面PAB；        ④平面PBC⊥平面PCD． 【答案】①②③ 【分析】根据线面垂直的性质定理及面面垂直的判定定理证明判断即可． 【详解】①由矩形ABCD所在的平面，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故①正确； ②由矩形ABCD所在的平面，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故②正确； ③由矩形ABCD所在的平面，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故③正确； ④依题意得，若平面PBC⊥平面PCD，作交于，平面PBC平面PCD，所以平面PCD，又平面，所以, 因为，平面，所以平面，因为平面，所以,与矛盾，故④错误． 故答案为：①②③． 【经典例题一 判断面面平行】 【例1】（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知l，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若，，，且，，则 【答案】C 【分析】利用线面、面面位置关系，结合线面平行的性质逐项判断即得. 【详解】对于A，由，，，得或与相交或与是异面直线，A错误； 对于B，由，，，，得或与相交，B错误； 对于C，由，，，得，C正确； 对于D，由，，，且，，得或与相交，D错误. 故选：C 【例2】（24-25高一下·全国·课前预习）如图（1），a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图（2），c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？ 【答案】答案见解析 【详解】根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系，如图所示． 硬纸片和桌面不一定平行，三角尺和桌面一定平行，． 1．（24-25高一下·河南郑州·期中）已知是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（   ） A．平面内有一条直线与平面平行 B．平面内有两条直线与平面平行 C．平面内有无数条直线与平面平行 D．平面内有两条相交直线与平面平行 【答案】D 【分析】由面面平行的判定定理即可判断. 【详解】对于A：平面内有一条直线与平面平行，可能平行，也可能相交， 对于B：平面内有两条直线与平面平行，可能平行，也可能相交， 对于C：平面内有无数条直线与平面平行，可能平行，也可能相交， 对于D：平面内有两条相交直线与平面平行，则，面面平行判定定理， 故选：D 2．（24-25高一下·河北唐山·期中）平面与平面平行的充分条件可以是（  ） A．平面内的任意一条直线都与平面平行 B．直线平面，直线平面，且直线不在平面内，也不在平面内 C．直线平面，直线平面，且平面，直线平面 D．平面内有无穷多条直线都与平面平行 【答案】A 【分析】对于选项A利用面面平行的判定定理即可判断正确，选项B,C,D利用举反例画图即可判断. 【详解】对于选项A：由任意两一直线与平面平行，一定能找到两条相交的直线a,b使得直线平面, 直线平面,又两条相交直线在平面内，由面面平行的判断定理即可得到. 对于选项B:由图可知直线平面，直线平面，且直线不在平面内，也不在平面内，但是平面与平面相交；故B错误 对于选项C:由图可知：直线平面，直线平面，且直线平面，直线平面，但是平面与平面相交，故C错误 对于选项D:平面内只要与直线a平行的线都与平面平行， 这样的线有无数条，但是平面与平面相交，故D错误 故选：A 3．（23-24高一下·全国·课后作业）对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得lα，lβ，mα，mβ..其中可以判断两个平面α与β平行的条件有 个． 【答案】2 【分析】举反例否定①③，进而得到可以判断两个平面α与β平行的条件为②④. 【详解】如图取α、β、γ，易知α⊥γ，β⊥γ，但是α与β相交，不平行，故排除①； 若存在平面γ，使α、β都平行于γ，则可以判断两个平面α与β平行.②是正确的； 若α与β相交，如图所示，, ，且l与m，n两直线等距离， 则α内不共线的三点A，B，C到β的距离相等. 所以排除③； 存在异面直线l，m，使得lα，lβ，mα，mβ. 则可以判断两个 平面α与β平行. ④是正确的． 故答案为：2 4．（22-23高一·全国·课堂例题）在如图所示的五面体中，三个面，，都是平行四边形．求证：平面平面ABC．    【答案】证明见解析 【分析】只要证明平面内两相交直线都平行于另一平面即可. 【详解】证明  因为四边形是平行四边形，所以． 又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC． 同理，平面ABC．又， 平面，平面 所以平面平面ABC． 【经典例题二 证明面面平行】 【例1】（23-24高一下·浙江宁波·期中）设m，n是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，，，则 【答案】D 【分析】结合点线面的位置关系对选项一一判断，即可得出结论. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，，则或与是异面直线，故B错误； 对于C，如图所示，，，，，但，故C错误； 对于D，因为，所以过有唯一平面， 又，，所以， 又，，所以， 所以，故D正确. 故选：D. 【例2】（24-25高一下·陕西汉中·期末）由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行即可，即证明. （2）要证明面面平行，需通过证明一平面内的两条相交直线与另一平面平行即可. 【详解】（1）取的中点，连接. 则. 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，不在平面内， 所以平面. （2）因为，平面，不在平面内， 所以平面. 由（1）知，平面. 因为平面， 所以平面平面. 1．（23-24高一下·全国·课后作业）在正方体中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（ ）． A．截面与截面 B．截面与截面 C．截面与截面 D．截面与截面 【答案】B 【分析】根据面面平行的判定并结合图形判断各选项． 【详解】如图，选项A、B、C、D分别对应图1、图2、图3、图4． 对于A，与相交，截面与相交，A不是； 对于B， 截面与平行． 由，得四边形为平行四边形， 则，又平面，平面，则平面， 同理可证平面，，平面， 所以平面平面，B是； 对于C，截面与有公共点D，截面与相交，C不是； 对于D，与相交，截面与相交，D不是. 故选：B 2．（2024·湖北·一模）如图，在正方体中，分别为的中点，则与平面垂直的直线可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出与平面平行的平面，证明面即可. 【详解】连接，如下图所示： 因为分别为的中点，故//，//， 又面面，故//面； 又面面，故//面； 又面，故面//面； 则垂直于平面的直线一定垂直于面； 显然面面，故， 又，面， 故面，又面，故； 同理可得，又面， 故面，也即面； 若其它选项的直线垂直于平面，则要与平行，显然都不平行. 故选：D. 3．（22-23高二下·上海徐汇·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，点P在底面ABCD内，若直线与平面无公共点，则线段的最小值为 . 【答案】 【分析】首先连接，，，易证平面平面，从而得到平面，即可得到线段的最小值. 【详解】连接，，，如图所示： 在正方体中， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，且， 所以平面平面. 因为与平面无公共点，所以平面， 当时，取得最小值. 因为 所以的最小值为. 故答案为： 4．（24-25高一下·广西玉林·阶段练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为的中点． (1)求证：AC1//平面BDE； (2)当点F在棱DD1的中点时，求证：平面//平面BDE． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接交于，通过三角形中位线证得，由此证得平面； （2）先证出四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理及面面平行的判定定理，证得平面平面. 【详解】（1）设，连, ∵、为别为、的中点, ∴， 又平面，平面， ∴平面. （2）∵点为棱中点，为的中点． ∴且 ∴为平行四边形， ∴， 又平面，平面. ∴平面. 又平面，且 ，平面， ∴平面平面. 【经典例题三 面面平行证明线线平行】 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据面面平行的判定定理和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】由，，若，由面面平行的性质知：，必要性成立； 由，，若，则或相交，充分性不成立． 相交情况如下：   则“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，直三棱柱中，且平面平面.求实数的值. 【答案】 【分析】连接交于点，利用面面平行的性质得到，得到，再结合条件，利用面面平行的性质得，结合正方体的性质得，从而有，即可求解. 【详解】连接交于点，则为的中点，连接， 因为平面平面， 平面平面， 平面平面， 所以 所以为的中点，所以， 因为平面平面， 平面平面， 平面平面， 所以，又， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 故. 1．（24-25高一下·山东泰安·阶段练习）已知平面，点是外一点，过点的直线与分别交于点，过点的直线与分别交于点，且，则长（    ） A．6 B．6或30 C． D．6或 【答案】B 【分析】根据面面平行的性质定理得到线线平行，再分点在平面的同侧和点在平面之间两种情况，利用相似三角形的性质求出的长. 【详解】当点位于平面同侧时， 如图（1），则， ∴， ∴； 当点位于平面之间时， 如图（2），， ∴， ∴. 故选：B. 2．（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，，分别在线段，上，且，在上且平面平面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面面平行的性质定理可得，即可得，即可得解. 【详解】 延长，连接， 由四边形为平行四边形可知， 则，即， 又平面平面，且平面平面， 平面平面，则， 又，所以， 由四棱柱可知，， 即，， 又，， 故选：A. 3．（24-25高一下·福建莆田·期中）已知平面平面，点是平面外一点（如图所示），且直线分别与相交于点，若，则 ．      【答案】9 【分析】先由题意，根据面面平行性质定理，得到，推出，进而得到，根据题中数据，即可得出结果. 【详解】因为平面平面，根据面面平行的性质定理，可得：， 所以，，又， 所以， 因此， 又，所以. 故答案为：9 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，平面平面，，分别在，内，线段，，共点于，在平面和平面之间，若，，，，求的面积． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用面面平行的性质证得线线平行，进而证得三角形相似，再利用相似三角形性质求出面积. 【详解】由，则，确定的平面与平面，平面的交线分别为，， 而平面平面，则有，，同理，， 因此，它们的面积之比为，又的面积为， 所以的面积为. 【经典例题四 面面平行证明线面平行】 【例1】（24-25高三上·甘肃白银·期中）如图所示，是棱长为的正方体，，分别是下底面的棱，的中点，是上底面的棱上的一点，，过点，，的平面交上底面于，点在上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件中的平行关系去证明∥，从而根据相似可计算，再计算即可. 【详解】在正方体中， 因为平面∥平面，且平面， 所以∥平面， 因为平面平面，平面， 所以， 又，分别是，的中点，所以∥， 又∥，由平行的传递性可知∥， 因为，所以 所以， 故在直角三角形中，. 故选：C. 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图①，在直角梯形中，∥，，，为的中点，分别为的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图②.求证:在四棱锥中，∥平面. 【答案】证明见解析. 【分析】由已知结合三角形中位线定理及线面平行的判定定理可得可证得∥平面，∥平面，则可证得平面平面，从而可证得平面. 【详解】证明：在四棱锥中，分别为的中点， 所以∥， 因为为的中点，所以 因为 ，所以， 因为∥，所以四边形为平行四边形， 所以∥，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为分别为的中点，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面. 因为，平面， 所以平面∥平面. 因为平面， 所以∥平面. 1．（23-24高一下·陕西西安·期末）设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，且，，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用面面平行的性质，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，，，则且， 反之，当且时，若，则或与相交， 所以“”是“且”的充分不必要条件. 故选：A 2．（23-24高二上·上海普陀·阶段练习）过平面外一点，可以作这个平面的平行线的条数是（    ） A．1条 B．2条 C．超过2条但有限 D．无数条 【答案】D 【分析】结合平面的基本性质，以及线，面平行判定定理和性质定理，即可得到结论. 【详解】如图所示，因为点，在平面作两条相交直线， 由直线与点可以确定一个平面，在平面内过点作， 由直线与点可以确定一个平面，在平面内过点作， 因为且，设直线与确定平面，则平面， 在平面内过点的所有直线都平行与平面， 故过平面外一点能作出无数条直线和这个平面平行. 故选：D.    3．（23-24高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，是的中点，点在四边形的边上及其内部运动，则满足 时，有平面． 【答案】在线段上 【分析】根据平面平面，可知平面内任意一条直线都与平面平行，而点在四边形上及其内部运动，所以满足条件． 【详解】 连接，，，,． 由题易知,，平面,平面, 平面 又，同理可证平面, 又，，平面， 平面平面． 点在四边形的边上及其内部运动，平面平面,． 故答案为：在线段上, 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，，平面且，、分别是、的中点. 求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】取中点，连接，证明出平面平面，再利用面面平行的性质可证得结论成立. 【详解】如图，取中点，连接， 分别为的中点，， 平面，平面，平面， 且，四边形为平行四边形，且， 分别为的中点，且， 四边形为平行四边形，， 面，面，面， ，平面，面面， 平面，平面． 【经典例题五 空间平行的转化】 【例1】（2023·湖北武汉·三模）已知不重合的平面，及不重合的直线m，n，则（    ）． A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】B 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系一一判定即可. 【详解】对于A项，若，，则或，故A错误； 对于B项，若，，则n∥或， 当n∥时，若，则，当时，若，则也成立，综上，故B正确； 对于C项，若，，，则或，反例如下图所示，可以说明符合条件时， 两个平面有相交的可能.故C错误； 对于D项，如下图所示，m、n可能异面，故D错误. ， 故选：B 【例2】（23-24高一下·湖南长沙·期中）已知正方体ABCD−A1B1C1D1，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证： (1)平面AB1D1//平面C1BD； (2)求直线D1A与BA1所成角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在正方体中，分别证明平面，平面，由面面平行的判定定理可证. （2）异面直线求夹角，将异面直线转换到同一平面内，进行求解. 【详解】（1）证：在正方体中，，且，所以四边形为平行四边形，则，同理. 平面，平面；所以平面， 同理平面，且， 所以平面平面. （2）∵， ∴是直线与所成角， ∵， ∴， ∴直线与所成角为． 1．（2023·江苏南通·模拟预测）正四棱柱中，，M是的中点，点N在棱上，，则平面AMN与侧面的交线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线线平行，结合比例即可求解 为平面AMN与侧面的交线. 【详解】取,的中点为,，连接 ，则,且， 在平面中，过点作交于，则 为平面AMN与侧面的交线，且, 由于, 故选：C    2．（23-24高二上·湖北黄石·开学考试）设为直线，，为两个不同的平面，则下列结论中错误的是（    ） A．，，且 B．， C．，且 D．，且与相交与相交 【答案】B 【分析】根据空间中线面平行、面面平行关系逐项分析判断. 【详解】对于选项A：若，，则或， 又因为，所以，故A正确； 对于选项B：若，，则或与相交， 例如在正方体中，//平面，//平面， 显然平面与平面相交，故B错误；    对于选项C：若，且，由面面平行的性质可得，故C正确； 对于选项D：若，且与相交，由面面平行的性质可得与相交，故D正确； 故选：B. 3．（23-24高一·全国·课后作业）不共面的四个点到平面的距离都相等，这样的平面共有 个． 【答案】7 【分析】根据题意画出构成的几何体，根据平面两侧的点的个数进行分类，利用三棱锥的结构特征进行求解． 【详解】解：空间中不共面的四个定点构成三棱锥，如图：三棱锥， ①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即对此三棱锥进行换底，则三棱锥由四种表示形式，此时满足条件的平面个数是四个， ②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个， 所以满足条件的平面共有7个， 故答案为：7． 4．（23-24高一·湖南·课后作业）如图，，直线AC分别交平面，，于点A，B，C，直线DF分别交平面，，于点D，E，F．求证：． 【答案】证明过程见解析 【分析】分两种情况，作出辅助线，由面面平行的性质得到线线平行，进而得到对应边成比例，证明出结论. 【详解】当直线AC与直线DF共面时，如图所示，连接AD，BE，CF，则由面面平行可知：AD∥BE∥CF，则由平行线分线段成比例可得：； 当直线AC与直线DF异面时，如下图，过点D作∥AC交于点M，交于点N，连接AD，BM，CN，ME，NF，由面面平行的性质可得：AD∥BM∥CN，ME∥NF，所以，，从而. 【经典例题六 空间平行的转化】 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角（   ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．关系无法确定 【答案】D 【分析】举例验证两个二面角的位置关系，进而得到两个二面角的大小关系. 【详解】如图所示，平面平面ABC，    当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直， 因为二面角的大小不确定，所以两个二面角的大小关系不确定． 故选：D. 【例2】（23-24高一·全国·课堂例题）在正方体中，过，B，D三个点作一个平面，请画出二面角的平面角，并说明画图的根据． 【答案】答案见解析 【分析】连接交BD于点，易知且，由二面角定义可知，就是二面角的平面角. 【详解】连接，交于点，连接，则就是二面角的平面角，如下图所示:    根据：在底面正方形中，易知，且点为的中点， 又正方体中，，所以； 由二面角定义可知，就是二面角的平面角. 1．（23-24高二上·北京·期中）关于空间中的角，下列说法中正确的个数是（    ） ①空间中两条直线所成角的取值范围是    ②空间中直线与平面所成角的取值范围是 ③空间中二面角的平面角的取值范围是    ④空间中平面与平面所成角的取值范围是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角范围判断即可. 【详解】对于①：由空间中两条直线所成角的取值范围是，可知①正确； 对于②：由空间中直线与平面所成角的取值范围是，可知②正确； 对于③：空间中二面角的平面角的取值范围是，可知③错误； 对于④：空间中平面与平面所成角的取值范围是，可知④正确； 故选：C 2．（2023·海南·模拟预测）庑殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面是矩形，且四个侧面与底面的夹角均相等，则（    ）．       A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点在底面上的射影为，作，，垂足分别为，，设四个侧面与底面的夹角为，即可得到，根据三角形全等得到方程，整理即可. 【详解】如图所示，设点在底面上的射影为，作，，垂足分别为，． 则为侧面与底面的夹角，为侧面与底面的夹角， 设四个侧面与底面的夹角为，则在和中，，    又为公共边，所以，即，整理得． 故选：A 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知三个平面、、，任意两个平面所成的锐二面角的大小都是，则锐角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用特殊情况来说明两平面所成角的最大角和最小角，从而可得任意角时的范围. 【详解】作出一个正方体，如图：    有平面平面，平面平面，平面平面， 这样满足三个平面、、，任意两个平面所成的二面角的大小都是， 当三个平面重合时，也满足三个平面、、，任意两个平面所成的二面角的大小都是， 由于两个平面所成的二面角的大小没有钝角，通过以上两种情况， 能说明任意两个平面所成角相等时的最小角是0，最大角是， 但是如果三个平面、、，任意两个平面所成的锐二面角的大小都是，那么锐角的取值范围是. 故答案为：. 4．（22-23高一·全国·随堂练习）想一想，本章5.2节在表示二面角的平面角时，为何要求“，”？为什么的大小与点O在l上的位置无关？ 【答案】见解析 【分析】根据给定二面角则二面角的平面角的大小是确定的，角的大小具有的唯一性解释即可. 【详解】如图，    要求，，是为了保证用平面角度量二面角的唯一性， 由几何知识我们知道，在各种几何位置关系中，垂直具有“唯一性”， 可以作为分界点，实际上，如果在二面角的棱上任找一点，从这一点 出发分别在两个半平面内任作一条射线， 虽然它们可构成一个平面角， 但这样的角的大小会由于所作的射线的位置的不同而改变，因而不具有“唯一性”， 但如果所作射线与棱垂直，因为在一个平面内经过棱上一点只能作棱的一条垂线， 这样过棱上一点所作的角是唯一确定的. 的大小与点O在l上的位置无关： 因为在一个平面内和同一条直线垂直的两条直线平行，根据等角定理知在棱上选 取的点O的位置不同，但是由于得到的平面角的两边分别平行，且方向相同， 故所得平面角的大小都相等（例如图中）. 【经典例题七 求二面角】 【例1】（24-25高一下·陕西汉中·期末）已知为正方体，、分别为、的中点，则二面角的大小为（   ）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【分析】作出二面角的平面角，再利用平面几何知识计算即可. 【详解】如图，设正方体的棱长为，取中点，连结，则， 又因为，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以， 故为所求二面角的平面角， 因为，所以. 故选：B    【例2】（2025高三·全国·专题练习）二面角的大小为，点分别在平面内，点，在棱上的投影分别为点，已知，求的大小． 【答案】60° 【分析】由二面角的定义即可求解. 【详解】如图，，平移到，使得， 则四边形为矩形， 所以为二面角的平面角， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又，所以， 所以， 又，所以，    所以. 1．（23-24高一下·北京·期末）我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到一个正八面体（如图）．若该正八面体的所有棱长均为2，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用定义作出二面角的平面角，在中利用余弦定理即可求解. 【详解】如图，    连接AC，BD交于点O，连接EF，依题意，EF过点O，取的中点，连接，， 由正八面体的几何特征，得，为二面角的平面角， 而平面，AC在面ABCD内，则， 是直角三角形，又，，则，， 在中，，同理， 在中，， 所以二面角的余弦值为. 故选：C 2．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）卢浮宫玻璃金字塔是世界著名建筑，其结构单元中采用了正四面体衍生的索桁架体系，通过交叉拉索与刚性杆件形成稳定单元，体现了正四面体在复杂结构中的力学优势．一个正四面体两侧面所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过取中点作中线找到二面角的平面角然后在三角形中利用余弦定理求其余弦值. 【详解】如图所示所示正四面体，取的中点，连接，， 设四面体棱长为，则， 因为所有面都为等边三角形所以，，则为两侧面所成角的平面角， 在中由余弦定理有. 故选：C 3．（2025高三·全国·专题练习）已知平面和平面交于直线是空间一点，，垂足为，垂足为，且，若，则与所成二面角为 ． 【答案】或 【分析】由二面角的定义即可求解. 【详解】要考虑点位置的两种可能．如图1和图2．    过作，连接，又，，所以， 又平面，所以平面， 又，同理可得，平面， 所以共面，即平面，又平面， 所以，则就是与所成二面角的平面角， 图1中，，所以， 图2中， 故答案为：或. 4．（2025高二下·浙江·学业考试）如图，在直三棱柱中，，. (1)求证：； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需利用线面垂直的判定定理证明出平面即可得证； （2）首先作于，过作于，证明即为二面角的平面角，即可得解. 【详解】（1）连接， 在直三棱柱中，平面， 平面，， ，，， ，平面，平面， 平面，平面，， ，四边形是正方形，， ，平面，平面， 平面，平面，； （2）过点作于，过作于，连， 在直三棱柱中，平面，平面，， ，平面，平面， 平面，平面，平面， ，， 又，，平面，平面， 平面，平面，， 是二面角的平面角， ，，， ，， 为直角，，， 二面角的正弦值为. 【经典例题八 由二面角大小求线段长度或距离】 【例1】（24-25高二上·湖北·开学考试）在三棱锥中，三个侧面与底面所成的角均相等，顶点在内的射影为，则是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【答案】C 【分析】根据三垂线定理可得平面的夹角，结合题意得，即可根据锐角三解函数得，由内心的性质即可求解. 【详解】若三个侧面与底面所成的角相等，则分别作三个侧面三角形的斜高， 由三垂线定理，得，，， 则、、分别是三侧面与底面所成角的平面角， ， ，，， ， 是的内心． 故选：C． 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）在直二面角的棱上任取一点P，从这点出发在两个面内各作一条射线，与棱成角，若为锐角，求此锐角的大小． 【答案】 【分析】在两条射线上各取一点，使得，分别在二面角的两个面内过作二面角的棱的垂线，由为锐角得垂足重合于一点设为O，连接，求出即可得解. 【详解】在两条射线上各取一点，使得， 分别在二面角的两个面内过作二面角的棱的垂线， 则由为锐角可知垂足重合于一点设为O， 如图，连接，则由题意可知，， 故， 所以是正三角形， 所以. 1．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）四边形与均是边长为4的正方形，如果二面角的大小为，那么与平面的距离为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】根据二面角的定义可知 为二面角的平面角，再根据题意求解与平面的距离. 【详解】由题可知，平面平面 所以为二面角的平面角 所以 , 因为、平面 所以平面 因为平面 所以平面平面 如图，过 作 平面 于 点, 则 必在 上. 由 平面 , 知 为 与平面 的距离 在直角三角形中， 故选：A 2．（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）已知圆锥的顶点为，母线长为2，轴截面为，若为底面圆周上异于，的一点，且二面角的大小为，则的面积为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，找到即为二面角的平面角，即，并利用勾股定理求出各边长，求出三角形面积. 【详解】由题意得， 设底面圆圆心为，取的中点，连接， 则，故， 因为，，所以⊥，⊥， 故即为二面角的平面角，即， 故，， 由勾股定理得，， 所以的面积为 故选：B 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则侧棱长为 ． 【答案】/ 【分析】根据二面角的定义，找到二面角的平面角，解三角形求. 【详解】由多面体为正三棱柱可知，为正三角形，且, 取的中点为，连接，，则，， 所以即为二面角的平面角，所以， 在中，，，所以， 所以正三棱柱侧棱长为. 故答案为：. 4．（23-24高二·全国·课后作业）如图所示，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，，等边△ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长． 【答案】2 【分析】作二面角的平面角，由勾股定理求解 【详解】如图，取AB的中点E，连接DE，CE． 因为是等边三角形，所以DE⊥AB． 当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面平面ABC＝AB，且DE⊥AB， 所以DE⊥平面ABC，故DE⊥CE． 由已知可得，EC＝1． 所以在中，． 【经典例题九 由二面角大小求线线角或线面角】 【例1】（22-23高三上·江西南昌·阶段练习）如图是由边长为2的正与正方形拼接成的平面图形，现将沿折起，当二面角为时，直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先构造二面角的平面角，并计算边长，并将异面直线所成角转化为相交直线所成角，利用余弦定理计算求值. 【详解】如图，取中点，中点，连接，，，.由，， 得为二面角的平面角，∴，且， 所以平面,，所以平面, 平面,所以, 因为，， 由余弦定理得， 所以. 因为，所以（或补角）为直线与所成的角. 在中，. 故选:C. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知点分别是正方形中的中点，是的中点，沿对角线将正方形折成直二面角．求与所成的角． 【答案】 【分析】先由异面直线所成的角的定义，找到所求角，根据翻折前后的变化，得到所求角就是一个正三角形的内角. 【详解】如图，因为，所以为二面角的平面角， 因为沿对角线将正方形折成直二面角， 所以， 因为为正方形折前的位置，所以，， 所以，得，所以为正三角形， 所以， 又因为∥，所以或其补角为与所成的角， 因为 所以与所成的角为. 1．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，二面角的大小是，线段，，与所成的角为，则AB与平面β所成的角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，找到二面角的平面角，AB与l所成的角及AB与β所成的角，利用求出答案. 【详解】如图，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC， 因为，所以⊥， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 则为二面角的平面角，即， 为AB与l所成的角，， 设AB与所成的角为θ，则. 由图得. 故选：B 2．（24-25高二上·湖南岳阳·开学考试）已知平面与所成锐二面角的平面角为，P为空间内一定点，过点P作与平面所成的角都是的直线l，则这样的直线l有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据题意画出平面α与β及其垂直之间的位置关系，再由对称性和角的大小即可求得直线条数. 【详解】如下图所示：    设过点P与平面与垂直的直线为，故直线所成角为， 又因为直线与平面，所成的角都是，故直线与直线所成角为， 又因为，利用对称性可知在直线所成角为一侧有两条直线符合题意； 易知，即在的一侧只有一条直线符合题意； 故这样的直线有3条， 故选：C 3．（2005·浙江·高考真题）如图所示，M，N是直角梯形ABCD两腰的中点，于E，现将沿DE折起使二面角A-DE-B为，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则此时M，N的连线与AE所成的角的大小为 . 【答案】/ 【分析】在平面中构造与平行的直线，使得其与相交，结合已知二面角大小，即可求得结果. 【详解】根据题意，折叠后取中点为，连接如下所示： 因为面，且，故二面角的平面角为， 又因为分别为的中点，故可得，//； 在矩形中，为中点，故可得，//； 则，且//，故四边形为平行四边形， 故即为所求异面直线夹角或其补角； 又面，面，故，又，为中点， 故，即M，N的连线与AE所成的角的大小为. 故答案为：. 4．（2023高一·全国·专题练习）在三棱锥中，为等边三角形，平面ABC，将三角形PAC绕PA逆时针旋转至PAD位置（如图），且二面角的大小为90°．证明：A，B，C，D四点共面，且； 【答案】证明见解析 【分析】根据线面垂直的判定定理可得平面，然后利用反证法可得四点共面，进而根据二面角的概念及利用线面垂直的判定定理可得平面，即得. 【详解】证明：平面，且平面，平面， ，，平面ACD，又， 平面，假设四点不共面， 平面，平面， 平面平面，与平面平面矛盾，故四点共面； 又，所以为二面角的平面角， ，即，又，且平面PAB， 平面，又平面， . 【经典例题十 判断面面是否垂直】 【例1】（24-25高一下·北京顺义·期末）设m，n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】由空间中线面的位置关系进行判断即可． 【详解】对于A项，当相交时，才成立，故A项错误； 对于B项，由，，得，而，则，故B项正确； 对于C项，若，，则，或，或，故C项错误； 对于D项，若，，则可以平行或异面，故D项错误． 故选：B 【例2】（2023·甘肃·二模）已知四棱锥中，底面为平行四边形，底面，若，，分别为，的重心． (1)求证：平面； (2)当时，求到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）延长交于，延长交于，根据等分点与三角形底边平行关系先证明线线平行，再证明线面平行； （2）因为，设到平面的距离为，到平面的距离，则，然后利用等体积法求出即可. 【详解】（1）延长交于，延长交于，如图所示： 因为分别为和的重心， 所以分别为的中点，且， 又因为底面为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）设到平面的距离为，到平面的距离， 由（1）可知：，则， 由题意可得：，平面，平面， 故平面， 因为在棱上， 所以到平面的距离等于到平面的距离， 因为底面，底面，可得， 又因为，，平面， 所以平面，且平面，故， 由题意可知：， 从而， 在等腰中，可得， 对于三棱锥的体积可得：， 则，解得， 故到平面的距离为. 1．（24-25高一下·全国·课后作业）对于直线m、n和平面、，能得出的一个条件是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】利用平面垂直判定定理，逐一分析各选项中直线与平面的关系是否可以推导出. 【详解】对于A，当垂直相交且同时平行于时，可能有的情况，所以A错误； 对于B，如下图，当，，，不一定得到，所以B错误； 对于C，过直线作平面与平面交于直线，如下图， ∵，，，∴， ∵，，∴，∴， 又，从而得到，故C正确； 对于D，由，可得，而，故可得，即D错误. 故选：C. 2．（24-25高一下·北京西城·期末）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，逐一核对四个选项得答案． 【详解】对A：因为平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，故A错误； 对B：因为平面的平行线与平面内的直线位置关系不能确定，故B错误； 对C：因为若两个平面的垂线垂直，那么这两个平面就垂直，故C错误； 对D：因为，所以存在直线，使得，又，所以；因为，所以.故D正确. 故选：D 3．（23-24高二上·上海·期末）设、是不同的直线，、是不同的平面，其中真命题是 （填序号）. （1）若，，，则； （2）若，，，则； （3）若，，，则；     （4）若，，，，则； 【答案】（1） 【分析】结合、是不同的直线，、是不同的平面，利用直线、平面之间的位置关系逐一判断即可. 【详解】对于（1）：因为，，所以，又因为，结合面面垂直的判定定理，可得，故（1）为真命题; 对于（2）：若，，，则根据空间中平面与平面的位置关系可得：相交或平行，故（2）不是真命题； 对于（3）：若，，，则根据空间中平面与平面的位置关系可得：相交或平行，故（3）不是真命题； 对于（4）：若，，，，则根据空间中平面与平面的位置关系可得：相交或平行，故（4）不是真命题； 故答案为：（1）. 4．（23-24高一下·广东广州·期末）金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．河南某实业集团股份有限公司是国内人造金刚石的排头兵，人造金刚石年生产能力达15亿克拉，是国内同行业第一，世界第三金刚石生产基地．金刚石呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，且对角面（如ABCD）都是正方形． (1)证明：平面CDF； (2)证明：四棱锥是正四棱锥； (3)试判断平面ABE与平面BCE是否垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)不垂直，理由见解析 【分析】（1）由题意可知对角面AFCE是正方形，则，然后由线面平行的判定定理可证得结论； （2）连接AC与BD，设，连接EO，根据题意利用等腰三角形的性质可证得， ，则由线面垂直的判定定理可得平面ABCD，从而可证得结论； （3）取BE中点G，连接AG，GC，AC，则，，是二面角的平面角，设该正八面体棱长为，表示出，然后利用勾股定理的逆定理分析判断即可 【详解】（1）由题意可知，对角面AFCE是正方形， 所以，     又因为平面CDF，平面CDF，     所以平面CDF． （2）如图1，连接AC与BD，设，连接EO，                 图1                              图2 则         因为， 所以， ， 又因为平面ABCD，又因为平面ABCD，且     所以平面ABCD．         所以四棱锥是正四棱锥． （3）如图2所示，取BE中点G，连接AG，GC，AC，     根据等边三角形性质可知，， 所以是二面角的平面角，     设该正八面体棱长为， 则，， 则在中，， 所以，所以平面ABE与平面BCE不垂直． 【经典例题十一 证明面面垂直】 【例1】（24-25高一下·全国·随堂练习）已知直线a，b与平面，，，下面能使成立的条件是（    ） A．， B．，， C．， D．， 【答案】D 【分析】由线面、面面的平行与垂直的判定与性质依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，若，则可能平行，也可能相交，相交也不一定垂直，A错误； 对于B，若，由线面垂直判定定理可知，与不一定垂直， 因此相交，不一定垂直，B错误； 对于C，若，则可能平行，也可能相交，相交也不一定垂直，C错误； 对于D，由，得存在过直线与平面相交的平面，令交线为，则， 又，于是，因此，D正确. 故选：D 【例2】（2025高三·全国·专题练习）一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，将折起，使得.证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据线线垂直，结合线面垂直的判定定理得平面，最后由面面垂直的判定定理求证. 【详解】因为，， 且，平面， 故平面， 又因为平面， 所以平面平面． 1．（23-24高一下·湖南·期末）已知是一条直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合面面垂直的判定判断得解. 【详解】由，得在平面内有一条直线与平行， 又，所以，所以； 由，得或. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 2．（2024·陕西安康·模拟预测）在四棱锥中，为等边三角形，四边形为矩形，且，平面平面，则直线AC与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】取为的中点，先证明平面，得为所求线面角，由边长间的关系求正弦值. 【详解】平面平面，又平面平面， 平面，，则平面， 又平面，故平面平面， 取的中点，连接，如图所示， 平面平面，平面平面， 为等边三角形，则，故平面， 则直线AC与平面所成角即为， 令，则，，， 故. 故选：A 3．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，在三棱锥中，若是的中点，则平面与平面的关系是 . 【答案】垂直 【分析】先证明平面，再由面面垂直的判定定理求解. 【详解】因为是的中点， 所以由等腰三角形三线合一可知， 又，平面，平面， ∴平面. 又平面， ∴平面平面. 故答案为：垂直. 4．（2025高三·全国·专题练习）在梯形ABCD中，，，，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点（如图①）．将沿AC折起到位置，使得（如图②）．证明：平面平面ABC．    【答案】证明见解析 【分析】通过题干条件证明四边形DPBC为平行四边形，从而证明O为AC的中点，再利用线线垂直推出线面垂直，从而推出面面垂直. 【详解】因为在梯形ABCD中，， ，，P为AB的中点， 所以是正三角形，且，，则四边形DPBC为平行四边形， 所以，所以，所以，所以O为AC的中点， 又因为，所以，又，，平面ABC，平面，所以平面ABC， 又因为平面，所以平面平面ABC． 【经典例题十二 面面垂直证线面垂直】 【例1】（24-25高一下·甘肃白银·期末）设P为多面体Ω的一个顶点，定义多面体Ω在顶点P处的离散曲率为，其中（，且）为多面体Ω的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面，平面为多面体Ω的所有以P为公共点的面.如图，在三棱柱中，侧面是矩形，底面是正三角形，且平面平面，则点B处的离散曲率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得平面，然后根据离散曲率的定义计算即可. 【详解】因为侧面是矩形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，故. 所以点处的离散曲率为. 故选：C. 【例2】（2025高二·全国·专题练习）如图所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，侧面底面ABC．若D是BC的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】易得，根据面面垂直的性质可得侧面，再根据线面垂直的性质即可得证． 【详解】证明：∵，D是BC中点，∴， ∵底面侧面，交线为BC，平面， ∴侧面， 又∵侧面， ∴． 1．（23-24·全国·高考真题）点P在直二面角的棱上，C，D分别在内，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，过C作AB的垂线，垂足为Q，结合全等三角形、勾股定理及面面垂直的性质可得，进而得到为等边三角形，即可求解. 【详解】设，过C作AB的垂线，垂足为Q，即， 因为，则，则， 因为，，，所以， 又，所以， 所以，则为等边三角形，则. 故选：C. 2．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知平面平面，点，则过点且垂直于平面的直线（    ） A．只有一条，不一定在平面内 B．有无数条，不一定在平面内 C．只有一条，一定在平面内 D．有无数条，一定在平面内 【答案】C 【分析】利用面面垂直的性质可得对应的结论. 【详解】根据面面垂线的性质定理可知，当平面垂直平面时， 过平面上一点且垂直于平面的直线，在平面内只有一条. 故选：C. 3．（23-24高二上·江西宜春·期中）如图，PA⊥面ABCD，且ABCD为菱形，M是PC上的一动点，当点M满足条件 时，平面MBD⊥平面PCD.（注：只要填写一个你认为正确的即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】要平面MBD⊥平面PCD，可以考虑PC⊥平面MBD，进而得出点M满足的条件即可 【详解】根据面面垂直的判定可得，当PC⊥平面MBD时，平面MBD⊥平面PCD，故可以考虑PC⊥平面MBD，此时.当时，根据对称性可得，又，平面MBD，此时PC⊥平面MBD满足题意. 故答案为：（答案不唯一） 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【详解】利用面面垂直的性质定理得平面，再根据，即可证明答案． 因为底面为正方形， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面， 又因为是线段的中点，是线段的中点， 所以， 所以平面． 【经典例题十三 空间垂直的转化】 【例1】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知两个平面相互垂直，则下列命题正确的是（    ） A．一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线 B．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 C．一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面 D．过一个平面内任意一点在此平面内作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 【答案】B 【分析】利用面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系逐项判断. 【详解】对于A：当一个平面内的一条直线平行于两个平面的交线时不满足条件，故A错误； 对于B：两个平面垂直则一个平面内的一条直线必垂直于另外一个平面内的无数条直线，故B正确； 对于C：在其中一个平面内可以找到一条直线平行于另一个平面，如与交线平行的直线即可，故C错误； 对于D：如果该点在交线上，过交点上一点作垂线不一定垂直另一个平面，故D错误. 故选：B. 【例2】（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）如图，在三棱锥中，底面，，是的中点. (1)求证：平面. (2)若，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，转化为证明线线垂直，即证明； （2）根据（1）的结果，结合线面角定义，构造线面角，即可求解. 【详解】（1）因为底面，平面， 所以，且，，平面， 所以平面 （2）由（1）可知，平面，平面， 所以平面平面，且平面平面， 平面内作，连结，所以平面， 且，则是的中点， 则为与平面所成角， 由条件可知，，， ， 点是的中点，所以，， 所以. 1．（24-25高二上·北京·期中）我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵中，，，则直线与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线面角定义找到直线与平面所成角的平面角，结合已知求其大小. 【详解】由题设知，直三棱柱底面为等腰直角三角形，且，， 若是中点，连接，则，且， 由面面，面，面面， 所以面，则直线与平面所成角为锐角， 且面，则， 由题意，在中，则，故. 故选：A 2．（2023·北京海淀·二模）已知正方形ABCD所在平面与正方形CDEF所在平面互相垂直，且，P是对角线CE的中点，Q是对角线BD上一个动点，则P，Q两点之间距离的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据面面垂直可得线面垂直，进而根据线线垂直得到勾股定理，根据点到直线的距离最小即可求解的最小值. 【详解】取边的中点为,连接 , P是CE的中点，则, 由于,平面平面,平面平面，平面, 故平面,平面, 故, 在直角三角形中， , , 要使最小，则最小，故当时，此时最小，故的最小值为,所以，、 故选：C 3．（22-23高一下·安徽马鞍山·阶段练习）已知边长为2的正方形，沿对角线折起，得到三棱锥，当该三棱锥体积最大时，线段的长为 . 【答案】 【分析】取的中点，连接、，当平面平面时三棱锥的体积取得最大值，由面面垂直的性质得到平面，从而得到，再由勾股定理计算可得. 【详解】取的中点，连接、，则、，， 当平面平面时，三棱锥的体积取得最大值， 又平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以， 所以当该三棱锥体积最大时，线段的长为. 故答案为： 4．（23-24高二上·广东广州·期中）如图，在三棱锥中，，，，点是线段的中点，平面平面． (1)在线段上是否存在点， 使得平面？ 若存在， 指出点的位置， 并加以证明；若不存在， 请说明理由； (2)求证：. 【答案】(1)当点为的中点时，平面，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取线段的中点，连接，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可得出结论； （2）利用勾股定理可得出，利用面面垂直的性质定理可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立. 【详解】（1）解：当点为的中点时，平面，理由如下： 取线段的中点，连接， 因为、分别为、的中点，则， 平面，平面，因此，平面. （2）证明：因为，，，则，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，. 【拓展训练一 面面平行的判定，证明及应用】 【例1】（24-25高一下·河北·阶段练习）已知正方体的棱长为2，分别是棱的中点，为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取取的中点，连接，根据线面平行的判定定理，证得平面，平面，进而证得平面平面，得到当时，平面，所以点在侧面内的轨迹为线段，连接，作，垂足为，由，可求的最小值. 【详解】如图，取的中点，连接． 由正方体的性质可得． 因为平面平面平面平面， 所以平面，平面． 因为平面平面，且，所以平面平面． 因为平面，所以当时，平面，此时平面， 故点在侧面内的轨迹为线段． 连接，作，垂足为，则， 所以，故． 因为，当与重合时，等号成立． 所以的最小值为. 故选：A. 【例2】（2023·上海黄浦·二模）如图．与都是等腰直角三角形．其底边分别为BD与BC，点E、F分别为线段BD、AC的中点．设二面角的大小为，当在区间内变化时、下列结论正确的是（    ） A．存在某一值．使得 B．存在某一值．使得 C．存在某一值．使得 D．存在某一值，使得 【答案】D 【分析】利用反证法，结合线面垂直的判定地理和性质定理以及面面垂直的判定定理逐项判断. 【详解】如图所示： 在等腰三角形中，设，则，E为BD的中点，连接AE，CE，则， A. 假设存在某一值．使得，又，，则平面，则，又，则，矛盾，故错误； B.假设存在某一值．使得，又，则平面，则，即，又，，则平面，则平面平面，矛盾，故错误； C.假设存在某一值．使得，又，则平面，则，在中，，F为AC的中点，因为为非等腰三角形，所以不成立，故错误； D.假设存在某一值，使得，又，则平面，则，又，则平面，因为，则平面平面，所以，故正确， 故选：D 1．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于，结合面面平行性质定理证明，证明，结合相似三角形性质证明结论. 【详解】解析如图所示，延长交于，连接， 则，所以. 因为平面平面，平面平面， 平面平面， 所以，又四边形是平行四边形， 所以，所以. 因为，所以. 因为，所以， 所以， 故选：B.    2．（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面平行的条件构造面面平行从而得到点的轨迹，在根据平面几何知识求出的范围. 【详解】如图，取的中点，的中点，连接，显然，且， 所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面， 平面,所以平面，因为，平面， 平面,所以平面，又因为，所以平面平面， 因为平面，所以平面，点在侧面上，所以点位于线段上， 因为， ，所以当点位于点时，最大， 当点位于的中点时，最小， 此时， 所以，所以线段长度的取值范围是. 故选：B 3．（2023高三·全国·专题练习）矩形的边，过作直线的垂线，垂足分别为，且分别为的三等分点.沿着将矩形翻折，使得二面角成直角，则长度为 . 【答案】/ 【分析】根据，可以求出，再根据勾股定理即可求出的长度. 【详解】解：因为矩形的边，过作直线的垂线，垂足分别为，且分别为的三等分点. 故设， 所以，，即，解得， 所以，， 所以， 因为二面角成直角， 所以，异面直线所成角为， 所以，. 故答案为：. 4．（2024·四川广安·二模）如图，菱形的对角线与交于点，是的中位线，与交于点，已知是绕旋转过程中的一个图形﹐且平面.给出下列结论： ①平面； ②平面平面； ③“直线直线”始终不成立. 其中所有正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】B 【分析】利用线面平行的判定判断①；利用面面垂直的判定推理判断②；举例说明判断③. 【详解】菱形的对角线与交于点，是的中位线，则， 而平面，平面，因此平面，①正确； 连接，由，得，而平面， 则平面，又平面，因此平面平面，②正确； 显然是二面角的平面角，由绕旋转过程中， 从逐渐减小到（不包含和），当时，， 平面，则平面，而平面，于是，③错误， 所以所有正确结论的序号为①②. 故选：B 【拓展训练二 二面角相关问题】 【例1】（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）如图所示，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，是侧面内一点，若平面AEF.则线段长度的最大值与最小值之和为 . 【答案】 【分析】根据面面平行的性质证明出点的轨迹为线段，在根据平面几何知识计算出的最值。 【详解】下图所示： 分别取棱、的中点、，连接，连接， 、、、为所在棱的中点，，， ，又平面，平面， 平面； ，，四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面， 又，平面，平面平面， 是侧面内一点，且平面， 则必在线段上， 在中，， 同理，在中，求得， 为等腰三角形， 当在中点时，此时最短，位于、处时最长， ， ， 所以线段长度的是大值与最小值之和为． 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）平面平面，平面平面，平面平面，则（    ） A．平面 B．平面 C．与平面斜交 D．平面 【答案】D 【分析】在平面内任取不在直线上的一点，在平面内，过作于，过作于，根据条件，利用面面垂直的性质，得到，，再利用线面垂直的判定定理，即可求出结果. 【详解】如图，设，在平面内任取不在直线上的一点， 在平面内，过作于，过作于， 因为平面平面，，，，所以面， 又面，所以，同理可得，又，面， 所以平面， 故选：D. 1．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，E，F，G，H分别是PB，PC，AE，BF的中点．证明：直线平面．    【答案】证明见解析 【分析】取BE的中点M，连接GM，HM，EF，可证明平面平面，从而可证直线平面. 【详解】如图，取BE的中点M，连接GM，HM，EF，      因为为的中点， 所以是的中位线，所以， 同理，是的中位线，是的中位线， 所以，，所以， 由，平面,平面，得平面， 同理，平面， 又，平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面． 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，，，点E，F分别为，的中点.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】要证明两平面平行，所以需要证明一平面内两条相交直线与另一平面平行，即证明平面和平面. 【详解】在中，点分别为的中点， 所以，因为平面，而不在平面内， 所以平面. 因为，所以. 因为为等边三角形，所以， 所以. 又易知，所以. 又因为平面，而不在平面内， 所以平面. 又平面， 所以平面平面. 3．（23-24高三上·重庆·阶段练习）如图1，在平行四边形中，，，，将沿折起，使得点到点的位置，如图2，经过直线且与直线平行的平面为，平面平面，平面平面. (1)证明：. (2)若二面角的大小为，求的长. 【答案】(1)证明详见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的性质定理、平行直线等知识来证得. （2）作出二面角的平面角，求得，解直角三角形求得. 【详解】（1）由于，平面，平面平面，所以， 由于，平面，平面平面，所以， 所以. （2）折叠前，四边形是平行四边形，，所以， 折叠后， 过作，则四边形是矩形，所以， 所以是二面角的平面角，所以， 由于，所以三角形是等边三角形，所以， 由于平面，所以平面， 而，所以平面， 由于平面，所以，， 所以. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，已知，平面平面．若的边上有一点，使得与平面所成角为，则可能为 ．（写出一个符合题意的结果即可） 【答案】（答案不唯一，填或或均可） 【分析】根据题意，证得平面，得到，进而证得平面，得到平面平面，设，作出图象，过点作平面，得到，求得的值，分当在边上和在边上，两种情况，分别求得的取值，即可得到答案. 【详解】因为，所以， 又因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面， 设，则， 如图①所示，设为的中点，则平面，且，要使得与平面所成角为，则，此时． ①当在边上时，或， 即或， 则或； ②当在边上时，如图②所示， 在中，由余弦定理得，解得， 则， 由，所以若点在上，则， 故不可能存在点在上，使得． 综上可得，的可能取值为或或． 故答案为：（答案不唯一，填或或均可） 【拓展训练三 面面垂直的判定、证明及应用】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）正三棱柱中，，点分别是侧棱上的点，则平面与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长，交于点，由条件证明，，根据线面垂直判定定理证明平面，由此证明，由平面夹角的定义可得为所求的角，解三角形求其大小可得结论. 【详解】如图，延长，交于点，连接，则为平面与平面的交线． 因为，所以，又， 所以，故． 因为，所以，， 所以，即 又，所以， 所以． 由正三棱柱性质可得，平面，故平面，平面， 所以，又，平面， 则平面，又平面， 所以，故为所求的角． 在中，，所以． 故选：A．    【例2】(24-25高一下·江西·期末）如图1，已知等边三角形的边长为，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，得到如图2所示的四棱锥． (1)证明：． (2)在棱上是否存在点满足平面？若存在，求出的值；若不存在，请说出理由． (3)已知二面角的大小是，点在四边形内（包括边界），且，当直线与直线的夹角的余弦值最大时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3)． 【分析】（1）利用余弦定理求出，利用勾股定理证明线线垂直，再结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）利用面面平行的判定定理及性质定理即可求解； （3）根据二面角、线面角的定义，结合面面垂直的性质定理可得点在以为圆心，2为半径的圆上，结合余弦定理即可求解. 【详解】（1）在中，，，由余弦定理求得． 因为，所以． 由题中图2可知，，， ，面 所以平面， 因为平面，所以． （2）假设在棱上存在点满足平面，如图3， 过点作，交于点，连接． 因为，所以平面， 又因为平面，，平面， 所以平面平面． 又因为平面平面，平面平面， 所以，所以． 又因为，所以，从而. （3）由（1）可知，， 所以二面角的平面角为，则． 如图4，过点作，垂足为，求得． 由（1）可知平面，所以平面平面， 又平面平面，所以平面． 因为，可得，所以点在以为圆心，2为半径的圆上． 直线与平面所成的角为， 直线与直线所成的角最小为， 此时，，，， 在中，由余弦定理求得． 1．（2025高三·全国·专题练习）各棱长相等的正三棱柱，分别为棱的中点，为上的动点，则二面角的正切值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二面角的定义即可求解. 【详解】如图12－15所示，    过作交于，过作交于， 在正三棱柱中，平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以就是二面角的平面角， 又平面，平面，所以， 则，不妨设各棱长相等的正三棱柱边长为4， 又，所以在以为直径的圆弧上， 所以图14时，取得最大值为， 此时， 图13时，取得最小值，利用等面积法可得， 此时， 综上，二面角的正切值范围为. 故选：B. 2．（2025·北京昌平·二模）庑殿顶是中国传统建筑中的一种屋顶形式，其顶盖几何模型如图所示，底面是矩形，侧面由两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形组成．若，且四个侧面与底面的夹角的大小均相等，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点，连接， 过点作面于点，过点作面于点，作于点，连接， 因为底面是矩形，所以， 又因为面，面，所以面， 又因为面，面面， 所以， 因为面，面都与底面所成的角相等， 所以点在直线上，且，， 因为侧面由两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形组成， 所以，， 所以为面与面所成的角， 面，面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，又平面， 所以，所以为面与面所成的角， 所以，又为公共边， 所以，所以，同理， 所以. 故选：B. 3．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）如图1，在直角梯形ABFE中，，，，，，点C、D分别在线段BF、AE上，且.将四边形ABCD沿CD折起，使得二面角的大小为（如图2）. (1)证明：平面平面CDEF； (2)求直线AC与平面CDEF所成的角的正弦值； (3)记平面BCF与平面AEF的交线为l，直线l与平面ABCD的交点为G，求点G到平面CDEF的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题设易得，可得平面ADE，进而求证即可； （2）过点A作，垂足为M，连接CM，由平面平面CDEF可得平面CDEF，可得为AC与平面CDEF所成角，结合及二面角的定义可得，进而求出，再求解即可； （3）延长FE、CD交于点H，连接AH，并延长HA，CB交于点G，可得FG为平面BCF与平面AEF的交线，即G为l与平面ABCD的交点，进而结合条件分析可得点G到平面CDEF的距离为点A到平面CDEF距离的2倍，进而求解即可. 【详解】（1）证明： 在图1中，，，， ∴四边形ABCD为矩形，∴图2中， ，且平面ADE，平面ADE， ∵平面CDEF，∴平面平面CDEF. （2）过点A作，垂足为M，连接CM， 由（1）得平面平面CDEF， ∵平面平面，平面ADE， 平面CDEF，则为AC与平面CDEF所成角， 又∵， 是二面角的平面角，即， 在中，， 又∵，， ∴在中，， ∴直线AC与平面CDEF所成角的正弦值为 （3）延长FE、CD交于点H，连接AH，并延长HA，CB交于点G， 则FG为平面BCF与平面AEF的交线，即G为l与平面ABCD的交点， 且，∴D为CH的中点，， ，∴A为HG的中点， ∴点G到平面CDEF的距离为点A到平面CDEF距离的2倍， ∴点G到平面CDEF的距离为. 4．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知三棱锥底面为边长为1的等边三角形，平面平面，平面平面为线段中点，为线段中点，点在线段上.    (1)证明：平面； (2)设直线与平面所成的角分别为，其中，求线段的长度及点位置. 【答案】(1)证明见详解； (2)，点为靠近点的四等分点. 【分析】（1）过点分别在平面、平面内作的垂线，利用面面垂直性质定理证明两垂线都垂直于平面，然后两垂线共点即可得证； （2）记的中点分别为，设，，在中利用余弦定理列方程组求解可得. 【详解】（1）过点分别在平面、平面内作的垂线，垂足分别为， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，同理平面， 又有公共点，所以两直线重合， 因为平面，平面， 所以为平面与平面的交线，即， 所以平面.    （2）记的中点分别为，连接, 则， 因为平面，所以平面，平面， 所以直线与平面所成的角分别为， 设，，则， 因为，所以， 因为，所以，所以， 又为边长为1的等边三角形，所以， 在中由余弦定理可得：， 解得，所以，点为靠近点的四等分点. 1．（25-26高二上·宁夏中卫·开学考试）已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据直线和平面的位置关系逐项判断正误即可. 【详解】对于选项A：若，，则或异面，故A错误； 对于选项B：若，，可知，所以，故B正确； 对于选项C：若，，则的位置关系有：平行、相交或异面，故C错误； 对于选项D：若，，则与平面的位置关系有：平行、相交或线在面内，故D错误； 故选：B. 2．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则能确定的一组条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间中点、线、面的位置关系即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A,若，则可能平行，也可能相交或者异面，故A错误， 对于B,若，则，故B错误， 对于C, ,则可能平行，可能异面，也可能相交，故C错误， 对于D, ，又，故，故D正确， 故选：D 3．（24-25高一下·安徽宣城·期末）若m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 【答案】D 【分析】根据线面平行与垂直的性质和判定逐个分析判断即可 【详解】对于A，若，，则，故A正确； 对于B，记，在内作直线，因为，所以， 又因为，所以，又，，则，故B正确； 对于C，若，，则，故C正确； 对于D，若，，，，当相交时，可得， 当平行时，可得或相交，故D错误. 故选：D. 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，在四面体中，平面，，则该四面体的四个表面中，互相垂直的平面有（    ）.    A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定，面面垂直的判定定理推理判断. 【详解】由平面，平面，平面， 得平面平面，平面平面，平面与平面不垂直； 由平面，平面，得， 而，平面，则平面， 又平面，因此平面平面，平面与平面不垂直； 假定平面平面，在平面内过点作于，连接， 由是斜边，得不与点重合，由平面平面， 得平面，而平面，则，又平面， 于是平面，又平面，则，由平面，平面， 得，而平面，因此与矛盾，即平面与平面不垂直，    所以平面平面，平面平面，平面平面，共有3对. 故选：C 5．（2025高一·全国·专题练习）如图，在棱长均相等的四棱锥中，为底面正方形的中心，，分别为侧棱的中点，则下列结论中不正确的是（）.    A．平面 B．平面平面 C． D． 【答案】C 【分析】连结，利用三角形中位线定理证明，然后可判断A；利用平行直线的传递性，结合面面平行的判定定理可判断B；借助可判断C；利用勾股定理证明，然后可判断D. 【详解】对A，连结，因为为正方向，所以为的中点， 又为的中点，所以则， 因为平面，平面，所以平面，故A正确． 对B，由分别为侧棱的中点，得， 因为平面，平面，平面， 又平面，是平面内的两条相交直线， 所以平面平面，故B正确．    对C，因为，易知，所以直线与直线不垂直，故C错误. 对D，设棱长为，则，所以，故， 又，所以，故D正确． 故选：C． 6．（24-25高一下·河南南阳·期末）如图，α∥β，A，C∈α，B，D∈β，AC与BD为异面直线，AC=6，BD=8，AB=CD=10，AB与CD成60°的角，则异面直线AC与BD夹角的大小是（    ） A．60° B．90° C．45°或60° D．60°或90° 【答案】B 【分析】过点作的平行线交平面于点，连接，，得到平行四边形，在中，计算即得到异面直线与所成的角. 【详解】 过点作的平行线交平面于点，连接，. ，平面，平面， 四边形为平行四边形， 又与成60°的角，故或， 当时，又为等边三角形，故 当时，， 又，不合题意； 综上， 在中，， 所以（或其补角）为异面直线与所成的角， 故异面直线与所成的角为. 故选：B. 7．（24-25高一下·甘肃白银·期末）柱是建筑物中用来承托建筑物上部重量的直立的杆体，俗称“柱子”.柱子在各个时期既有延续与继承，又有发展和变化，如方柱在秦代时开始出现，而在汉代时则又增加了八角形柱、束竹式柱、人像柱等.某凉亭的一根正三棱形柱子可近似看作如图所示的图形，记该正三棱柱为，其底面边长是3，侧棱长是，M为的中点，N是侧面上一点，且平面，则点N的轨迹长为（   ） A．27 B． C．12 D．6 【答案】B 【分析】分别取，的中点，，连接，，利用线面平行证明平面平面，从而可得即为点的轨迹，即可求解. 【详解】分别取，的中点，，连接，. 因为，， 所以，平面，平面. 所以平面.又，平面，平面. 所以平面，平面， 所以平面平面. 所以当点在线段上运动时，有平面， 所以点的轨迹长为.故B正确. 故选：B. 8．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）如图，在三棱锥中，点D、F分别为棱PB，AC上的点，且，，E为线段BC上的点，若，且满足平面PEF，则λ=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，平面PEF，平面PEF，得到平面平面，然后得出最后得到结果. 【详解】如图，取的中点，连接， 由，所以为的中点，又为的中点，所以 PE， 平面，平面，所以平面， 又平面，且，平面， 所以平面平面，由平面，所以平面 又平面，平面平面，所以 又，所以，所以，故 故选：A 9．（2025·河北秦皇岛·三模）如图，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点，则过点、、的平面与侧面的交线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设平面分别交棱、于点、，利用面面平行的性质得出、，结合等角定理得出、，进而可求得、、、的长，再利用勾股定理可求出的长，即为所求. 【详解】设平面分别交棱、于点、，如下图所示： 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 又因为，由等角定理及图形可知， 则，即，故， 故， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 又因为，由等角定理及图形可得， 所以，即，所以， 所以，故. 因此，平面与侧面的交线长为. 故选：A. 10．（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图，在立体图形中，若，，是的中点，则下列命题中一定正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】C 【分析】利用垂直关系，结合面面垂直的判断定理，即可判断选项. 【详解】因为，且是的中点，所以BE⊥AC， 因为，且是的中点，所以DE⊥AC， 因为，平面， 所以平面，由于平面， 所以平面平面，C正确； 在平面内取点，作，，垂足分别为，，如图， 因为平面，由于平面， 所以平面平面，平面平面，平面，， 则平面，平面，所以， 若平面平面，同理可得，而，平面， 于是得平面，显然与平面不一定垂直，A不正确； 过A作边上的高，连，由得，是边上的高， 则是二面角的平面角，而不一定是直角，即平面与平面不一定垂直，B不正确； 因平面，则是二面角的平面角，不一定是直角， 平面与平面不一定垂直，D不正确. 故选：C 11．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）一个山坡面与水平面成120°的二面角，坡脚的水平线（即二面角的睨）为AB，甲沿山坡自P朝垂直于AB的方向走30，同时乙沿水平面自Q朝垂直于AB的方向走30，P､Q都是AB上的点，若，这时甲､乙两个人之间的距离为 . 【答案】 【分析】根据图可知本题要求的是异面两点之间的距离，利用平面几何知识以及二面角的概念便可求出的距离. 【详解】如图，设P沿垂直于AB的方向走30到达，Q朝垂直于AB的方向走30到达过点在水平面内作，过在水平面内作与交于点，连接. ，， 四边形是矩形 于是是二面角的平面角，而面，且面 作，则可知， （米），（米） （米） 所以（米），即甲乙之间的距离为（米） 故答案为： 12．（2024高二·浙江·竞赛）在中，，，，分别在线段和上，，，直线于.现将三角形沿着对折，当平面与平面的二面角为时，则线段的长度为 . 【答案】 【分析】先根据二面角的定义，得到△BCD为等边三角形，得到BC的长度，然后在折后的立体图形中，在△PAQ和△BAC中利用余弦定理即可求得线段的长度. 【详解】因为折叠前后，AD与DB,CD的垂直关系保持不变， ∴∠BDC为二面角B—AD—C的平面角， 依题意可知， 在折叠前的图形中，， ∴， ∴在折叠后，△ABC为等边三角形，∴， 所以， 又∵AP=1, ，AD=1，AB=AC=2， ∴，解得. 故答案为：. 13．（2025·四川绵阳·模拟预测）在几何学的世界里，阿基米德体以其独特的形状和美丽的对称性吸引了无数数学爱好者和科学家，它是一种半正多面体，其中每个面都是正多边形，且各个面的边数不全相同.如图，棱长为2的半正多面体是将一个棱长为6的正四面体切掉4个顶点所在的小正四面体后所剩余的部分，已知A，B，C，D为该半正多面体的四个顶点，点P为其表面上的动点，且平面，则P点的轨迹长度为 . 【答案】/ 【分析】根据正四面体的性质可得线线平行，进而得平面平面，故点的轨迹为线段，即可利用三角形边角关系求解长度得解. 【详解】如图：补全正四面体，连接, 取分别为大正四面体棱的中点，连接, 由于均为大四面体的棱的三等分点，故. 平面，平面，平面，平面， 故平面, 平面. 且平面， 故平面平面， 由于平面，因此平面， 故点的轨迹为线段， 由于, 故点的轨迹长度为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据平面平面，可得点的轨迹为线段. 14．（2024高三·全国·专题练习）设是空间中两个不同的平面，a，b，c是空间中三条不同的直线，，给出下列五个结论，请写出一个一定正确结论的序号 .①；②是异面直线；③没有公共点；④与没有公共点；⑤. 【答案】③（或④） 【分析】由线面位置关系逐一判断即可. 【详解】由，可得，可能平行，也可能是异面直线； ，没有公共点；与没有公共点；与可能平行，也可能相交.故一定正确的结论序号为③④. 故答案为：③（或④） 15．（22-23高二下·河南信阳·阶段练习）在一次通用技术实践课上，木工小组需要将正方体木块截去一角，要求截面经过面对角线上的点（如图），且与平面平行，已知，，则截面面积等于 . 【答案】 【分析】连接交于点，连接、，过点作与平行的直线分别交、于点、，在上取点使，证明出平面平面，计算出的面积，即可得解. 【详解】如图，连接交于点，连接、. 因为且，故四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 同理可证平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 故截面平行于平面. 过点作与平行的直线分别交、于点、，在上取点使. ，，，. 因为平面，平面，所以，平面， 又因为，平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 易得，故， 因为， 易知是边长为的等边三角形，所以，， 因此，. 故答案为：. 16．（24-25高三下·浙江杭州·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，，为的中点，分别为边上一点，满足．将分别沿着翻折成，满足在平面的同一侧，面面． (1)证明：共面； (2)在线段上是否存在一点（异于端点），满足平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的情况下，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)直线与平面所成角的正弦值为. 【分析】（1）延长，相交于点，证明，，再证明，由此可证共面； （2）先证明平面，平面，根据面面平行判定定理证明平面平面，取上靠近的三等分点，根据线面平行判定定理证明平面； （3）作与相交于点，证明平面，根据线面角定义可得就是直线与平面所成角，解三角形求角的正弦值. 【详解】（1）延长，相交于点， 因为，为的中点， 故，又，所以， 又， 所以， 因为平面，平面， 所以， 而，， 所以，故， 故共线，且， 又，所以， 所以共面， （2）由（1），又平面，平面， 所以平面， 因为，又平面，平面， 所以平面，又，平面， 所以平面平面， 由（1），取上靠近的三等分点， 则，又， 所以四边形为平行四边形， 所以，平面，， 所以平面， （3）由（2）可得直线与平面所成角即为直线与所成角， 作与相交于点. 由平面，平面，可得， 又，，平面， 所以平面，又平面， 所以，又，，平面， 所以平面， 所以直线在平面上的投影为， 所以就是直线与平面所成角， 在中，，，， 所以， 所以， 在中，，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17．（24-25高一下·安徽·开学考试）过空间四面体的顶点分别作垂线平面平面平面平面，求证：若且，则直线相交于一点 【答案】证明见解析 【分析】先利用向量证明，进而根据面面垂直的性质可得平面，平面，设这两条高线交于点，进而利用垂直关系证明平面，平面即可. 【详解】证明：设，其中为原点． 由已知得，， 联立得 综上知四面体的三组对边均互相垂直，这样的四面体为垂心四面体． 在垂心四面体中，从各顶点向对面所作的垂线共点．下证： 上取点，因，平面， 所以平面， 平面，平面，且平面平面，平面平面, 故则过分别作,则平面，平面， 故在平面内，设这两条高线交于点， 连接，因平面， 故平面，平面 故① 又平面，故平面， 平面，②， 由①②以及平面，得平面， 同理可得平面 综上，垂心四面体从各顶点向对面所作的垂线相交于一点． 18．（24-25高一下·云南曲靖·期末）如图，长方体中，，E为BC中点，沿着EC将顺时针翻折到与底面ABCD共面的过程中，的顶点为动点P. (1)证明:平面平面. (2)求直线PE与平面所成角的正弦值的最大值. (3)若异面直线PE与AC所成角的余弦值为时，求点P到底面ABCD的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据面面垂直的判定证明结论即可； （2）由（1）及已知得平面平面，则在运动过程中在平面上的投影在上，即直线PE与平面所成角为或其补角，再由、的变化情况求正弦值的最大值即可； （3）若为中点，连接，并延长交延长线于，异面直线PE与AC所成角为锐角，于，结合面面垂直的性质有平面，最后由已知求的长度，即可得. 【详解】（1）由于沿着EC将顺时针翻折到与底面ABCD共面，顶点为动点P， 所以在平面，即平面内运动，又E为BC中点， 而平面，则平面，平面， 所以平面平面，则平面平面； （2）由（1）及平面，则平面平面，即平面平面， 平面平面，则在运动过程中在平面上的投影在上， 所以直线PE与平面所成角为，， 当且仅当与重合时取等号，所以所求正弦值最大为； （3）若为中点，连接，并延长交延长线于， 由E为BC中点，则，故异面直线PE与AC所成角为锐角， 由，即，则为平行四边形，故， 所以，又，， 所以，而， 所以为等边三角形，若于，则， 平面平面，平面，平面平面， 则平面，故点P到底面ABCD的距离. 19．（2025高二·全国·专题练习）在《九章算术》中，直角梯形被称为“邪田”，当直角梯形底边横放时，以“头”称其上、下底，以“正从”称其高．如图，在“邪田”中，，分别在“正从”和“下头”上，沿，，将图形翻折起来，使重合为一点． (1)求证：； (2)若在“邪田”中，“正从”，“上头”，试求二面角的平面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定、性质推理得证. （2）由（1）的结论，作出二面角的平面角，结合余弦定理求出平面角的余弦值. 【详解】（1）依题意，，而平面， 则平面，又平面，所以. （2）在直角梯形中，，作于，则四边形是矩形， ，，则， 在三棱锥中，过作于，连接，由（1）知， 平面，则平面，而平面， 因此，是二面角的平面角， ，， 在中，，， 由，得， 在中，，， 所以二面角的平面角的余弦值为. 20．（2025高三·全国·专题练习）在等腰中，，分别是的中点．把等腰三角形沿折成的二面角（如图）．求二面角的大小． 【答案】 【分析】由于，平面，得平面而，所以，得，从而为二面角的平面角，即可求解． 【详解】折前为的中位线，且， 折后，则，而平面， 得平面， 于是是二面角的平面角，故， 所以为等边三角形． 取的中点．连接． 由于，平面，得平面 而，所以， 得， 从而为二面角的平面角． 在中，， 于是． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4平面与平面间的位置关系难点题型专训 （3个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 判断面面平行 题型二 证明面面平行 题型三 面面平行证明线线平行 题型四 面面平行证明线面平行 题型五 空间平行的转化 题型六 二面角的概念及辨析 题型七 求二面角 题型八 由二面角大小求线段长度或距离 题型九 由二面角大小求线线角或线面角 题型十 判断面面是否垂直 题型十一 证明面面垂直 题型十二 面面垂直证线面垂直 题型十三 空间垂直的转化 拓展训练一 面面平行的判定，证明及应用 拓展训练二 二面角相关问题 拓展训练三 面面垂直的判定、证明及应用 知识点一：平面与平面平行 1、平面与平面位置关系 位置关系 定义 符号表示 平行 平面与平面没有公共点 ∥ 相交 平面与平面有且仅有一条公共直线 2、平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 图形语言： 符号语言：且，那么 3、两个平面平行的性质定理 如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 图形语言： 符号语言：若，，则 4、几个重要结论 （1）垂直于同一条直线的两个平面平行 （2）如果两个平面平行那么在一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 （3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另外一个 （4）夹在两个平行平面中的平行线段相等 （5）经过平面外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 注：①两个平面平行的判定定理中必须是“两条”“相交”直线才能得出面面平行，把条件改成“一条”、“两条”、“无数条”都不一定成立 ②面面平行则面内的所有直线都平行与另一个平面，但是分别在两个平行平面内的两条直线不一定平行 5、半平面的定义 一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面 【即时训练】 1．（23-24高一下·全国·课后作业）下列四个说法中正确的是（　　） A．平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则αβ B．α∩γ＝a，α∩β＝b，且ab（α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线），则γβ C．平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则αβ D．平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则αβ 2．（22-23高一·全国·随堂练习）若平面内任意一条直线均平行于平面，则平面与平面的位置关系是 ． 知识点二：二面角 1、二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面 2、画法 第一种是卧式法，也称为平卧式： 第二种是立式法，也称为直立式： 3、二面角的平面角： （1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做 二面角的平面角 （2）一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足， 则也是的平面角 【即时训练】 1．（22-23高一·全国·课后作业）两二面角的两个半平面分别垂直，则这两个二面角的平面角（    ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知一个六条棱均相等的四面体，则二面角的余弦值为 . 知识点三：平面与平面垂直 1、平面与平面垂直定义 　　两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 表示方法：平面与垂直，记作. 画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直. 如图： 　　　　　　　　　　 2、平面与平面垂直的判定定理 　　判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 　　符号语言： 　　图形语言： 　　　　　　 　　特征：线面垂直面面垂直 注意： 平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面垂直即可. 3、平面与平面垂直的性质 　　性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 　　符号语言： 　　图形语言： 　　　　　　　　 【即时训练】 1．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线与平面，则能使的充分条件是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高三·全国·课后作业）如图，已知矩形ABCD所在的平面，则下列说法中正确的是 ．（写出所有满足要求的说法序号） ①平面PAD⊥平面PAB；        ②平面PAD⊥平面PCD； ③平面PBC⊥平面PAB；        ④平面PBC⊥平面PCD． 【经典例题一 判断面面平行】 【例1】（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知l，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若，，，且，，则 【例2】（24-25高一下·全国·课前预习）如图（1），a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图（2），c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？ 1．（24-25高一下·河南郑州·期中）已知是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（   ） A．平面内有一条直线与平面平行 B．平面内有两条直线与平面平行 C．平面内有无数条直线与平面平行 D．平面内有两条相交直线与平面平行 2．（24-25高一下·河北唐山·期中）平面与平面平行的充分条件可以是（  ） A．平面内的任意一条直线都与平面平行 B．直线平面，直线平面，且直线不在平面内，也不在平面内 C．直线平面，直线平面，且平面，直线平面 D．平面内有无穷多条直线都与平面平行 3．（23-24高一下·全国·课后作业）对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得lα，lβ，mα，mβ..其中可以判断两个平面α与β平行的条件有 个． 4．（22-23高一·全国·课堂例题）在如图所示的五面体中，三个面，，都是平行四边形．求证：平面平面ABC．    【经典例题二 证明面面平行】 【例1】（23-24高一下·浙江宁波·期中）设m，n是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，，，则 【例2】（24-25高一下·陕西汉中·期末）由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 1．（23-24高一下·全国·课后作业）在正方体中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（ ）． A．截面与截面 B．截面与截面 C．截面与截面 D．截面与截面 2．（2024·湖北·一模）如图，在正方体中，分别为的中点，则与平面垂直的直线可以是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·上海徐汇·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，点P在底面ABCD内，若直线与平面无公共点，则线段的最小值为 . 4．（24-25高一下·广西玉林·阶段练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为的中点． (1)求证：AC1//平面BDE； (2)当点F在棱DD1的中点时，求证：平面//平面BDE． 【经典例题三 面面平行证明线线平行】 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，直三棱柱中，且平面平面.求实数的值. 1．（24-25高一下·山东泰安·阶段练习）已知平面，点是外一点，过点的直线与分别交于点，过点的直线与分别交于点，且，则长（    ） A．6 B．6或30 C． D．6或 2．（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，，分别在线段，上，且，在上且平面平面，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·福建莆田·期中）已知平面平面，点是平面外一点（如图所示），且直线分别与相交于点，若，则 ．      4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，平面平面，，分别在，内，线段，，共点于，在平面和平面之间，若，，，，求的面积． 【经典例题四 面面平行证明线面平行】 【例1】（24-25高三上·甘肃白银·期中）如图所示，是棱长为的正方体，，分别是下底面的棱，的中点，是上底面的棱上的一点，，过点，，的平面交上底面于，点在上，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图①，在直角梯形中，∥，，，为的中点，分别为的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图②.求证:在四棱锥中，∥平面. 1．（23-24高一下·陕西西安·期末）设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，且，，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高二上·上海普陀·阶段练习）过平面外一点，可以作这个平面的平行线的条数是（    ） A．1条 B．2条 C．超过2条但有限 D．无数条 3．（23-24高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，是的中点，点在四边形的边上及其内部运动，则满足 时，有平面． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，，平面且，、分别是、的中点. 求证：平面. 【经典例题五 空间平行的转化】 【例1】（2023·湖北武汉·三模）已知不重合的平面，及不重合的直线m，n，则（    ）． A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【例2】（23-24高一下·湖南长沙·期中）已知正方体ABCD−A1B1C1D1，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证： (1)平面AB1D1//平面C1BD； (2)求直线D1A与BA1所成角． 1．（2023·江苏南通·模拟预测）正四棱柱中，，M是的中点，点N在棱上，，则平面AMN与侧面的交线长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖北黄石·开学考试）设为直线，，为两个不同的平面，则下列结论中错误的是（    ） A．，，且 B．， C．，且 D．，且与相交与相交 3．（23-24高一·全国·课后作业）不共面的四个点到平面的距离都相等，这样的平面共有 个． 4．（23-24高一·湖南·课后作业）如图，，直线AC分别交平面，，于点A，B，C，直线DF分别交平面，，于点D，E，F．求证：． 【经典例题六 空间平行的转化】 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角（   ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．关系无法确定 【例2】（23-24高一·全国·课堂例题）在正方体中，过，B，D三个点作一个平面，请画出二面角的平面角，并说明画图的根据． 1．（23-24高二上·北京·期中）关于空间中的角，下列说法中正确的个数是（    ） ①空间中两条直线所成角的取值范围是    ②空间中直线与平面所成角的取值范围是 ③空间中二面角的平面角的取值范围是    ④空间中平面与平面所成角的取值范围是 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023·海南·模拟预测）庑殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面是矩形，且四个侧面与底面的夹角均相等，则（    ）．       A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知三个平面、、，任意两个平面所成的锐二面角的大小都是，则锐角的取值范围是 ． 4．（22-23高一·全国·随堂练习）想一想，本章5.2节在表示二面角的平面角时，为何要求“，”？为什么的大小与点O在l上的位置无关？ 【经典例题七 求二面角】 【例1】（24-25高一下·陕西汉中·期末）已知为正方体，、分别为、的中点，则二面角的大小为（   ）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【例2】（2025高三·全国·专题练习）二面角的大小为，点分别在平面内，点，在棱上的投影分别为点，已知，求的大小． 1．（23-24高一下·北京·期末）我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到一个正八面体（如图）．若该正八面体的所有棱长均为2，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）卢浮宫玻璃金字塔是世界著名建筑，其结构单元中采用了正四面体衍生的索桁架体系，通过交叉拉索与刚性杆件形成稳定单元，体现了正四面体在复杂结构中的力学优势．一个正四面体两侧面所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知平面和平面交于直线是空间一点，，垂足为，垂足为，且，若，则与所成二面角为 ． 4．（2025高二下·浙江·学业考试）如图，在直三棱柱中，，. (1)求证：； (2)求二面角的正弦值. 【经典例题八 由二面角大小求线段长度或距离】 【例1】（24-25高二上·湖北·开学考试）在三棱锥中，三个侧面与底面所成的角均相等，顶点在内的射影为，则是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）在直二面角的棱上任取一点P，从这点出发在两个面内各作一条射线，与棱成角，若为锐角，求此锐角的大小． 1．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）四边形与均是边长为4的正方形，如果二面角的大小为，那么与平面的距离为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）已知圆锥的顶点为，母线长为2，轴截面为，若为底面圆周上异于，的一点，且二面角的大小为，则的面积为（    ） A．4 B．2 C． D． 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则侧棱长为 ． 4．（23-24高二·全国·课后作业）如图所示，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，，等边△ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长． 【经典例题九 由二面角大小求线线角或线面角】 【例1】（22-23高三上·江西南昌·阶段练习）如图是由边长为2的正与正方形拼接成的平面图形，现将沿折起，当二面角为时，直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知点分别是正方形中的中点，是的中点，沿对角线将正方形折成直二面角．求与所成的角． 1．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，二面角的大小是，线段，，与所成的角为，则AB与平面β所成的角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖南岳阳·开学考试）已知平面与所成锐二面角的平面角为，P为空间内一定点，过点P作与平面所成的角都是的直线l，则这样的直线l有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．（2005·浙江·高考真题）如图所示，M，N是直角梯形ABCD两腰的中点，于E，现将沿DE折起使二面角A-DE-B为，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则此时M，N的连线与AE所成的角的大小为 . 4．（2023高一·全国·专题练习）在三棱锥中，为等边三角形，平面ABC，将三角形PAC绕PA逆时针旋转至PAD位置（如图），且二面角的大小为90°．证明：A，B，C，D四点共面，且； 【经典例题十 判断面面是否垂直】 【例1】（24-25高一下·北京顺义·期末）设m，n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【例2】（2023·甘肃·二模）已知四棱锥中，底面为平行四边形，底面，若，，分别为，的重心． (1)求证：平面； (2)当时，求到平面的距离． 1．（24-25高一下·全国·课后作业）对于直线m、n和平面、，能得出的一个条件是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25高一下·北京西城·期末）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 3．（23-24高二上·上海·期末）设、是不同的直线，、是不同的平面，其中真命题是 （填序号）. （1）若，，，则； （2）若，，，则； （3）若，，，则；     （4）若，，，，则； 4．（23-24高一下·广东广州·期末）金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．河南某实业集团股份有限公司是国内人造金刚石的排头兵，人造金刚石年生产能力达15亿克拉，是国内同行业第一，世界第三金刚石生产基地．金刚石呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，且对角面（如ABCD）都是正方形． (1)证明：平面CDF； (2)证明：四棱锥是正四棱锥； (3)试判断平面ABE与平面BCE是否垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由． 【经典例题十一 证明面面垂直】 【例1】（24-25高一下·全国·随堂练习）已知直线a，b与平面，，，下面能使成立的条件是（    ） A．， B．，， C．， D．， 【例2】（2025高三·全国·专题练习）一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，将折起，使得.证明：平面平面. 1．（23-24高一下·湖南·期末）已知是一条直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·陕西安康·模拟预测）在四棱锥中，为等边三角形，四边形为矩形，且，平面平面，则直线AC与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 3．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，在三棱锥中，若是的中点，则平面与平面的关系是 . 4．（2025高三·全国·专题练习）在梯形ABCD中，，，，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点（如图①）．将沿AC折起到位置，使得（如图②）．证明：平面平面ABC．    【经典例题十二 面面垂直证线面垂直】 【例1】（24-25高一下·甘肃白银·期末）设P为多面体Ω的一个顶点，定义多面体Ω在顶点P处的离散曲率为，其中（，且）为多面体Ω的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面，平面为多面体Ω的所有以P为公共点的面.如图，在三棱柱中，侧面是矩形，底面是正三角形，且平面平面，则点B处的离散曲率为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高二·全国·专题练习）如图所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，侧面底面ABC．若D是BC的中点，求证：． 1．（23-24·全国·高考真题）点P在直二面角的棱上，C，D分别在内，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知平面平面，点，则过点且垂直于平面的直线（    ） A．只有一条，不一定在平面内 B．有无数条，不一定在平面内 C．只有一条，一定在平面内 D．有无数条，一定在平面内 3．（23-24高二上·江西宜春·期中）如图，PA⊥面ABCD，且ABCD为菱形，M是PC上的一动点，当点M满足条件 时，平面MBD⊥平面PCD.（注：只要填写一个你认为正确的即可） 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点．求证：平面． 【经典例题十三 空间垂直的转化】 【例1】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知两个平面相互垂直，则下列命题正确的是（    ） A．一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线 B．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 C．一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面 D．过一个平面内任意一点在此平面内作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 【例2】（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）如图，在三棱锥中，底面，，是的中点. (1)求证：平面. (2)若，求与平面所成角的正弦值. 1．（24-25高二上·北京·期中）我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵中，，，则直线与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·北京海淀·二模）已知正方形ABCD所在平面与正方形CDEF所在平面互相垂直，且，P是对角线CE的中点，Q是对角线BD上一个动点，则P，Q两点之间距离的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 3．（22-23高一下·安徽马鞍山·阶段练习）已知边长为2的正方形，沿对角线折起，得到三棱锥，当该三棱锥体积最大时，线段的长为 . 4．（23-24高二上·广东广州·期中）如图，在三棱锥中，，，，点是线段的中点，平面平面． (1)在线段上是否存在点， 使得平面？ 若存在， 指出点的位置， 并加以证明；若不存在， 请说明理由； (2)求证：. 【拓展训练一 面面平行的判定，证明及应用】 【例1】（24-25高一下·河北·阶段练习）已知正方体的棱长为2，分别是棱的中点，为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2023·上海黄浦·二模）如图．与都是等腰直角三角形．其底边分别为BD与BC，点E、F分别为线段BD、AC的中点．设二面角的大小为，当在区间内变化时、下列结论正确的是（    ） A．存在某一值．使得 B．存在某一值．使得 C．存在某一值．使得 D．存在某一值，使得 1．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023高三·全国·专题练习）矩形的边，过作直线的垂线，垂足分别为，且分别为的三等分点.沿着将矩形翻折，使得二面角成直角，则长度为 . 4．（2024·四川广安·二模）如图，菱形的对角线与交于点，是的中位线，与交于点，已知是绕旋转过程中的一个图形﹐且平面.给出下列结论： ①平面； ②平面平面； ③“直线直线”始终不成立. 其中所有正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【拓展训练二 二面角相关问题】 【例1】（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）如图所示，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，是侧面内一点，若平面AEF.则线段长度的最大值与最小值之和为 . 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）平面平面，平面平面，平面平面，则（    ） A．平面 B．平面 C．与平面斜交 D．平面 1．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，E，F，G，H分别是PB，PC，AE，BF的中点．证明：直线平面．    2．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，，，点E，F分别为，的中点.求证：平面平面. 3．（23-24高三上·重庆·阶段练习）如图1，在平行四边形中，，，，将沿折起，使得点到点的位置，如图2，经过直线且与直线平行的平面为，平面平面，平面平面. (1)证明：. (2)若二面角的大小为，求的长. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，已知，平面平面．若的边上有一点，使得与平面所成角为，则可能为 ．（写出一个符合题意的结果即可） 【拓展训练三 面面垂直的判定、证明及应用】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）正三棱柱中，，点分别是侧棱上的点，则平面与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【例2】(24-25高一下·江西·期末）如图1，已知等边三角形的边长为，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，得到如图2所示的四棱锥． (1)证明：． (2)在棱上是否存在点满足平面？若存在，求出的值；若不存在，请说出理由． (3)已知二面角的大小是，点在四边形内（包括边界），且，当直线与直线的夹角的余弦值最大时，求的值． 1．（2025高三·全国·专题练习）各棱长相等的正三棱柱，分别为棱的中点，为上的动点，则二面角的正切值不可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·北京昌平·二模）庑殿顶是中国传统建筑中的一种屋顶形式，其顶盖几何模型如图所示，底面是矩形，侧面由两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形组成．若，且四个侧面与底面的夹角的大小均相等，则（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）如图1，在直角梯形ABFE中，，，，，，点C、D分别在线段BF、AE上，且.将四边形ABCD沿CD折起，使得二面角的大小为（如图2）. (1)证明：平面平面CDEF； (2)求直线AC与平面CDEF所成的角的正弦值； (3)记平面BCF与平面AEF的交线为l，直线l与平面ABCD的交点为G，求点G到平面CDEF的距离. 4．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知三棱锥底面为边长为1的等边三角形，平面平面，平面平面为线段中点，为线段中点，点在线段上.    (1)证明：平面； (2)设直线与平面所成的角分别为，其中，求线段的长度及点位置. 1．（25-26高二上·宁夏中卫·开学考试）已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则能确定的一组条件是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽宣城·期末）若m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，在四面体中，平面，，则该四面体的四个表面中，互相垂直的平面有（    ）.    A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 5．（2025高一·全国·专题练习）如图，在棱长均相等的四棱锥中，为底面正方形的中心，，分别为侧棱的中点，则下列结论中不正确的是（）.    A．平面 B．平面平面 C． D． 6．（24-25高一下·河南南阳·期末）如图，α∥β，A，C∈α，B，D∈β，AC与BD为异面直线，AC=6，BD=8，AB=CD=10，AB与CD成60°的角，则异面直线AC与BD夹角的大小是（    ） A．60° B．90° C．45°或60° D．60°或90° 7．（24-25高一下·甘肃白银·期末）柱是建筑物中用来承托建筑物上部重量的直立的杆体，俗称“柱子”.柱子在各个时期既有延续与继承，又有发展和变化，如方柱在秦代时开始出现，而在汉代时则又增加了八角形柱、束竹式柱、人像柱等.某凉亭的一根正三棱形柱子可近似看作如图所示的图形，记该正三棱柱为，其底面边长是3，侧棱长是，M为的中点，N是侧面上一点，且平面，则点N的轨迹长为（   ） A．27 B． C．12 D．6 8．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）如图，在三棱锥中，点D、F分别为棱PB，AC上的点，且，，E为线段BC上的点，若，且满足平面PEF，则λ=（   ） A． B． C． D． 9．（2025·河北秦皇岛·三模）如图，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点，则过点、、的平面与侧面的交线长为（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图，在立体图形中，若，，是的中点，则下列命题中一定正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 11．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）一个山坡面与水平面成120°的二面角，坡脚的水平线（即二面角的睨）为AB，甲沿山坡自P朝垂直于AB的方向走30，同时乙沿水平面自Q朝垂直于AB的方向走30，P､Q都是AB上的点，若，这时甲､乙两个人之间的距离为 . 12．（2024高二·浙江·竞赛）在中，，，，分别在线段和上，，，直线于.现将三角形沿着对折，当平面与平面的二面角为时，则线段的长度为 . 13．（2025·四川绵阳·模拟预测）在几何学的世界里，阿基米德体以其独特的形状和美丽的对称性吸引了无数数学爱好者和科学家，它是一种半正多面体，其中每个面都是正多边形，且各个面的边数不全相同.如图，棱长为2的半正多面体是将一个棱长为6的正四面体切掉4个顶点所在的小正四面体后所剩余的部分，已知A，B，C，D为该半正多面体的四个顶点，点P为其表面上的动点，且平面，则P点的轨迹长度为 . 14．（2024高三·全国·专题练习）设是空间中两个不同的平面，a，b，c是空间中三条不同的直线，，给出下列五个结论，请写出一个一定正确结论的序号 .①；②是异面直线；③没有公共点；④与没有公共点；⑤. 15．（22-23高二下·河南信阳·阶段练习）在一次通用技术实践课上，木工小组需要将正方体木块截去一角，要求截面经过面对角线上的点（如图），且与平面平行，已知，，则截面面积等于 . 16．（24-25高三下·浙江杭州·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，，为的中点，分别为边上一点，满足．将分别沿着翻折成，满足在平面的同一侧，面面． (1)证明：共面； (2)在线段上是否存在一点（异于端点），满足平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的情况下，求直线与平面所成角的正弦值． 17．（24-25高一下·安徽·开学考试）过空间四面体的顶点分别作垂线平面平面平面平面，求证：若且，则直线相交于一点 18．（24-25高一下·云南曲靖·期末）如图，长方体中，，E为BC中点，沿着EC将顺时针翻折到与底面ABCD共面的过程中，的顶点为动点P. (1)证明:平面平面. (2)求直线PE与平面所成角的正弦值的最大值. (3)若异面直线PE与AC所成角的余弦值为时，求点P到底面ABCD的距离. 19．（2025高二·全国·专题练习）在《九章算术》中，直角梯形被称为“邪田”，当直角梯形底边横放时，以“头”称其上、下底，以“正从”称其高．如图，在“邪田”中，，分别在“正从”和“下头”上，沿，，将图形翻折起来，使重合为一点． (1)求证：； (2)若在“邪田”中，“正从”，“上头”，试求二面角的平面角的余弦值． 20．（2025高三·全国·专题练习）在等腰中，，分别是的中点．把等腰三角形沿折成的二面角（如图）．求二面角的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $$