10.3 直线与平面间的位置关系讲义-2025-2026学年高二下学期数学沪教版（2020）必修第三册

【阿波罗计划·数学必修三】：10.3 直线与平面间的位置关系 【知识梳理】： 1. 空间中直线与平面的位置关系分为： ①若直线与平面没有交点，则直线与平面平行； ②若直线与平面有且仅有1个交点，则直线与平面相交； ③若直线与平面有无数多个公共点，则直线在平面内． 2. 直线与平面平行的判定定理： 如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行． 3. 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的一个平面与此平面相交，那么其交线必与该直线平行． 4. 直线与平面垂直的定义：辨：定义中的任意不可改为无数 如果一条直线与一个平面上的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直． “直线l垂直于平面内无数条直线”是“”的必要非充分条件． 5. 直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直，那么此直线与该平面垂直． 6. 直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行． 推论1   过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直． 推论2   这一点有且只有一条直线与给定的平面垂直． 7. 如图（1），过平面外任意给定的一点M，有且只有一条直线与平面垂直，从而把点M与垂足N之间的距离叫做点M到平面的距离．利用线面平行和线面垂直的性质定理可以证明，如果一条直线l平行于一个平面，那么直线l上任意两点到平面的距离都相等，从而就可以把直线l上一点M到平面的距离定义为直线l到与它平行的平面的距离，如图（2）． 8. 如上图，自一点P向平面引垂线，垂足О 叫做点P在平面内的射影．点与垂足间的线段叫做这个点到这个平面的垂线段． 9. 直线和平面所成角的定义 （1）平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． （2）如果一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；如果一条直线和平面平行或在该平面上，就说二者所成的角是0°的角． （3）请问该角的范围是[0,]． 10. 最小角定理： （1）斜线与平面所成的角，是这条斜线与平面内任何直线所成角中的最小的角． （2）如果直线a、直线b与平面所成的角相等，直线a、b的位置关系是相交，平行，异面． 11. 如图，如果一条直线和一个平面相交，但不垂直，那么这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做斜线段． 12.三垂线定理与逆定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的射影垂直． 【同步练习】：夯实双基 一、单选题 1．已知斜线与平面所成的角为，在平面内任意作的异面直线，则与成的角（ ） A．有最小值，最大值 B．有最大值，无最小值 C．有最小值，无最大值 D．既无最小值，又无最大值 2．已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ） A．若则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．在梯形中，，平面，平面，则直线与平面内的直线的位置关系只能是（    ） A．平行 B．平行或异面 C．平行或相交 D．异面或相交 6．下列做法可以使旗杆与水平地面垂直的是（    ） ①过旗杆底部在地面上画一条直线，使旗杆与该直线垂直； ②过旗杆底部在地面上画两条直线，使这两条直线垂直； ③在旗杆顶部拴一条长大于旗杆高度的无弹性的细绳，拉紧在地面上找三点，使这三点到旗杆底部的距离相等． A．①② B．②③ C．只有③ D．只有② 7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的度数（    ） A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．先变大再变小 8．如图所示，已知正方体中，，分别是它们所在线段的中点，则满足平面的图形为（    ） A．① B．①② C．② D．①②③ 9．PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是（    ） A． B．平面 C． D． 10．从平面外一点引直线与相交，使点与交点的距离等于1，这样的直线（    ） A．仅可作2条 B．可作无数条 C．仅可作1条 D．可作1条或无数条或不存在 11．已知三边的长分别为3、4、5，平面ABC外一点到三边的距离都等于2，则P点到平面ABC的距离等于（    ） A．1 B． C． D．4 12．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chu meng）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体是一个刍甍，其中是正三角形，，则以下两个结论：①；②（    ）    A．①和②都不成立 B．①成立，但②不一定成立 C．①不成立，但②成立 D．①和②都成立 13．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（    ）． A．   B．   C．     D．   二、填空题 14．有以下四个命题：①若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；②若直线与平面内的任意一条直线都不相交，则直线与平面平行；③若直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行；④若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则直线与平面不相交．其中正确的命题是 ．（填序号） 15．下列三个命题在“_______”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中为直线，为平面），则此条件是 . ①；②；③ 16．在空间中，下列命题中正确的是 ．（填序号） ①平行于同一条直线的两条直线平行； ②若直线直线a，直线直线b，a，平面，则平面； ③垂直于同一个平面的两条直线平行． 17．已知：是平面的斜线，斜足为点，，垂足为点，直线是在平面上的投影． ①若空间任一直线，则；②若空间任一直线，则；③若平面上的任一直线，，则；④若平面上的任一直线，，则． 其中正确的命题序号为 ． 18．如图，在正方体中，E，F是对角线，的中点，则正方体六个面中与直线EF平行的面有 个． 19．如图，在正方体中，E，F分别为平面ABCD和平面的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有 个． 20．已知：如图，六边形是边长为1的正六边形，平面，且，在斜线段，，，，中， （1）长度最长的是 ； （第19题图） （2）射影长最短的斜线段是 ； （3）与斜线段等长的斜线段是 ． 21．点是所在平面外一点，若PA、PB、PC与所在平面所成角相等，则点在平面的射影是的 心． 22．P是矩形ABCD所在平面外一点，平面，以P、A、B、C、D五个点中的三个点为顶点的直角三角形的个数为 ． 23．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD， PC，PB的中点．在此几何体中，与直线EF平行的平面有 ． 24．过平面外一点的斜线段是过这点的垂线段的倍，则斜线与平面所成的角是 ． 25．已知△ABC中，，，，若平面ABC，且，则直线AC与平面PAB所成角的大小为__________． 26．已知直角三角形ABC中，，，P是三角形ABC所在平面外一点，平面ABC，PB与平面ABC所成角为45°，则∠BPC的大小为 ． 27．菱形ABCD的对角线AC、BD的交点为O，P是菱形所在平面外一点，平面ABCD，则异面直线AC与PD所成角大小为 ． 28．如图，已知正方体，，为棱的中点，则与平面所成的角为 .（结果用反三角表示） 29．长方体中，，，，则到平面的距离为 ． 30．在△ABC中，，，若平面，，则点P到直线BC的距离为 . 31．如图，平面ABC，在中，，，，．则角，，的余弦值之间的关系可以是 ． 32．《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪．在四棱锥 中，底面 为邪田，两畔分别为1，3，正广 为 ， 平面，则邪田的邪长为 ；邪所在直线与平面 所成角的大小为 . 三、解答题 33．如图，几何体的底面ABCD为平行四边形，点M为PC中点，证明：平面BDM． 34．四面体ABCD如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面，分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H．证明：E、F、G、H四点共面且四边形EFGH是平行四边形． 35．如图，已知正方形ABCD．E、F分别是AB、CD的中点，将△ADE沿DE折起．证明：． 36． 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的几何体称为鳖臑（biē nào）．如图，△ABC是直角三角形，，平面ABC． （1）几何体是否为鳖臑？说明理由； （2）若H是PB上的点，且，试找出图中所有和AH垂直的棱． 37．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明. 38．如图，已知在平面内，，， 求证：点在平面上的射影在的平分线上． 39．如图，在长方体中，，点为的中点． （1）求：直线与平面所成的角； （2）求：点到平面的距离． 40．如图，在平面上，OA是的斜线，若，，，求：直线OA与平面所成的角的大小． 41．如图，在长方体中，，，交于． （1）求证：平面； （2）设与平面的交点为，求证：为的垂心． 一数老集合配套视频：https://www.bilibili.com/video/BV1Gp4y1Q7K5?spm_id_from=333.788.videopod.episodes&vd_source=aa02aff039996f0fa1cbed9cbf97eb59&p=12 7,8,9,11，12 学科网（北京）股份有限公司 $$