精品解析：北京师范大学附属中学2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试卷

北京师大附中2025-2026学年（上）初三适应性练习 数学试卷 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查了最简二次根式，满足：①被开方数不含分数或小数；②被开方数不含有开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式，据此逐一判断即可求解，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 解：、被开方数，含开得尽方的因数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、被开方数是分数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、被开方数是小数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、是最简二次根式，该选项符合题意； 故选：． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，需掌握二次根式的加减乘除法则． 根据二次根式的加减法，乘法，除法进行计算，逐项分析即可． 【详解】解：选项A： 无法合并，结果不等于，故错误． 选项B：，不等于，故错误． 选项C：，计算正确． 选项D：，结果不等于，故错误． 故选C． 3. 如图，在中，于点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题重点考查平行四边形的性质、直角三角形的两个锐角互余、平行线的性质等知识，求得，并且证明是解题的关键． 由于点，得，求得，由平行四边形的性质得，则，于是得到问题的答案． 【详解】于点， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 故选：B． 4. 一次函数的解析式为，则下列说法正确的是（　　） A. 其图象与轴的交点坐标为 B. 随的增大而减小 C. 此函数图象经过第一、二、三象限 D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 根据一次函数的性质，逐一分析各选项的正误． 【详解】解：A．图象与轴的交点在时，代入得，解得，故图象与轴的交点为，正确； B．一次函数，故随的增大而增大，而非减小，错误； C．，，图象经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限，错误； D．当时，，解得．而题目中条件为，此时在到之间时，错误． 故选：A． 5. 中，，，的对边分别是，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定方法，包括角度和为及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 利用三角形的角度和勾股定理的逆定理逐一验证各选项是否满足条件即可． 【详解】解：选项A：若，则，故为直角三角形，可判定，不符合题意； 选项B：，总份数为6，计算得，故为直角三角形，可判定，不符合题意； 选项C：，验证勾股定理：，即，成立，故为直角三角形，可判定，不符合题意； 选项D：，最长边为，验证勾股定理：，不满足勾股定理，故无法判定为直角三角形，符合题意； 故选：D． 6. 为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者对居住在该小区的50名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中提供的信息，这50人一周的体育锻炼时间的众数和中位数分别是（　　） A. 6小时、6小时 B. 6小时、4小时 C. 4小时、4小时 D. 4小时、6小时 【答案】A 【解析】 【详解】出现最多的是6小时，则众数为6； 按大小循序排列在中间的两个人的锻炼时间都为6小时，则中位数为6． 故选A． 7. 甲、乙两名同学在相同条件下射击打靶5次，每次命中的环数如下： 甲：7，8，8，8，9 乙：6，7，8，9，10 则这两组数据的方差的大小关系是（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求方差，比较甲、乙两组数据的方差，需先计算各自的平均数，再利用方差公式计算方差，然后比较大小，据此进行分析计算，即可作答． 【详解】解：依题意，甲同学的平均数，乙同学的平均数， 则； 则； ∵， ∴， 故选：C． 8. 如图，将四个全等的直角三角形围成大正方形，中间是小正方形．连接大、小正方形的对角线均交于点，连接．若，下面三个结论：①；②；③(表示图形的面积)．其中所有正确结论的序号是( ) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．①设，则，进而得证明是等腰直角三角形得，根据正方形性质得是等腰直角三角形，由勾股定理得，由此可对结论①进行判断； ②根据正方形性质得是等腰直角三角形，的，再根据是等腰直角三角形得，进而得，继而得，由此可对结论②进行判断； ③先由勾股定理求出得，证明，再根据，得，由此可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①设， ∴， 由全等三角形的性质得：， ∴， ∴ ∵是直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， 在正方形中，， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 故结论①正确； ②在正方形中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故结论②正确； ③在中，，， 由勾股定理得：， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故结论③正确， 综上所述：正确结论的序号是①②③． 故选：D． 二、填空题（每小题2分，共16分） 9. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 10. 将一次函数的图象向上平移6个单位长度，平移后的图象对应的函数解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 根据平移的性质，向上平移则加上平移的单位长度，然后进行整理即可． 【详解】解：根据函数图象平移的性质得，将一次函数的图象向上平移6个单位长度， 则平移后的函数解析为， 故答案为：． 11. 一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数与的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键． 根据图象得：当时，函数图象位于轴下方，此时，即可求解． 【详解】解：通过图象可知，直线与轴的交点坐标为， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 12. 如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为_____． 【答案】64 【解析】 【分析】根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，字母A代表的正方形的面积， 故答案为：64． 【点睛】本题考查了勾股定理，正确理解题意、熟练掌握求解的方法是解题的关键． 13. 如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，3），则AC＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接BO，根据B点坐标求出OB的长，由矩形的性质即可得到AC的长． 【详解】如图，连接BO，∵B的坐标为（2，3）， ∴OB= ∵四边形OABC是矩形 ∴AC=OB= 故答案为：． 【点睛】此题主要考查矩形的对角线长度，解题的关键是熟知矩形的性质及勾股定理的应用． 14. 在数据－1，0，4，5，8中插入一个数x，使这组数据的中位数为3，则x＝____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据中位数的定义得到给数据-1，0，4，5，8中插入一个数据x，共有6个数，最中间的数只能为x和4， 根据上述分析可得=3，由此进行计算即可得到x的值. 【详解】解：原数是按从小到大的顺序排列的， ∵插入x后中位数是3， ∴插入的数在0和4之间，且=3, ∴x=2. 【点睛】本题主要考查的是中位数的定义，熟记中位数的定义是解题的关键； 15. 如图，在中，对角线与相交于点，且．若点是边的中点，，则的长为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．利用勾股定理求出再利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，． ， ． ， ． 故答案为：． 16. 某快餐店的价目表如下： 菜品 价格 汉堡（个） 21元 薯条（份） 9元 汽水（杯） 12元 1个汉堡＋1份薯条（A套餐） 28元 1个汉堡＋1杯汽水（B套餐） 30元 1个汉堡＋1份薯条＋1杯汽水（C套餐） 38元 小明和同学们一共需要10个汉堡，5份薯条，6杯汽水，那么最低需要________元． 【答案】300 【解析】 【分析】由题意可知，A、B、C套餐的优惠力度分别为2元、3元、4元，如果三样商品数量比较接近的话，选择C套餐会更划算，但是本题汉堡的数量接近于薯条和汽水之和，所以应该选择套餐搭配的方式，尽量保证每个商品都能在套餐里购买，所以，选择5份B套餐、4份A套餐和1份C套餐，会更优惠． 【详解】选择5份B套餐、4份A套餐和1份C套餐价格最低，需要花费30×5+28×4+38×1=300元， 故答案为：300． 【点睛】本题属于创新题型，主要考查的了方案选择，比较贴合生活实际，需要学生梳理出有哪些方案，根据一定的规律找到最优方案． 三、解答题（共68分） 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和乘法公式是关键． （1）利用平方差公式计算即可； （2）先化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解下列方程： （1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1）， （2）， （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、解一元一次方程，解分式方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键． （1）运用直接开平方法解方程即可； （2）运用公式法解方程即可； （3）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1 的步骤解方程即可； （4）先给方程两边同乘以，将分式方程化成整式方程，再按照解整式方程的步骤求解，最后再进行检验即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，． 【小问3详解】 解： 去分母，得， ， ， 解得． 【小问4详解】 解：方程 两边同乘以，得， ， ， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 19. 如图，在四边形中，点E在上，，于点F，于点G，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，进而证明，再证明是等腰直角三角形，然后证明由含的直角三角形的性质得，进而由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的判定、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 20. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】可不是主要考查运用待定系数法求一次函数解析式以及两直线平行可相交问题 （1）运用待定系数法求解析式即可； （2）画出图象，结合图象可知当时，两直线相交于点，当时，两直线平行，故可得出结论 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点和， ∴把和代入得， 一次函数的解析式为 【小问2详解】 解：如图， 当时，两直线相交于点， 当时，两直线平行， 所以，m的取值范围为 21. 小颖爸爸为了丰富活动，为小区里的小朋友们搭了一架简易秋千（如图），秋千AB在静止位置时，下端B距离地面0.6m，即OB＝0.6m，当秋千荡到AC的位置时，下端C距离地面1.4m，即CD＝1.4m，与静止位置的水平距离OD＝2.4m，求秋千AB的长． 【答案】秋千AB长4米 【解析】 【分析】设秋千AB的长为x，表示出AE，在直角三角形ACE中，利用勾股定理列出方程，求出方程的解得到x的值，确定出秋千AB的长即可． 【详解】解：如图 设秋千AB的长为x，则AE＝x﹣（1.4﹣0.6）＝（x﹣0.8）， 在Rt△AEC中，利用勾股定理得：x2＝（x﹣0.8）2+2.42， 整理得：1.6x＝6.4， 解得：x＝4． 则秋千AB得长为4米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 22. 关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，求出此时方程的根． 【答案】（1）m≤1；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论； （2）根据m的范围可知m=1，代入原方程后解方程即可求出答案． 【详解】解：（1）∵原方程有实数根， ∴△=(-2)2-4×1×（3m-2）=12-12m≥0， ∴m≤1； （2）∵m为正整数，又m≤1， ∴m=1． 当m=1时，原方程为x2-2x+1=0， 即，解得． 【点睛】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及解一元二次方程，解题的关键：（1）由根的情况得出关于m的一元一次不等式；（2）确定m的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由方程根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键． 23. 小平在学习过程中遇到一个函数，下面是小平对其研究的过程，请补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是______； （2）下表是与的几组对应值． 其中的值为______； （3）①根据表格中的数据，在平面直角坐标系中，画出函数图象； ②过点作平行于轴的直线，结合图像解决问题：若直线与函数的图象有三个交点，则的取值范围是______． 【答案】（1） （2）4 （3）①函数图象如下图所示： ② 【解析】 【分析】本题主要考查函数图象与性质： （1）由分母不能为零，即可得出自变量的取值范围； （2）把代入则可求出的值； （3）①根据描点，连线画出函数图象；②观察函数图象可知，在直线时即，直线与函数有2个交点，在时，有3个交点，故可得结论 【小问1详解】 解：∵， ∴，即， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，， 故答案为：4； 【小问3详解】 （3）①略； ②观察函数图象可知，在直线时即，直线与函数有2个交点，在时，有3个交点， 故答案为：． 24. 如图，四边形是平行四边形，为对角线，，过点作的垂线，分别交直线于，连接． （1）设，求的度数（用含的式子表示）； （2）过点作的垂线，分别交直线于点， ①依题意补全图形； ②用等式表示的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形外角性质得到，根据平行四边形性质得到，，根据，推出，=45°，得到，，推出，推出，得到，根据三角形内角和定理得到； （2）①过点B作直线于点N，交射线于点M；②设，根据等腰直角三角形性质得到，根据平行四边形性质得到，过点B作于点G，证明，得到，得到，根据，证明， 根据， ，得到，得到，得到，即得． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，=45°， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图，补全图形： ②．证明： 设， 则， ∵， ∴， 过点B作于点G， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形与全等三角形综合．熟练掌握平行四边形性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师大附中2025-2026学年（上）初三适应性练习 数学试卷 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，于点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 一次函数的解析式为，则下列说法正确的是（　　） A. 其图象与轴的交点坐标为 B. 随的增大而减小 C. 此函数图象经过第一、二、三象限 D. 当时， 5. 中，，，的对边分别是，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者对居住在该小区的50名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中提供的信息，这50人一周的体育锻炼时间的众数和中位数分别是（　　） A. 6小时、6小时 B. 6小时、4小时 C. 4小时、4小时 D. 4小时、6小时 7. 甲、乙两名同学在相同条件下射击打靶5次，每次命中的环数如下： 甲：7，8，8，8，9 乙：6，7，8，9，10 则这两组数据的方差的大小关系是（　　） A. B. C. D. 无法确定 8. 如图，将四个全等的直角三角形围成大正方形，中间是小正方形．连接大、小正方形的对角线均交于点，连接．若，下面三个结论：①；②；③(表示图形的面积)．其中所有正确结论的序号是( ) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（每小题2分，共16分） 9. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 10. 将一次函数的图象向上平移6个单位长度，平移后的图象对应的函数解析式为___________． 11. 一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为___________． 12. 如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为_____． 13. 如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，3），则AC＝_____． 14. 在数据－1，0，4，5，8中插入一个数x，使这组数据的中位数为3，则x＝____． 15. 如图，在中，对角线与相交于点，且．若点是边的中点，，则的长为___________ 16. 某快餐店的价目表如下： 菜品 价格 汉堡（个） 21元 薯条（份） 9元 汽水（杯） 12元 1个汉堡＋1份薯条（A套餐） 28元 1个汉堡＋1杯汽水（B套餐） 30元 1个汉堡＋1份薯条＋1杯汽水（C套餐） 38元 小明和同学们一共需要10个汉堡，5份薯条，6杯汽水，那么最低需要________元． 三、解答题（共68分） 17. 计算： （1）． （2）． 18. 解下列方程： （1）． （2）． （3）． （4）． 19. 如图，在四边形中，点E在上，，于点F，于点G，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 20. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于函数的值，直接写出m的取值范围． 21. 小颖爸爸为了丰富活动，为小区里的小朋友们搭了一架简易秋千（如图），秋千AB在静止位置时，下端B距离地面0.6m，即OB＝0.6m，当秋千荡到AC的位置时，下端C距离地面1.4m，即CD＝1.4m，与静止位置的水平距离OD＝2.4m，求秋千AB的长． 22. 关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，求出此时方程的根． 23. 小平在学习过程中遇到一个函数，下面是小平对其研究的过程，请补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是______； （2）下表是与的几组对应值． 其中的值为______； （3）①根据表格中的数据，在平面直角坐标系中，画出函数图象； ②过点作平行于轴的直线，结合图像解决问题：若直线与函数的图象有三个交点，则的取值范围是______． 24. 如图，四边形是平行四边形，为对角线，，过点作的垂线，分别交直线于，连接． （1）设，求的度数（用含的式子表示）； （2）过点作的垂线，分别交直线于点， ①依题意补全图形； ②用等式表示的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $