3.2不等式的基本性质 同步课堂 2025-2026学年浙教版（2024）数学八年级上册

3.2不等式的基本性质 讲解目录 【知识点1】不等式的性质 1 【知识点2】不等式的解集 2 【题型1】根据不等式的变形结果求字母系数的范围 2 【题型2】利用不等式的性质比较大小 3 【题型3】写出不等式变形的依据 3 【题型4】利用不等式的性质变形 4 知识讲解 【知识点1】不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：   若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 1.（2025春•宝山区校级期末）如果a＞b,那么下列不等式中正确的是（　　） A．a-b＜0 B．a+6＜b-6 C．ac2＞bc2 D． 2.（2025春•路北区校级月考）已知a＜b,则一定有6+5a□6+5b、“□”中应填的符号是（　　） A．＞ B．＜ C．≥ D．= 【知识点2】不等式的解集 （1）不等式的解的定义： 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． （2）不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． （3）解不等式的定义： 求不等式的解集的过程叫做解不等式． （4）不等式的解和解集的区别和联系 不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． 1.（2025春•南靖县期中）不等式2x☺-4的解集在数轴上的表示如图所示，则☺盖住的符号是（　　） A．＞ B．＜ C．≥ D．≤ 2.（2025春•长安区期中）m、n是常数，若mx+n＞0的解是，则nx-m＜0的解集是（　　） A．x＜-2 B．x＜2 C．x＞-2 D．x＞2 题型专练 【题型1】根据不等式的变形结果求字母系数的范围 【典型例题】若x＞y，且（a﹣3）x＜（a﹣3）y，则a的取值范围是（　　） A.a＜3 B.a＜﹣3 C.a＞3 D.a＞﹣3 【举一反三1】若x＜y，且（m﹣3）x＞（m﹣3）y，则m的取值范围是（　　） A.m＜3 B.m≥3 C.m＞3 D.m≤3 【举一反三2】由x＜y得到ax＞ay，则a的取值范围是　        ． 【举一反三3】不等式mx＞2两边同乘以，得，求m的取值范围． 【举一反三4】已知x＞y． （1）比较3﹣x与3﹣y的大小，并说明理由． （2）若3+ax＞3+ay，求a的取值范围． 【题型2】利用不等式的性质比较大小 【典型例题】若a＜0，则a与2a的大小关系是（　　） A.a＞2a B.a C.a＜2a D.无法比较 【举一反三1】如果m＞n，ma与na比较，正确的是（　　） A.ma＞na B.ma＝na C.ma＜na D.无法确定 【举一反三2】已知x＜y，比较﹣2x﹣3与﹣2y﹣3的大小，结果正确的是（　　） A.﹣2x﹣3＞﹣2y﹣3 B.﹣2x﹣3＜﹣2y﹣3 C.﹣2x﹣3＝﹣2y﹣3 D.﹣2x﹣3≥﹣2y﹣3 【举一反三3】若x＜y，试比较大小2x﹣6 　  　2y﹣6（用“＞”、“＜”、“＝”填空）． 【举一反三4】阅读下面的解题过程，再解题． 已知a＞b，试比较﹣2024a+1与﹣2024b+1的大小． 解：因为a＞b①， 所以﹣2024a＞﹣2024b②， 所以﹣2024a+1＞﹣2024b+1③． 问： （1）上述解题过程中，从第 　 　步开始出现错误； （2）错误的原因 　                      　． （3）请写出正确的解题过程． 【题型3】写出不等式变形的依据 【典型例题】根据不等式的性质，将下列不等式变形为x＞a或x＜a的形式． （1）x，根据不等式的性质 　   　，不等式两边都 　    　，得 　    　； （2）2，根据不等式的性质 　  　，不等式两边都 　   　，得 　      　； （3）7x＞6x﹣4，根据不等式的性质 　   　，不等式两边都 　   　，得 　    　． （4）﹣8x＞16，根据不等式的性质 　  　，不等式两边都 　      　，得 　       　． 【举一反三1】在括号里填上下列不等式变形的依据． （1）a+3＞0→a＞﹣3； 　               　 （2）a＜3→a＜6； 　               　 （3）﹣2a＞3→a； 　                        （4）3a＞2a+1→a＞1． 　                 　 【举一反三2】说明下列不等式的变形依据． ①若3＜x+2，则x＞1． ②若1，则x＜﹣2． ③若6，则x＜4． 【举一反三3】写出下列不等式的变形依据： （1）若﹣3x＞2，则x； （2）若5，则x＜﹣10． 【题型4】利用不等式的性质变形 【典型例题】若a＜b，则下列不等式变形正确的是（　　） A.ac2＜bc2 B. C.﹣ca＞﹣cb D.4a﹣c＜4b﹣c 【举一反三1】下列不等式变形不正确的是（　　） A.由a＞b，得a﹣1＞b﹣1 B.由﹣2a＞﹣2b，得a＞b C.由，得a＞b D.由2a＞b，得 【举一反三2】已知a＜b，下列不等式变形不正确的是（　　） A.a+2＜b+2 B.3a＜3b C.﹣2a＜﹣2b D.2a﹣1＜2b﹣1 【举一反三3】下列不等式变形正确的是（　　） A.1≥2﹣x⇒x≥1 B.﹣x＜3⇒x＜﹣3 C. x＞﹣6⇒x＞﹣2 D.﹣7x≤8⇒x 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2不等式的基本性质 讲解目录 【知识点1】不等式的性质 1 【知识点2】不等式的解集 2 【题型1】根据不等式的变形结果求字母系数的范围 4 【题型2】利用不等式的性质比较大小 5 【题型3】写出不等式变形的依据 6 【题型4】利用不等式的性质变形 8 知识讲解 【知识点1】不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：   若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 1.（2025春•宝山区校级期末）如果a＞b,那么下列不等式中正确的是（　　） A．a-b＜0 B．a+6＜b-6 C．ac2＞bc2 D． 【答案】D 【分析】根据不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【解答】解：A、由a＞b可得a-b＞0，A错误，不符合题意； B、由a＞b可得ac2＞bc2（c≠0），B错误，故B不符合题意； C、由a＞b可得a-b＞0，C错误，故C不符合题意； D、由a＞b可得，则，D正确，故D符合题意； 故选：D． 2.（2025春•路北区校级月考）已知a＜b,则一定有6+5a□6+5b、“□”中应填的符号是（　　） A．＞ B．＜ C．≥ D．= 【答案】B 【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断即可． 【解答】解：∵a＜b, ∴5a＜5b, ∴6+5a＜6+5b. ∴□的符号为：＜． 故选：B． 【知识点2】不等式的解集 （1）不等式的解的定义： 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． （2）不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． （3）解不等式的定义： 求不等式的解集的过程叫做解不等式． （4）不等式的解和解集的区别和联系 不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． 1.（2025春•南靖县期中）不等式2x☺-4的解集在数轴上的表示如图所示，则☺盖住的符号是（　　） A．＞ B．＜ C．≥ D．≤ 【答案】B 【分析】根据数轴上的表示得到x＜-2，进而利用不等式的性质可得2x＜-4，进而可得答案． 【解答】解：由数轴得该不等式的解集为x＜-2， 利用不等式的性质可得2x＜-4， 则☺盖住的符号是＜，故选：B． 2.（2025春•长安区期中）m、n是常数，若mx+n＞0的解是，则nx-m＜0的解集是（　　） A．x＜-2 B．x＜2 C．x＞-2 D．x＞2 【答案】A 【分析】先移项得mx＞-n,再根据mx+n＞0的解是x＜，从而得出m＜0，-=，n＞0，再解nx-m＜0即可． 【解答】解：∵mx+n＞0的解是x＜， ∴m＜0，-=， ∴n＞0， 即=-， ∴nx-m＜0的解为x＜=-2． 故选：A． 题型专练 【题型1】根据不等式的变形结果求字母系数的范围 【典型例题】若x＞y，且（a﹣3）x＜（a﹣3）y，则a的取值范围是（　　） A.a＜3 B.a＜﹣3 C.a＞3 D.a＞﹣3 【答案】A 【解析】∵x＞y，且（a﹣3）x＜（a﹣3）y， ∴a﹣3＜0， 则a＜3． 故选：A． 【举一反三1】若x＜y，且（m﹣3）x＞（m﹣3）y，则m的取值范围是（　　） A.m＜3 B.m≥3 C.m＞3 D.m≤3 【答案】A 【解析】由x＜y，且（m﹣3）x＞（m﹣3）y，得 m﹣3＜0．解得m＜3， 故选：A． 【举一反三2】由x＜y得到ax＞ay，则a的取值范围是　        ． 【答案】a＜0 【解析】∵x＜y，ax＞ay， ∴a＜0． 故答案为：a＜0． 【举一反三3】不等式mx＞2两边同乘以，得，求m的取值范围． 【答案】解：∵不等式mx＞2，两边同乘以，得x， ∴m＜0． 【举一反三4】已知x＞y． （1）比较3﹣x与3﹣y的大小，并说明理由． （2）若3+ax＞3+ay，求a的取值范围． 【答案】解：（1）∵x＞y， ∴﹣x＜﹣y， ∴3﹣x＜3﹣y； （2）∵x＞y，3+ax＞3+ay， ∴a＞0． 【题型2】利用不等式的性质比较大小 【典型例题】若a＜0，则a与2a的大小关系是（　　） A.a＞2a B.a C.a＜2a D.无法比较 【答案】A 【解析】∵a＜0， ∴a＞2a， 故选：A． 【举一反三1】如果m＞n，ma与na比较，正确的是（　　） A.ma＞na B.ma＝na C.ma＜na D.无法确定 【答案】D 【解析】∵m＞n， ∴当a＞0，则ma＞na， 当a＜0，则ma＜na， 当a＝0，则ma＝na， 故无法确定ma与na大小． 故选：D． 【举一反三2】已知x＜y，比较﹣2x﹣3与﹣2y﹣3的大小，结果正确的是（　　） A.﹣2x﹣3＞﹣2y﹣3 B.﹣2x﹣3＜﹣2y﹣3 C.﹣2x﹣3＝﹣2y﹣3 D.﹣2x﹣3≥﹣2y﹣3 【答案】A 【解析】∵x＜y， ∴﹣2x＞﹣2y， ∴﹣2x﹣3＞﹣2y﹣3． 故选：A． 【举一反三3】若x＜y，试比较大小2x﹣6 　  　2y﹣6（用“＞”、“＜”、“＝”填空）． 【答案】＜ 【解析】∵x＜y， ∴2x＜2y， ∴2x﹣6＜2y﹣6． 故答案为：＜． 【举一反三4】阅读下面的解题过程，再解题． 已知a＞b，试比较﹣2024a+1与﹣2024b+1的大小． 解：因为a＞b①， 所以﹣2024a＞﹣2024b②， 所以﹣2024a+1＞﹣2024b+1③． 问： （1）上述解题过程中，从第 　 　步开始出现错误； （2）错误的原因 　                      　． （3）请写出正确的解题过程． 【答案】解：（1）上述解题过程中，从第②步开始出现错误， 故答案为：②； （2）错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； 故答案为：不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； （3）∵a＞b， ∴﹣2024a＜﹣2024b， ∴﹣2024a+1＜﹣2024b+1； 【题型3】写出不等式变形的依据 【典型例题】根据不等式的性质，将下列不等式变形为x＞a或x＜a的形式． （1）x，根据不等式的性质 　   　，不等式两边都 　    　，得 　    　； （2）2，根据不等式的性质 　  　，不等式两边都 　   　，得 　      　； （3）7x＞6x﹣4，根据不等式的性质 　   　，不等式两边都 　   　，得 　    　． （4）﹣8x＞16，根据不等式的性质 　  　，不等式两边都 　      　，得 　       　． 【答案】（1）1，加上，x＜1； （2）2，乘3，x＞﹣6； （3）1，减去6x，x＞﹣4； （4）3，除以﹣8，x＜﹣2． 【解析】（1）x，根据不等式的性质1，不等式两边都加上，得x＜1． 故答案为：1，加上，x＜1； （2）2，根据不等式的性质2，不等式两边都乘3，得x＞﹣6． 故答案为：2，乘3，x＞﹣6； （3）7x＞6x﹣4，根据不等式的性质1，不等式两边都减去6x，得x＞﹣4． 故答案为：1，减去6x，x＞﹣4； （4）﹣8x＞16，根据不等式的性质3，不等式两边都除以﹣8，得x＜﹣2． 故答案为：3，除以﹣8，x＜﹣2． 【举一反三1】在括号里填上下列不等式变形的依据． （1）a+3＞0→a＞﹣3； 　               　 （2）a＜3→a＜6； 　               　 （3）﹣2a＞3→a； 　                        （4）3a＞2a+1→a＞1． 　                 　 【答案】不等式基本性质1；不等式基本性质2；不等式基本性质3；不等式基本性质1．． 【解析】（1）不等式两边都加﹣3，不等号的方向不变， 故答案为：不等式基本性质1； （2）不等式两边都乘以2，不等号的方向不变， 故答案为：不等式基本性质2； （3）不等式两边都除以﹣2，不等号的方向改变， 故答案为：不等式基本性质3； （4）不等式两边都加﹣2a，不等号的方向不变， 故答案为：不等式基本性质1． 【举一反三2】说明下列不等式的变形依据． ①若3＜x+2，则x＞1． ②若1，则x＜﹣2． ③若6，则x＜4． 【答案】解：①若3＜x+2，两边减去2，变形得：x＞1； ②若x＜﹣1，两边乘以2得x＜﹣2； ③若x＞﹣6，两边除以得x＜4； 【举一反三3】写出下列不等式的变形依据： （1）若﹣3x＞2，则x； （2）若5，则x＜﹣10． 【答案】解：（1）若﹣3x＞2，则x，根据不等式的性质3，不等式的两边都除以﹣3； （2）若5，则x＜﹣10根据不等式的性质3，不等式的两边都乘以﹣2． 【题型4】利用不等式的性质变形 【典型例题】若a＜b，则下列不等式变形正确的是（　　） A.ac2＜bc2 B. C.﹣ca＞﹣cb D.4a﹣c＜4b﹣c 【答案】D 【解析】A、当c＝0时，ac2＝bc2，原变形错误，不符合题意； B、当b＞0时， 1，原变形错误，不符合题意； C、当c＝0时，﹣ca＝﹣cb，原变形错误，不符合题意； D、∵a＜b，∴4a＜4b，∴4a﹣c＜4b﹣c，正确，符合题意． 故选：D． 【举一反三1】下列不等式变形不正确的是（　　） A.由a＞b，得a﹣1＞b﹣1 B.由﹣2a＞﹣2b，得a＞b C.由，得a＞b D.由2a＞b，得 【答案】B 【解析】A．∵a＞b， ∴不等式两边同减1，得a﹣1＞b﹣1，故本选项不符合题意； B．∵﹣2a＞﹣2b， ∴不等式两边同除以﹣2，得a＜b，故本选项符合题意； C．∵， ∴两边同乘以c2，得a＞b，故本选项不符合题意； D．∵2a＞b， ∴不等式两边同除以2，得，故本选项不符合题意； 故选：B． 【举一反三2】已知a＜b，下列不等式变形不正确的是（　　） A.a+2＜b+2 B.3a＜3b C.﹣2a＜﹣2b D.2a﹣1＜2b﹣1 【答案】C 【解析】A、根据不等式性质1，不等式a＜b两边都加2可得a+2＜b+2，原变形正确，故此选项不符合题意； B、根据不等式性质2，不等式a＜b两边都乘以3可得3a＞3b，原变形正确，故此选项不符合题意； C、根据不等式性质3，不等式a＜b两边都乘以﹣2可得﹣2a＞﹣2b，原变形不正确，故此选项符合题意； D、根据不等式性质2，不等式a＜b两边都乘以2可得2a＞2b，再在不等号两边同时减1得2a﹣1＜2b﹣1，原变形正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 【举一反三3】下列不等式变形正确的是（　　） A.1≥2﹣x⇒x≥1 B.﹣x＜3⇒x＜﹣3 C. x＞﹣6⇒x＞﹣2 D.﹣7x≤8⇒x 【答案】A 【解析】∵1≥2﹣x， ∴0≥1﹣x， ∴x≥1，故选项A符合题意； ∵﹣x＜3， ∴x＞﹣3，选项B不符合题意； ∵x＞﹣6， ∴x＞﹣18，故选项C不符合题意； ∵﹣7x≤8， ∴x，故选项D不符合题意． 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $