精品解析：吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期起点摸底考试数学试卷

吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期起点摸底考试数学试卷 命题人：姜冬艳 审题人：冯维丽 陈先春 考试时长：90分钟 试卷总分：120分 注意事项： 1.答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效． 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 2. 设：实数，满足且；：实数，满足；则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先考查是否成立，再考查是否成立,即可得结论. 【详解】解：因为且，所以，即成立； 反之若，满足，如，但不满足 且，即不成立， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 4. ，则数列的前项和为（ ） A. 112 B. 48 C. 80 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】先由题设结合求出数列的通项公式，再结合数列各项正负情况即可求解. 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 故选：C 5. 若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得到，再利用在区间上的单调性，即可求解. 【详解】当时，由可得， 又关于的不等式在区间上有解，则， 令，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又时，，时，，所以， 故选：D. 6. 函数的图像在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】，，，， 因此，所求切线的方程为，即. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 7. 设，若为函数的极大值点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项. 【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故. 有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的. 当时，由，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故. 当时，由时，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故. 综上所述，成立. 故选：D 【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答. 8. 已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出； 法二：根据数形结合解出. 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，3有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象与函数的图象关于x轴对称 B. 函数的图象关于y轴对称 C. 函数的图象在上单调递增 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由函数图像变换得出新函数图像即可判断ABC，由对数运算与对数函数单调性判断D. 【详解】函数的图象如下： 对于A，由函数图象变换可知，图像如下： 函数图象与原函数图象关于轴对称，故A错误； 对于B，由函数图象变换可知，的图象如下： 函数图象关于轴对称，故B正确； 对于C，由函数图象变换可知，的图象如下： 函数图象在上单调递增，故C正确； 对于D，即，， 在定义域上单调递增， ，则，故D正确； 故选：BCD. 10. 已知，，直线与曲线相切，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求导，根据切线方程可得切点横坐标，进而可得a、b关系.妙用1可判断A；直接使用基本不等式可判断B；换元转化为二次函数最值问题可判断C；利用不等式可判断D. 【详解】设切点为，因为，所以， 解得， ，即， 对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以，当且仅当，时，等号成立，故B不正确； 对于C，，当且仅当，时，等号成立，故C正确； 对于D，由可知D正确. 故选：ACD 11. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 定义，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】对不等式进行变形得到在上恒成立，求出函数的范围，从而得到的取值范围. 【详解】等价于，即在上恒成立， 当时，记， ，． 故答案为： 13. 已知定义在R上的奇函数满足，且当时，则不等式在上的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】先得出的周期以及对称轴，再利用导数证明在上恒成立，通过对称性画出函数和在上的简图，由图象得出解集. 【详解】因为为定义在R上的奇函数，则，且， 所以， 则， 所以函数为周期为4的函数，且图像关于对称. 令，， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，，即. 设，， 则， 所以函数在上单调递减， 则当时，，即， 所以在上恒成立， 结合对称性可画出函数和在上的简图，如下图所示： 由图象可知，不等式在上的解集为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用导数证明在上恒成立，进而结合图象进行求解. 14. 已知，若不等式对于任意恒成立，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】令，代入，可得，进而验证可以取到即可. 【详解】令，，则不等式为对于任意恒成立， 取，则，即，解得， 当时，则，即， 由于的最小值为， 当时，则满足恒成立，此时符合题意， 故可以取到， 故答案为： 四、解答题：本大题共3小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知指数函数，满足. （1）求函数的解析式； （2）若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根题意设且，解出即可； （2）换元令，结合指数函数值域转化为一元二次方程有两个不等的正根求解即可. 【小问1详解】 设且， 由，可得，又，， . 【小问2详解】 由（1）知， 又方程有两个不同的实数解， 有两个不同的实数解，设， 有两个不同的正实数解， ，解得， 实数的取值范围为. 16. 为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响. （1）求甲前3次答题得分之和为40分的概率； （2）记甲第i次答题所得分数的数学期望为. ①写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）： ②若，求i的最小值. 【答案】（1）； （2）①，，且；②5. 【解析】 【分析】（1）甲甲前3次答题得分之和为40分的事件是甲前3次答题中恰答对一次的事件，再利用相互独立事件概率的乘法公式计算作答. （2）①求出，再分析、写出与满足的等量关系式作答；②利用构造法求出的通项，列出不等式并结合单调性作答. 【小问1详解】 甲前3次答题得分之和为40分的事件是：甲前3次答题中仅只答对一次的事件， 所以甲前3次答题得分之和为40分的概率. 【小问2详解】 ①甲第1次答题得20分、10分的概率分别为，则， 甲第2次答题得40分、20分、10分的概率分别为， 则，显然， ，甲第次答题所得分数的数学期望为， 因此第次答对题所得分数为，答错题所得分数为10分，其概率分别为， 于是甲第i次答题所得分数的数学期望为， 所以与满足的等量关系式是：，，且； ②由①知，，当时，，而， 因此数列以为首项，为公比的等比数列，， 于是，由得：，显然数列是递增数列， 而，则有正整数， 所以i的最小值是5. 17. 已知函数，其中 （1）讨论的单调性； （2）已知且，求证：； （3）若函数有三个不同的零点，求正数的取值范围． 【答案】（1） 当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. （2） 由（1）知，当时，时，， 则，令， 于是， 所以 ， 所以（且）. （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，按与分类讨论求出的单调区间. （2）利用（1）中时的结论，再利用裂项相消法求和，推理即得. （3）变形函数，将的零点个数问题转化为的零点个数，再借助导数及零点存在性定理求解. 【小问1详解】 函数定义域为，又， 设，则， ①当时，恒成立，且至多一点处为，函数在上单调递减； ②当时，有两个零点， 则当或时，，即；当时，，即， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数， 由于与同号，则只有一个零点， 令，由，则有三个不同的零点等价于函数有三个不同的零点， 由（1）知，当时，在上单调递减，不合题意； 当时，由（1）知，的两极值点满足，所以，得， 由， 则，由（2）知，当时，， 则，即， 因此， 由零点存在性定理知，在区间上有唯一的一个零点， 显然， 而，则，于是当时，存在三个不同的零点， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期起点摸底考试数学试卷 命题人：姜冬艳 审题人：冯维丽 陈先春 考试时长：90分钟 试卷总分：120分 注意事项： 1.答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效． 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 2. 设：实数，满足且；：实数，满足；则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. ，则数列的前项和为（ ） A. 112 B. 48 C. 80 D. 64 5. 若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图像在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 设，若为函数的极大值点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，3有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象与函数的图象关于x轴对称 B. 函数的图象关于y轴对称 C. 函数的图象在上单调递增 D. 10. 已知，，直线与曲线相切，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 定义，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为______． 13. 已知定义在R上的奇函数满足，且当时，则不等式在上的解集为______． 14. 已知，若不等式对于任意恒成立，则的最小值为______. 四、解答题：本大题共3小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知指数函数，满足. （1）求函数的解析式； （2）若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 16. 为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响. （1）求甲前3次答题得分之和为40分的概率； （2）记甲第i次答题所得分数的数学期望为. ①写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）： ②若，求i的最小值. 17. 已知函数，其中 （1）讨论的单调性； （2）已知且，求证：； （3）若函数有三个不同的零点，求正数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $