第一章特殊平行四边形章末练习题 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第1章 特殊的平行四边形 章末练习 一、单选题 1．如图，的对角线与相交于点O．要使它成为矩形，需再添加的条件是（   ） A． B． C． D．平分 2．如图，四边形是平行四边形，对角线与相交于点O，下列结论正确的是（  ） A．当平行四边形是矩形时， B．当平行四边形是正方形时， C．当平行四边形是菱形时， D．当平行四边形是矩形时， 3．如图，四边形是正方形，延长到点E，使，连接，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 4．如图，四边形是菱形，与相交于点O，，连接，下列结论错误的是（　　）    A． B． B． C． D． 5．如图，矩形的对角线，相交于点，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 6．如图，菱形中，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 7．如图，菱形的对角线与相交于点O，E为边的中点，连结．若，则（    ）    A．2 B． C．3 D．4 8．如图，点M、N分别是矩形ABCD的边BC和对角线AC上的动点，连接AM、MN，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 9．图，在中，，，，点是斜边上一动点，连结，将以直线为对称轴进行轴对称变换，点的对称点为，连结，则在点从点出发向点运动的整个过程中，线段长度的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 10．如图，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段BO上一动点（不包括O，B两点），DF⊥CE于点F，过点A作AG⊥DF于点G，交BD于点H，连结AE，CH，则下列结论：①∠ADG=∠DCF；②DG=EF；③存在点E，使得EF=GF；④四边形AECH是菱形．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．菱形两对角线长分别为24和10，则该菱形的面积为 ． 12．如图，矩形纸片中，已知，点落在点处，折痕为，，则的长为 ． 13．如图，在直线l上摆放着三个正方形，其中正放的两个正方形的顶点M，N分别是斜放正方形相邻两边的中点，三个正方形的面积依次为，，．已知，，则= ． 14．如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为的正方形纸片，沿着边上一点与点的连线折叠，点是点的对应点，延长交于点，经测量，，则的面积为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，AO＝3，原点O是AD的中点，则点C的坐标是 ． 16．如图，矩形中，，，动点、分别从点、同时出发，以相同的速度分别沿、向终点、移动，当点到达点时，运动停止，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，则长的最小值为 ． 三、解答题 17．已知点P，Q分别在菱形的边上运动（点P不与B，C重合），且． (1)如图①，若，求证：； (2)如图②，若与不垂直，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 18．如图，在中，，是边上的中线，点在的延长线上，连接，过点作交的延长线于点，连接、，求证：四边形是菱形．    19．如图，和相交于点，，．点、分别是、的中点．    (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 20．在中，，，点为直线上一动点点不与、重合，以为边在的右侧作正方形，连接． (1)观察猜想：如图1，当点在线段上时， ①与的位置关系是：___________； ②、、之间的数量关系为：___________(将结论直接写在横线上) (2)数学思考：如图，当点在线段的延长线上时，上述①、②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请你写出正确结论再给予证明． 21．【问题背景】在矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处． 【初步认识】 （1）如图1，折痕的端点P与点A重合． ①当时，则___________度； ②若点E恰好落在线段上，求的长； 【深入思考】 （2）如图2，点E恰好落在边上． 过点E作交于点F，连接．请在图2中画出线段，，并判断四边形的形状，且证明你的结论； 【拓展提升】 （3）如图3，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．B 【分析】根据矩形的判定定理和菱形的判定定理逐项判断即可． 【详解】A.四边形ABCD是平行四边形，∴，无法判断其为矩形，故此选项不符合题意； B.四边形ABCD是平行四边形，，是矩形，故符合题意； C.四边形ABCD是平行四边形，，是菱形，故不符合题意； D.四边形ABCD是平行四边形，平分，是菱形，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．A 【分析】本题考查了矩形，菱形，正方形的性质，根据矩形，菱形，正方形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、当平行四边形是矩形时，，结论正确，符合题意； B、当平行四边形是正方形时，，而，原结论错误，不符合题意； C、当平行四边形是正方形时，，原结论错误，不符合题意； D、当平行四边形是矩形时，对角线不垂直，原结论错误，不符合题意； 故选：A ． 3．C 【分析】根据四边形是正方形，得到，根据得到，选择即可． 本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握正方形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 故选C． 4．B 【分析】根据菱形的性质和勾股定理逐一进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴菱形的面积， ∵， ∴菱形的面积， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故A正确； 根据题意不能得到，故B错误； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，故C正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故D正确； 综上所述：结论错误的是B， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 5．A 【分析】由矩形的性质证明，可得 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，掌握矩形的性质并准确识图是解题的关键． 6．C 【分析】根据菱形的性质可得，则，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴， ∴， ∵， ∴, 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握是菱形的性质解题的关键． 7．B 【分析】先由菱形的性质得，，，再由勾股定理求出，然后由直角 三角形斜边的中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：∵菱形， ∴，，， ∴由勾股定理，得， ∵E为边的中点， ∴ 故选：B． 【点睛】本考查菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 8．B 【分析】根据动点最值问题求解步骤，①分析所求线段端点（定、动）；②动点轨迹为直线；③模型方法（类比将军饮马模型，作定点关于动点轨迹的对称点）；④确定最值对应的定线段；⑤求定线段长，按步骤进行即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，连接，过作， ，即当三点共线，时，的最小值为， 在中，，连接，如上图所示，，则， 在矩形ABCD中，，，则， ， 故选：B． 【点睛】本题考查动点最值问题，熟练掌握动点最值问题的求解步骤，根据题意按步骤逐步分析是解决问题的关键． 9．D 【分析】由题意可知点在AC上时，线段长度最短，故可求解． 【详解】∵将以直线为对称轴进行轴对称变换，点的对称点为，AC、B′C长度不变，故当A、、C在三点共线时，符合题意， 即点在AC上时，线段长度最短，即=AC-， ∵在中，，，， ∴AB=2BC=2， ∴AC=, ∴线段长度最短为AC-=， 故选D． 【点睛】此题主要考查三角形的长度求解，解题的关键是熟知轴对称变换的特点及含30°的直角三角形的性质． 10．B 【分析】由四边形ABCD是正方形，DF⊥CE，可得∠ADG=90°-∠FDC=∠DCF，故①正确；证明△ADG≌△DCF，可得DG=CF，而CF不一定等于EF，可判定②错误；由CE//AG，得∠ECA=∠HAC，直线BD为正方形ABCD的对称轴，可知AH=CH，∠HAC=∠HCA，从而∠ECA=∠HCA，OE=OH，即得四边形AECH对角线互相垂直平分，四边形AECH是菱形，故④正确；由HG=GF-EF，且E为线段BO上一动点（不包括O，B两点），HG≠0，可得GF-EF≠0，可判定③不正确； 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，DF⊥CE， ∴∠ADC=90°，∠DFC=90°， ∴∠ADG=90°-∠FDC=∠DCF，故①正确； 在△ADG和△DCF中， ， ∴△ADG≌△DCF（AAS）， ∴DG=CF， ∵E为动点， ∴DE不一定等于DC， ∴CF不一定等于EF， ∴DG不一定等于EF，故②错误； ∵DF⊥CE，AG⊥DF， ∴CE//AG， ∴∠ECA=∠HAC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴直线BD为正方形ABCD的对称轴，AC⊥BD，OA=OC， ∴AH=CH， ∴∠HAC=∠HCA， ∴∠ECA=∠HCA， ∴OE=OH， ∴四边形AECH对角线互相垂直平分， ∴四边形AECH是菱形，故④正确； ∴CE=AH， ∴HG=AG-AH=AG-CE， 而△ADG≌△DCF有AG=DF，DG=CF， ∴HG=DF-CE=（DG+GF）-（CF+EF）=GF-EF， ∵E为线段BO上一动点（不包括O，B两点）， ∴HG≠0，即GF-EF≠0， ∴GF≠EF，故③不正确； ∴正确的有①④， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质及应用，涉及三角形全等的判定与性质、菱形的判定等知识，解题的关键是证明△ADG≌△DCF． 11． 【分析】本题考查的是菱形的性质，熟记菱形的面积公式是解本题的关键，已知菱形的两条对角线的长，即可计算菱形的面积， 【详解】解：∵菱形两对角线长分别为24和10， 菱形的面积为． 故答案为： 12．12 【分析】本题考查了矩形的性质及翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键． 先根据矩形的特点求出的长，再由翻折变换的性质得出是直角三角形，利用勾股定理即可求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ， 是翻折而成， ，，是直角三角形， ， 在中，， 设， 在中，， 即， 解得， 则． 故答案为：12． 13．16 【分析】利用AAS证明△AMB≌△CBN，得BC=AM，再利用勾股定理求出BM的长，从而解决问题． 【详解】解：如图， ∵正放的两个正方形的顶点M，N分别是斜放正方形相邻两边的中点， ∴BM=BN，∠MBN=90°，∠MAB=∠NCB=90°， ∴∠MBA+∠CBN=90°， ∵∠MBA+∠AMB=90°， ∴∠AMB=∠CBN， ∴△AMB≌△CBN（AAS）， ∴BC=AM， ∵，， ∴AM=1，， ∴由勾股定理得：BM=2， ∴． 故答案为：16 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△AMB≌△CBN是解题的关键． 14．/ 【分析】根据题意，，进而求得，勾股定理求得，即可求得的面积． 【详解】解：折叠， ，， ， ∵四边形是正方形 ∴ 中 ． ． 故答案为： 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 15．（-6，） 【分析】根据菱形的性质得出BC=AB=AD=6，AD//BC，然后再根据勾股定理求出OB的长度，即可确定点C的坐标． 【详解】解：∵O是AD的中点，OA=3， ∴AD=6 ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=AD=AB=6，AD//BC ∴BO3， ∴点C坐标(-6，3) 故答案为：(-6，3)． 【点睛】本题主要考查菱形的性质及勾股定理，掌握菱形的性质及勾股定理是解题的关键． 16．4 【分析】因为EF不论如何运动，EF的中点始终在矩形的对角线的交点上，所以当EF⊥BC时，即，E、F分别是AD、BC的中点时，CP取得最小值，此时P与F重合，即可求解． 【详解】解：∵动点、分别从点、同时出发，以相同的速度分别沿、向终点、移动， ∴AE=CF ∴EF不论如何运动，EF的中点始终在矩形的对角线的交点上， ∴当EF⊥BC时，即，E、F分别是AD、BC的中点时，CP取得最小值，此时P与F重合， ∴CP= 故答案为：4 【点睛】本题考查了矩形的性质，弄清题意找到P的位置是解题的关键． 17．(1)见解析； (2)成立，证明见解析． 【分析】本题考查菱形的性质及全等三角形性质与判定，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型． （1）根据菱形的性质、结合已知得到，证明，由全等三角形的性质可得； （2）作，，垂足分别为，，由（1）的结论得到，证明，根据全等三角形的性质证明． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， 在和中， ； （2）（1）中的结论还成立，理由如下： 如图，作，，垂足分别为，． 由（1）可得，，， ， 在和中， ， ； 18．证明见解析 【分析】先根据等腰三角形的性质，得到垂直平分，进而得到，，，再利用平行线的性质，证明，得到，进而得到，即可证明四边形是菱形． 【详解】证明：，是边上的中线， 垂直平分， ，，， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，灵活运用相关知识点解决问题是解题关键． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）直接证明，得出，根据、分别是、的中点，即可得证； （2）证明四边形是平行四边形，进而根据，推导出是等边三角形，进而可得，即可证明四边形是矩形． 【详解】（1）证明：在与中， ∴， ∴， 又∵、分别是、的中点， ∴； （2）∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 20．(1)①，② (2)成立；不成立，见解析 【分析】（1）①证明，得出，即可得证；②由①可得，则； （2）证明，进而证明，则，由，，得出． 【详解】（1）①正方形中，， ， ， 在与中， ， ， ， ，即； 故答案为：； ②， ， ， ； 故答案为：； （2）成立；不成立，． 正方形中，， ， ， 在与中， ， ， ， ，， ． ， ， ． ，， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 21．（1）①64，②2；（2）四边形是菱形，见解析；（3）或 【分析】（）①由邻补角性质得，进而由折叠性质即可求解；②由折叠和勾股定理可求出，设，则，，在中利用勾股定理列出方程解答即可求解； （）①先证四边形是平行四边形，再由即可求证； （）分和两种情况，利用折叠的性质解答即可求解． 【详解】解：（）①∵， ∴， 由折叠可得，， ∴， 故答案为：； ②当点恰好在线段上时，如图所示， 由折叠可得，，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴的长； （）补图如下： 证明：∵， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （）由折叠可知，，设，则， ①当时， 在中，， 解得， ∴； ②当时，过点作交于， 则， ， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上，线段的长为或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠的知识，菱形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握折叠的性质是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $