圆锥曲线的综合 专项同步练习-2026届高三数学一轮复习

2026高考数学一轮复习《圆锥曲线的综合》同步练含答案 一、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知椭圆的左、右焦点分别是、，离心率为，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D．1 2．抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于A，B两点．则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．已知为双曲线左支上的一点，双曲线的左、右顶点分别为、，直线交双曲线的一条渐近线于点，直线、的斜率为、，若以为直径的圆经过点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线x2=1上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，且MN的中点在抛物线y2=9x上，则实数m的值为(　　) A．4 B．4 C．0或4 D．0或4 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 5．已知曲线的方程为（且)，，分别为与轴的左、右交点，为上任意一点(不与，重合)，则（    ） A．若，则为双曲线，且渐近线方程为 B．若点坐标为，则为焦点在轴上的椭圆 C．若点的坐标为，线段与轴垂直，则 D．若直线，的斜率分别为，，则 6．已知为坐标原点，椭圆：的左、右焦点分别为、，椭圆的上顶点和右顶点分别为A、B，点P、Q都在上，且，则下列说法正确的是（    ） A．周长的最小值为14 B．四边形可能是矩形 C．直线，的斜率之积为定值 D．的面积最大值为 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 7．若双曲线的一条渐近线为，则过抛物线的焦点且垂直于轴的弦，与抛物线的顶点组成的三角形的面积为 . 8．已知点满足方程，点，，若直线的斜率为，斜率为，则的值为 . 四、解答题：本题共2小题，共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9．（本小题满分 15分） 已知椭圆的上顶点为，左､右焦点分别为，，离心率的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆相交于点，则直线的斜率分别为，，且，则直线是否经过某个定点A？若是，请求出A的坐标. 10．（本小题满分 17分） 已知为抛物线：上一点，过作两条关于对称的直线分别交于，两点. (1)证明：直线的斜率为定值，并求出该定值； (2)若，求面积的最大值. 参考答案 1．B 【解析】依题意，即，又，，，所以，所以为等边三角形，即为椭圆的上顶点，所以，所以 故选B. 2．D 【解析】由题意可知，设，， 联立直线与抛物线方程， 所以， 而. 当且仅当时取得等号. 故选D. 3．D 【解析】设点，则，即有，① 由、以及以为直径的圆经过点可知， 所以， 又，，所以，， 由题意知，所以 ，② 由①和②得，由得． 故选D. 4．D 【解析】∵M，N关于y=x+m对称， ∴直线MN的斜率为1. 设MN的中点P(x0，x0+m)，直线MN:y=x+b， ∵点P在MN上， ∴x0+m=x0+b，∴b=2x0+m. 由消元可得2x2+2bxb23=0，Δ=4b24×2(b23)=12b2+24>0恒成立， 设M(xM，yM)，N(xN，yN)， ∴xM+xN=b，∴x0=， ∴b=，∴MN的中点P(m). ∵MN的中点在抛物线y2=9x上， ∴m2=，∴m=0或m=4. 5．BD 【解析】对于，若，则为双曲线，其双曲线的渐近线方程为，故错误； 对于，因为点在曲线上，所以，所以，则曲线为椭圆，又因为，所以为焦点在轴上的椭圆，故正确； 对于，因为点的坐标为，所以过点与轴垂直的直线方程为，代入曲线方程可得：，若，则有， 若，则有，故错误； 对于，由题意可知：，，设点， 则，，所以， 又因为点在曲线上，所以， 所以，故正确， 故选. 6．ACD 【解析】由，可知P，Q关于原点对称. 对于A，根据椭圆的对称性，，当PQ为椭圆的短轴时，有最小值6，所以周长的最小值为14.故A正确； 对于B，因为，所以， 则，故椭圆上不存在点，使得， 又四边形是平行四边形，所以四边形不可能是矩形.故B不正确. 对于C，由题意得，设，则， 所以.故C正确； 对于D，设的面积为，所以当PQ为椭圆的短轴时，最大，所以.故D正确. 故选ACD. 7．2 【解析】双曲线的渐近线方程是，又直线是其一条渐近线，所以， 抛物线方程为，焦点为，代入抛物线方程得，，即， ，． 8． 【解析】已知动点满足方程， 设，且，则有， 故点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 且中心在原点，焦点在轴，即点的轨迹轨迹方程为椭圆的标准方程， 则，，故所求轨迹方程为，则， 又，，则. 9．【解析】（1）因为的面积，且， 又， 故解得，则，则陏圆的标准方程为. （2）假设， 直线与椭圆联立得， 消去整理得， 则，又因为， 所以， 则， 即， 代入韦达定理得， 即，化简得， 因为，则， 即代入直线得， 即 所以直线经过定点. 10．【解析】（1）根据题意可得，得， 故所求抛物线方程为， 由题意不妨设直线的方程为， 联立抛物线方程可得，消去得：， ， 由韦达定理得，， ∵直线与关于对称， ∴，且， ∴，即， 即，由韦达定理得 所以直线的斜率为定值. （2）由（1）可知，， 由得， 即，又，得， ，点到直线的距离 所以的面积 ，其中 又 当且仅当时取“=”号， 所以的面积的最大值为 . 学科网（北京）股份有限公司 $