精品解析：天津市第二十一中学2025-2026学年度九年级上学期数学开学考

九年级数学45分钟9月开学练习 一、选择题 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，2，3 B. 0，2， C. 0，， D. 1，2， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，解题关键在于将方程转化为一元一次方程的一般形式即可解答. 将方程转化为一元一次方程的一般形式，然后找出方程的二次项系数、一次项系数及常数项即可. 【详解】解：方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，，， 故选D 2. 将一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，直接去括号进而移项，得出答案． 【详解】解：， ， 故选：A． 3. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程左右两边相等的未知数的值．根据一元二次方程的根的定义代入计算即可． 【详解】解：因为一元二次方程有一个根是0， 所以， 解得． 故选：C． 4. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，由此进行逐一判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、符合一元二次方程的定义，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于能够熟知定义． 5. 已知a是方程 的解，则代数式的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，将代数式整体代入求解是解题的关键．由题意得，移项得，将化简为，再将代入计算，即得答案． 【详解】是方程 的解， ， ， ． 故选B． 6. 若是关于的方程（为系数）的根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把x＝0代入方程，得出关于k的一元二次方程，解方程求出k即可． 【详解】解：把x＝0代入方程中，得， 解得k＝±1， 故选D． 【点睛】本题考查的是解一元二次方程及方程解的定义，能使方程成立的未知数的值，就是方程的解. 7. 若a,b,c满足则关于x的方程的解是( ) A. 1，0 B. -1，0 C. 1，-1 D. 无实数根 【答案】C 【解析】 【详解】【分析】由方程组得到a+c=0, 即a=-c，b=0，再代入方程可求解. 【详解】因为a+b+c=0——①；a-b+c=0——②且a≠0, 联立两式①+②得a+c=0, 即a=-c,b=0, 代入ax²+bx+c=0 得：ax²-a=0 解得x=1或x=-1 故选C 【点睛】本题考核知识点：一元二次方程.解题关键点：由方程组推出a,b,c的特殊关系. 8. 某建筑工程队在工地一边靠墙处，用米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个米宽的缺口作小门．若设米，则可列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题一元二次方程的应用，设为米，则平行于墙的一边长为米，依题意即可列出方程，正确用含的式子表示出平行于墙的一边长是解题的关键． 【详解】解：设为米，则平行于墙的一边长为米， 根据题意得，， 故选：． 9. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得． 【详解】解：方程中的， 是方程的两个根， ，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 10. 下列一元二次方程无实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断即可； 【详解】解：A．，方程有两个不等的实数根，不符合题意； B．，方程有两个不等的实数根，不符合题意； C．，方程没有实数根，符合题意； D．，方程有两个相等的实数根，不符合题意； 故选： C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）根的判别式△=b2-4ac：△＞0时方程有两个不等的实数根；△=0时方程有两个相等的实数根；△＜0时方程没有实数根． 11. 已知是一元二次方程的两根，且的值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解本题的关键． 由根与系数的关系得出，从而得出结论． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴， ∴， 故选：B． 12. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由关于x的一元二次方程有两个实数根，可得，求解即可． 【详解】关于x的一元二次方程有两个实数根， ， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 13. 若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键． 14. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先化成一般式后，在求根的判别式，即可确定根的状况． 【详解】解：原方程可化为：， ，，， ， 方程由两个不相等的实数根． 故选A． 【点睛】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键． 15. 已知x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，且满足x1+x2﹣3x1x2=5，那么b的值为（　　） A. 4 B. ﹣4 C. 3 D. ﹣3 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系和整体代入思想即可得解. 【详解】∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根， ∴x1+x2=﹣b，x1x2=﹣3， ∴x1+x2﹣3x1x2=﹣b+9=5， 解得b=4. 故选A. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）， 韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=. 16. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程的定义，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用根的判别式与一元二次方程的定义，列出不等式求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， 故选：B． 17. 已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　） A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8或10 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根， ∴22﹣4m+3m=0，m=4， ∴x2﹣8x+12=0， 解得x1=2，x2=6． ①当6是腰时，2是底边，此时周长=6+6+2=14； ②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形． 所以它的周长是14． 故选B． 18. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 19. 已知关于的方程，下列说法正确的是（　　） A. 当时，方程无解 B. 当时，方程有一个实数解 C. 当时，方程有两个相等的实数解 D. 当时，方程总有两个不相等的实数解 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：当时，方程为一元一次方程有唯一解，． 当时，方程为一元二次方程，解的情况由根的判别式确定： ∵， ∴当时，方程有两个相等的实数解， 当且时，方程有两个不相等的实数解． 综上所述，说法C正确． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 20. 若，则等于（ ） A. B. 或 C. D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】令m=x2+y2，则原方程可化为（m-5）2=64，利用直接开平方法求出m的值，再根据非负数的性质求解即可． 【详解】解：令m=x2+y2，则原方程可化为（m-5）2=64， 两边开平方，得m-5=±8， 所以m=13或-3， ∵x2+y2≥0， ∴x2+y2=13． 故选：A． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，非负数的性质．难度适中，注意利用非负数的性质舍去不合题意的答案． 21. 若一元二次方程x2＋bx＋4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b＋＝（ ） A. m B. ﹣m C. 2m D. ﹣2m 【答案】D 【解析】 【分析】根据公式法解方程，结合题意得出，求出即可． 【详解】∵的两个实数根中较小的一个根是， ∴， 解得：b＋＝﹣2m， 故选：D． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-公式法，熟记求根公式是解此题的关键． 22. 若方程x2-mx+4=0的等号左边是一个完全平方式，则m等于( ) A. ±2 B. ±4 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解：∵x2-mx+4=x2-mx+22， ∴-mx=±2×x×2， 解得m=±4． 故选B. 【点睛】本题考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 23. 定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案． 【详解】解：根据定义得： ＞ 原方程有两个不相等的实数根， 故选 【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键． 24. 对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如，；若，则x为（ ） A. 0或2 B. 1或﹣1 C. 1或2 D. ﹣1或2 【答案】D 【解析】 【分析】利用题中的新定义化简已知等式，求出解即可得到x的值． 【详解】解：当（x-1）2x2时，方程为（x-1）2=1， 开方得：x-1=1或x-1=-1， 解得：x=0（不合题意，舍去）或x=2； 当（x-1）2＞x2时，方程为x2=1， 开方得：x=-1或x=1（不合题意，舍去）， 综上，x=-1或2， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 25. 若关于的方程有两个实根，则的最大值是（　　） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得出，，根据方程解的定义得出，将，，代入整理得出，根据方程有两个实数根得出，根据m的范围求出最大值即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个实根， ∴，，， 即， ∴ ， ∵关于的方程有两个实根， ∴， 即， ∵当时，的值随m的增大而增大， ∴当时，有最大值，且最大值为：， 即的最大值为4，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，方程的解，求二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系和根的判别式． 二、填空题（请将答案写在每道题后面的横战上） 26. 方程的根为__________ 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或， ∴，， 故答案为：，． 27. 一元二次方程的解是__． 【答案】x1＝3，x2＝﹣3． 【解析】 【分析】先移项，在两边开方即可得出答案． 【详解】∵ ∴=9， ∴x=±3， 即x1＝3，x2＝﹣3， 故答案为x1＝3，x2＝﹣3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键. 28. 若关于x的 一元二次方程有实数根，则a（a为整数）的最大值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．熟练掌握一元二次方程有实数根，则是解题的关键．由题意知，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， ∴整数a的最大值为4， 故答案为：4． 29. 一元二次方程的根是_____． 【答案】． 【解析】 【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程． 【详解】， a=1，b=－1，c=－1， ， ， 所以， 故答案为． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键． 30. 已知 －100a＋7＝0以及－100b＋6＝0，且ab≠1，则 的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】第2个方程两边同除以b²，得到与第一个方程相似的方程，所以a,可看成一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系可求得的值． 【详解】解：∵－100b＋6＝0， ∴， ∵－100a＋7＝0， ∴a、是方程－100x＋7＝0的两个根， ∴由根与系数的关系可知：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，关键是把两个数看成一个一元二次方程的两个根． 三、计算题 31. 用适当的方法解下列方程： （1）x2-5x-6=0 （2）x2-4x+1=0 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得； （2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得． 【小问1详解】 解：x2﹣5x﹣6＝0， （x﹣6）（x+1）＝0， ∴x﹣6＝0或x+1＝0， ∴x1＝6，x2＝﹣1； 【小问2详解】 解：x2﹣4x+1＝0， x2﹣4x＝﹣1， x2﹣4x+4＝﹣1+4，即（x﹣2）2＝3， ∴x﹣2＝， ∴x1＝2+，x2＝2﹣ ． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 32. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查利用公式法、因式分解法解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法是快速解题的关键． （1）利用公式法求解； （2）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， 移项，得：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：， 变形得：， 移项得：， 因式分解得：， 即， ∴或， ∴，． 33. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法是解题的关键． （1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可； （3）用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， 变为一般形式为：， ，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解：， ，，， ∴， ∴， ∴，． 四、解答题 34. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 【答案】（1） 证明：在方程中， ， 方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是掌握根的判别式； （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出、，根据方程有一根小于1，即可得出关于的一元一次不等式，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，． 方程有一根小于1， ，解得：， 的取值范围为． 35. 关于的一元二次方程有两个不等实根、．若方程两实根满足，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系的应用，熟练掌握其基础知识是解题的关键． 根据根的判别式得出k的取值范围，再根据根与系数的关系得出k的值． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ， 解得：． 由根与系数的关系，得． ， ， 解得：或， 又 ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学45分钟9月开学练习 一、选择题 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，2，3 B. 0，2， C. 0，， D. 1，2， 2. 将一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 2或 4. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知a是方程 的解，则代数式的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 6. 若是关于的方程（为系数）的根，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若a,b,c满足则关于x的方程的解是( ) A. 1，0 B. -1，0 C. 1，-1 D. 无实数根 8. 某建筑工程队在工地一边靠墙处，用米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个米宽的缺口作小门．若设米，则可列方程（　　） A. B. C. D. 9. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列一元二次方程无实数根的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知是一元二次方程的两根，且的值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 1 12. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 13. 若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 14. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 15. 已知x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，且满足x1+x2﹣3x1x2=5，那么b的值为（　　） A. 4 B. ﹣4 C. 3 D. ﹣3 16. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A. B. 且 C. 且 D. 且 17. 已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　） A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8或10 18. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 19. 已知关于的方程，下列说法正确的是（　　） A. 当时，方程无解 B. 当时，方程有一个实数解 C. 当时，方程有两个相等的实数解 D. 当时，方程总有两个不相等的实数解 20. 若，则等于（ ） A. B. 或 C. D. 以上都不对 21. 若一元二次方程x2＋bx＋4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b＋＝（ ） A. m B. ﹣m C. 2m D. ﹣2m 22. 若方程x2-mx+4=0的等号左边是一个完全平方式，则m等于( ) A. ±2 B. ±4 C. 2 D. 4 23. 定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 24. 对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如，；若，则x为（ ） A. 0或2 B. 1或﹣1 C. 1或2 D. ﹣1或2 25. 若关于的方程有两个实根，则的最大值是（　　） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 二、填空题（请将答案写在每道题后面的横战上） 26. 方程的根为__________ 27. 一元二次方程的解是__． 28. 若关于x的 一元二次方程有实数根，则a（a为整数）的最大值为______． 29. 一元二次方程的根是_____． 30. 已知 －100a＋7＝0以及－100b＋6＝0，且ab≠1，则 的值为__________． 三、计算题 31. 用适当的方法解下列方程： （1）x2-5x-6=0 （2）x2-4x+1=0 32. 解方程： （1）； （2）． 33. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 四、解答题 34. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 35. 关于的一元二次方程有两个不等实根、．若方程两实根满足，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $