精品解析： 湖南省长沙怡海中学2025-2026学年九年级数学上学期入学考试卷

湖南省长沙怡海中学2025-2026学年九年级数学上学期入学考试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 抛物线y＝﹣+1的顶点坐标为（　　） A. （3，1） B. （﹣3，1） C. （，1） D. （﹣，1） 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次函数的性质得出其顶点坐标即可． 【详解】解：∵抛物线y＝﹣+1中，2x﹣3＝0时，x＝， 故抛物线y＝﹣+1的顶点坐标为：（，1）． 故选C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确得出顶点横坐标是解题关键． 2. 在中,对角线相交于点,以点为坐标原点建立平面直角坐标系,其中,则点的坐标是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出图形，利用平行四边形的性质解答即可． 【详解】解：如图： ∵在▱ABCD中，C（3，1）， ∴A（-3，-1）， ∴B（-4，1）， ∴D（4，-1）； 故选A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是利用平行四边形的性质解答． 3. 下列说法中，不正确的是（　　） A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D. 有一组邻边相等的矩形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】平行四边形判定：1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）； 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.所有邻角（每一组邻角）都互补的四边形是平行四边形； 6.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 正方形判定：1.有一个内角是直角的菱形是正方形. 2.邻边相等的矩形是正方形. 3.对角线相等的菱形是正方形. 4.对角线相互垂直的矩形是正方形. 5.对角线相互垂直平分的平行四边形是正方形. 菱形判定：1.四条边相等的四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形(对角线互相垂直且平分的四边形是菱形). 3.一组邻边相等的平行四边形是菱形. 4.对角线平分一组对角的平行四边形是菱形. 【详解】A、正确．两组对边分别平行的四边形是平行四边形； B、错误．比如等腰梯形，满足条件，不是平行四边形； C、正确．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形； D、正确．有一组邻边相等的矩形是正方形； 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形与特殊的平行四边形的判定，牢固掌握判定定理即可解题. 4. 若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（  ） A. ab＞0 B. a﹣b＞0 C. a2+b＞0 D. a+b＞0 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限， ∴a＜0，b＞0， ∴ab＜O，故A错误， a﹣b＜0，故B错误， ，故C正确， a+b不一定大于0，故D错误． 故选C． 5. 《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，3，3，4，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 3，4 B. 4，3 C. 3，3 D. 4，4 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数及中位数的概念进行判断即可． 【详解】3出现次数最多， 众数是3； 把这组数据从小到大排序为：3，3，3，4，4，5，6， 4位于第四位， 中位数为4； 故选：A． 【点睛】本题考查了众数及中位数的概念，一组数据中，出现次数最多的数为众数；按从小到大（或从大到小）顺序排列，处于中间位置的一个数（或两个数的平均数）为这组数据的中位数，熟练掌握这两个知识点是解题的关键． 6. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式 进行计算即可． 【详解】解：根据一元二次方程一元二次方程有两个实数根， 解得：， 根据二次项系数 可得： 故选D． 【点睛】考查一元二次方程根的判别式， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 7. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是（    ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，掌握“一元二次方程的根与系数关系、”是解题的关键． 【详解】解：、是一元二次方程的两个实数根， ，， ， 故选：D 8. 将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再由平移求出新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】解：，即抛物线的顶点坐标为， 把点向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为， 所以平移后得到的抛物线解析式为． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 9. 已知二次函数（为常数），当自变量的值满足时，与其对应的函数值的最小值为4，则的值为（ ） A. 1或5 B. 或3 C. 或1 D. 或5 【答案】D 【解析】 【分析】由解析式可知该函数在时取得最小值0，抛物线开口向上，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；根据时，函数的最小值为4可分如下三种情况：①若，时，y取得最小值4；②若-1＜h＜3时，当x=h时，y取得最小值为0，不是4；③若，当x=3时，y取得最小值4，分别列出关于h的方程求解即可． 【详解】解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，并且抛物线开口向上， ∴①若，当时，y取得最小值4， 可得：4， 解得或（舍去）； ②若-1＜h＜3时，当x=h时，y取得最小值为0，不是4， ∴此种情况不符合题意，舍去； ③若-1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值4， 可得：， 解得：h=5或h=1（舍）． 综上所述，h的值为-3或5， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键． 10. 如图①，点P为矩形ABCD边上一个动点，运动路线是A→B→C→D→A，设点P运动的路径长为x，S△ABP＝y，图②是y随x变化的函数图象，则矩形对角线AC的长是（　　） A. 2 B. 6 C. 12 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意易得AB+BC=6，当点P运动到C点时三角形ABP的面积为4，故而可求出AB、BC的长，进而求出AC． 【详解】解：由图像及题意可得：AB+BC=6， 当点P运动到C点时三角形ABP的面积为4，即， AB=2，BC=4，在中，； 故选A． 【点睛】本题主要考查函数与几何，关键是根据图像得到动点的运动路程，然后利用勾股定理求解线段的长即可． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在中，,，点分别是边的中点，则的周长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用勾股定理求得斜边长，然后利用三角形中位线定理求得答案即可． 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4， ∴AB===5， ∵点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点， ∴DE=BC，DF=AC，EF=AB， ∴C△DEF=DE+DF+EF=BC +AC +AB = (BC+AC+AB)=(4+3+5)=6. 故答案为6. 【点睛】本题考查了勾股定理和三角形中位线定理. 12. 一个平行四边形的两条对角线的长分别为4和10，则它的一边长的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形对角线互相平分的性质，三角形的三边关系，根据平行四边形对角线互相平分求出两对角线的一半，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求解． 【详解】解：∵平行四边形的两条对角线的长分别是4和10， ∴两对角线的一半分别是2，5， ∵， ∴边长x的取值范围是． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，结合函数图象确定不等式的解集是解题关键． 观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象下方，由交点即可得出不等式的解集． 【详解】解：当时，函数的图象都在的图象下方， 所以不等式的解集为； 故答案为． 14. 三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是________． 【答案】6或10或12 【解析】 【分析】首先用因式分解法求得方程的根，再根据三角形的每条边的长都是方程的根，进行分情况计算． 【详解】由方程，得=2或4． 当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6； 当三角形的三边是4，4，4时，则周长是12； 当三角形的三边长是2，2，4时，2+2=4，不符合三角形的三边关系，应舍去； 当三角形的三边是4，4，2时，则三角形的周长是4+4+2=10． 综上所述此三角形的周长是6或12或10． 故答案为：6或10或12 15. 已知函数的图象如图所示，若直线与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质，根据直线与有一个交点，与有两个交点即可求解． 【详解】解：直线与该图象恰有三个不同的交点， 则直线与有一个交点， ∴， ∵与有两个交点， ∴， ， ∴， ∴； 故答案为． 16. 如图，抛物线与交于点过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C，则以下结论： ①无论取何值，的值总是正数；②；③当时，；④；其中，结论正确的是______（填写序号即可） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用二次函数的性质，对于抛物线，当时，y有最小值为1，则可对①进行判断；把A点坐标代入可求出a的值，则可对②进行判断；当时通过计算从而可对③进行判断；利用对称性求出B、C的坐标，然后计算出和的长，从而可对④进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，顶点坐标在x轴的上方， ∴无论x取何值，的值总是正数，故本结论正确； ②把代入抛物线得，解得，故本结论正确； ③由两函数图象可知，抛物线解析式为，当时，，，故，故本结论错误； ④∵抛物线与交于点， ∴的对称轴为，的对称轴为， ∴ ∴， ∴，故本结论正确． 故正确的结论为：①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题（共9小题，其中17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23题每题9分，24、25题每题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，涉及了二次根式的化简、绝对值的化简、负整数次幂和零次幂知识，熟练掌握相关知识是解题的关键，先分别计算出绝对值、负整数次幂、二次根式的化简以及零次幂，再进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先化简分式，再代值求解即可； 【详解】解：原式= = = =， 将代入得，原式=． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键． 20. 某校为丰富课后服务内容，计划开设一些社团活动．受时间限制，每位学生只能参加一类社团活动．为了解学生对舞蹈、声乐、人工智能三类社团活动的喜爱情况，随机选取部分学生进行调查，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，回答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了______名学生，扇形统计图中圆心角______度； ②补全条形统计图； （2）若该校共有400名学生喜欢这三类社团活动，请估计喜欢舞蹈社团活动的学生人数． 【答案】（1）①40；54；②故补全条形统计图如下： （2）160人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，由样本估计总体等知识．由条形统计图和扇形统计图得出必要的信息和数据是解题关键． （1）①用舞蹈社团的人数除以其所占百分比即可解答；用人工智能社团的人数除以总人数得出其所占比例，再乘以即可；②先求出声乐社团的人数，进而即可补全条形统计图； （2）用舞蹈社团的人数除以总人数得出其所占比例，再乘以该校总人数即可． 【小问1详解】 解：①此次调查一共随机抽取了名学生． 扇形统计图中圆心角． 故答案为：40；54； ②此次调查声乐小组的人数为名， 【小问2详解】 解：名， 答：估计喜欢舞蹈社团活动的学生有160人． 21. 已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，EF与BD相交于点O，AE=CF． （1）求证：OE=OF； （2）连接BE、DF，若BD平分∠EBF，试判断四边形EBFD的形状，并给予证明． 【答案】 （1）证明：连接BE、DF， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， 又∵AE=CF， ∴DE=BF， ∴四边形EBFD为平行四边形， ∴OE=OF； （2）四边形EBFD是菱形 【解析】 【分析】（1）连接BE、DF，证明四边形EBFD为平行四边形，根据平行四边形的性质即可求解. （2）根据BD平分∠EBF，可得∠1=∠2，由平行线的性质可得∠3=∠2，等量代换可得∠1=∠3，即可证明BE=ED，即可判定四边形EBFD的形状. 【详解】解：（1）略 （2）解：四边形EBFD是菱形．理由如下： ∵BD平分∠EBF， ∴∠1=∠2， ∵AD∥BC， ∴∠3=∠2， ∴∠1=∠3， ∴BE=ED， ∴平行四边形EBFD是菱形． 【点睛】考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定，掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键. 22. 已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求m的取值范围． （2）当时，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，根与系数的关系，因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是熟练一元二次方程的基础知识． （1）根据一元二次方程根与判别式的关系，求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意可得： 解得； 【小问2详解】 由根与系数的关系可得：， 由可得 即，化简可得： 解得， 又∵ ∴ 23. 刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元． （1）求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？ （2）该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？ 【答案】（1）A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元 （2）最多能购买100件A种湘绣作品 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，根据“购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可解题； （2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件，总费用单价数量，结合总费用不超过50000元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的值，再取其中的最大整数值即可得出该校最大可以购买湘绣的数量． 【小问1详解】 设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元． 根据题意，得 ， 解得 答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元． 【小问2详解】 设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件． 根据题意，得， 解得． 答：最多能购买100件A种湘绣作品． 24. 已知关于x的一元二次方程（a、b、c为常数，且），我们规定：若该方程的两根满足，则称该方程为“灵粹二次方程”，其中，、称为该“灵粹二次方程”的一对“奋勇向前根”． （1）判断：下列方程中，为“灵粹二次方程”的是________（仅填序号） ① ② ③ （2）已知关于x的一元二次方程为“灵粹二次方程”，求：当时，函数的最大值． （3）直线与直线相交于点A，并分别与x轴相交于B、C两点，若m、n是某“灵粹二次方程”的一对“奋勇向前根”，设D点坐标为（m，n），当点D位于以A、B、C三点所构成的三角形内部时． ①试求出m的取值范围． ②若m为整数，且“灵粹二次方程”的二次项系数为1，是否存在满足此情况的“灵粹二次方程”？若存在，请直接写出该“灵粹二次方程”；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）② （2）当时，；当时， （3）①或；② 【解析】 【分析】（1）分别求出三个方程的根，根据“灵粹二次方程”的定义进行判断即可； （2）先将t当作已知数，解一元二次方程，得出，，根据此方程是“灵粹二次方程”，得出或，解得或，然后分别求出一元二次方程的最大值即可； （3）①先求出点A、B、C的坐标，然后分或两种情况，列出关于m的不等式组，然后解不等式组即可； ②根据m为整数，先求出m的值，然后根据一元二次方程根与系数的关系，求出b、c的值，即可得出一元二次方程． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴此方程无解，不是“灵粹二次方程”； ， 解方程得：，， ∵， ∴此方程是“灵粹二次方程”； ， 解方程得：， ∵， ∴此方程不是“灵粹二次方程”； 综上分析可知，是“灵粹二次方程”的为②． 故答案为：②． 【小问2详解】 解一元二次方程得：，， ∵是“灵粹二次方程”， ∴或， 解得：或， 当时， 函数 ∴函数的对称轴为直线， ∵，， ∴当函数上的点距离对称轴越远的点，函数值越大， ∴当或时，函数最大，此时最大值为： ； 当时， 函数 ∴函数的对称轴为直线， ∵，， ∴当函数上的点距离对称轴越远的点，函数值越大， ∴当时，函数最大，此时最大值为： ； 综上分析可知，当时，；当时，． 【小问3详解】 ①联立，解得：， ∴点A的坐标为：， 把分别代入和得：和， 解得：和， ∴点B的坐标为（-3，0），点C的坐标为（1,0）， 直线AB的解析式为：，直线AC的解析式为 当时， ∵D点坐标为（m，n）， ∴点D在直线上， ∵点D位于以A、B、C三点所构成的三角形内部， ∴， 解得：； 当时， ∵D点坐标为（m，n）， ∴点D在直线上， ∵点D位于以A、B、C三点所构成的三角形内部， ∴， 解得：； 综上分析可知，m的取值范围是：或； ②存在； ∵m为整数， ∴当时，， ∴此时，解得：， “灵粹二次方程”的二次项系数a=1， ∴， 即， ， ∴， ∴该“灵粹二次方程”； 当时，没有符合条件的值，不存在“灵粹二次方程”； 综上分析可知，该“灵粹二次方程”为． 【点睛】本题是一道新定义类题目，求二次函数的最值，解一元二次方程，根与系数的关系，根的判别式，解不等式组，熟练掌握解一元二次方程的方法，理解新定义，是解题的关键． 25. 已知抛物线与轴交于点，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值； （3）如图，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）设，直线为，求出，直线为，求出，联立方程组得，，再根据，即可求解； （）设直线为，由得，得，设，，联立直线与抛物，得，根据根与系数的关系可得：，，作点关于直线的对称点，连接，则有，过点作于F，则，则，，根据勾股定理得，根据二次函数的性质，即可求出最小值． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 设，直线为，据题意得， ，解得， ∴， 联立得， 解得或， ∴， 设，直线为，据题意得， ，解得， ∴， 联立得， 解得或， ∴， ， ， ∴； 【小问3详解】 设直线为，由得， ∴， ∴， 设，， 联立直线与抛物线， 得， ， 根据根与系数的关系可得：，， 作点关于直线的对称点，连接， 由题意得直线，则， ∴， 过点作于F，则． 则，， 在中， ， 即当时，，此时， 此时直线为，符合不与对称轴重合， 故的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根的判别式，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙怡海中学2025-2026学年九年级数学上学期入学考试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 抛物线y＝﹣+1的顶点坐标为（　　） A. （3，1） B. （﹣3，1） C. （，1） D. （﹣，1） 2. 在中,对角线相交于点,以点为坐标原点建立平面直角坐标系,其中,则点的坐标是(　　) A. B. C. D. 3. 下列说法中，不正确的是（　　） A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D. 有一组邻边相等的矩形是正方形 4. 若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（  ） A. ab＞0 B. a﹣b＞0 C. a2+b＞0 D. a+b＞0 5. 《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，3，3，4，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 3，4 B. 4，3 C. 3，3 D. 4，4 6. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是（    ） A. 3 B. 1 C. D. 8. 将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　） A. B. C. D. 9. 已知二次函数（为常数），当自变量的值满足时，与其对应的函数值的最小值为4，则的值为（ ） A. 1或5 B. 或3 C. 或1 D. 或5 10. 如图①，点P为矩形ABCD边上一个动点，运动路线是A→B→C→D→A，设点P运动的路径长为x，S△ABP＝y，图②是y随x变化的函数图象，则矩形对角线AC的长是（　　） A. 2 B. 6 C. 12 D. 24 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在中，,，点分别是边的中点，则的周长是__________． 12. 一个平行四边形的两条对角线的长分别为4和10，则它的一边长的取值范围是______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是______． 14. 三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是________． 15. 已知函数的图象如图所示，若直线与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为______． 16. 如图，抛物线与交于点过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C，则以下结论： ①无论取何值，的值总是正数；②；③当时，；④；其中，结论正确的是______（填写序号即可） 三、解答题（共9小题，其中17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23题每题9分，24、25题每题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 某校为丰富课后服务内容，计划开设一些社团活动．受时间限制，每位学生只能参加一类社团活动．为了解学生对舞蹈、声乐、人工智能三类社团活动的喜爱情况，随机选取部分学生进行调查，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，回答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了______名学生，扇形统计图中圆心角______度； ②补全条形统计图； （2）若该校共有400名学生喜欢这三类社团活动，请估计喜欢舞蹈社团活动的学生人数． 21. 已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，EF与BD相交于点O，AE=CF． （1）求证：OE=OF； （2）连接BE、DF，若BD平分∠EBF，试判断四边形EBFD的形状，并给予证明． 22. 已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求m的取值范围． （2）当时，求m的值． 23. 刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元． （1）求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？ （2）该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？ 24. 已知关于x的一元二次方程（a、b、c为常数，且），我们规定：若该方程的两根满足，则称该方程为“灵粹二次方程”，其中，、称为该“灵粹二次方程”的一对“奋勇向前根”． （1）判断：下列方程中，为“灵粹二次方程”的是________（仅填序号） ① ② ③ （2）已知关于x的一元二次方程为“灵粹二次方程”，求：当时，函数的最大值． （3）直线与直线相交于点A，并分别与x轴相交于B、C两点，若m、n是某“灵粹二次方程”的一对“奋勇向前根”，设D点坐标为（m，n），当点D位于以A、B、C三点所构成的三角形内部时． ①试求出m的取值范围． ②若m为整数，且“灵粹二次方程”的二次项系数为1，是否存在满足此情况的“灵粹二次方程”？若存在，请直接写出该“灵粹二次方程”；若不存在，请说明理由． 25. 已知抛物线与轴交于点，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值； （3）如图，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $